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沪科版八年级上册数学 第15章 专训 整合提升密码教案
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这是一份初中数学沪教版 (五四制)八年级上册本册综合教案，共18页。
专训一：等腰三角形中四种常用作辅助线的方法
名师点金：在几何图形中添加辅助线，往往能把分散的条件集中，使隐蔽的条件显露，将复杂的问题简单化，例如：作“三线”中的“一线”，作平行线构造等腰(边)三角形，利用截长补短法证线段和、差关系或求角的度数，利用加倍折半法证线段的倍分关系．
作“三线”中的“一线”
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A作EF∥BC，且AE＝AF.求证：DE＝DF.
(第1题)
作平行线法
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.
(1)如图①，当点P为AB的中点时，求证：PD＝QD.
(2)如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当P，Q在移动的过程中，线段BE，ED，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．
(第2题)
截长补短法
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°.求证：BD＋DC＝AB.
(第3题)
加倍折半法
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度数．
(第4题)
5．如图，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AB＝AC.求证：CD＝2CE.
(第5题)
专训二：分类讨论思想在等腰三角形中的应用
名师点金：分类讨论思想是解题的一种常用方法，在等腰三角形中，往往会遇到条件或结论不唯一的情况，此时就需要分类讨论．通过正确地分类讨论，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答．其解题策略为：先分类，再画图，后计算．
当顶角或底角不确定时，分类讨论
1．若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形的顶角度数为( )
A．40° B．100° C．40°或70° D．40°或100°
2．已知等腰三角形ABC中，AD⊥BC于D，且AD＝BC，则等腰三角形ABC的底角的度数为( )
A．45° B．75° C．45°或75° D．65°
3．若等腰三角形的一个外角为64°，则底角的度数为________．
当底和腰不确定时，分类讨论
4．(2015·荆门)已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为( )
A．8或10 B．8 C．10 D．6或12
5．等腰三角形的两边长分别为7和9，则其周长为________．
6．若实数x，y满足|x－4|＋(y－8)2＝0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为________．
当高的位置关系不确定时，分类讨论
7．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数．
由腰的垂直平分线引起的分类讨论
8．在三角形ABC中，AB＝AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，求底角∠B的度数．
由腰上的中线引起的分类讨论
9．等腰三角形ABC的底边BC长为5 cm，一腰上的中线BD把其分为周长差为3 cm的两部分．求腰长．
点的位置不确定引起的分类讨论
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有( )
(第10题)
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
11．如图，在△ABC中，BC＞AB＞AC，∠ACB＝40°，如果D，E是直线AB上的两点，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数．
(第11题)
专训三：三角形中的五种常见证明类型
名师点金：学习了全等三角形及等腰三角形的性质和判定后，与此相关的几何证明题的类型非常丰富，常见的类型有：证明数量关系，位置关系，线段的倍分关系、和差关系、不等关系等．
证明数量关系
题型1 证明线段相等
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE＝AF.求证：DE＝DF.
(第1题)
题型2 证明角相等
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD于F交BC于E.求证：∠ADB＝∠CDE.
(第2题)
证明位置关系
题型1 证明平行关系
3．已知△ABC为等边三角形，点P在AB上，以CP为边长作等边三角形PCE，连接AE.求证：AE∥BC.
(第3题)
题型2 证明垂直关系
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且BD＝CF，BE＝CD，G是EF的中点．求证：DG⊥EF.
(第4题)
证明线段的倍分关系
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的高，AD，BE相交于点H，且AE＝BE.求证：AH＝2BD.
(第5题)
证明线段的和差关系
6．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC.求证：AB＋BD＝AC.
(第6题)
证明线段的不等关系
7．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，P是AD上的任意一点，且AB＞AC.求证：AB－AC＞PB－PC.
(第7题)
专训四：四种常见热门考点
名师点金：本章内容在中考试题中一直占有重要的地位，属必考内容，考查形式多以选择、填空形式出现，其考查内容主要有轴对称和轴对称图形的识别、最短距离问题、与翻折有关的计算和证明题等．
轴对称图形与轴对称
1．(2015·重庆)下列图形是轴对称图形的是( )
(第2题)
2．(2015·乌鲁木齐)如图，△ABC的面积等于6，边AC＝3，现将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处，点P在直线AD上，则线段BP的长不可能是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
3．(2015·绥化)点A(－3，2)关于x轴的对称点A′的坐标为________．
4．(2014·宁夏)如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(－2，1)，B(－4，5)，C(－5，2)，画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1.
