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2013年福建省高考数学试卷（文科）
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这是一份2013年福建省高考数学试卷（文科），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2013年福建省高考数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）复数的Z=﹣1﹣2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）设点P（x，y），则“x=2且y=﹣1”是“点P在直线l：x+y﹣1=0上”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）若集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A∩B的子集个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．16
4．（5分）双曲线x2﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（ ）
A． B． C．1 D．
5．（5分）函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值和最小值分别为（ ）
A．4和3 B．4和2 C．3和2 D．2和0
7．（5分）若2x+2y=1，则x+y的取值范围是（ ）
A．[0，2] B．[﹣2，0] C．[﹣2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]
8．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n后，输出的S∈（10，20），那么n的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（5分）将函数f（x）=sin（2x+θ）（）的图象向右平移φ（φ＞1）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（），则φ的值可以是（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的面积为（ ）
A． B． C．5 D．10
11．（5分）已知x与y之间的几组数据如表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为=x+，若某同学根据上表中的前两组数据（1，0）和（2，2）求得的直线方程为y=b′x+a′，则以下结论正确的是（ ）
A．＞b′，＞a′ B．＞b′，＜a′ C．＜b′，＞a′ D．＜b′，＜a′
12．（5分）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A．∀x∈R，f（x）≤f（x0） B．﹣x0是f（﹣x）的极小值点
C．﹣x0是﹣f（x）的极小值点 D．﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分.
13．（4分）已知函数f（x）=，则f（f（））= ．
14．（4分）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为 ．
15．（4分）椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于 ．
16．（4分）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：
（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下3对集合：
①A=N，B=N*；
②A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|﹣8≤x≤10}；
③A={x|0＜x＜1}，B=R．
其中，“保序同构”的集合对的序号是 ．（写出“保序同构”的集合对的序号）．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知等差数列{an}的公差d=1，前n项和为Sn．
（Ⅰ）若1，a1，a3成等比数列，求a1；
（Ⅱ）若S5＞a1a9，求a1的取值范围．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC=5，DC=3，AD=4，∠PAD=60°．
（Ⅰ）当正视方向与向量的方向相同时，画出四棱锥P﹣ABCD的正视图（要求标出尺寸，并写出演算过程）；
（Ⅱ）若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC；
（Ⅲ）求三棱锥D﹣PBC的体积．
19．（12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
P（x2≥k）
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
（Ⅰ）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；
（Ⅱ）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：（注：此公式也可以写成k2=）
20．（12分）如图，抛物线E：y2=4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A．点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N．
（Ⅰ）若点C的纵坐标为2，求|MN|；
（Ⅱ）若|AF|2=|AM|•|AN|，求圆C的半径．
21．（12分）如图，在等腰直角△OPQ中，∠POQ=90°，OP=2，点M在线段PQ上，
（Ⅰ）若OM=，求PM的长；
（Ⅱ）若点N在线段MQ上，且∠MON=30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．
22．（14分）已知函数f（x）=x﹣1+（a∈R，e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值；
（Ⅲ）当a=1的值时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．
2013年福建省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）复数的Z=﹣1﹣2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】由Z=﹣1﹣2i，写出对应点的坐标，即可判断在复平面内对应的点所在的象限．
【解答】解：Z=﹣1﹣2i在复平面内对应的点（﹣1，﹣2）位于第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查复复数的几何意义，复数与复平面内的点的对应关系．
2．（5分）设点P（x，y），则“x=2且y=﹣1”是“点P在直线l：x+y﹣1=0上”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】当x=2且y=﹣1”可以得到“点P在直线l：x+y﹣1=0上”，当点P在直线l：x+y﹣1=0上时，不一定得到x=2且y=﹣1，得到x=2且y=﹣1”是“点P在直线l：x+y﹣1=0上”的充分不必要条件．
【解答】解：∵x=2且y=﹣1”可以得到“点P在直线l：x+y﹣1=0上”，
当“点P在直线l：x+y﹣1=0上”时，不一定得到x=2且y=﹣1，
∴“x=2且y=﹣1”是“点P在直线l：x+y﹣1=0上”的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查条件问题，本题解题的关键是看出点P在直线l：x+y﹣1=0上时，不能确定这个点的坐标的大小，本题是一个基础题．
3．（5分）若集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A∩B的子集个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．16
