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福建省高考数学模拟试卷(文科)
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这是一份福建省高考数学模拟试卷(文科)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
福建省高考数学模拟试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．设集合A={x|﹣3＜x＜4}，集合B={x|x＜1}，则A∪B等于（ ）
A．（﹣3，1） B．[﹣4，1） C．（﹣∞，4） D．（1，4）
2．已知复数z=的实部为1，则实数a等于（ ）
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1
3．已知向量=（2，﹣1），=（1，7），则下列结论正确的是（ ）
A．⊥ B．∥ C．⊥（+） D．⊥（﹣）
4．已知，则cosx等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知α，β是平面，m，n是直线，给出下列命题，其中正确的命题的个数是（ ）
（ 1 ）若m⊥α，m⊂β，则α⊥β （ 2 ）若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
（ 3 ）如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交
（ 4 ）若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．某单位从包括甲、乙在内的5名应聘者中招聘2人，如果这5名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙两人中至少有1人被录用的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的实轴长为4，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y= B．y=±x C．y=±2x D．y=±
8．若函数f（x）=x2+x﹣2alnx在[1，e]上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，] B．（﹣∞，1] C．（﹣1，] D．[1，+∞）
9．已知函数f（x）=2sinxsin（x+3φ）是奇函数，其中φ∈（0，），则函数g（x）=cos（2x﹣φ）的图象（ ）
A．关于点（，0）对称 B．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到
C．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到 D．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到
10．执行如图所示的程序框图，则“3＜m＜5”是“输出i的值为5”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．某几何体的三视图如图所示，记A为此几何体所有棱的长度构成的集合，则（ ）
A．3∈A B．5∈A C．2∈A D．4∈A
12．已知函数f（x）=，且函数g（x）=loga（x2+x+2）（a＞0，且a≠1）在[﹣，1]上的最大值为2，若对任意x1∈[﹣1，2]，存在x2∈[0，3]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣] B．（﹣∞，] C．[，+∞） D．[﹣，+∞]
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在△ABC中，A=，b2sinC=sinB，则△ABC的面积为 ．
14．已知函数f（x）=，若不等式f（x）＞a恒成立，则实数a的取值范围是 ．
15．如果实数x，y满足条件，则z=的最小值为 ．
16．已知椭圆C； +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），P是椭圆C上一点，且|PF2|=|F1F2|，直线PF1与圆x2+y2=相切，则椭圆的离心率为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17．在等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，b2+S3=21，b3=S2．
（1）求an与bn；
（2）设数列{bn}的前n项和为Tn，求使不等式4Tn＞S15成立的最小正整数n的值．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，AB=BC=PA=1，CD=2，点E在棱PB上，且PE=2EB．
（1）求证：PD∥平面EAC；
（2）求证：平面APD⊥平面EAC．
