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2014年福建省高考数学试卷（文科）
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这是一份2014年福建省高考数学试卷（文科），共21页。
2014年福建省高考数学试卷（文科）
一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分
1．（5分）若集合P={x|2≤x＜4}，Q={x|x≥3}，则P∩Q等于（ ）
A．{x|3≤x＜4} B．{x|3＜x＜4} C．{x|2≤x＜3} D．{x|2≤x≤3}
2．（5分）复数（3+2i）i等于（ ）
A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i
3．（5分）以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）
A．2π B．π C．2 D．1
4．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（5分）命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（ ）
A．∀x∈（﹣∞，0），x3+x＜0 B．∀x∈（﹣∞，0），x3+x≥0
C．∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0 D．∃x0∈[0，+∞），x03+x0≥0
6．（5分）已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是（ ）
A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y﹣3=0 D．x﹣y+3=0
7．（5分）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（ ）
A．y=f（x）是奇函数
B．y=f（x）的周期为π
C．y=f（x）的图象关于直线x=对称
D．y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称
8．（5分）若函数y=logax（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（ ）
A．80元 B．120元 C．160元 D．240元
10．（5分）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（ ）
A． B．2 C．3 D．4
11．（5分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，设平面区域Ω=，若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为（ ）
A．49 B．37 C．29 D．5
12．（5分）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分
13．（4分）如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为 ．
14．（4分）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于 ．
15．（4分）函数f（x）=的零点个数是 ．
16．（4分）已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b=2；③c≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c等于 ．
三．解答题：本大题共6小题，共74分.
17．（12分）在等比数列{an}中，a2=3，a5=81．
（Ⅰ）求an；
（Ⅱ）设bn=log3an，求数列{bn}的前n项和Sn．
18．（12分）已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）．
（Ⅰ）求f（）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．
19．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；
（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．
20．（12分）根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035﹣4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085﹣12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：
行政区
区人口占城市人口比例
区人均GDP（单位：美元）
A
25%
8000
B
30%
4000
C
15%
6000
D
10%
3000
E
20%
10000
（Ⅰ）判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；
（Ⅱ）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．
21．（12分）已知曲线Γ上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣3的距离小2．
（Ⅰ）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A．直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．
22．（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．
（1）求a的值及函数f（x）的极值；
（2）证明：当x＞0时，x2＜ex；
（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜cex．
2014年福建省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分
1．（5分）若集合P={x|2≤x＜4}，Q={x|x≥3}，则P∩Q等于（ ）
A．{x|3≤x＜4} B．{x|3＜x＜4} C．{x|2≤x＜3} D．{x|2≤x≤3}
【分析】由于两集合已是最简，直接求它们的交集即可选出正确答案
【解答】解：∵P={x|2≤x＜4}，Q={x|x≥3}，
∴P∩Q={x|3≤x＜4}．
故选：A．
【点评】本题考查交集的运算，理解好交集的定义是解题的关键
2．（5分）复数（3+2i）i等于（ ）
A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i
【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简求值．