【分析】找出A与B的公共元素求出交集，找出交集的子集个数即可．
【解答】解：∵A={1，2，3}，B={1，3，4}，
∴A∩B={1，3}，
则A∩B的子集个数为22=4．
故选：C．
【点评】此题考查了交集及其运算，以及子集，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
4．（5分）双曲线x2﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】求出双曲线的渐近线方程，顶点坐标，利用点到直线的距离求解即可．
【解答】解：双曲线x2﹣y2=1的顶点坐标（1，0），其渐近线方程为y=±x，
所以所求的距离为=．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
5．（5分）函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【分析】∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，
在令x取特殊值，选出答案．
【解答】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，
∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，
综上只有A符合．
故选：A．
【点评】对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．
6．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值和最小值分别为（ ）
A．4和3 B．4和2 C．3和2 D．2和0
【分析】先根据条件画出可行域，设z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线，过可行域内的点N（1，0）时的最小值，过点M（2，0）时，2x+y最大，从而得到选项．
【解答】解：满足约束条件的可行域如下图所示
在坐标系中画出可行域
平移直线2x+y=0，经过点N（1，0）时，2x+y最小，最小值为：2，
则目标函数z=2x+y的最小值为2．
经过点M（2，0）时，2x+y最大，最大值为：4，
则目标函数z=2x+y的最大值为：4．
故选：B．
【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．
7．（5分）若2x+2y=1，则x+y的取值范围是（ ）
A．[0，2] B．[﹣2，0] C．[﹣2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]
【分析】根据指数式的运算性质结合基本不等式可把条件转化为关于x+y的不等关系式，进而可求出x+y的取值范围．
【解答】解：∵1=2x+2y≥2•（2x2y），
变形为2x+y≤，即x+y≤﹣2，当且仅当x=y时取等号．
则x+y的取值范围是（﹣∞，﹣2]．
故选：D．
【点评】利用基本不等式，构造关于某个变量的不等式，解此不等式便可求出该变量的取值范围，再验证等号是否成立，便可确定该变量的最值，这是解决最值问题或范围问题的常用方法，应熟练掌握．
8．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n后，输出的S∈（10，20），那么n的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】框图在输入n的值后，根据对S和k的赋值执行运算，S=1+2S，k=k+1，然后判断k是否大于n，不满足继续执行循环，满足跳出循环，由题意，说明当算出的值S∈（10，20）后进行判断时判断框中的条件满足，即可求出此时的n值．
【解答】解：框图首先给累加变量S赋值0，给循环变量k赋值1，
输入n的值后，执行S=1+2×0=1，k=1+1=2；
判断2＞n不成立，执行S=1+2×1=3，k=2+1=3；
判断3＞n不成立，执行S=1+2×3=7，k=3+1=4；
判断4＞n不成立，执行S=1+2×7=15，k=4+1=5．
此时S=15∈（10，20），是输出的值，说明下一步执行判断时判断框中的条件应该满足，
即5＞n满足，所以正整数n的值应为4．
故选：B．
【点评】本题考查了程序框图中的循环结构，是直到型循环，即先执行后判断，不满足条件继续执行循环，直到条件满足跳出循环，算法结束，是基础题．
9．（5分）将函数f（x）=sin（2x+θ）（）的图象向右平移φ（φ＞1）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（），则φ的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【分析】求出平移后的函数解析式，利用两个函数都经过P（0，），解出θ，然后求出φ即可．
【解答】解：函数向右平移φ个单位，得到g（x）=sin（2x+θ﹣2φ），
因为两个函数都经过P（0，），所以，，
所以g（x）=sin（2x+﹣2φ），sin（﹣2φ）=，φ＞1，所以﹣2φ=2kπ+，φ=﹣kπ，与选项不符舍去，
﹣2φ=2kπ+，k∈Z，当k=﹣1时，φ=．
故选：B．
【点评】本题考查函数图象的平移，函数值的求法，考查分析问题解决问题的能力与计算能力．
10．（5分）在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的面积为（ ）
A． B． C．5 D．10
【分析】通过向量的数量积判断四边形的形状，然后求解四边形的面积即可．
【解答】解：因为在四边形ABCD中，，，=0，
所以四边形ABCD的对角线互相垂直，又，
，
该四边形的面积：==5．
故选：C．
【点评】本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积判断四边形的形状是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．
11．（5分）已知x与y之间的几组数据如表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为=x+，若某同学根据上表中的前两组数据（1，0）和（2，2）求得的直线方程为y=b′x+a′，则以下结论正确的是（ ）
A．＞b′，＞a′ B．＞b′，＜a′ C．＜b′，＞a′ D．＜b′，＜a′
【分析】由表格总的数据可得n，，，进而可得，和，代入可得，进而可得，再由直线方程的求法可得b′和a′，比较可得答案．
【解答】解：由题意可知n=6，===，==，
故=91﹣6×=22，=58﹣6××=，
故可得==，==﹣×=，
而由直线方程的求解可得b′==2，把（1，0）代入可得a′=﹣2，
比较可得＜b′，＞a′，
故选：C．
【点评】本题考查线性回归方程的求解，涉及由两点求直线方程，属中档题．
12．（5分）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A．∀x∈R，f（x）≤f（x0） B．﹣x0是f（﹣x）的极小值点
C．﹣x0是﹣f（x）的极小值点 D．﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点
【分析】A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，故不正确；
B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点；
C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点；
D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点．
【解答】解：对于A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整个定义域上值最大，故A错误；
对于B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点，故B错误；
对于C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点，故C错误；
对于D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查函数的极值，考查函数图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分.