19．某中学进行教学改革试点，推行“高效课堂”的教学法，为了比较教学效果，某化学老师分别用原传统教学和“高效课堂”两种不同的教学方式，在甲乙两个平行班进行教学实验，为了了解教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出的茎叶图如下：记成绩不低于70分者为“成绩优良”．
（1）分别计算甲乙两班20各样本中，化学分数前十的平均分，并大致判断哪种教学方式的教学效果更佳；
（2）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断“成绩优良”与教学方式是否有关？
甲班
乙班
总计
成绩优良
成绩不优良
总计
附：K2（x2）=．
独立性检验临界值表
P（K2≥k）
0.10
0.05
0.025
0.010
k
2.706
3.841
5.024
6.635
20．已知圆M与圆N：（x﹣）2+（y+）2=r2关于直线y=x对称，且点D（﹣，）在圆M上
（1）判断圆M与圆N的位置关系
（2）设P为圆M上任意一点，A（﹣1，）．B（1，），与不共线，PG为∠APB的平分线，且交AB于G，求证△PBG与△APG的面积之比为定值．
21．已知函数f（x）=x3﹣mx2+mx（m＞0）
（1）当m=2时，求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）既有极大值，又有极小值，且当0≤x≤4m时，f（x）＜mx2+（m﹣3m2）x+恒成立，求m的取值范围．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，AB是圆O的直径，C为圆周上一点，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E．
（1）求证：AB•DE=BC•CE；
（2）若AB=8，BC=4，求线段AE的长．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程是ρ=asinθ，直线l的参数方程是（t为参数）
（1）若a=2，直线l与x轴的交点是M，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；
（2）直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的倍，求a的值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知实数a、b满足：a＞0，b＞0．
（1）若x∈R，求证：|x+a|+|x﹣b|≥2．
（2）若a+b=1，求证： ++≥12．
福建省高考数学模拟试卷（文科）试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．设集合A={x|﹣3＜x＜4}，集合B={x|x＜1}，则A∪B等于（ ）
A．（﹣3，1） B．[﹣4，1） C．（﹣∞，4） D．（1，4）
【考点】并集及其运算．
【分析】结合集合并集的定义，可得答案．
【解答】解：集合A={x|﹣3＜x＜4}=（﹣3，4），集合B={x|x＜1}=（﹣∞，1），
则A∪B=（﹣∞，4），
故选：C．
2．已知复数z=的实部为1，则实数a等于（ ）
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】由复数代数形式的除法运算化简，然后由实部等于1求解．
【解答】解：复数z===，
∵复数z=的实部为1，
∴6﹣a=5，
即a=1，
故选：C．
3．已知向量=（2，﹣1），=（1，7），则下列结论正确的是（ ）
A．⊥ B．∥ C．⊥（+） D．⊥（﹣）
【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】求出+，然后通过向量的数量积求解即可．
【解答】解：向量=（2，﹣1），=（1，7），+=（3，6）．
•（+）=6﹣6=0．
⊥（+）=0．
故选：C．
4．已知，则cosx等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】两角和与差的余弦函数．
【分析】由已知利用两角和的正弦函数公式，诱导公式即可化简求值．
【解答】解：∵，
∴sin（x﹣+）=sin（x﹣）=﹣cosx=，
∴cosx=﹣．
故选：B．
5．已知α，β是平面，m，n是直线，给出下列命题，其中正确的命题的个数是（ ）
（ 1 ）若m⊥α，m⊂β，则α⊥β
（ 2 ）若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
（ 3 ）如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交
（ 4 ）若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】利用面面平行和妈妈垂直的判定定理分别分析解答．
【解答】解：对于（ 1 ），若m⊥α，m⊂β，则满足面面垂直的判定定理，所以α⊥β正确；
对于（ 2 ），若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，如果m∥n，则α，β可能相交，所以α∥β错误；
对于（ 3 ），如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交或者平行；故（3）错误；
