高中数学人教版新课标A必修11.3.1单调性与最大(小)值教案

单调性与最大（小）值

课前预习 · 预习案

【学习目标】

1．理解函数的单调性及其几何意义.

2．能根据图象的升降特征，划分函数的单调区间；理解增(减)函数的定义，会证明函数在指定区间上的单调性.

3．理解函数的最大值、最小值的概念.

4．会根据函数的单调性求函数的最大值和最小值.

5．掌握函数的最值在实际中的应用.

【学习重点】

1．函数的最大(小)值及其几何意义

2．利用定义函数的单调性的步骤

3．函数单调性的有关概念的理解

【学习难点】

1．利用函数的单调性求函数的最大(小)值

2．利用定义判断函数的单调性的步骤

3．函数单调性的有关概念的理解

【自主学习】

1．函数的单调性与单调区间

(1)单调性：如果函数在区间上是         ，那么说函数在这一区间具有(严格的)单调性.

(2)单调区间：指的是                 .

2．函数单调性的定义

3．函数的最大值和最小值

【预习评价】

1．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是

A.              B.

C.            D.

2．若函数，则其在上是          (填“增函数”或“减函数”).

3．已知函数，则与的大小关系为      .

4．函数，，则的最大值为

A.-1        B.0        C.3        D.-2

5．若函数在[1，2]上的最大值与最小值的差是2，则

A.2         B.-2       C.2或-2    D.0

6．函数，，则的最大值为         ；最小值为          .

知识拓展 · 探究案

【合作探究】

1．函数单调性的定义与单调区间

根据下面的图象探究下列问题.

(1)图①中任取，，当时与的大小关系如何？图②昵？

(2)图①，图②分别反映了函数的什么性质？

(3)如果在函数中有，能否得到函数为增函数？

(4)若函数在上是增函数，，则在上是什么函数？

2．函数单调性的定义与单调区间

根据函数单调性的定义，思考下列问题：

(1)在函数单调性的定义中能否将“任取，”改为“任取，”？

(2)在函数增减性的定义中，的符号与的符号之间有什么关系？

3．函数的最大(小)值

根据提示完成下面的问题，明确函数的单调性与最值的关系：

(1)若函数在区间上是单调递增的，则函数的最大值是      ；最小值是         .

(2)若函数在区间上是单调递减的，在区间上是单调递增的，则函数在区间上的最小值是         ；最大值是             .

4．函数的最大(小)值

请根据函数最大(小)值的定义探究下面的问题：

(l)定义中的应满足什么条件？

(2)该定义中若只满足第一条，是不是函数的最大(小)值？

【教师点拨】

1．对函数单调性和单调区间的三点说明

(1)任意性；“任取，”中的“任取”二字不能去掉，更不能用两个特殊值替换.

(2)确定性：，有大小之分且属于同一个单调区间，通常规定.

(3)区间表示：函数的单调区间是函数定义域的子区间，两个单调区间要用“，”或“和”连接，而不能用“”连接.

2．对函数最大值、最小值的四点说明

(1)最值中一定是一个函数值，是值域中的一个元素.

(2)最值定义中的两条缺一不可，必须同时满足时，是函数的最值.

(3)求函数的最值一般是先判断函数的单调性，然后再求最值.

(4)几何意义：如图函数图象最高点的纵坐标即为函数的最大值，函数图象的最低点的纵坐标即为函数的最小值.

【交流展示】

1．已知的图象如图所示,则的增区间是     ,减区间是    .

2．作出函数的图象,并指出函数的单调区间.

3．函数有如下性质：若常数,则函数在上是减函数,在上是增函数.已知函数(为常数),当时,若对任意,都有,则实数的取值范围是      .

4．已知函数.

(1)若的单调减区间为,求的取值范围.

(2)若在区间上为减函数,求的取值范围.

5．如图为函数，的图象，则它的最大值为         ；最小值为        .

6．求函数的最小值.

7．函数在区间()上有最大值9，最小值-7，则            ,             .

8．设函数，，为常数，求的最小值的解析式.

【学习小结】

1．求单调区间的三个注意点

注意点一：求函数的单调区间时，要先求函数的定义域；

注意点二：对于一次函数、二次函数、反比例函数的单调区间作为常识性的知识，可以直接使用；

注意点三：函数图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“”连接.

2．利用定义证明函数单调性的变形技巧和步骤

(1)变形技巧：

①因式分解：当原函数是多项式函数时，常进行因式分解.

②通分：当原函数是分式函数时，作差后通分，然后对分子进行因式分解.

③分子有理化：当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化.