【解答】解：（3+2i）i=3i+2i2=﹣2+3i．
故选：B．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，是基础的计算题．
3．（5分）以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）
A．2π B．π C．2 D．1
【分析】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积．
【解答】解：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，
则所得几何体的侧面积为：1×2π×1=2π，
故选：A．
【点评】本题是基础题，考查旋转体的侧面积的求法，考查计算能力．
4．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件2n＞n2，跳出循环，确定输出的n值．
【解答】解：由程序框图知：第一次循环n=1，21＞1；
第二次循环n=2，22=4．
不满足条件2n＞n2，跳出循环，输出n=2．
故选：B．
【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．
5．（5分）命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（ ）
A．∀x∈（﹣∞，0），x3+x＜0 B．∀x∈（﹣∞，0），x3+x≥0
C．∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0 D．∃x0∈[0，+∞），x03+x0≥0
【分析】全称命题的否定是一个特称命题，按此规则写出其否定即可得出正确选项．
【解答】解：∵命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”是一个全称命题．
∴其否定命题为：∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0
故选：C．
【点评】本题考查全称命题的否定，掌握此类命题的否定的规则是解答的关键．
6．（5分）已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是（ ）
A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y﹣3=0 D．x﹣y+3=0
【分析】由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1，再利用点斜式求直线l的方程．
【解答】解：由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1，
故l的方程是 y﹣3=x﹣0，即x﹣y+3=0，
故选：D．
【点评】本题主要考查用点斜式求直线的方程，两条直线垂直的性质，属于基础题．
7．（5分）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（ ）
A．y=f（x）是奇函数
B．y=f（x）的周期为π
C．y=f（x）的图象关于直线x=对称
D．y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称
【分析】利用函数图象的平移法则得到函数y=f（x）的图象对应的解析式为f（x）=cosx，则可排除选项A，B，再由
cos=cos（﹣）=0即可得到正确选项．
【解答】解：将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得y=sin（x+）=cosx．
即f（x）=cosx．
∴f（x）是周期为2π的偶函数，选项A，B错误；
∵cos=cos（﹣）=0，
∴y=f（x）的图象关于点（﹣，0）、（，0）成中心对称．
故选：D．
【点评】本题考查函数图象的平移，考查了余弦函数的性质，属基础题．
8．（5分）若函数y=logax（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据对数函数的图象所过的特殊点求出a的值，再研究四个选项中函数与图象是否对应即可得出正确选项．
【解答】解：由对数函数的图象知，此函数图象过点（3，1），故有y=loga3=1，解得a=3，
对于A，由于y=a﹣x是一个减函数故图象与函数不对应，A错；
对于B，由于幂函数y=xa是一个增函数，且是一个奇函数，图象过原点，且关于原点对称，图象与函数的性质对应，故B正确；
对于C，由于a=3，所以y=（﹣x）a是一个减函数，图象与函数的性质不对应，C错；
对于D，由于y=loga（﹣x）与y=logax的图象关于y轴对称，所给的图象不满足这一特征，故D错．
故选：B．
【点评】本题考查函数的性质与函数图象的对应，熟练掌握各类函数的性质是快速准确解答此类题的关键．
9．（5分）要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（ ）
A．80元 B．120元 C．160元 D．240元
【分析】设池底长和宽分别为a，b，成本为y，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求．
【解答】解：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则
∵长方形容器的容器为4m3，高为1m，
∴底面面积S=ab=4，y=20S+10[2（a+b）]=20（a+b）+80，
∵a+b≥2=4，
∴当a=b=2时，y取最小值160，
即该容器的最低总造价是160元，
故选：C．
【点评】本题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题，由实际问题向数学问题转化是关键．
10．（5分）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【分析】虑用特殊值法去做，因为O为任意一点，不妨把O看成是特殊点，再代入计算，结果满足哪一个选项，就选哪一个．
【解答】解：∵O为任意一点，不妨把A点看成O点，则=，
∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点，∴=2=4
故选：D．
【点评】本题考查了平面向量的加法，做题时应掌握规律，认真解答．
11．（5分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，设平面区域Ω=，若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为（ ）
A．49 B．37 C．29 D．5
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用圆C与x轴相切，得到b=1为定值，此时利用数形结合确定a的取值即可得到结论．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