(第4题)
线段垂直平分线与角平分线
(第5题)
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，则下列结论错误的是( )
A．BD平分∠ABC
B．△BCD的周长等于AB＋BC
(第6题)
C．AD＝BD＝BC
D．点D是线段AC的中点
6．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝130°，那么∠CAB的大小是( )
A．80° B．50° C．40° D．20°
7．如图，已知C是∠MAN的平分线上一点，CE⊥AB于点E，点B，D分别在AM，AN上，且AE＝(AD＋AB)．问：∠1和∠2有何关系？
(第7题)
等腰三角形的判定与性质
(第8题)
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足，则下列四个结论：
(1)∠DEF＝∠DFE；(2)AE＝AF；(3)DA平分∠EDF；(4)AD垂直平分EF.其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．(中考·淄博)如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.求证：AB＝AD.
(第9题)
等边三角形的性质与判定
10．如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA上一点(不是中点)，且AD＝BE＝CF，AE与CD，BF分别交于点G，H，BF与
CD交于点N，则△GHN是
(第10题)
( )
A．等边三角形
B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形
D．不等边三角形
(第11题)
11．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝60°，BC＝6，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在C′处，连接BC′，则BC′的长为________．
答案
专训一
(第1题)
1．证明：如图，连接AD.
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC.
∵EF∥BC，∴AD⊥EF.
∵AE＝AF，
∴AD垂直平分EF.
∴DE＝DF.
2．(1)证明：如图①，过点P作PF∥AC交BC于F.∵点P和点Q同时出发，且速度相同，∴BP＝CQ.∵PF∥AQ，∴∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠DQC.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠PFB，∴BP＝FP，∴FP＝CQ.在△PFD和△QCD中，∠DPF＝∠DQC，∠PDF＝∠QDC，FP＝CQ，∴△PFD≌△QCD(AAS)，∴PD＝QD.
(第2题)
(2)解：线段ED的长度保持不变．理由如下：如图②，过点P作PF∥AC交BC于F.由(1)知PB＝PF.∵PE⊥BF，∴BE＝EF.由(1)知△PFD≌△QCD，∴FD＝CD，∴ED＝EF＋FD＝BE＋CD＝BC，∴线段ED的长度保持不变．
3．证明：如图，延长BD至E，使BE＝AB，连接CE，AE.
(第3题)
∵∠ABE＝60°，BE＝AB，
∴△ABE为等边三角形．
∴∠AEB＝60°，AB＝AE.
又∵∠ACD＝60°，
∴∠ACD＝∠AEB.
∵AB＝AC，AB＝AE，
∴AC＝AE.
∴∠ACE＝∠AEC.
∴∠DCE＝∠DEC.∴DC＝DE.
∴AB＝BE＝BD＋DE＝BD＋DC，即BD＋DC＝AB.
4．解：在DC上截取DE＝BD，连接AE，∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AD是线段BE的垂直平分线，∴AB＝AE，∴∠B＝∠AEB.∵AB＋BD＝DC，DE＝BD，∴AB＋DE＝CD.而CD＝DE＋EC，∴AB＝EC，∴AE＝EC.∴∠EAC＝∠C，可设∠EAC＝∠C＝x，∵∠AEB为△AEC的外角，∴∠AEB＝∠EAC＋∠C＝2x，∴∠B＝2x，∴∠BAE＝180°－2x－2x＝180°－4x.∵∠BAC＝120°，∴∠BAE＋∠EAC＝120°，即180°－4x＋x＝120°，解得x＝20°，则∠C＝20°.
(第5题)
5．证明：如图，延长CE到点F，使EF＝CE，连接FB，则CF＝2CE.∵CE是△ABC的中线，∴AE＝BE.在△BEF和△AEC中，
∴△BEF≌△AEC(SAS)．
∴∠EBF＝∠A，BF＝AC.
