高中数学人教版新课标A必修11.3.1单调性与最大(小)值课文课件ppt
展开如果函数y= f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y= f(x)在这一区 间上具有(严格的)⑥ 单调性 ,区间D叫做函数y= f(x)的⑦ 单调区间 .
3 | 函数的最大值与最小值
1.已知f(x)= ,因为f(-1)
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” 。
5.如果f(x)的最大值、最小值分别为M、m,则f(x)的值域为[m,M]. ( ✕ )提示:例如:f(x)=x(x∈{1,2,3,4,5}), f(x)的最大值为5,最小值为1,但值域不是[1,5].6.若函数f(x)在区间[a,b]上是增函数,则f(x)在区间[a,b]上的最小值是f(a),最大值是f(b).( √ )提示:由于f(x)在区间[a,b]上是增函数,所以f(a)≤f(x)≤f(b).故f(x)在区间[a,b]上的最 小值是f(a),最大值是f(b).
含参数的函数单调性问题的解法
含参数的函数单调性问题常见的解法:1.常见函数的单调性:一次函数的单调性取决于一次项系数,二次函数的单调性取决于二次项系数与其 图象的对称轴,反比例函数的单调性取决于定义域与分子.解题时可结合图象解决 问题.2.分段函数在定义域上单调,除了要保证在各段上单调外,还要考虑分段点处的单 调问题.另外,函数在单调区间上的图象不一定是连续不断的.
(★★★)已知函数f(x)= 是R上的增函数,则a的取值范围是 ( C )A.-3≤a<0 B.a≤-2C.-3≤a≤-2 D.a<0解析 当x≤1时, f(x)=-x2-ax-5,依题意知f(x)=-x2-ax-5在(-∞,1]上是增函数,由二次函
数在(-∞,1]上单调递增可知,函数图象的对称轴x=- 在x=1右侧或与x=1重合,于是有- ≥1,即a≤-2;当x>1时,f(x)= ,依题意知f(x)= 在(1,+∞)上是增函数,由反比例函数的单调性知a<0;当x=1时,由函数单调递增可知,-12-a-5≤a,解得a≥-3.综上所 述,a的取值范围是-3≤a≤-2.故选C.
跟踪训练1(★★☆)已知函数f(x)=x2-2ax-3在区间[1,2]上单调,求实数a的取值范围.思路点拨确定二次函数图象的对称轴 结合函数图象确定函数的单调区间 将所求出的单调区间与已知的单调区间进行比较求得参数范围.
解析 由题易得,函数图象的对称轴为x=a.由于二次函数图象(图略)开口向上,故其 增区间为[a,+∞),减区间为(-∞,a],而f(x)在区间[1,2]上单调,所以[1,2]⊆[a,+∞)或[1, 2]⊆(-∞,a],即a≤1或a≥2.
解题模板 已知函数的单调性求参数的关注点:1.视参数为已知数,依据简单函数的单调性、函数的图象或函数的单调性的定义, 确定函数的单调区间,与已知的单调区间进行比较,求得参数的范围;2.分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意分段点处函数值的大小关系.
已知函数f(x)的单调性,则由x1,x2的大小,可得f(x1), f(x2)的大小,由此解决比较大 小的问题;反过来,由f(x1), f(x2)的大小,可得x1,x2的大小,由此解决含抽象函数的不等 式问题. (★★☆)已知函数f(x)为定义在区间[-1,1]上的增函数,则满足f(x)
跟踪训练2(★★☆)已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(2a-1)
含参数二次函数的最大(小)值问题的解法
1.区间固定,图象的对称轴变动(含参数),求最大(小)值;2.图象的对称轴固定,区间变动(含参数),求最大(小)值;3.区间固定,最大(小)值也固定,图象的对称轴变动,求参数.
(★★☆)已知函数f(x)=2x2-4ax-6,若x∈[0,2],求函数的最小值.解析 f(x)=2x2-4ax-6的图象的对称轴为x=a.(1)当a≤0时,f(x)在[0,2]上为增函数,∴f(x)min=f(0)=-6;(2)当0
跟踪训练3(★★★)(1)求函数y=2x+ 的最小值;(2)已知函数f(x)=x2-2x-3,若x∈[t,t+2],求函数f(x)的最大(小)值.思路点拨(1)换元得y=2t2+t+2 确定y=2t2+t+2在定义域内的单调性 求出函数的最小值.(2)确定f(x)图象的开口方向及对称轴 分类讨论函数图象的对称轴x=1与区间[t,t+2]的关系 求出函数的最大(小)值.
解析 (1)令 =t,则t≥0,x=t2+1,∴y=2t2+t+2=2 + ,在t≥0时是增函数,∴当t=0,即x=1时,ymin=2,故函数的最小值为2.(2)由题易知,函数图象开口向上,图象的对称轴为x=1,
①当1≥t+2,即t≤-1时, f(x)在[t,t+2]上是减函数,则f(x)max=f(t)=t2-2t-3,f(x)min=f(t+2)=(t+2)2-2(t+2)-3=t2+2t-3;②当t<1
(★★★)已知ax2+x≤1对任意x∈(0,1]恒成立,求实数a的取值范围.解析 ∵x>0,∴ax2+x≤1可化为a≤ - .要使a≤ - 对任意x∈(0,1]恒成立,只需a≤ .设t= ,∵x∈(0,1],∴t≥1,∴ - =t2-t.
令f(t)=t2-t(t≥1),∵f(t)= - 在[1,+∞)上是增函数,∴f(t)min=f(1)=0,即当x=1时, - 的最小值为0,∴a≤0,∴实数a的取值范围是(-∞,0].
解题模板解决不等式恒成立的问题,常转化为含参数的函数最大(小)值问题,解题时常要分类讨论,此时要根据不等式的特点,进行变量分离,可避免分类讨论.
跟踪训练4(★★★)已知函数f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数,且f(1)=1,若f(x)≤- 2at+2对于任意的x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数t的取值范围.思路点拨将已知条件中的恒成立问题转化成f(x)max≤-2at+2恒成立,再构造新的函数y=-2at+1,利用新函数的最值,求得实数t的取值范围.
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