高中数学人教版新课标A必修11.3.1单调性与最大(小)值课文ppt课件
展开一、函数的最大值1.函数f(x)=-x2+1,x∈R的图象如图所示,观察其图象回答下列问题:(1)函数图象有最高点吗?提示:有.(2)其最高点的坐标是多少?提示:(0,1).(3)对任意的自变量x∈R,f(x)与f(0)什么关系?提示:f(x)≤f(0)=1.
2.填空:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对任意x∈I,都有f(x)≤M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M,那么我们就称M是函数y=f(x)的最大值.其几何意义:函数y=f(x)的最大值是图象最高点的纵坐标.
3.判断正误:(1)二次函数均有最大值. ( )(2)若对x∈R,均有f(x)二、函数的最小值1.观察函数f(x)=x2-1的图象,你能指出该函数的最小值吗?并说明理由.提示:该函数的最小值为-1.因为对任意的x,都有f(x)≥f(0)=-1.2.不等式x2>-1一定成立吗?-1是不是函数f(x)=x2的最小值?提示:不等式x2>-1一定成立.-1不是函数f(x)=x2的最小值,因为不存在实数x使x2=-1.
3.填空:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对任意x∈I,都有f(x)≥M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M,那么我们就称M是函数y=f(x)的最小值.其几何意义:函数y=f(x)的最小值是图象最低点的纵坐标.
4.判断正误:若函数有最小值,则该函数的图象一定开口向上.( )答案:×
5.做一做:(1)已知函数f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则该函数的最小值、最大值分别是( )A.f(-2),0B.0,2C.f(-2),2D.f(2),2(2)函数f(x)= 在区间[2,4]上的最大值为 ,最小值为 . 解析:(1)由题图可知,该函数的最小值为f(-2),最大值为f(1)=2.
探究一利用函数的图象求函数的最值例1 已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并写出值域.分析:去绝对值→分段函数→作图→识图→结论.
由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值.所以其值域为(-∞,2].
(1)画出f(x)的图象;(2)利用图象写出该函数的最大值和最小值.
解:(1)函数f(x)的图象如图所示.(2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值.
探究二利用函数的单调性求最值例2 已知函数f(x)=x+ .(1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性;(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值.分析:(1)证明单调性的流程:取值→作差→变形→判断符号→结论;(2)借助最值与单调性的关系,写出最值.
解:(1)设x1,x2是区间[1,2]上的任意两个实数,且x1
反思感悟 1.利用单调性求函数最值的一般步骤:(1)判断函数的单调性;(2)利用单调性写出最值.2.函数的最值与单调性的关系:(1)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).(2)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,在区间(b,c]上是减(增)函数,则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.(3)若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,则函数f(x)在区间[a,b]上一定有最值.(4)求最值时一定要注意所给区间的开闭,若是开区间,则不一定有最大(小)值.
延伸探究本例已知条件不变,判断f(x)在区间[1,3]上的单调性,并求f(x)在区间[1,3]上的最值.
当1≤x1
解:(1)当每辆车的月租金为3 600元时,
所以当x=4 050,即每辆车的租金为4 050元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益是307 050元.
反思感悟 1.本题建立的是二次函数模型,应利用配方法求函数的最值.2.解函数应用题的一般程序是:(1)审题.弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系.(2)建模.将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型.(3)求模.求解数学模型,得到数学结论.(4)还原.将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.(5)反思回顾.对于数学模型得到的数学解,必须验证这个数学解对实际问题的合理性.
变式训练2某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数:
解:(1)设月产量为x台,则总成本为20 000+100x,
∴当x=300时,f(x)max=25 000,当x>400时,f(x)=60 000-100x是减函数,f(x)<60 000-100×400<25 000.∴当x=300时,f(x)max=25 000.即每月生产300台仪器时利润最大,最大利润为25 000元.
利用数形结合思想与分类讨论思想求二次函数的最值典例 求函数y=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最值.【审题视角】可变对称轴x=a→与定区间[0,2]的 相对位置关系→结合单调性与图象求解解:y=(x-a)2-1-a2.当a<0时,[0,2]是函数的递增区间,如图①.故函数在x=0处取得最小值-1,在x=2处取得最大值3-4a.当0≤a≤1时,结合函数图象(如图②)知,函数在x=a处取得最小值-a2-1,在x=2处取得最大值3-4a.
当12时,[0,2]是函数的递减区间,如图④.
函数在x=0处取得最大值-1,在x=2处取得最小值3-4a.综上,当a<0时,函数在区间[0,2]上的最小值为-1,最大值为3-4a;当0≤a≤1时,函数在区间[0,2]上的最小值为-a2-1,最大值为3-4a;当12时,函数在区间[0,2]上的最小值为3-4a,最大值为-1.
方法点睛 1.探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y=f(x)的草图,再根据图象的增减性进行研究.特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据.二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系通常有三种:(1)对称轴在所给区间的右侧;(2)对称轴在所给区间的左侧;(3)对称轴在所给区间内.
2.对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a>0)在区间[m,n]上的最值可作如下讨论:
变式训练函数f(x)=x2-2x+2(其中x∈[t,t+1],t∈R)的最小值为g(t),求g(t)的表达式.
解:由函数f(x)=x2-2x+2知其图象的开口向上,对称轴为x=1.下面分三种情况讨论:
图①当t+1≤1,即t≤0时,如图①所示,此时函数f(x)在[t,t+1]上为减函数,∴g(t)=f(t+1)=(t+1)2-2(t+1)+2=t2+1.
如图②所示,此时,函数f(x)在[t,1]上为减函数,在(1,t+1]上为增函数,∴g(t)=f(1)=1.当t≥1时,如图③所示,此时,函数f(x)在[t,t+1]上为增函数,∴g(t)=f(t)=t2-2t+2.
2.函数y=|x+1|+2的最小值是( )A.0B.-1C.2D.3解析:y=|x+1|+2的图象如图所示.由图可知函数的最小值为2.答案:C
3.函数y=x2-2x,x∈[0,3]的值域为( )A.[0,3]B.[-1,0]C.[-1,+∞)D.[-1,3]解析:∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0,3],∴当x=1时,函数y取得最小值为-1,当x=3时,函数取得最大值为3,故函数的值域为[-1,3],故选D.答案:D
解析:当x∈[1,2]时,f(x)为增函数,其最大值为f(2)=10;当x∈[-4,1]时,f(x)为减函数,其最大值为f(-4)=11.故函数f(x)的最大值为11.答案:11
5.数学老师给出一个函数f(x),甲、乙、丙、丁四名同学各说出了这个函数的一条性质.甲:在(-∞,0]上函数单调递减;乙:在[0,+∞)上函数单调递增;丙:在定义域R上函数的图象关于直线x=1对称;丁:f(0)不是函数的最小值.老师说:你们四名同学中恰好有三个人说的正确.那么,你认为 说的是错误的. 解析:如果甲、乙两名同学回答正确,因为在[0,+∞)上函数单调递增,所以丙说“在定义域R上函数的图象关于直线x=1对称”错误,此时f(0)是函数的最小值,所以丁的回答也是错误的,与“四名同学中恰好有三个人说的正确”矛盾,所以只有乙说的错误,故答案为乙.答案:乙
高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质课文内容课件ppt: 这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质课文内容课件ppt,共18页。PPT课件主要包含了导入新课,精彩课堂,应用举例,课堂练习,课堂总结等内容,欢迎下载使用。
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