高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语本章综合与测试课时练习

第一章 集合与常用逻辑用语

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．下列说法正确的是（    ）

A．我校爱好足球的同学组成一个集合

B．是不大于的自然数组成的集合

C．集合和表示同一集合

D．数，，，，，，组成的集合有个元素

2．已知集合，，若，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

3．如果集合中只有一个元素，则的值是（    ）

A． B． C．或 D．不能确定

4．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

c．， D．，

5．设集合，且，则（    ）

A． B． C． D．

6．若集合，，则的真子集的个数为（    ）

A． B． C． D．

7．下列各结论：①“”是“”的充要条件；②“”是“”的充要条件；③“”是“”的充分不必要条件；④“二次函数图像过点”是“”的充要条件．其中正确的个数是（    ）

A． B． C． D．

8．由无理数引发的数学危机一直延续到世纪直到年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足；，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，不可能成立的是（    ）

A．没有最大元素，有一个最小元素

B．没有最大元素，也没有最小元素

C．有一个最大元素，有一个最小元素

D．有一个最大元素，没有最小元素

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．设全集，集合，，则（    ）

A．  B．

C．  D．集合的真子集个数为

10．已知集合，，且，则实数的值可以为（    ）

A． B． C． D．

11．下列说法正确的是（    ）

A．命题“，”的否定是“，”

B．命题“，”的否定是“，”

C．“”是“”的必要而不充分条件

D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件

12．已知集合，若对于，，使得成立，则称集合是“互垂点集”．给出下列四个集合：；；；．其中是“互垂点集”集合的为（    ）

A． B． C． D．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知集合，，若，则实数的取值范围是        ．

14．设，，为非零实数，，则的所有值组成的集合为         ．

15．（1）“且”是“且”的           条件；

（2）“且”是“且”的            条件．

16．设集合是实数集的子集，若点满足：，都，使得，则称为集合的聚点．则在下列集合中：

①；②；③；④整数集．以为聚点的集合有       （请写出所有满足条件的集合的编号）．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）用不同的方法表示下列集合：