圆心为（a，b），半径为1
∵圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，
∴b=1，
则a2+b2=a2+1，
∴要使a2+b2的取得最大值，则只需a最大即可，
由图象可知当圆心C位于B点时，a取值最大，
由，解得，即B（6，1），
∴当a=6，b=1时，a2+b2=36+1=37，即最大值为37，
故选：B．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
12．（5分）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（ ）
A． B． C． D．
【分析】设出F1，F2的坐标，在设出动点M的坐标，由新定义列式后分类讨论去绝对值，然后结合选项得答案．
【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），
再设动点M（x，y），动点到定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于m（m＞2c＞0），
由题意可得：|x+c|+|y|+|x﹣c|+|y|=m，
即|x+c|+|x﹣c|+2|y|=m．
当x＜﹣c，y≥0时，方程化为2x﹣2y+m=0；
当x＜﹣c，y＜0时，方程化为2x+2y+m=0；
当﹣c≤x＜c，y≥0时，方程化为y=；
当﹣c≤x＜c，y＜0时，方程化为y=c﹣；
当x≥c，y≥0时，方程化为2x+2y﹣m=0；
当x≥c，y＜0时，方程化为2x﹣2y﹣m=0．
结合题目中给出的四个选项可知，选项A中的图象符合要求．
故选：A．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是正确分类，是中档题．
二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分
13．（4分）如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为 0.18 ．
【分析】根据几何槪型的概率意义，即可得到结论．
【解答】解：正方形的面积S=1，设阴影部分的面积为S，
∵随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，
∴几何槪型的概率公式进行估计得，
即S=0.18，
故答案为：0.18．
【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用豆子之间的关系建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．
14．（4分）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于 1 ．
【分析】利用余弦定理列出关系式，将AC，BC，以及cosA的值代入即可求出AB的长．
【解答】解：∵在△ABC中，A=60°，AC=b=2，BC=a=，
∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即3=4+c2﹣2c，
解得：c=1，
则AB=c=1，
故答案为：1
【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．
15．（4分）函数f（x）=的零点个数是 2 ．
【分析】根据函数零点的定义，直接解方程即可得到结论．
【解答】解：当x≤0时，由f（x）=0得x2﹣2=0，解得x=或x=（舍去），
当x＞0时，由f（x）=0得2x﹣6+lnx=0，即lnx=6﹣2x，
作出函数y=lnx和y=6﹣2x在同一坐标系图象，由图象可知此时两个函数只有1个交点，故x＞0时，函数有1个零点．
故函数f（x）的零点个数为2，
故答案为：2
【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，对于比较好求的函数，直接解方程f（x）=0即可，对于比较复杂的函数，由利用数形结合进行求解．
16．（4分）已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b=2；③c≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c等于 201 ．
【分析】根据集合相等的条件，列出a、b、c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a、b、c的值后代入式子求值．
【解答】解：由{a，b，c}={0，1，2}得，a、b、c的取值有以下情况：
当a=0时，b=1、c=2或b=2、c=1，此时不满足题意；
当a=1时，b=0、c=2或b=2、c=0，此时不满足题意；
当a=2时，b=1、c=0，此时不满足题意；
当a=2时，b=0、c=1，此时满足题意；
综上得，a=2、b=0、c=1，代入100a+10b+c=201，
故答案为：201．
【点评】本题考查了集合相等的条件的应用，以及分类讨论思想，注意列举时按一定的顺序列举，做到不重不漏．
三．解答题：本大题共6小题，共74分.
17．（12分）在等比数列{an}中，a2=3，a5=81．
（Ⅰ）求an；
（Ⅱ）设bn=log3an，求数列{bn}的前n项和Sn．
【分析】（Ⅰ）设出等比数列的首项和公比，由已知列式求解首项和公比，则其通项公式可求；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的an代入bn=log3an，得到数列{bn}的通项公式，由此得到数列{bn}是以0为首项，以1为公差的等差数列，由等差数列的前n项和公式得答案．
【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，
由a2=3，a5=81，得
，解得．
∴；
（Ⅱ）∵，bn=log3an，
∴．
则数列{bn}的首项为b1=0，
由bn﹣bn﹣1=n﹣1﹣（n﹣2）=1（n≥2），
可知数列{bn}是以1为公差的等差数列．
∴．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和公式，是基础的计算题．
18．（12分）已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）．
（Ⅰ）求f（）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．
【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=sin（2x+）+1，从而求得f（）的值．
（Ⅱ）根据函数f（x）=sin（2x+）+1，求得它的最小正周期．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，求得x的范围，可得函数的单调递增区间．
【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）=sin2x+1+cos2x=sin（2x+）+1，