13．（4分）已知函数f（x）=，则f（f（））= ﹣2 ．
【分析】利用分段函数求出f（）的值，然后求解即可．
【解答】解：因为，
所以f（）==﹣1，
所以=f（﹣1）=2（﹣1）3=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查函数值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．
14．（4分）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为 ．
【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（0，1）上产生随机数a所对应图形的长度，及事件“3a﹣1＞0”对应的图形的长度，并将其代入几何概型计算公式，进行求解．
【解答】解：3a﹣1＞0即a＞，
则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为P==．
故答案为：．
【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．
15．（4分）椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于 ．
【分析】由直线可知斜率为，可得直线的倾斜角α=60°．又直线与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，可得，进而．
设|MF2|=m，|MF1|=n，利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得，解出a，c即可．
【解答】解：如图所示，
由直线可知倾斜角α与斜率有关系=tanα，∴α=60°．
又椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1，∴，∴．
设|MF2|=m，|MF1|=n，则，解得．
∴该椭圆的离心率e=．
故答案为．
【点评】本题综合考查了直线的斜率与倾斜角的关系、勾股定理、含30°角的直角三角形的边角关系、椭圆的定义、离心率等基础知识，考查了推理能力和计算能力即数形结合的思想方法．
16．（4分）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：
（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下3对集合：
①A=N，B=N*；
②A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|﹣8≤x≤10}；
③A={x|0＜x＜1}，B=R．
其中，“保序同构”的集合对的序号是 ①②③ ．（写出“保序同构”的集合对的序号）．
【分析】本题考查的是函数的性质，由题意可知S为函数的一个定义域，T为其所对应的值域，且函数y=f（x）为单调增函数，
对题目给出的三个命题中的集合对逐一分析看是否能找到这样的函数y=f（x）即可．
【解答】解：对于命题①中的两个集合，可取函数f（x）=x+1，x∈N，满足：（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），故A是“保序同构”；
对于命题②中的两个集合，可取函数 （﹣1≤x≤3），是“保序同构”；
对于命题③中的两个集合，可取函数f（x）= （0＜x＜1），是“保序同构”．
故答案为①②③．
【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了子集与交集、并集运算的转换，考查了函数值域的求法，解答此题的关键是明白新定义“保序同构”指的是什么意思，是基础题．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知等差数列{an}的公差d=1，前n项和为Sn．
（Ⅰ）若1，a1，a3成等比数列，求a1；
（Ⅱ）若S5＞a1a9，求a1的取值范围．
【分析】（I）利用等差数列{an}的公差d=1，且1，a1，a3成等比数列，建立方程，即可求a1；
（II）利用等差数列{an}的公差d=1，且S5＞a1a9，建立不等式，即可求a1的取值范围．
【解答】解：（I）∵等差数列{an}的公差d=1，且1，a1，a3成等比数列，
∴
∴
∴a1=﹣1或a1=2；
（II）∵等差数列{an}的公差d=1，且S5＞a1a9，
∴
∴
∴﹣5＜a1＜2．
【点评】本题主要考查等差数列、等比数列、不等式等基础知识，考查运算能力，考查函数与方程思想，考查化归与转化思想，属于中档题．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC=5，DC=3，AD=4，∠PAD=60°．
（Ⅰ）当正视方向与向量的方向相同时，画出四棱锥P﹣ABCD的正视图（要求标出尺寸，并写出演算过程）；
（Ⅱ）若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC；
（Ⅲ）求三棱锥D﹣PBC的体积．
【分析】（Ⅰ）在梯形ABCD中，作CE⊥AB，E为垂足，则四边形ADCE为矩形，可得AE=CD=3．由勾股定理求得BE=3，可得AB=6．由直角三角形中的边角关系求得PD=AD•tan60°的值，从而得到四棱锥P﹣ABCD的正视图．
（Ⅱ）取PB得中点为N，证明MNCD为平行四边形，故DM∥CN．再由直线和平面平行的判定定理证得故DM∥
平面PBC．
（Ⅲ）根据三棱锥D﹣PBC的体积VD﹣PBC=VP﹣BCD=S△BCD•PD=（S梯形ABCD﹣S△ABD）•PD，运算求得结果．
【解答】解：（Ⅰ）在梯形ABCD中，作CE⊥AB，E为垂足，
则四边形ADCE为矩形，∴AE=CD=3．
直角三角形BCE中，∵BC=5，CE=AD=4，
由勾股定理求得BE=3，∴AB=6．
在直角三角形PAD中，∵∠PAD=60°，AD=4，
∴PD=AD•tan60°=4，
四棱锥P﹣ABCD的正视图如图所示：
（Ⅱ）∵M为PA的中点，取PB得中点为N，则MN平行且等于AB，
再由（Ⅰ）可得CD平行且等于AB，可得MN和CD平行且相等，
故MNCD为平行四边形，故DM∥CN．
由于DM 不在平面PBC内，而CN在平面PBC内，故DM∥平面PBC．
（Ⅲ）三棱锥D﹣PBC的体积VD﹣PBC=VP﹣BCD=S△BCD•PD
=（S梯形ABCD﹣S△ABD）•PD
=[﹣]×4=8．
【点评】本题主要考查简单空间图形的三视图，直线和平面平行的判定定理，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．
19．（12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
P（x2≥k）
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
（Ⅰ）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；
（Ⅱ）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：（注：此公式也可以写成k2=）
【分析】（I）由分层抽样的特点可得样本中有25周岁以上、下组工人人数，再由所对应的频率可得样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上、下组工人的人数分别为3，2，由古典概型的概率公式可得答案；（II）由频率分布直方图可得“25周岁以上组”中的生产能手的人数，以及“25周岁以下组”中的生产能手的人数，据此可得2×2列联表，可得k2≈1.79，由1.79＜2.706，可得结论．
【解答】解：（I）由已知可得，样本中有25周岁以上组工人100×=60名，
25周岁以下组工人100×=40名，
所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05=3（人），
25周岁以下组工人有40×0.05=2（人），
故从中随机抽取2名工人所有可能的结果共=10种，
其中至少1名“25周岁以下组”工人的结果共+=7种，
故所求的概率为：；
（II）由频率分布直方图可知：在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25=15（人），
“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375=15（人），据此可得2×2列联表如下：
生产能手
非生产能手
合计
25周岁以上组
15
45
60
25周岁以下组
15
25
40
合计
30
70
100
所以可得==≈1.79，
因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．
【点评】本题考查独立性检验，涉及频率分布直方图，以及古典概型的概率公式，属中档题．