对于（ 4 ），若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，满足线面平行的判定定理，所以n∥α且n∥β正确．
故选B．
6．某单位从包括甲、乙在内的5名应聘者中招聘2人，如果这5名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙两人中至少有1人被录用的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】列举出所有可能的基本事件和符合条件的基本事件，使用古典概型的概率计算公式计算概率．
【解答】解：设剩余三名应聘者为a，b，c，则从5人中录用两人的所有可能结果共有10个，分别为（甲，乙），（甲，a），（甲，b），（甲，c），（乙，a），（乙，b），（乙，c），（a，b），（a，c），（b，c）．
其中甲乙两人至少有1人被录用的基本事件有7个，分别是（甲，乙），（甲，a），（甲，b），（甲，c），（乙，a），（乙，b），（乙，c）．
∴甲、乙两人中至少有1人被录用的概率P=．
故选：B．
7．已知双曲线的实轴长为4，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y= B．y=±x C．y=±2x D．y=±
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】将双曲线的方程化为标准方程，可得a=，b=，由题意可得2=4，解得k，即有双曲线的方程和渐近线方程．
【解答】解：双曲线（k＜0）即为
﹣=1，
可得a=，b=，
由题意可得2=4，
解得k=﹣2，
即有双曲线的方程为﹣=1，
即有渐近线方程为y=±x．
故选：D．
8．若函数f（x）=x2+x﹣2alnx在[1，e]上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，] B．（﹣∞，1] C．（﹣1，] D．[1，+∞）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】由函数f（x）在[1，e]上单调递增，可得f′（x）≥0在[1，e]上恒成立．即2x+1﹣≥0，x∈[1，e]⇔a≤2x2min，x∈[1，e]．利用二次函数的单调性求出即可．
【解答】解：函数f（x）=x2+x﹣2alnx，（x∈[1，e]），f′（x）=2x+1﹣，
∵函数f（x）在[1，e]上单调递增，
∴f′（x）≥0在[1，e]上恒成立．
∴2x+1﹣≥0，x∈[1，e]⇔a≤（2x2+x）min，x∈[1，e]．
令g（x）=（2x2+x），则g（x）在[1，e]单调增函数．
∴g（x）≤g（1）=．
∴a≤．
故选：A．
9．已知函数f（x）=2sinxsin（x+3φ）是奇函数，其中φ∈（0，），则函数g（x）=cos（2x﹣φ）的图象（ ）
A．关于点（，0）对称
B．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到
C．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到
D．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到
【考点】余弦函数的对称性．
【分析】由条件利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：∵函数f（x）=2sinxsin（x+3φ）是奇函数，其中φ∈（0，），∴φ=，
∴f（x）=2sinxsin（x+）=sin2x=cos（2x﹣）=cos2（x﹣），
则函数g（x）=cos（2x﹣φ）=cos（2x﹣）=cos2（x﹣） 的图象可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到的，
故选：C．
10．执行如图所示的程序框图，则“3＜m＜5”是“输出i的值为5”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】程序框图；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，求出m的范围，结合充要条件的定义，可得答案．
【解答】解：第一次执行循环体后，S=2，i=2，应该不满足退出循环的条件；
第二次执行循环体后，S=6，i=3，应该不满足退出循环的条件；
第三次执行循环体后，S=13，i=4，应该不满足退出循环的条件；
第四次执行循环体后，S=23，i=5，应该满足退出循环的条件；
故，解得：，
故“3＜m＜5”是“输出i的值为5”的必要不充分条件，
故选：B
11．某几何体的三视图如图所示，记A为此几何体所有棱的长度构成的集合，则（ ）
A．3∈A B．5∈A C．2∈A D．4∈A
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图知该几何体一个直三棱柱切去一个三棱锥所得的几何体，由三视图求出几何元素的长度，判断出线面的位置关系，由勾股定理求出几何体的棱长，即可得到答案．
【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱柱截去一个三棱锥，