∴f（）=sin（+）+1=sin+1=+1=2．
（Ⅱ）∵函数f（x）=sin（2x+）+1，故它的最小正周期为=π．
令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，
故函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性和单调性，属于中档题．
19．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；
（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．
【分析】（Ⅰ）证明：CD⊥平面ABD，只需证明AB⊥CD；
（Ⅱ）利用转换底面，VA﹣MBC=VC﹣ABM=S△ABM•CD，即可求出三棱锥A﹣MBC的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，
∴AB⊥CD，
∵CD⊥BD，AB∩BD=B，
∴CD⊥平面ABD；
（Ⅱ）解：∵AB⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，
∴AB⊥BD．
∵AB=BD=1，
∴S△ABD=，
∵M为AD中点，
∴S△ABM=S△ABD=，
∵CD⊥平面ABD，
∴VA﹣MBC=VC﹣ABM=S△ABM•CD=．
【点评】本题考查线面垂直，考查三棱锥A﹣MBC的体积，正确运用线面垂直的判定定理是关键．
20．（12分）根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035﹣4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085﹣12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：
行政区
区人口占城市人口比例
区人均GDP（单位：美元）
A
25%
8000
B
30%
4000
C
15%
6000
D
10%
3000
E
20%
10000
（Ⅰ）判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；
（Ⅱ）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．
【分析】（Ⅰ）利用所给数据，计算该城市人均GDP，即可得出结论；
（Ⅱ）利用古典概型概率公式，即可得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为=6400
∴该城市人均GDP达到中等偏上收入国家标准；
（Ⅱ）从该城市5个行政区中随机抽取2个，共有=10种情况，GDP都达到中等偏上收入国家标准的区域有A，C，E，抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准，共有=3种情况，
∴抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．
【点评】本题考查概率与统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然、或然思想．
21．（12分）已知曲线Γ上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣3的距离小2．
（Ⅰ）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A．直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．
【分析】（Ⅰ）设S（x，y）曲线Γ上的任意一点，利用抛物线的定义，判断S满足配额我想的定义，即可求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）通过抛物线方程利用函数的导数求出切线方程，求出A、M的坐标，N的坐标，以MN为直径作圆C，求出圆心坐标，半径是常数，即可证明当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度不变．
【解答】解：（Ⅰ）设S（x，y）曲线Γ上的任意一点，
由题意可得：点S到F（0，1）的距离与它到直线y=﹣1的距离相等，
曲线Γ是以F为焦点直线y=﹣1为准线的抛物线，
∴曲线Γ的方程为：x2=4y．
（Ⅱ）当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度不变，
证明如下：由（Ⅰ）可知抛物线的方程为y=，
设P（x0，y0）（x0≠0）则y0=，
由y得切线l的斜率k==
∴切线l的方程为：，即．
由得，
由得，
又N（0，3），
所以圆心C（），半径r==
∴点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度不变．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，圆的方程函数的导数等指数的应用，难度较大．
22．（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．
（1）求a的值及函数f（x）的极值；
（2）证明：当x＞0时，x2＜ex；
（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜cex．
【分析】（1）利用导数的几何意义求得a，再利用导数法求得函数的极值；
（2）构造函数g（x）=ex﹣x2，利用导数求得函数的最小值，即可得出结论；
（3）利用（2）的结论，令x0=，则ex＞x2＞x，即x＜cex．即得结论成立．
【解答】解：（1）由f（x）=ex﹣ax得f′（x）=ex﹣a．
又f′（0）=1﹣a=﹣1，∴a=2，
∴f（x）=ex﹣2x，f′（x）=ex﹣2．
由f′（x）=0得x=ln2，
当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4．
f（x）无极大值．
（2）令g（x）=ex﹣x2，则g′（x）=ex﹣2x，
由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g′（x）＞0，
∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜ex；
（3）对任意给定的正数c，总存在x0=＞0．当x∈（x0，+∞）时，
由（2）得ex＞x2＞x，即x＜cex．
∴对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜cex．
【点评】本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全称量词、存在量词等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、划归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想．属难题．