又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∴∠CBD＝∠A＋∠ACB＝∠EBF＋∠ABC＝∠CBF.
∵CB是△ADC的中线，
∴AB＝BD.又∵AB＝AC，AC＝BF，∴BF＝BD.
在△CBF与△CBD中，∴△CBF≌△CBD(SAS)．∴CF＝CD.∴CD＝2CE.
专训二
1．D 2.C 3.32° 4.C 5.23或25 6.20
7．解：设AB＝AC，BD⊥AC；
(1)高与底边的夹角为25°时，高一定在△ABC的内部，如图①，∵∠DBC＝25°，∴∠C＝90°－∠DBC＝90°－25°＝65°，∴∠ABC＝∠C＝65°，∠A＝180°－2×65°＝50°.
(第7题)
(2)当高与另一腰的夹角为25°时，
如图②，高在△ABC的内部时，
∵∠ABD＝25°，∴∠A＝90°－∠ABD＝65°，
∴∠C＝∠ABC＝(180°－∠A)÷2＝57.5°；
如图③，高在△ABC的外部时，∵∠ABD＝25°，
∴∠BAD＝90°－∠ABD＝90°－25°＝65°，∴∠BAC＝180°－65°＝115°，
∴∠ABC＝∠C＝(180°－115°)÷2＝32.5°，
故三角形各个内角的度数为：65°，65°，50°或65°，57.5°，57.5°或115°，32.5°，32.5°.
点拨：由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”，因此必须进行分类讨论，另外，还要结合图形，分高在三角形内还是在三角形外．
8．解：此题分两种情况：
(1)如图①，AB边的垂直平分线与AC边交于点D，∠ADE＝40°，则∠A＝50°，
∵AB＝AC，∴∠B＝(180°－50°)÷2＝65°.
(第8题)
(2)如图②，AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D，∠ADE＝40°，则∠DAE＝50°，∴∠BAC＝130°.
∵AB＝AC，∴∠B＝(180°－130°)÷2＝25°.
故∠B的大小为65°或25°.
9．分析：由于题目中没有指明是“(AB＋AD)－(BC＋CD)”为3 cm，还是“(BC＋CD)－(AB＋AD)”为3 cm，因此必须分两种情况讨论．
解：∵BD为AC边上的中线，∴AD＝CD，(1)当(AB＋AD)－(BC＋CD)＝3 cm时，有AB－BC＝3 cm，∵BC＝5 cm，∴AB＝5＋3＝8(cm)；
(2)当(BC＋CD)－(AB＋AD)＝3 cm时，有BC－AB＝3 cm，∵BC＝5 cm，∴AB＝5－3＝2(cm)，
但是当AB＝2 cm时，三边长分别为2 cm，2 cm，5 cm.而2＋2＜5，不能构成三角形，舍去．故腰长为8 cm.
10．B
11．解：(1)当点D、E在点A的同侧，且都在BA的延长线上时，如图①，
(第11题)
∵BE＝BC，∴∠BEC＝(180°－∠ABC)÷2，
∵AD＝AC，∴∠ADC＝(180°－∠DAC)÷2＝∠BAC÷2，∵∠DCE＝∠BEC－∠ADC，
∴∠DCE＝(180°－∠ABC)÷2－∠BAC÷2＝(180°－∠ABC－∠BAC)÷2＝∠ACB÷2＝40°÷2＝20°.
(2)当点D、E在点A的同侧，且点D在D′的位置，E在E′的位置时，如图②，
与(1)类似地也可以求得∠D′CE′＝∠ACB÷2＝20°.
(3)当点D、E在点A的两侧，且E点在E′的位置时，如图③，
∵BE′＝BC，
∴∠BE′C＝(180°－∠CBE′)÷2＝∠ABC÷2，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝(180°－∠DAC)÷2＝∠BAC÷2，
又∵∠DCE′＝180°－(∠BE′C＋∠ADC)，
∴∠DCE′＝180°－(∠ABC＋∠BAC)÷2＝180°－(180°－∠ACB)÷2＝90°＋∠ACB÷2＝90°＋40°÷2＝110°.