四边形ABCD是一个边长为4的正方形，
且AF⊥面ABCD，DE∥AF，DE=4，AF=2，
∴AF⊥AB、DE⊥DC、DE⊥BD，
∴EC==4，EF=FB==2，
BE===4，
∵A为此几何体所有棱的长度构成的集合，
∴A={2，4，4，4，4}，
故选：D．
12．已知函数f（x）=，且函数g（x）=loga（x2+x+2）（a＞0，且a≠1）在[﹣，1]上的最大值为2，若对任意x1∈[﹣1，2]，存在x2∈[0，3]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣] B．（﹣∞，] C．[，+∞） D．[﹣，+∞]
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】由已知函数g（x）=loga（x2+x+2）（a＞0，且a≠1）在[﹣，1]上的最大值为2，先求出a值，进而求出两个函数在指定区间上的最小值，结合已知，分析两个最小值的关系，可得答案．
【解答】解：∵函数f（x）==31﹣x﹣m，
当x1∈[﹣1，2]时，f（x1）∈[﹣m，9﹣m]；
∵t=x2+x+2的图象是开口朝上，且以直线x=﹣为对称轴的抛物线，
故x∈[﹣，1]时，t∈[，4]，
若函数g（x）=loga（x2+x+2）（a＞0，且a≠1）在[﹣，1]上的最大值为2，
则a=2，
即g（x）=log2（x2+x+2），
当x2∈[0，3]时，g（x2）∈[1，log214]，
若对任意x1∈[﹣1，2]，存在x2∈[0，3]，使得f（x1）≥g（x2），
则﹣m≥1，
解得m∈（﹣∞，﹣]，
故选：A．
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在△ABC中，A=，b2sinC=sinB，则△ABC的面积为 2 ．
【考点】正弦定理．
【分析】利用正弦定理将角化边得到bc=4，代入面积公式即可求出．
【解答】解：∵b2sinC=sinB，∴b2c=4b，即bc=4．
∴S△ABC=bcsinA==2．
故答案为：2．
14．已知函数f（x）=，若不等式f（x）＞a恒成立，则实数a的取值范围是 （﹣∞，﹣1] ．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】求得f（x）的值域，运用二次函数和指数函数的单调性即可求得，再由不等式恒成立思想即可得到所求a的范围．
【解答】解：当x＜﹣1时，f（x）=x2﹣2递减，
可得f（x）＞f（﹣1）=1﹣2=﹣1；
当x≥﹣1时，f（x）=2x﹣1递增，
可得f（x）≥f（﹣1）=﹣1=﹣．
综上可得，f（x）的值域为（﹣1，+∞）．
由不等式f（x）＞a恒成立，
即有a≤﹣1．
则a的范围是（﹣∞，﹣1]．
故答案为：（﹣∞，﹣1]．
15．如果实数x，y满足条件，则z=的最小值为 ．
【考点】简单线性规划．
【分析】由题意作平面区域，易知z=的几何意义是点B（x，y）与点A（﹣1，0）连线的直线的斜率，从而解得．
【解答】解：由题意作平面区域如下，
z=的几何意义是点B（x，y）与点A（﹣1，0）连线的直线的斜率，
故当B（1，1）时，z=有最小值，
z==；
故答案为：．
16．已知椭圆C； +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），P是椭圆C上一点，且|PF2|=|F1F2|，直线PF1与圆x2+y2=相切，则椭圆的离心率为 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由题意画出图形，求解三角形得到F2到PF1所在直线距离，进一步得到O到PF1所在直线距离，结合直线PF1与圆x2+y2=相切列式求得椭圆的离心率．
【解答】解：如图，
设直线PF1与圆x2+y2=相切于G，连接OG，
过F2作F2H⊥PF1于H，
∵|PF2|=|F1F2|=2c，
∴|PF1|=2a﹣|PF2|=2a﹣2c，则|PH|=a﹣c，
∴=．
∴|OG|==．
即3c2+2ac﹣a2=c2，
∴2e2+2e﹣1=0，解得e=（舍）或e=．
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17．在等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，b2+S3=21，b3=S2．
（1）求an与bn；
（2）设数列{bn}的前n项和为Tn，求使不等式4Tn＞S15成立的最小正整数n的值．
【考点】数列与不等式的综合；等差数列的通项公式．
【分析】（1）通过设等差数列{an}的公差为d、等比数列{bn}的公比为q（q＞0），利用b2+S3=21、b3=S2联立方程组计算可知q=d=3，进而计算可得结论；
（2）通过（1）及等比、等差数列的求和公式计算可知Tn=、S15=360，代入化简即得结论．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q（q＞0），
则：b2+S3=b2+3a2=q+3（3+d）=21，q2=3+（3+d），
整理得：，解得：或（舍），
∴数列{an}是首项、公差均为3的等差数列，数列{bn}是首项为1、公比为3的等比数列，
∴an=3n，bn=3n﹣1；