2014年福建省高考数学试卷（文科）
一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分
1．（5分）若集合P={x|2≤x＜4}，Q={x|x≥3}，则P∩Q等于（ ）
A．{x|3≤x＜4} B．{x|3＜x＜4} C．{x|2≤x＜3} D．{x|2≤x≤3}
2．（5分）复数（3+2i）i等于（ ）
A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i
3．（5分）以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）
A．2π B．π C．2 D．1
4．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（5分）命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（ ）
A．∀x∈（﹣∞，0），x3+x＜0 B．∀x∈（﹣∞，0），x3+x≥0
C．∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0 D．∃x0∈[0，+∞），x03+x0≥0
6．（5分）已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是（ ）
A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y﹣3=0 D．x﹣y+3=0
7．（5分）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（ ）
A．y=f（x）是奇函数
B．y=f（x）的周期为π
C．y=f（x）的图象关于直线x=对称
D．y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称
8．（5分）若函数y=logax（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（ ）
A．80元 B．120元 C．160元 D．240元
10．（5分）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（ ）
A． B．2 C．3 D．4
11．（5分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，设平面区域Ω=，若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为（ ）
A．49 B．37 C．29 D．5
12．（5分）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分
13．（4分）如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为 ．
14．（4分）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于 ．
15．（4分）函数f（x）=的零点个数是 ．
16．（4分）已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b=2；③c≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c等于 ．
三．解答题：本大题共6小题，共74分.
17．（12分）在等比数列{an}中，a2=3，a5=81．
（Ⅰ）求an；
（Ⅱ）设bn=log3an，求数列{bn}的前n项和Sn．
18．（12分）已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）．
（Ⅰ）求f（）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．
19．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；
（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．
20．（12分）根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035﹣4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085﹣12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：
行政区
区人口占城市人口比例
区人均GDP（单位：美元）
A
25%
8000
B
30%
4000
C
15%
6000
D
10%
3000
E
20%
10000
（Ⅰ）判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；
（Ⅱ）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．
21．（12分）已知曲线Γ上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣3的距离小2．
（Ⅰ）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A．直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．
22．（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．
（1）求a的值及函数f（x）的极值；
（2）证明：当x＞0时，x2＜ex；
（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜cex．
2014年福建省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分
1．（5分）若集合P={x|2≤x＜4}，Q={x|x≥3}，则P∩Q等于（ ）
A．{x|3≤x＜4} B．{x|3＜x＜4} C．{x|2≤x＜3} D．{x|2≤x≤3}
【分析】由于两集合已是最简，直接求它们的交集即可选出正确答案
【解答】解：∵P={x|2≤x＜4}，Q={x|x≥3}，
∴P∩Q={x|3≤x＜4}．
故选：A．
【点评】本题考查交集的运算，理解好交集的定义是解题的关键
2．（5分）复数（3+2i）i等于（ ）
A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i
【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简求值．
【解答】解：（3+2i）i=3i+2i2=﹣2+3i．
故选：B．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，是基础的计算题．