20．（12分）如图，抛物线E：y2=4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A．点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N．
（Ⅰ）若点C的纵坐标为2，求|MN|；
（Ⅱ）若|AF|2=|AM|•|AN|，求圆C的半径．
【分析】（I）由抛物线的方程表示出焦点F的坐标及准线方程，求出C到准线的距离，再利用圆中弦长公式即可求出|MN|的长；
（II）设C（，y0），表示出圆C的方程方程，与抛物线解析式联立组成方程组，设M（﹣1，y1），N（﹣1，y2），利用韦达定理表示出y1y2，利用|AF|2=|AM|•|AN|，得|y1y2|=4，解得C的纵坐标，从而得到圆心C坐标，由两点间的距离公式求出|OC|的长，即为圆的半径．
【解答】解：（I）抛物线E：y2=4x的准线l：x=﹣1，
由点C的纵坐标为2，得C（1，2），故C到准线的距离d=2，又|OC|=，
∴|MN|=2==2．
（II）设C（，y0），则圆C的方程为（x﹣）2+（y﹣y0）2=，
即x2﹣+y2﹣2y0y=0，由x=﹣1得y2﹣2y0y+1+=0，
设M（﹣1，y1），N（﹣1，y2），则
，
由|AF|2=|AM|•|AN|，得|y1y2|=4，
∴1+=4，解得y0=，此时△＞0
∴圆心C的坐标为（，），|OC|2=，
从而|OC|=．
即圆C的半径为．
【点评】此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：抛物线的简单性质，韦达定理．其中根据题意确定出圆心与半径是解本题的关键．
21．（12分）如图，在等腰直角△OPQ中，∠POQ=90°，OP=2，点M在线段PQ上，
（Ⅰ）若OM=，求PM的长；
（Ⅱ）若点N在线段MQ上，且∠MON=30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．
【分析】（Ⅰ）在△OMP中，利用∠OPM=45°，OM=，OP=2，通过余弦定理，求PM的长；
（Ⅱ）利用正弦定理求出ON、OM，表示出△OMN的面积，利用两角和与差的三角函数化简函数我一个角的一个三角函数的形式，通过角α的范围，得到相位的范围，然后利用正弦函数的值域求解三角形面积的最小值，求出面积的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）在△OMP中，∠OPM=45°，OM=，OP=2，
由余弦定理可得，OM2=OP2+MP2﹣2×OP•MPcos45°，
解得PM的长为1或3；
（Ⅱ）设∠POM=α，0°≤α≤60°，在△OMP中，由正弦定理可得：，
OM=，
同理，ON==，
故
=
=
=
=
=
=
因为0°≤α≤60°，所以30°≤2α+30°≤150°，
所以当α=30°时，sin（2α+30°）的最大值为1，
此时，△OMN的面积最小，面积的最小值．
【点评】本题考查正弦定理与余弦定理在三角形中的应用，两角和与差的三角函数的应用，三角形的最值的求法，考查计算能力与转化思想的应用．
22．（14分）已知函数f（x）=x﹣1+（a∈R，e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值；
（Ⅲ）当a=1的值时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．
【分析】（Ⅰ）依题意，f′（1）=0，从而可求得a的值；
（Ⅱ）f′（x）=1﹣，分①a≤0时②a＞0讨论，可知f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，从而可求其极值；
（Ⅲ）令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+，则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点⇔方程g（x）=0在R上没有实数解，分k＞1与k≤1讨论即可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=x﹣1+，得f′（x）=1﹣，
又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，
∴f′（1）=0，即1﹣=0，解得a=e．
（Ⅱ）f′（x）=1﹣，
①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，所以f（x）无极值；
②当a＞0时，令f′（x）=0，得ex=a，x=lna，
x∈（﹣∞，lna），f′（x）＜0；x∈（lna，+∞），f′（x）＞0；
∴f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
故f（x）在x=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值．
综上，当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）在x=lna处取到极小值lna，无极大值．
（Ⅲ）当a=1时，f（x）=x﹣1+，令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+，
则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，
等价于方程g（x）=0在R上没有实数解．
假设k＞1，此时g（0）=1＞0，g（）=﹣1+＜0，
又函数g（x）的图象连续不断，由零点存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解，
与“方程g（x）=0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1．
又k=1时，g（x）=＞0，知方程g（x）=0在R上没有实数解，
所以k的最大值为1．
【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数研究曲线上某点切线方程，突出分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，属于中档题．
2013年福建省高考数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）复数的Z=﹣1﹣2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）设点P（x，y），则“x=2且y=﹣1”是“点P在直线l：x+y﹣1=0上”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）若集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A∩B的子集个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．16
4．（5分）双曲线x2﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（ ）
A． B． C．1 D．
5．（5分）函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值和最小值分别为（ ）
A．4和3 B．4和2 C．3和2 D．2和0
7．（5分）若2x+2y=1，则x+y的取值范围是（ ）
A．[0，2] B．[﹣2，0] C．[﹣2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]
8．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n后，输出的S∈（10，20），那么n的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（5分）将函数f（x）=sin（2x+θ）（）的图象向右平移φ（φ＞1）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（），则φ的值可以是（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的面积为（ ）
A． B． C．5 D．10
11．（5分）已知x与y之间的几组数据如表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为=x+，若某同学根据上表中的前两组数据（1，0）和（2，2）求得的直线方程为y=b′x+a′，则以下结论正确的是（ ）
A．＞b′，＞a′ B．＞b′，＜a′ C．＜b′，＞a′ D．＜b′，＜a′
12．（5分）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A．∀x∈R，f（x）≤f（x0） B．﹣x0是f（﹣x）的极小值点
C．﹣x0是﹣f（x）的极小值点 D．﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分.