（2）由（1）可知Tn==，S15==360，
∴不等式4Tn＞S15成立等价于4×＞360，即3n＞181，
∵34=81＜181＜35=243，
∴满足条件的最小正整数n=5．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，AB=BC=PA=1，CD=2，点E在棱PB上，且PE=2EB．
（1）求证：PD∥平面EAC；
（2）求证：平面APD⊥平面EAC．
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）连结AC，BD，交于点O，连结OE，推导出△AOB∽△DOC，从而=，进而，推导出OE∥PD，由此能证明PD∥平面EAC．
（2）取CD中点F，连结AF，推导出PA⊥AC，AC⊥AD，从而AC⊥平面PAD，由此能证明平面APD⊥平面EAC．
【解答】证明：（1）连结AC，BD，交于点O，连结OE，
∵底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB=BC=PA=1，CD=2，
∴△AOB∽△DOC，∴=，
∵点E在棱PB上，且PE=2EB，
∴，∴OE∥PD，
∵PD⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，
∴PD∥平面EAC．
（2）取CD中点F，连结AF，
∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，AB=BC=PA=1，CD=2，
∴PA⊥AC，四边形ABCF是正方形，AF=DF=CF，AF⊥CD，
∴AC⊥AD，
∵PA∩AD=A，∴AC⊥平面PAD，
∵AC⊂平面PAC，
∴平面APD⊥平面EAC．
19．某中学进行教学改革试点，推行“高效课堂”的教学法，为了比较教学效果，某化学老师分别用原传统教学和“高效课堂”两种不同的教学方式，在甲乙两个平行班进行教学实验，为了了解教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出的茎叶图如下：记成绩不低于70分者为“成绩优良”．
（1）分别计算甲乙两班20各样本中，化学分数前十的平均分，并大致判断哪种教学方式的教学效果更佳；
（2）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断“成绩优良”与教学方式是否有关？
甲班
乙班
总计
成绩优良
成绩不优良
总计
附：K2（x2）=．
独立性检验临界值表
P（K2≥k）
0.10
0.05
0.025
0.010
k
2.706
3.841
5.024
6.635
【考点】独立性检验的应用；茎叶图．
【分析】（1）根据茎叶图计算甲、乙两班数学成绩前10名学生的平均分即可；
（2）填写列联表，计算K2，对照数表即可得出结论．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）甲班数学成绩前10名学生的平均分为=×（72+74+74+79+79+80+81+85+89+96）=80.9，
乙班数学成绩前10名学生的平均分为=×（78+80+81+85+86+93+96+97+99+99）=89.4；
=80.9＜=89.4，
由此判断使用“高效教学法”的乙班教学效果更佳；…5分
（2）根据茎叶图中的数据，列出列联表，如下；
甲班
乙班（B方式）
总计
成绩优良
10
16
26
成绩不优良
10
4
14
总计
20
20
40
计算K2=≈3.956＞3.841，
∴能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良”与数学方式有关．…12分
20．已知圆M与圆N：（x﹣）2+（y+）2=r2关于直线y=x对称，且点D（﹣，）在圆M上
（1）判断圆M与圆N的位置关系
（2）设P为圆M上任意一点，A（﹣1，）．B（1，），与不共线，PG为∠APB的平分线，且交AB于G，求证△PBG与△APG的面积之比为定值．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】（1）先求得点N关于直线y=x对称点M的坐标，可得圆M的方程，再根据圆心距大于两圆的半径之和，可得两圆相离．
（2）设∠PAB=2α，则∠APG=∠BPG=α，可得==．设点P（x，y），求得PA2和 PB2的值，可得的值．
【解答】解：（1）由于点N（，﹣）关于直线y=x对称点M（﹣，），
故圆M的方程为：（x+）2+（y﹣）2=r2．
把点D（﹣，）在圆M上，可得r2=，故圆M的方程为：（x+）2+（y﹣）2=．
可得圆N：（x﹣）2+（y+）2=，N（，﹣），
根据|MN|==＞，故两圆相离．
（2）设∠PAB=2α，则∠APG=∠BPG=α，∴==．
设点P（x，y），则（x+）2+（y﹣）2=．
PA2=（x+1）2+（y﹣）2=（x+1）2+﹣（x+）2=x；
PB2=（x﹣1）2+（y﹣）2=（x﹣1）2+﹣（x+）2=﹣x；
∴=4，∴=2，即=2．
21．已知函数f（x）=x3﹣mx2+mx（m＞0）