3．（5分）以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）
A．2π B．π C．2 D．1
【分析】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积．
【解答】解：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，
则所得几何体的侧面积为：1×2π×1=2π，
故选：A．
【点评】本题是基础题，考查旋转体的侧面积的求法，考查计算能力．
4．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件2n＞n2，跳出循环，确定输出的n值．
【解答】解：由程序框图知：第一次循环n=1，21＞1；
第二次循环n=2，22=4．
不满足条件2n＞n2，跳出循环，输出n=2．
故选：B．
【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．
5．（5分）命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（ ）
A．∀x∈（﹣∞，0），x3+x＜0 B．∀x∈（﹣∞，0），x3+x≥0
C．∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0 D．∃x0∈[0，+∞），x03+x0≥0
【分析】全称命题的否定是一个特称命题，按此规则写出其否定即可得出正确选项．
【解答】解：∵命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”是一个全称命题．
∴其否定命题为：∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0
故选：C．
【点评】本题考查全称命题的否定，掌握此类命题的否定的规则是解答的关键．
6．（5分）已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是（ ）
A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y﹣3=0 D．x﹣y+3=0
【分析】由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1，再利用点斜式求直线l的方程．
【解答】解：由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1，
故l的方程是 y﹣3=x﹣0，即x﹣y+3=0，
故选：D．
【点评】本题主要考查用点斜式求直线的方程，两条直线垂直的性质，属于基础题．
7．（5分）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（ ）
A．y=f（x）是奇函数
B．y=f（x）的周期为π
C．y=f（x）的图象关于直线x=对称
D．y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称
【分析】利用函数图象的平移法则得到函数y=f（x）的图象对应的解析式为f（x）=cosx，则可排除选项A，B，再由
cos=cos（﹣）=0即可得到正确选项．
【解答】解：将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得y=sin（x+）=cosx．
即f（x）=cosx．
∴f（x）是周期为2π的偶函数，选项A，B错误；
∵cos=cos（﹣）=0，
∴y=f（x）的图象关于点（﹣，0）、（，0）成中心对称．
故选：D．
【点评】本题考查函数图象的平移，考查了余弦函数的性质，属基础题．
8．（5分）若函数y=logax（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据对数函数的图象所过的特殊点求出a的值，再研究四个选项中函数与图象是否对应即可得出正确选项．
【解答】解：由对数函数的图象知，此函数图象过点（3，1），故有y=loga3=1，解得a=3，
对于A，由于y=a﹣x是一个减函数故图象与函数不对应，A错；
对于B，由于幂函数y=xa是一个增函数，且是一个奇函数，图象过原点，且关于原点对称，图象与函数的性质对应，故B正确；
对于C，由于a=3，所以y=（﹣x）a是一个减函数，图象与函数的性质不对应，C错；
对于D，由于y=loga（﹣x）与y=logax的图象关于y轴对称，所给的图象不满足这一特征，故D错．
故选：B．
【点评】本题考查函数的性质与函数图象的对应，熟练掌握各类函数的性质是快速准确解答此类题的关键．
9．（5分）要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（ ）
A．80元 B．120元 C．160元 D．240元
【分析】设池底长和宽分别为a，b，成本为y，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求．
【解答】解：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则
∵长方形容器的容器为4m3，高为1m，
∴底面面积S=ab=4，y=20S+10[2（a+b）]=20（a+b）+80，
∵a+b≥2=4，
∴当a=b=2时，y取最小值160，
即该容器的最低总造价是160元，
故选：C．
【点评】本题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题，由实际问题向数学问题转化是关键．
10．（5分）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【分析】虑用特殊值法去做，因为O为任意一点，不妨把O看成是特殊点，再代入计算，结果满足哪一个选项，就选哪一个．
【解答】解：∵O为任意一点，不妨把A点看成O点，则=，
∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点，∴=2=4
故选：D．
【点评】本题考查了平面向量的加法，做题时应掌握规律，认真解答．
11．（5分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，设平面区域Ω=，若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为（ ）
A．49 B．37 C．29 D．5
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用圆C与x轴相切，得到b=1为定值，此时利用数形结合确定a的取值即可得到结论．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
圆心为（a，b），半径为1
∵圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，
∴b=1，
则a2+b2=a2+1，