（1）；

（2）；

（3）所有被除余的正整数所构成的集合；

（4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点构成的集合．

18．（12分）用符号“”与“”表示下列含有量词的命题，并判断真假：

（1）任意实数的平方大于或等于；

（2）对任意实数，二次函数的图象关于轴对称；

（3）存在整数，，使得；

（4）存在一个无理数，它的立方是有理数．

19．（12分）已知全集，集合，，求，，．

20．（12分）设集合，．

（1）用列举法表示集合；

（2）若是的充分条件，求实数的值．

21．（12分）设集合，集合．

（1）求使的实数的取值范围；

（2）是否存在实数，使成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

22．（12分）定义：给定整数，如果非空集合满足如下个条件：①；②；③，，若，则．则称集合为“减集”．

（1）是否为“减集”？是否为“减集"？

（2）证明：不存在“减集”；

（3）是否存在“减集”？如果存在，求出所有“减集”；如果不存在，说明理由．

第一章双基训练金卷

集合与常用逻辑用语（一）答 案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】C

【解析】选项A，不满足确定性，故错误；

选项B，不大于的自然数组成的集合是，故错误；

选项C，满足集合的互异性，无序性和确定性，故正确；

选项D，数，，，，，，组成的集合有个元素，故错误，

故选C．

2．【答案】A

【解析】因为，所以，

又，所以且，

所以，所以（已舍），此时满足，故选A．

3．【答案】C

【解析】当时，集合，只有一个元素，满足题意；

当时，集合中只有一个元素，可得，解得，

则的值是或，故选C．

4．【答案】C

【解析】试题分析：全称命题的否定是存在性命题，

所以，命题“，”的否定是，，

故选C．

5．【答案】D

【解析】由于：，，，

故由题意可知，结合交集的定义可知，所以选D．

6．【答案】A

【解析】，，，

所以的真子集的个数为，故选A．

7．【答案】C

【解析】“”，①正确；

，当时，反之不成立，②错误；

，即，得，

所以，反之不成立，③正确；

二次函数的图象过点，

即当时，，得，反之也成立，④正确，

所以正确选项为C．

8．【答案】C

【解析】对A，若，；则没有最大元素，有一个最小元素，故A正确；

对B，若，；则没有最大元素，也没有最小元素，故B正确；

对C，有一个最大元素，有一个最小元素不可能，故C错误；

对D，若，；有一个最大元素，没有最小元素，故D正确，

故选C．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．【答案】AC

【解析】A选项：由题意，，正确；

B选项：，不正确；

C选项：，正确；

D选项：集合的真子集个数有，不正确，

故选AC．

10．【答案】ABD

【解析】因为，所以，，

当时，，符合题意；

当时，，所以或，解得或，

所以的值为或或，故选ABD．

11．【答案】BD

【解析】A．命题“，”的否定是“，”，故错误；

B．命题“，”的否定是“，”，正确；

C．，不能推出，也不能推出，

所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故错误；

D．关于的方程有一正一负根，

所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，正确，

故选BD．

12．【答案】BD

【解析】由题意知，对于集合表示的函数图象上的任意点，

在图象上存在另一个点，使得可．

在的图象上，当点坐标为时，不存在对应的点，

所以不是“互垂点集”集合；

对的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点，

所以在中的任意点，在中存在另一个，使得，

所以是“互垂点集”集合；

在的图象上，当点坐标为时，不存在对应的点，

所以不是“互垂点集”集合；

对的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点，

所以是“互垂点集”集合，

故选BD．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．【答案】

【解析】根据题意得：当时，，即；

当时，，解得，

综上，，故答案为．

14．【答案】

【解析】因为，，为非零实数，

所以，，时，；

当，，中有一个小于时，不妨设，，，

此时；

当，，中有一个小于时，不妨设，，，

此时；

当，，中有一个小于时，

此时，

所以的所有值组成的集合为．

15．【答案】充要；充分非必要

【解析】（1）根据不等式性质可得“且”“且”，

所以“且”是“且”的充分条件；

“且”“且”，

所以“且”是“且”的必要条件，

所以“且”是“且”的充要条件．

（2）根据不等式性质可得“且”“且”，

所以“且”是“且”的充分条件；

例如：，，满足“且”，

但是不满足“且”．

“且”不能推出“且”．

所以“且”是“且”的非必要条件．

所以“且”是“且”的充分非必要条件．

故答案为：充要；充分非必要．

16．【答案】②③

【解析】①中，集合中的元素是极限为的数列，除了第一项之外，其余的都至少比大，∴在的时候，不存在满足得的，∴不是集合的聚点；

②集合，对任意的，都存在（实际上任意比小得数都可以），使得，∴是集合的聚点；

③集合中的元素是极限为的数列，对于任意的，存在，使，∴是集合的聚点；

④对于某个，比如，此时对任意的，都有或者，也就是说不可能，从而不是整数集的聚点，

故答案为②③．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．

【解析】（1）∵，，∴取值为，，，，

从而所求集合为．

（2）∵，，∴，，，对应的值为，，，

故该集合表示为．

（3）．

（4）．

18．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析．

【解析】（1），，是真命题．

（2），二次函数的图象关于轴对称真命题．

（3），，假命题，因为必为偶数．

（4），真命题，例如，．

19．【答案】，或，．

【解析】∵，，

∴或，或，

∴，或，

．

20．【答案】（1）；（2）或．

【解析】（1），即或，

．

（2）若是的充分条件，则，

，解得或，

当时，，满足；

当时，，同样满足，

所以或．

21．【答案】（1）；（2）存在，．

【解析】（1）因为，即，，

因为集合，

所以，所以，，

①当时，，，所以，成立，所以；

②当时，，由，得，所以且，

综上，．

（2）因为，，

所以①时，，此时成立，所以；

②时，，若，则；

③时，，若，则，

所以，时，或，

所以，时，，

即存在实数，使成立，．

22．【答案】（1）是“减集”，不是“减集”；（2）证明见解析；（3）存在，详见解析．

【解析】（1）∵，，，，∴是“减集”，

同理，∵，，，，∴不是“减集”．

（2）假设存在是“减集”，则若，那么，

当时，有，

则，一个为，一个为，所以集合中有元素，

但是，，与是“减集”，矛盾，

故不存在“减集”．

（3）存在“减集”．．

①假设，则中除了元素以外，必然还含有其它元素．

假设，，而，因此．

假设，，而，因此．

因此可以有．

假设，，而，因此．

假设，，，，，因此．

因此可以有．

以此类推可得：，（），

以及的满足以下条件的非空子集：，，，…．