13．（4分）已知函数f（x）=，则f（f（））= ．
14．（4分）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为 ．
15．（4分）椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于 ．
16．（4分）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：
（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下3对集合：
①A=N，B=N*；
②A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|﹣8≤x≤10}；
③A={x|0＜x＜1}，B=R．
其中，“保序同构”的集合对的序号是 ．（写出“保序同构”的集合对的序号）．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知等差数列{an}的公差d=1，前n项和为Sn．
（Ⅰ）若1，a1，a3成等比数列，求a1；
（Ⅱ）若S5＞a1a9，求a1的取值范围．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC=5，DC=3，AD=4，∠PAD=60°．
（Ⅰ）当正视方向与向量的方向相同时，画出四棱锥P﹣ABCD的正视图（要求标出尺寸，并写出演算过程）；
（Ⅱ）若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC；
（Ⅲ）求三棱锥D﹣PBC的体积．
19．（12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
P（x2≥k）
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
（Ⅰ）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；
（Ⅱ）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：（注：此公式也可以写成k2=）
20．（12分）如图，抛物线E：y2=4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A．点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N．
（Ⅰ）若点C的纵坐标为2，求|MN|；
（Ⅱ）若|AF|2=|AM|•|AN|，求圆C的半径．
21．（12分）如图，在等腰直角△OPQ中，∠POQ=90°，OP=2，点M在线段PQ上，
（Ⅰ）若OM=，求PM的长；
（Ⅱ）若点N在线段MQ上，且∠MON=30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．
22．（14分）已知函数f（x）=x﹣1+（a∈R，e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值；
（Ⅲ）当a=1的值时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．
2013年福建省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）复数的Z=﹣1﹣2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】由Z=﹣1﹣2i，写出对应点的坐标，即可判断在复平面内对应的点所在的象限．
【解答】解：Z=﹣1﹣2i在复平面内对应的点（﹣1，﹣2）位于第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查复复数的几何意义，复数与复平面内的点的对应关系．
2．（5分）设点P（x，y），则“x=2且y=﹣1”是“点P在直线l：x+y﹣1=0上”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】当x=2且y=﹣1”可以得到“点P在直线l：x+y﹣1=0上”，当点P在直线l：x+y﹣1=0上时，不一定得到x=2且y=﹣1，得到x=2且y=﹣1”是“点P在直线l：x+y﹣1=0上”的充分不必要条件．
【解答】解：∵x=2且y=﹣1”可以得到“点P在直线l：x+y﹣1=0上”，
当“点P在直线l：x+y﹣1=0上”时，不一定得到x=2且y=﹣1，
∴“x=2且y=﹣1”是“点P在直线l：x+y﹣1=0上”的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查条件问题，本题解题的关键是看出点P在直线l：x+y﹣1=0上时，不能确定这个点的坐标的大小，本题是一个基础题．
3．（5分）若集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A∩B的子集个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．16
【分析】找出A与B的公共元素求出交集，找出交集的子集个数即可．
【解答】解：∵A={1，2，3}，B={1，3，4}，
∴A∩B={1，3}，
则A∩B的子集个数为22=4．
故选：C．
【点评】此题考查了交集及其运算，以及子集，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
4．（5分）双曲线x2﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】求出双曲线的渐近线方程，顶点坐标，利用点到直线的距离求解即可．
【解答】解：双曲线x2﹣y2=1的顶点坐标（1，0），其渐近线方程为y=±x，
所以所求的距离为=．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
5．（5分）函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【分析】∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，
在令x取特殊值，选出答案．
【解答】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，
∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，
综上只有A符合．
故选：A．
【点评】对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．
6．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值和最小值分别为（ ）