(4)当点D、E在点A的两侧，且点D在D′的位置时，如图④，
∵AD′＝AC，∴∠AD′C＝(180°－∠BAC)÷2，
∵BE＝BC，∴∠BEC＝(180°－∠ABC)÷2，
∴∠D′CE＝180°－(∠D′EC＋∠ED′C)＝180°－(∠BEC＋∠AD′C)
＝180°－[(180°－∠ABC)÷2＋(180°－∠BAC)÷2]
＝(∠BAC＋∠ABC)÷2＝(180°－∠ACB)÷2
＝(180°－40°)÷2＝70°.综上所述，∠DCE的度数为20°或110°或70°.
专训三
1．证明：连接AD.
∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠FAD.
在△AED和△AFD中，
∴△AED≌△AFD(SAS)．∴DE＝DF.
2．证明：过点C作CG⊥AC交AE的延长线于G，则CG∥AB，∴∠BAF＝∠G.
又∵AF⊥BD，AC⊥CG，
∴∠BAF＋∠ABD＝90°，∠CAG＋∠G＝90°.
∴∠ABD＝∠CAG.
在△ABD和△CAG中，
∴△ABD≌△CAG(ASA)．
∴AD＝CG，∠ADB＝∠G.
又∵D为AC的中点，∴AD＝CD，∴CD＝CG.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠DCE.
又∵AB∥CG，∴∠ABC＝∠GCE.∴∠DCE＝∠GCE.
又∵CE＝CE，
∴△CDE≌△CGE(SAS)．∴∠CDE＝∠G.
∴∠ADB＝∠CDE.
3．证明：∵△ABC，△PCE均为等边三角形，
∴BC＝AC，PC＝EC，∠ACB＝∠B＝∠PCE＝60°.
∴∠ACB－∠ACP＝∠PCE－∠ACP，
即∠BCP＝∠ACE.
在△CBP和△CAE中，
∴△CBP≌△CAE(SAS)．
∴∠CAE＝∠B＝60°.
∴∠CAE＝∠ACB.∴AE∥BC.
(第4题)
4．证明：如图，连接ED，FD.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
在△BDE和△CFD中，
∴△BDE≌△CFD(SAS)．
∴DE＝DF.
又∵G是EF的中点，
∴DG⊥EF.
5．证明：∵AD，BE是△ABC的高，∴∠ADB＝∠AEB＝90°，又∵∠BHD＝∠AHE，∴∠EBC＝∠EAH.
在△BCE和△AHE中，
∴△BCE≌△AHE(ASA)．∴AH＝BC.
又∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2BD.∴AH＝2BD.
6．证明：如图，延长CB至E，使BE＝BA，则∠BAE＝∠E，
∴∠ABC＝2∠E.
又∵∠ABC＝2∠C，∴∠E＝∠C，∴AE＝AC.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.
∵∠BAE＝∠E，∠E＝∠C，∴∠BAE＝∠C.
又∵∠EAD＝∠BAE＋∠BAD，∠EDA＝∠C＋∠DAC，∴∠EAD＝∠EDA.∴AE＝DE.
∴AC＝DE＝BE＋BD＝AB＋BD.
(第6题)
(第7题)
7．证明：如图，在AB上截取AE，使AE＝AC，连接PE.
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAP＝∠CAP.
在△AEP和△ACP中，
∴△AEP≌△ACP(SAS)，∴PE＝PC.
在△PBE中，BE＞PB－PE，
即AB－AC＞PB－PC.
专训四
1．A 2.A 3.(－3，－2)
4．解：如图所示．
(第4题)
5．D 6.D
(第7题)
7．解：作CF⊥AN于F(如图)，
∵∠3＝∠4，CE⊥AM，∴CF＝CE，又∵AC＝AC，
∴Rt△ACF≌Rt△ACE(HL)，∴AF＝AE.∵AE＝(AD＋AB)＝(AF－DF＋AE＋BE)＝AE＋ (BE－DF)，
∴BE－DF＝0，∴DF＝BE，又
∵CF＝CE，∠CFD＝∠CEB＝90°，
∴△DFC≌△BEC(SAS)．
∴∠5＝∠2.
∵∠1＋∠5＝180°，∴∠1＋∠2＝180°，
即∠1与∠2互补．
8．D
9．证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC.