∴要使a2+b2的取得最大值，则只需a最大即可，
由图象可知当圆心C位于B点时，a取值最大，
由，解得，即B（6，1），
∴当a=6，b=1时，a2+b2=36+1=37，即最大值为37，
故选：B．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
12．（5分）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（ ）
A． B． C． D．
【分析】设出F1，F2的坐标，在设出动点M的坐标，由新定义列式后分类讨论去绝对值，然后结合选项得答案．
【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），
再设动点M（x，y），动点到定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于m（m＞2c＞0），
由题意可得：|x+c|+|y|+|x﹣c|+|y|=m，
即|x+c|+|x﹣c|+2|y|=m．
当x＜﹣c，y≥0时，方程化为2x﹣2y+m=0；
当x＜﹣c，y＜0时，方程化为2x+2y+m=0；
当﹣c≤x＜c，y≥0时，方程化为y=；
当﹣c≤x＜c，y＜0时，方程化为y=c﹣；
当x≥c，y≥0时，方程化为2x+2y﹣m=0；
当x≥c，y＜0时，方程化为2x﹣2y﹣m=0．
结合题目中给出的四个选项可知，选项A中的图象符合要求．
故选：A．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是正确分类，是中档题．
二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分
13．（4分）如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为 0.18 ．
【分析】根据几何槪型的概率意义，即可得到结论．
【解答】解：正方形的面积S=1，设阴影部分的面积为S，
∵随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，
∴几何槪型的概率公式进行估计得，
即S=0.18，
故答案为：0.18．
【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用豆子之间的关系建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．
14．（4分）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于 1 ．
【分析】利用余弦定理列出关系式，将AC，BC，以及cosA的值代入即可求出AB的长．
【解答】解：∵在△ABC中，A=60°，AC=b=2，BC=a=，
∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即3=4+c2﹣2c，
解得：c=1，
则AB=c=1，
故答案为：1
【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．
15．（4分）函数f（x）=的零点个数是 2 ．
【分析】根据函数零点的定义，直接解方程即可得到结论．
【解答】解：当x≤0时，由f（x）=0得x2﹣2=0，解得x=或x=（舍去），
当x＞0时，由f（x）=0得2x﹣6+lnx=0，即lnx=6﹣2x，
作出函数y=lnx和y=6﹣2x在同一坐标系图象，由图象可知此时两个函数只有1个交点，故x＞0时，函数有1个零点．
故函数f（x）的零点个数为2，
故答案为：2
【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，对于比较好求的函数，直接解方程f（x）=0即可，对于比较复杂的函数，由利用数形结合进行求解．
16．（4分）已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b=2；③c≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c等于 201 ．
【分析】根据集合相等的条件，列出a、b、c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a、b、c的值后代入式子求值．
【解答】解：由{a，b，c}={0，1，2}得，a、b、c的取值有以下情况：
当a=0时，b=1、c=2或b=2、c=1，此时不满足题意；
当a=1时，b=0、c=2或b=2、c=0，此时不满足题意；
当a=2时，b=1、c=0，此时不满足题意；
当a=2时，b=0、c=1，此时满足题意；
综上得，a=2、b=0、c=1，代入100a+10b+c=201，
故答案为：201．
【点评】本题考查了集合相等的条件的应用，以及分类讨论思想，注意列举时按一定的顺序列举，做到不重不漏．
三．解答题：本大题共6小题，共74分.
17．（12分）在等比数列{an}中，a2=3，a5=81．
（Ⅰ）求an；
（Ⅱ）设bn=log3an，求数列{bn}的前n项和Sn．
【分析】（Ⅰ）设出等比数列的首项和公比，由已知列式求解首项和公比，则其通项公式可求；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的an代入bn=log3an，得到数列{bn}的通项公式，由此得到数列{bn}是以0为首项，以1为公差的等差数列，由等差数列的前n项和公式得答案．
【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，
由a2=3，a5=81，得
，解得．
∴；
（Ⅱ）∵，bn=log3an，
∴．
则数列{bn}的首项为b1=0，
由bn﹣bn﹣1=n﹣1﹣（n﹣2）=1（n≥2），
可知数列{bn}是以1为公差的等差数列．
∴．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和公式，是基础的计算题．
18．（12分）已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）．
（Ⅰ）求f（）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．
【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=sin（2x+）+1，从而求得f（）的值．
（Ⅱ）根据函数f（x）=sin（2x+）+1，求得它的最小正周期．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，求得x的范围，可得函数的单调递增区间．
【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）=sin2x+1+cos2x=sin（2x+）+1，
∴f（）=sin（+）+1=sin+1=+1=2．
（Ⅱ）∵函数f（x）=sin（2x+）+1，故它的最小正周期为=π．