A．4和3 B．4和2 C．3和2 D．2和0
【分析】先根据条件画出可行域，设z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线，过可行域内的点N（1，0）时的最小值，过点M（2，0）时，2x+y最大，从而得到选项．
【解答】解：满足约束条件的可行域如下图所示
在坐标系中画出可行域
平移直线2x+y=0，经过点N（1，0）时，2x+y最小，最小值为：2，
则目标函数z=2x+y的最小值为2．
经过点M（2，0）时，2x+y最大，最大值为：4，
则目标函数z=2x+y的最大值为：4．
故选：B．
【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．
7．（5分）若2x+2y=1，则x+y的取值范围是（ ）
A．[0，2] B．[﹣2，0] C．[﹣2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]
【分析】根据指数式的运算性质结合基本不等式可把条件转化为关于x+y的不等关系式，进而可求出x+y的取值范围．
【解答】解：∵1=2x+2y≥2•（2x2y），
变形为2x+y≤，即x+y≤﹣2，当且仅当x=y时取等号．
则x+y的取值范围是（﹣∞，﹣2]．
故选：D．
【点评】利用基本不等式，构造关于某个变量的不等式，解此不等式便可求出该变量的取值范围，再验证等号是否成立，便可确定该变量的最值，这是解决最值问题或范围问题的常用方法，应熟练掌握．
8．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n后，输出的S∈（10，20），那么n的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】框图在输入n的值后，根据对S和k的赋值执行运算，S=1+2S，k=k+1，然后判断k是否大于n，不满足继续执行循环，满足跳出循环，由题意，说明当算出的值S∈（10，20）后进行判断时判断框中的条件满足，即可求出此时的n值．
【解答】解：框图首先给累加变量S赋值0，给循环变量k赋值1，
输入n的值后，执行S=1+2×0=1，k=1+1=2；
判断2＞n不成立，执行S=1+2×1=3，k=2+1=3；
判断3＞n不成立，执行S=1+2×3=7，k=3+1=4；
判断4＞n不成立，执行S=1+2×7=15，k=4+1=5．
此时S=15∈（10，20），是输出的值，说明下一步执行判断时判断框中的条件应该满足，
即5＞n满足，所以正整数n的值应为4．
故选：B．
【点评】本题考查了程序框图中的循环结构，是直到型循环，即先执行后判断，不满足条件继续执行循环，直到条件满足跳出循环，算法结束，是基础题．
9．（5分）将函数f（x）=sin（2x+θ）（）的图象向右平移φ（φ＞1）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（），则φ的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【分析】求出平移后的函数解析式，利用两个函数都经过P（0，），解出θ，然后求出φ即可．
【解答】解：函数向右平移φ个单位，得到g（x）=sin（2x+θ﹣2φ），
因为两个函数都经过P（0，），所以，，
所以g（x）=sin（2x+﹣2φ），sin（﹣2φ）=，φ＞1，所以﹣2φ=2kπ+，φ=﹣kπ，与选项不符舍去，
﹣2φ=2kπ+，k∈Z，当k=﹣1时，φ=．
故选：B．
【点评】本题考查函数图象的平移，函数值的求法，考查分析问题解决问题的能力与计算能力．
10．（5分）在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的面积为（ ）
A． B． C．5 D．10
【分析】通过向量的数量积判断四边形的形状，然后求解四边形的面积即可．
【解答】解：因为在四边形ABCD中，，，=0，
所以四边形ABCD的对角线互相垂直，又，
，
该四边形的面积：==5．
故选：C．
【点评】本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积判断四边形的形状是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．
11．（5分）已知x与y之间的几组数据如表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为=x+，若某同学根据上表中的前两组数据（1，0）和（2，2）求得的直线方程为y=b′x+a′，则以下结论正确的是（ ）
A．＞b′，＞a′ B．＞b′，＜a′ C．＜b′，＞a′ D．＜b′，＜a′
【分析】由表格总的数据可得n，，，进而可得，和，代入可得，进而可得，再由直线方程的求法可得b′和a′，比较可得答案．
【解答】解：由题意可知n=6，===，==，
故=91﹣6×=22，=58﹣6××=，
故可得==，==﹣×=，
而由直线方程的求解可得b′==2，把（1，0）代入可得a′=﹣2，
比较可得＜b′，＞a′，
故选：C．
【点评】本题考查线性回归方程的求解，涉及由两点求直线方程，属中档题．
12．（5分）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A．∀x∈R，f（x）≤f（x0） B．﹣x0是f（﹣x）的极小值点
C．﹣x0是﹣f（x）的极小值点 D．﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点
【分析】A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，故不正确；
B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点；
C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点；
D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点．
【解答】解：对于A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整个定义域上值最大，故A错误；
对于B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点，故B错误；
对于C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点，故C错误；
对于D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查函数的极值，考查函数图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分.