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC.
∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD.
10．A 11.3
专训一：等腰三角形中四种常用作辅助线的方法
名师点金：在几何图形中添加辅助线，往往能把分散的条件集中，使隐蔽的条件显露，将复杂的问题简单化，例如：作“三线”中的“一线”，作平行线构造等腰(边)三角形，利用截长补短法证线段和、差关系或求角的度数，利用加倍折半法证线段的倍分关系．
作“三线”中的“一线”
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A作EF∥BC，且AE＝AF.求证：DE＝DF.
(第1题)
作平行线法
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.
(1)如图①，当点P为AB的中点时，求证：PD＝QD.
(2)如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当P，Q在移动的过程中，线段BE，ED，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．
(第2题)
截长补短法
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°.求证：BD＋DC＝AB.
(第3题)
加倍折半法
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度数．
(第4题)
5．如图，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AB＝AC.求证：CD＝2CE.
(第5题)
专训二：分类讨论思想在等腰三角形中的应用
名师点金：分类讨论思想是解题的一种常用方法，在等腰三角形中，往往会遇到条件或结论不唯一的情况，此时就需要分类讨论．通过正确地分类讨论，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答．其解题策略为：先分类，再画图，后计算．
当顶角或底角不确定时，分类讨论
1．若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形的顶角度数为( )
A．40° B．100° C．40°或70° D．40°或100°
2．已知等腰三角形ABC中，AD⊥BC于D，且AD＝BC，则等腰三角形ABC的底角的度数为( )
A．45° B．75° C．45°或75° D．65°
3．若等腰三角形的一个外角为64°，则底角的度数为________．
当底和腰不确定时，分类讨论
4．(2015·荆门)已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为( )
A．8或10 B．8 C．10 D．6或12
5．等腰三角形的两边长分别为7和9，则其周长为________．
6．若实数x，y满足|x－4|＋(y－8)2＝0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为________．
当高的位置关系不确定时，分类讨论
7．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数．
由腰的垂直平分线引起的分类讨论
8．在三角形ABC中，AB＝AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，求底角∠B的度数．
由腰上的中线引起的分类讨论
9．等腰三角形ABC的底边BC长为5 cm，一腰上的中线BD把其分为周长差为3 cm的两部分．求腰长．
点的位置不确定引起的分类讨论
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有( )
(第10题)
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
11．如图，在△ABC中，BC＞AB＞AC，∠ACB＝40°，如果D，E是直线AB上的两点，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数．
(第11题)
专训三：三角形中的五种常见证明类型
名师点金：学习了全等三角形及等腰三角形的性质和判定后，与此相关的几何证明题的类型非常丰富，常见的类型有：证明数量关系，位置关系，线段的倍分关系、和差关系、不等关系等．
证明数量关系
题型1 证明线段相等
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE＝AF.求证：DE＝DF.
(第1题)
题型2 证明角相等
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD于F交BC于E.求证：∠ADB＝∠CDE.
(第2题)
证明位置关系
题型1 证明平行关系
3．已知△ABC为等边三角形，点P在AB上，以CP为边长作等边三角形PCE，连接AE.求证：AE∥BC.
(第3题)
题型2 证明垂直关系
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且BD＝CF，BE＝CD，G是EF的中点．求证：DG⊥EF.
(第4题)
证明线段的倍分关系
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的高，AD，BE相交于点H，且AE＝BE.求证：AH＝2BD.
(第5题)
证明线段的和差关系
6．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC.求证：AB＋BD＝AC.
(第6题)
证明线段的不等关系
7．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，P是AD上的任意一点，且AB＞AC.求证：AB－AC＞PB－PC.
(第7题)
专训四：四种常见热门考点
名师点金：本章内容在中考试题中一直占有重要的地位，属必考内容，考查形式多以选择、填空形式出现，其考查内容主要有轴对称和轴对称图形的识别、最短距离问题、与翻折有关的计算和证明题等．
轴对称图形与轴对称
1．(2015·重庆)下列图形是轴对称图形的是( )
(第2题)
2．(2015·乌鲁木齐)如图，△ABC的面积等于6，边AC＝3，现将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处，点P在直线AD上，则线段BP的长不可能是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
3．(2015·绥化)点A(－3，2)关于x轴的对称点A′的坐标为________．
4．(2014·宁夏)如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(－2，1)，B(－4，5)，C(－5，2)，画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1.