（1）当m=2时，求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）既有极大值，又有极小值，且当0≤x≤4m时，f（x）＜mx2+（m﹣3m2）x+恒成立，求m的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）m=2时，可求出f（x），然后求导数，解f′（x）≥0即可得出y=f（x）的单调递增区间；
（2）求导数，根据题意可知一元二次方程f′（x）=0有两个不同实数根，从而可得出，构造函数，根据导数在[0，4m]上的符号情况即可求出函数g（x）在[0，4m]上的最大值为，然后解不等式即可得出m的取值范围．
【解答】解：（1）m=2时，，f′（x）=x2﹣4x+3；
∴解f′（x）≥0得，x≤1，或x≥3；
∴函数f（x）的单调递增区间是（﹣∞，1]，[3，+∞）；
（2）；
∵f（x）既有极大值又有极小值；
∴方程f′（x）=0有两个不同实数根；
∴△=4m2﹣6m＞0，m＞0；
∴；
令=，g′（x）=x2﹣4mx+3m2；
∴解g′（x）=0得，x=m或x=3m，且m；
∴x∈[0，m）时，g′（x）＞0，x∈（m，3m）时，g′（x）＜0，x∈（3m，4m]时，g′（x）＞0；
∴x=m时，g（x）有极大值，x=3m时，g（x）有极小值0，且g（0）=0，g（4m）=；
∴g（x）的最大值为，则恒成立；
∴m＜2；
∴；
∴m的取值范围为．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，AB是圆O的直径，C为圆周上一点，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E．
（1）求证：AB•DE=BC•CE；
（2）若AB=8，BC=4，求线段AE的长．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（1）连接BE，OC，OC∩BE=F，证明△EDC∽△BCA，即可证明AB•DE=BC•CE；
（2）证明四边形EFCD是矩形，△OBC是等边三角形，即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接BE，OC，AC，OC∩BE=F，则
∵CD是圆O的切线，
∴OC⊥l，
∵AD⊥l，∴AD∥OC，
∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BE，
∵AD⊥l，∴l∥BE，
∴∠DCE=∠CBE=∠CAB，
∵∠EDC=∠BCA=90°，
∴△EDC∽△BCA，
∴=，
∴AB•DE=BC•CE；
（2）解：由（1）可知四边形EFCD是矩形，
∴DE=CF，
∵圆O的直径AB=8，BC=4，
∴∠ABC=60°
∴△OBC是等边三角形，
∴∠EBA=30°，AE=4．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程是ρ=asinθ，直线l的参数方程是（t为参数）
（1）若a=2，直线l与x轴的交点是M，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；
（2）直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的倍，求a的值．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）求出圆C的圆心和半径，M点坐标，则|MN|的最大值为|MC|+r；
（2）由垂径定理可知圆心到直线l的距离为半径的，列出方程解出．
【解答】解：（1）当a=2时，圆C的直角坐标方程为x2+y2=2y，即x2+（y﹣1）2=1．∴圆C的圆心坐标为C（0，1），半径r=1．
令y==0得t=0，把t=0代入x=﹣得x=2．∴M（2，0）．
∴|MC|==．∴|MN|的最大值为|MC|+r=．
（2）由ρ=asinθ得ρ2=aρsinθ，∴圆C的直角坐标方程是x2+y2=ay，即x2+（y﹣）2=．
∴圆C的圆心为C（0，），半径为||，
直线l的普通方程为4x+3y﹣8=0．
∵直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的倍，
∴圆心C到直线l的距离为圆C半径的一半．
∴=||，解得a=32或a=．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知实数a、b满足：a＞0，b＞0．
（1）若x∈R，求证：|x+a|+|x﹣b|≥2．
（2）若a+b=1，求证： ++≥12．
【考点】不等式的证明；绝对值三角不等式．
【分析】（1）运用绝对值不等式的性质和均值不等式，即可得证；
（2）由均值不等式可得ab≤，即≥4，原不等式左边化简即为，即可得证．
【解答】证明：（1）由a＞0，b＞0，可得
|x+a|+|x﹣b|≥|（x+a）﹣（x﹣b）|=a+b≥2，
当且仅当a=b取得等号；
（2）由a，b＞0，1=a+b≥2，
可得ab≤，即≥4，
则++=+=≥12，
当且仅当a=b=，取得等号．
福建省高考数学模拟试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．设集合A={x|﹣3＜x＜4}，集合B={x|x＜1}，则A∪B等于（ ）
A．（﹣3，1） B．[﹣4，1） C．（﹣∞，4） D．（1，4）