令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，
故函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性和单调性，属于中档题．
19．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；
（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．
【分析】（Ⅰ）证明：CD⊥平面ABD，只需证明AB⊥CD；
（Ⅱ）利用转换底面，VA﹣MBC=VC﹣ABM=S△ABM•CD，即可求出三棱锥A﹣MBC的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，
∴AB⊥CD，
∵CD⊥BD，AB∩BD=B，
∴CD⊥平面ABD；
（Ⅱ）解：∵AB⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，
∴AB⊥BD．
∵AB=BD=1，
∴S△ABD=，
∵M为AD中点，
∴S△ABM=S△ABD=，
∵CD⊥平面ABD，
∴VA﹣MBC=VC﹣ABM=S△ABM•CD=．
【点评】本题考查线面垂直，考查三棱锥A﹣MBC的体积，正确运用线面垂直的判定定理是关键．
20．（12分）根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035﹣4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085﹣12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：
行政区
区人口占城市人口比例
区人均GDP（单位：美元）
A
25%
8000
B
30%
4000
C
15%
6000
D
10%
3000
E
20%
10000
（Ⅰ）判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；
（Ⅱ）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．
【分析】（Ⅰ）利用所给数据，计算该城市人均GDP，即可得出结论；
（Ⅱ）利用古典概型概率公式，即可得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为=6400
∴该城市人均GDP达到中等偏上收入国家标准；
（Ⅱ）从该城市5个行政区中随机抽取2个，共有=10种情况，GDP都达到中等偏上收入国家标准的区域有A，C，E，抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准，共有=3种情况，
∴抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．
【点评】本题考查概率与统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然、或然思想．
21．（12分）已知曲线Γ上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣3的距离小2．
（Ⅰ）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A．直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．
【分析】（Ⅰ）设S（x，y）曲线Γ上的任意一点，利用抛物线的定义，判断S满足配额我想的定义，即可求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）通过抛物线方程利用函数的导数求出切线方程，求出A、M的坐标，N的坐标，以MN为直径作圆C，求出圆心坐标，半径是常数，即可证明当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度不变．
【解答】解：（Ⅰ）设S（x，y）曲线Γ上的任意一点，
由题意可得：点S到F（0，1）的距离与它到直线y=﹣1的距离相等，
曲线Γ是以F为焦点直线y=﹣1为准线的抛物线，
∴曲线Γ的方程为：x2=4y．
（Ⅱ）当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度不变，
证明如下：由（Ⅰ）可知抛物线的方程为y=，
设P（x0，y0）（x0≠0）则y0=，
由y得切线l的斜率k==
∴切线l的方程为：，即．
由得，
由得，
又N（0，3），
所以圆心C（），半径r==
∴点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度不变．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，圆的方程函数的导数等指数的应用，难度较大．
22．（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．
（1）求a的值及函数f（x）的极值；
（2）证明：当x＞0时，x2＜ex；
（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜cex．
【分析】（1）利用导数的几何意义求得a，再利用导数法求得函数的极值；
（2）构造函数g（x）=ex﹣x2，利用导数求得函数的最小值，即可得出结论；
（3）利用（2）的结论，令x0=，则ex＞x2＞x，即x＜cex．即得结论成立．
【解答】解：（1）由f（x）=ex﹣ax得f′（x）=ex﹣a．
又f′（0）=1﹣a=﹣1，∴a=2，
∴f（x）=ex﹣2x，f′（x）=ex﹣2．
由f′（x）=0得x=ln2，
当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4．
f（x）无极大值．
（2）令g（x）=ex﹣x2，则g′（x）=ex﹣2x，
由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g′（x）＞0，
∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜ex；
（3）对任意给定的正数c，总存在x0=＞0．当x∈（x0，+∞）时，
由（2）得ex＞x2＞x，即x＜cex．
∴对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜cex．
【点评】本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全称量词、存在量词等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、划归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想．属难题．
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