(第4题)
线段垂直平分线与角平分线
(第5题)
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，则下列结论错误的是( )
A．BD平分∠ABC
B．△BCD的周长等于AB＋BC
(第6题)
C．AD＝BD＝BC
D．点D是线段AC的中点
6．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝130°，那么∠CAB的大小是( )
A．80° B．50° C．40° D．20°
7．如图，已知C是∠MAN的平分线上一点，CE⊥AB于点E，点B，D分别在AM，AN上，且AE＝(AD＋AB)．问：∠1和∠2有何关系？
(第7题)
等腰三角形的判定与性质
(第8题)
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足，则下列四个结论：
(1)∠DEF＝∠DFE；(2)AE＝AF；(3)DA平分∠EDF；(4)AD垂直平分EF.其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．(中考·淄博)如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.求证：AB＝AD.
(第9题)
等边三角形的性质与判定
10．如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA上一点(不是中点)，且AD＝BE＝CF，AE与CD，BF分别交于点G，H，BF与
CD交于点N，则△GHN是
(第10题)
( )
A．等边三角形
B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形
D．不等边三角形
(第11题)
11．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝60°，BC＝6，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在C′处，连接BC′，则BC′的长为________．
答案
专训一
(第1题)
1．证明：如图，连接AD.
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC.
∵EF∥BC，∴AD⊥EF.
∵AE＝AF，
∴AD垂直平分EF.
∴DE＝DF.
2．(1)证明：如图①，过点P作PF∥AC交BC于F.∵点P和点Q同时出发，且速度相同，∴BP＝CQ.∵PF∥AQ，∴∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠DQC.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠PFB，∴BP＝FP，∴FP＝CQ.在△PFD和△QCD中，∠DPF＝∠DQC，∠PDF＝∠QDC，FP＝CQ，∴△PFD≌△QCD(AAS)，∴PD＝QD.
(第2题)
(2)解：线段ED的长度保持不变．理由如下：如图②，过点P作PF∥AC交BC于F.由(1)知PB＝PF.∵PE⊥BF，∴BE＝EF.由(1)知△PFD≌△QCD，∴FD＝CD，∴ED＝EF＋FD＝BE＋CD＝BC，∴线段ED的长度保持不变．
3．证明：如图，延长BD至E，使BE＝AB，连接CE，AE.
(第3题)
∵∠ABE＝60°，BE＝AB，
∴△ABE为等边三角形．
∴∠AEB＝60°，AB＝AE.
又∵∠ACD＝60°，
∴∠ACD＝∠AEB.
∵AB＝AC，AB＝AE，
∴AC＝AE.
∴∠ACE＝∠AEC.
∴∠DCE＝∠DEC.∴DC＝DE.
∴AB＝BE＝BD＋DE＝BD＋DC，即BD＋DC＝AB.
4．解：在DC上截取DE＝BD，连接AE，∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AD是线段BE的垂直平分线，∴AB＝AE，∴∠B＝∠AEB.∵AB＋BD＝DC，DE＝BD，∴AB＋DE＝CD.而CD＝DE＋EC，∴AB＝EC，∴AE＝EC.∴∠EAC＝∠C，可设∠EAC＝∠C＝x，∵∠AEB为△AEC的外角，∴∠AEB＝∠EAC＋∠C＝2x，∴∠B＝2x，∴∠BAE＝180°－2x－2x＝180°－4x.∵∠BAC＝120°，∴∠BAE＋∠EAC＝120°，即180°－4x＋x＝120°，解得x＝20°，则∠C＝20°.
(第5题)
5．证明：如图，延长CE到点F，使EF＝CE，连接FB，则CF＝2CE.∵CE是△ABC的中线，∴AE＝BE.在△BEF和△AEC中，
∴△BEF≌△AEC(SAS)．
∴∠EBF＝∠A，BF＝AC.
又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∴∠CBD＝∠A＋∠ACB＝∠EBF＋∠ABC＝∠CBF.