2．已知复数z=的实部为1，则实数a等于（ ）
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1
3．已知向量=（2，﹣1），=（1，7），则下列结论正确的是（ ）
A．⊥ B．∥ C．⊥（+） D．⊥（﹣）
4．已知，则cosx等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知α，β是平面，m，n是直线，给出下列命题，其中正确的命题的个数是（ ）
（ 1 ）若m⊥α，m⊂β，则α⊥β （ 2 ）若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
（ 3 ）如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交
（ 4 ）若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．某单位从包括甲、乙在内的5名应聘者中招聘2人，如果这5名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙两人中至少有1人被录用的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的实轴长为4，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y= B．y=±x C．y=±2x D．y=±
8．若函数f（x）=x2+x﹣2alnx在[1，e]上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，] B．（﹣∞，1] C．（﹣1，] D．[1，+∞）
9．已知函数f（x）=2sinxsin（x+3φ）是奇函数，其中φ∈（0，），则函数g（x）=cos（2x﹣φ）的图象（ ）
A．关于点（，0）对称 B．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到
C．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到 D．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到
10．执行如图所示的程序框图，则“3＜m＜5”是“输出i的值为5”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．某几何体的三视图如图所示，记A为此几何体所有棱的长度构成的集合，则（ ）
A．3∈A B．5∈A C．2∈A D．4∈A
12．已知函数f（x）=，且函数g（x）=loga（x2+x+2）（a＞0，且a≠1）在[﹣，1]上的最大值为2，若对任意x1∈[﹣1，2]，存在x2∈[0，3]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣] B．（﹣∞，] C．[，+∞） D．[﹣，+∞]
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在△ABC中，A=，b2sinC=sinB，则△ABC的面积为 ．
14．已知函数f（x）=，若不等式f（x）＞a恒成立，则实数a的取值范围是 ．
15．如果实数x，y满足条件，则z=的最小值为 ．
16．已知椭圆C； +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），P是椭圆C上一点，且|PF2|=|F1F2|，直线PF1与圆x2+y2=相切，则椭圆的离心率为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17．在等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，b2+S3=21，b3=S2．
（1）求an与bn；
（2）设数列{bn}的前n项和为Tn，求使不等式4Tn＞S15成立的最小正整数n的值．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，AB=BC=PA=1，CD=2，点E在棱PB上，且PE=2EB．
（1）求证：PD∥平面EAC；
（2）求证：平面APD⊥平面EAC．
19．某中学进行教学改革试点，推行“高效课堂”的教学法，为了比较教学效果，某化学老师分别用原传统教学和“高效课堂”两种不同的教学方式，在甲乙两个平行班进行教学实验，为了了解教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出的茎叶图如下：记成绩不低于70分者为“成绩优良”．
（1）分别计算甲乙两班20各样本中，化学分数前十的平均分，并大致判断哪种教学方式的教学效果更佳；
（2）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断“成绩优良”与教学方式是否有关？
甲班
乙班
总计
成绩优良
成绩不优良
总计
附：K2（x2）=．
独立性检验临界值表
P（K2≥k）
0.10
0.05
0.025
0.010
k
2.706
3.841
5.024
6.635