13．（4分）已知函数f（x）=，则f（f（））= ﹣2 ．
【分析】利用分段函数求出f（）的值，然后求解即可．
【解答】解：因为，
所以f（）==﹣1，
所以=f（﹣1）=2（﹣1）3=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查函数值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．
14．（4分）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为 ．
【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（0，1）上产生随机数a所对应图形的长度，及事件“3a﹣1＞0”对应的图形的长度，并将其代入几何概型计算公式，进行求解．
【解答】解：3a﹣1＞0即a＞，
则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为P==．
故答案为：．
【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．
15．（4分）椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于 ．
【分析】由直线可知斜率为，可得直线的倾斜角α=60°．又直线与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，可得，进而．
设|MF2|=m，|MF1|=n，利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得，解出a，c即可．
【解答】解：如图所示，
由直线可知倾斜角α与斜率有关系=tanα，∴α=60°．
又椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1，∴，∴．
设|MF2|=m，|MF1|=n，则，解得．
∴该椭圆的离心率e=．
故答案为．
【点评】本题综合考查了直线的斜率与倾斜角的关系、勾股定理、含30°角的直角三角形的边角关系、椭圆的定义、离心率等基础知识，考查了推理能力和计算能力即数形结合的思想方法．
16．（4分）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：
（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下3对集合：
①A=N，B=N*；
②A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|﹣8≤x≤10}；
③A={x|0＜x＜1}，B=R．
其中，“保序同构”的集合对的序号是 ①②③ ．（写出“保序同构”的集合对的序号）．
【分析】本题考查的是函数的性质，由题意可知S为函数的一个定义域，T为其所对应的值域，且函数y=f（x）为单调增函数，
对题目给出的三个命题中的集合对逐一分析看是否能找到这样的函数y=f（x）即可．
【解答】解：对于命题①中的两个集合，可取函数f（x）=x+1，x∈N，满足：（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），故A是“保序同构”；
对于命题②中的两个集合，可取函数 （﹣1≤x≤3），是“保序同构”；
对于命题③中的两个集合，可取函数f（x）= （0＜x＜1），是“保序同构”．
故答案为①②③．
【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了子集与交集、并集运算的转换，考查了函数值域的求法，解答此题的关键是明白新定义“保序同构”指的是什么意思，是基础题．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知等差数列{an}的公差d=1，前n项和为Sn．
（Ⅰ）若1，a1，a3成等比数列，求a1；
（Ⅱ）若S5＞a1a9，求a1的取值范围．
【分析】（I）利用等差数列{an}的公差d=1，且1，a1，a3成等比数列，建立方程，即可求a1；
（II）利用等差数列{an}的公差d=1，且S5＞a1a9，建立不等式，即可求a1的取值范围．
【解答】解：（I）∵等差数列{an}的公差d=1，且1，a1，a3成等比数列，
∴
∴
∴a1=﹣1或a1=2；
（II）∵等差数列{an}的公差d=1，且S5＞a1a9，
∴
∴
∴﹣5＜a1＜2．
【点评】本题主要考查等差数列、等比数列、不等式等基础知识，考查运算能力，考查函数与方程思想，考查化归与转化思想，属于中档题．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC=5，DC=3，AD=4，∠PAD=60°．
（Ⅰ）当正视方向与向量的方向相同时，画出四棱锥P﹣ABCD的正视图（要求标出尺寸，并写出演算过程）；
（Ⅱ）若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC；
（Ⅲ）求三棱锥D﹣PBC的体积．
【分析】（Ⅰ）在梯形ABCD中，作CE⊥AB，E为垂足，则四边形ADCE为矩形，可得AE=CD=3．由勾股定理求得BE=3，可得AB=6．由直角三角形中的边角关系求得PD=AD•tan60°的值，从而得到四棱锥P﹣ABCD的正视图．
（Ⅱ）取PB得中点为N，证明MNCD为平行四边形，故DM∥CN．再由直线和平面平行的判定定理证得故DM∥
平面PBC．
（Ⅲ）根据三棱锥D﹣PBC的体积VD﹣PBC=VP﹣BCD=S△BCD•PD=（S梯形ABCD﹣S△ABD）•PD，运算求得结果．
【解答】解：（Ⅰ）在梯形ABCD中，作CE⊥AB，E为垂足，
则四边形ADCE为矩形，∴AE=CD=3．
直角三角形BCE中，∵BC=5，CE=AD=4，
由勾股定理求得BE=3，∴AB=6．
在直角三角形PAD中，∵∠PAD=60°，AD=4，
∴PD=AD•tan60°=4，
四棱锥P﹣ABCD的正视图如图所示：
（Ⅱ）∵M为PA的中点，取PB得中点为N，则MN平行且等于AB，
再由（Ⅰ）可得CD平行且等于AB，可得MN和CD平行且相等，
故MNCD为平行四边形，故DM∥CN．
由于DM 不在平面PBC内，而CN在平面PBC内，故DM∥平面PBC．
（Ⅲ）三棱锥D﹣PBC的体积VD﹣PBC=VP﹣BCD=S△BCD•PD
=（S梯形ABCD﹣S△ABD）•PD
=[﹣]×4=8．
【点评】本题主要考查简单空间图形的三视图，直线和平面平行的判定定理，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．
19．（12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
P（x2≥k）
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
（Ⅰ）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；
（Ⅱ）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：（注：此公式也可以写成k2=）
【分析】（I）由分层抽样的特点可得样本中有25周岁以上、下组工人人数，再由所对应的频率可得样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上、下组工人的人数分别为3，2，由古典概型的概率公式可得答案；（II）由频率分布直方图可得“25周岁以上组”中的生产能手的人数，以及“25周岁以下组”中的生产能手的人数，据此可得2×2列联表，可得k2≈1.79，由1.79＜2.706，可得结论．