∵CB是△ADC的中线，
∴AB＝BD.又∵AB＝AC，AC＝BF，∴BF＝BD.
在△CBF与△CBD中，∴△CBF≌△CBD(SAS)．∴CF＝CD.∴CD＝2CE.
专训二
1．D 2.C 3.32° 4.C 5.23或25 6.20
7．解：设AB＝AC，BD⊥AC；
(1)高与底边的夹角为25°时，高一定在△ABC的内部，如图①，∵∠DBC＝25°，∴∠C＝90°－∠DBC＝90°－25°＝65°，∴∠ABC＝∠C＝65°，∠A＝180°－2×65°＝50°.
(第7题)
(2)当高与另一腰的夹角为25°时，
如图②，高在△ABC的内部时，
∵∠ABD＝25°，∴∠A＝90°－∠ABD＝65°，
∴∠C＝∠ABC＝(180°－∠A)÷2＝57.5°；
如图③，高在△ABC的外部时，∵∠ABD＝25°，
∴∠BAD＝90°－∠ABD＝90°－25°＝65°，∴∠BAC＝180°－65°＝115°，
∴∠ABC＝∠C＝(180°－115°)÷2＝32.5°，
故三角形各个内角的度数为：65°，65°，50°或65°，57.5°，57.5°或115°，32.5°，32.5°.
点拨：由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”，因此必须进行分类讨论，另外，还要结合图形，分高在三角形内还是在三角形外．
8．解：此题分两种情况：
(1)如图①，AB边的垂直平分线与AC边交于点D，∠ADE＝40°，则∠A＝50°，
∵AB＝AC，∴∠B＝(180°－50°)÷2＝65°.
(第8题)
(2)如图②，AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D，∠ADE＝40°，则∠DAE＝50°，∴∠BAC＝130°.
∵AB＝AC，∴∠B＝(180°－130°)÷2＝25°.
故∠B的大小为65°或25°.
9．分析：由于题目中没有指明是“(AB＋AD)－(BC＋CD)”为3 cm，还是“(BC＋CD)－(AB＋AD)”为3 cm，因此必须分两种情况讨论．
解：∵BD为AC边上的中线，∴AD＝CD，(1)当(AB＋AD)－(BC＋CD)＝3 cm时，有AB－BC＝3 cm，∵BC＝5 cm，∴AB＝5＋3＝8(cm)；
(2)当(BC＋CD)－(AB＋AD)＝3 cm时，有BC－AB＝3 cm，∵BC＝5 cm，∴AB＝5－3＝2(cm)，
但是当AB＝2 cm时，三边长分别为2 cm，2 cm，5 cm.而2＋2＜5，不能构成三角形，舍去．故腰长为8 cm.
10．B
11．解：(1)当点D、E在点A的同侧，且都在BA的延长线上时，如图①，
(第11题)
∵BE＝BC，∴∠BEC＝(180°－∠ABC)÷2，
∵AD＝AC，∴∠ADC＝(180°－∠DAC)÷2＝∠BAC÷2，∵∠DCE＝∠BEC－∠ADC，
∴∠DCE＝(180°－∠ABC)÷2－∠BAC÷2＝(180°－∠ABC－∠BAC)÷2＝∠ACB÷2＝40°÷2＝20°.
(2)当点D、E在点A的同侧，且点D在D′的位置，E在E′的位置时，如图②，
与(1)类似地也可以求得∠D′CE′＝∠ACB÷2＝20°.
(3)当点D、E在点A的两侧，且E点在E′的位置时，如图③，
∵BE′＝BC，
∴∠BE′C＝(180°－∠CBE′)÷2＝∠ABC÷2，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝(180°－∠DAC)÷2＝∠BAC÷2，
又∵∠DCE′＝180°－(∠BE′C＋∠ADC)，
∴∠DCE′＝180°－(∠ABC＋∠BAC)÷2＝180°－(180°－∠ACB)÷2＝90°＋∠ACB÷2＝90°＋40°÷2＝110°.