(2)四个步骤：

提醒：利用定义证明函数单调性，作差变形要“彻底”，也就是说要转化为几个因式相乘的形式，且每个因式都能够利用题设条件判断其符号.

3．由单调性求参数取值范围的两种方法

(1)定义法：借助函数的定义，根据结合函数单调性的定义，建立与

的关系.

(2)图象法：借助函数图象的特征，例如二次函数的图象被对称轴一分为二，根据对称轴相对于所给的单调区间的位置求参数的取值范围.

提醒：求函数中参数的取值范围问题中，将函数单调性的大小关系转化为参数大小关系的同时注意函数的定义域.

4．求函数最值的三种方法

(1)观察法：对于简单的初等函数，如一次函数、二次函数、反比例函数，可以依据定义域求出值域，观察得出.

(2)图象法：对于图象较容易画出的函数的最值问题，可借助于图象直观求出.

(3)单调性法：对于较复杂的函数，可利用单调性的判断方法，判断出函数的单调性，然后

求最值.

提醒：利用单调性求最值时，一定要先确定函数的定义域.

5．求二次函数在指定区间上最值的方法及三点注意

(1)常用方法：利用二次函数的单调性结合对称轴与区间的位置关系.分三种情况：

①对称轴在区间左侧；②对称轴在区间内；③对称轴在区间右侧.

(2)求二次函数最值的三点注意：

①注意开口方向，即与0的关系；

②注意对称轴，的位置；

③注意所给定的区间，即对称轴与区间的关系.

【当堂检测】

1．已知函数在上是减函数,则实数的取值范围为

2．已知函数(l). (2).(3).上述函数中在 区间上为增函数的有              .

3．某市一家报刊摊点，从该市报社买进该市的晚报价格是每份0.40元，卖出价格是每份0.60元，卖不出的报纸以每份0.05元的价格退回报社.一个月按30天算，其中有18天每天可以卖出400份，12天每天只能卖出180份，摊主每天从报社买进　　　　　　份，才能使每月获得最大的利润.

4．作出函数的图象,并写出其单调区间.

答案

课前预习 · 预习案

【自主学习】

1．(1)增函数或减函数　(2)区间D

2．任意　f(x1)＜f(x2)　f(x1)＞f(x2)

3．(1)≤　(2)＝

(1)≥　(2)＝　M　M

【预习评价】

1．B

2．增函数

3．＞

4．C

5．C

6．1　

知识拓展 · 探究案

【合作探究】

1．(1)由图①可知函数y＝f(x)图象随x的增大而“上升”，即x1＜x2时，f(x1)＜f(x2).图②中函数y＝f(x)图象随x的增大而“下降”，即x1＜x2时，f(x1)＞f(x2).

(2)图①②反映了函数的单调性，其中图①对应的函数为增函数；图②对应的函数为减函数.

(3)不能，函数单调性的定义中任取x1，x2，当x1＜x2时，f(x1)＜f(x2)，则函数y＝f(x)为增函数，而1和2只是定义域上的两个特殊值，不能说明对任意的x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)，所以由f(1)＜f(2)得不到函数为增函数.

(4)增函数.

2．(1)当函数在定义域上单调时，是可以的，当函数在定义域上有增有减时不可以.

(2)当函数是增函数时，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同；当函数是减函数时，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相反.

3．(1)f(b)　f(a)

(2)f(b)　f(a)或f(c)

4．(1)M是一个函数值，即存在一个元素x0，使M＝f(x0).

(2)M不一定是最大(小)值，如函数f(x)＝－x2(x∈R)，对任意x∈R，都有f(x)≤1，但1不是函数的最大值，因为不存在x0∈R，使f(x0)＝1.

【交流展示】

1．[-1.5,3),[5,6)          [－4,－1.5),[3,5),[6,7]

2．图象如图所示,可得(－∞,－3]为递减区间,(3,＋∞)为递增区间,而f(x)在(－3,3]为常函数.

3．[12,20]

4．(1)由题意知得.

(2)由f(x)在区间(－∞,4)上为减函数,说明(－∞,4)只是函数f(x)的一个减区间.当a＝0时,f(x)＝－2x＋2在(－∞,4)上单调递减,故成立.

当a≠0时,由,得.

综上可知.

5．3　－1

6．f(x)有意义，则满足，得.

则f(x)的定义域为，

任取且x1＜x2，

则

，

所以f(x1)＜f(x2)，所以f(x)是增函数，则f(x)的最小值为.

7．－2　0

8．

【当堂检测】

1．A

2．y＝2x－1

3．180

4．

即

作出图象如图所示.由图象可知函数的单调增区间为(－∞,－1]和[0,1],单调减区间为(－1,0)和(1,＋∞).