【解答】解：（I）由已知可得，样本中有25周岁以上组工人100×=60名，
25周岁以下组工人100×=40名，
所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05=3（人），
25周岁以下组工人有40×0.05=2（人），
故从中随机抽取2名工人所有可能的结果共=10种，
其中至少1名“25周岁以下组”工人的结果共+=7种，
故所求的概率为：；
（II）由频率分布直方图可知：在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25=15（人），
“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375=15（人），据此可得2×2列联表如下：
生产能手
非生产能手
合计
25周岁以上组
15
45
60
25周岁以下组
15
25
40
合计
30
70
100
所以可得==≈1.79，
因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．
【点评】本题考查独立性检验，涉及频率分布直方图，以及古典概型的概率公式，属中档题．
20．（12分）如图，抛物线E：y2=4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A．点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N．
（Ⅰ）若点C的纵坐标为2，求|MN|；
（Ⅱ）若|AF|2=|AM|•|AN|，求圆C的半径．
【分析】（I）由抛物线的方程表示出焦点F的坐标及准线方程，求出C到准线的距离，再利用圆中弦长公式即可求出|MN|的长；
（II）设C（，y0），表示出圆C的方程方程，与抛物线解析式联立组成方程组，设M（﹣1，y1），N（﹣1，y2），利用韦达定理表示出y1y2，利用|AF|2=|AM|•|AN|，得|y1y2|=4，解得C的纵坐标，从而得到圆心C坐标，由两点间的距离公式求出|OC|的长，即为圆的半径．
【解答】解：（I）抛物线E：y2=4x的准线l：x=﹣1，
由点C的纵坐标为2，得C（1，2），故C到准线的距离d=2，又|OC|=，
∴|MN|=2==2．
（II）设C（，y0），则圆C的方程为（x﹣）2+（y﹣y0）2=，
即x2﹣+y2﹣2y0y=0，由x=﹣1得y2﹣2y0y+1+=0，
设M（﹣1，y1），N（﹣1，y2），则
，
由|AF|2=|AM|•|AN|，得|y1y2|=4，
∴1+=4，解得y0=，此时△＞0
∴圆心C的坐标为（，），|OC|2=，
从而|OC|=．
即圆C的半径为．
【点评】此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：抛物线的简单性质，韦达定理．其中根据题意确定出圆心与半径是解本题的关键．
21．（12分）如图，在等腰直角△OPQ中，∠POQ=90°，OP=2，点M在线段PQ上，
（Ⅰ）若OM=，求PM的长；
（Ⅱ）若点N在线段MQ上，且∠MON=30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．
【分析】（Ⅰ）在△OMP中，利用∠OPM=45°，OM=，OP=2，通过余弦定理，求PM的长；
（Ⅱ）利用正弦定理求出ON、OM，表示出△OMN的面积，利用两角和与差的三角函数化简函数我一个角的一个三角函数的形式，通过角α的范围，得到相位的范围，然后利用正弦函数的值域求解三角形面积的最小值，求出面积的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）在△OMP中，∠OPM=45°，OM=，OP=2，
由余弦定理可得，OM2=OP2+MP2﹣2×OP•MPcos45°，
解得PM的长为1或3；
（Ⅱ）设∠POM=α，0°≤α≤60°，在△OMP中，由正弦定理可得：，
OM=，
同理，ON==，
故
=
=
=
=
=
=
因为0°≤α≤60°，所以30°≤2α+30°≤150°，
所以当α=30°时，sin（2α+30°）的最大值为1，
此时，△OMN的面积最小，面积的最小值．
【点评】本题考查正弦定理与余弦定理在三角形中的应用，两角和与差的三角函数的应用，三角形的最值的求法，考查计算能力与转化思想的应用．
22．（14分）已知函数f（x）=x﹣1+（a∈R，e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值；
（Ⅲ）当a=1的值时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．
【分析】（Ⅰ）依题意，f′（1）=0，从而可求得a的值；
（Ⅱ）f′（x）=1﹣，分①a≤0时②a＞0讨论，可知f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，从而可求其极值；
（Ⅲ）令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+，则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点⇔方程g（x）=0在R上没有实数解，分k＞1与k≤1讨论即可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=x﹣1+，得f′（x）=1﹣，
又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，
∴f′（1）=0，即1﹣=0，解得a=e．
（Ⅱ）f′（x）=1﹣，
①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，所以f（x）无极值；
②当a＞0时，令f′（x）=0，得ex=a，x=lna，
x∈（﹣∞，lna），f′（x）＜0；x∈（lna，+∞），f′（x）＞0；
∴f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
故f（x）在x=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值．
综上，当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）在x=lna处取到极小值lna，无极大值．
（Ⅲ）当a=1时，f（x）=x﹣1+，令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+，
则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，
等价于方程g（x）=0在R上没有实数解．
假设k＞1，此时g（0）=1＞0，g（）=﹣1+＜0，
又函数g（x）的图象连续不断，由零点存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解，
与“方程g（x）=0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1．
又k=1时，g（x）=＞0，知方程g（x）=0在R上没有实数解，
所以k的最大值为1．
【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数研究曲线上某点切线方程，突出分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，属于中档题．
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