(4)当点D、E在点A的两侧，且点D在D′的位置时，如图④，
∵AD′＝AC，∴∠AD′C＝(180°－∠BAC)÷2，
∵BE＝BC，∴∠BEC＝(180°－∠ABC)÷2，
∴∠D′CE＝180°－(∠D′EC＋∠ED′C)＝180°－(∠BEC＋∠AD′C)
＝180°－[(180°－∠ABC)÷2＋(180°－∠BAC)÷2]
＝(∠BAC＋∠ABC)÷2＝(180°－∠ACB)÷2
＝(180°－40°)÷2＝70°.综上所述，∠DCE的度数为20°或110°或70°.
专训三
1．证明：连接AD.
∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠FAD.
在△AED和△AFD中，
∴△AED≌△AFD(SAS)．∴DE＝DF.
2．证明：过点C作CG⊥AC交AE的延长线于G，则CG∥AB，∴∠BAF＝∠G.
又∵AF⊥BD，AC⊥CG，
∴∠BAF＋∠ABD＝90°，∠CAG＋∠G＝90°.
∴∠ABD＝∠CAG.
在△ABD和△CAG中，
∴△ABD≌△CAG(ASA)．
∴AD＝CG，∠ADB＝∠G.
又∵D为AC的中点，∴AD＝CD，∴CD＝CG.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠DCE.
又∵AB∥CG，∴∠ABC＝∠GCE.∴∠DCE＝∠GCE.
又∵CE＝CE，
∴△CDE≌△CGE(SAS)．∴∠CDE＝∠G.
∴∠ADB＝∠CDE.
3．证明：∵△ABC，△PCE均为等边三角形，
∴BC＝AC，PC＝EC，∠ACB＝∠B＝∠PCE＝60°.
∴∠ACB－∠ACP＝∠PCE－∠ACP，
即∠BCP＝∠ACE.
在△CBP和△CAE中，
∴△CBP≌△CAE(SAS)．
∴∠CAE＝∠B＝60°.
∴∠CAE＝∠ACB.∴AE∥BC.
(第4题)
4．证明：如图，连接ED，FD.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
在△BDE和△CFD中，
∴△BDE≌△CFD(SAS)．
∴DE＝DF.
又∵G是EF的中点，
∴DG⊥EF.
5．证明：∵AD，BE是△ABC的高，∴∠ADB＝∠AEB＝90°，又∵∠BHD＝∠AHE，∴∠EBC＝∠EAH.
在△BCE和△AHE中，
∴△BCE≌△AHE(ASA)．∴AH＝BC.
又∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2BD.∴AH＝2BD.
6．证明：如图，延长CB至E，使BE＝BA，则∠BAE＝∠E，
∴∠ABC＝2∠E.
又∵∠ABC＝2∠C，∴∠E＝∠C，∴AE＝AC.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.
∵∠BAE＝∠E，∠E＝∠C，∴∠BAE＝∠C.
又∵∠EAD＝∠BAE＋∠BAD，∠EDA＝∠C＋∠DAC，∴∠EAD＝∠EDA.∴AE＝DE.
∴AC＝DE＝BE＋BD＝AB＋BD.
(第6题)
(第7题)
7．证明：如图，在AB上截取AE，使AE＝AC，连接PE.
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAP＝∠CAP.
在△AEP和△ACP中，
∴△AEP≌△ACP(SAS)，∴PE＝PC.
在△PBE中，BE＞PB－PE，
即AB－AC＞PB－PC.
专训四
1．A 2.A 3.(－3，－2)
4．解：如图所示．
(第4题)
5．D 6.D
(第7题)
7．解：作CF⊥AN于F(如图)，
∵∠3＝∠4，CE⊥AM，∴CF＝CE，又∵AC＝AC，
∴Rt△ACF≌Rt△ACE(HL)，∴AF＝AE.∵AE＝(AD＋AB)＝(AF－DF＋AE＋BE)＝AE＋ (BE－DF)，
∴BE－DF＝0，∴DF＝BE，又
∵CF＝CE，∠CFD＝∠CEB＝90°，
∴△DFC≌△BEC(SAS)．
∴∠5＝∠2.
∵∠1＋∠5＝180°，∴∠1＋∠2＝180°，
即∠1与∠2互补．
8．D
9．证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC.
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC.
∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD.
10．A 11.3
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