20．已知圆M与圆N：（x﹣）2+（y+）2=r2关于直线y=x对称，且点D（﹣，）在圆M上
（1）判断圆M与圆N的位置关系
（2）设P为圆M上任意一点，A（﹣1，）．B（1，），与不共线，PG为∠APB的平分线，且交AB于G，求证△PBG与△APG的面积之比为定值．
21．已知函数f（x）=x3﹣mx2+mx（m＞0）
（1）当m=2时，求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）既有极大值，又有极小值，且当0≤x≤4m时，f（x）＜mx2+（m﹣3m2）x+恒成立，求m的取值范围．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，AB是圆O的直径，C为圆周上一点，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E．
（1）求证：AB•DE=BC•CE；
（2）若AB=8，BC=4，求线段AE的长．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程是ρ=asinθ，直线l的参数方程是（t为参数）
（1）若a=2，直线l与x轴的交点是M，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；
（2）直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的倍，求a的值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知实数a、b满足：a＞0，b＞0．
（1）若x∈R，求证：|x+a|+|x﹣b|≥2．
（2）若a+b=1，求证： ++≥12．
福建省高考数学模拟试卷（文科）试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．设集合A={x|﹣3＜x＜4}，集合B={x|x＜1}，则A∪B等于（ ）
A．（﹣3，1） B．[﹣4，1） C．（﹣∞，4） D．（1，4）
【考点】并集及其运算．
【分析】结合集合并集的定义，可得答案．
【解答】解：集合A={x|﹣3＜x＜4}=（﹣3，4），集合B={x|x＜1}=（﹣∞，1），
则A∪B=（﹣∞，4），
故选：C．
2．已知复数z=的实部为1，则实数a等于（ ）
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】由复数代数形式的除法运算化简，然后由实部等于1求解．
【解答】解：复数z===，
∵复数z=的实部为1，
∴6﹣a=5，
即a=1，
故选：C．
3．已知向量=（2，﹣1），=（1，7），则下列结论正确的是（ ）
A．⊥ B．∥ C．⊥（+） D．⊥（﹣）
【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】求出+，然后通过向量的数量积求解即可．
【解答】解：向量=（2，﹣1），=（1，7），+=（3，6）．
•（+）=6﹣6=0．
⊥（+）=0．
故选：C．
4．已知，则cosx等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】两角和与差的余弦函数．
【分析】由已知利用两角和的正弦函数公式，诱导公式即可化简求值．
【解答】解：∵，
∴sin（x﹣+）=sin（x﹣）=﹣cosx=，
∴cosx=﹣．
故选：B．
5．已知α，β是平面，m，n是直线，给出下列命题，其中正确的命题的个数是（ ）
（ 1 ）若m⊥α，m⊂β，则α⊥β
（ 2 ）若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
（ 3 ）如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交
（ 4 ）若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】利用面面平行和妈妈垂直的判定定理分别分析解答．
【解答】解：对于（ 1 ），若m⊥α，m⊂β，则满足面面垂直的判定定理，所以α⊥β正确；
对于（ 2 ），若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，如果m∥n，则α，β可能相交，所以α∥β错误；
对于（ 3 ），如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交或者平行；故（3）错误；
对于（ 4 ），若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，满足线面平行的判定定理，所以n∥α且n∥β正确．
故选B．
6．某单位从包括甲、乙在内的5名应聘者中招聘2人，如果这5名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙两人中至少有1人被录用的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】列举出所有可能的基本事件和符合条件的基本事件，使用古典概型的概率计算公式计算概率．
【解答】解：设剩余三名应聘者为a，b，c，则从5人中录用两人的所有可能结果共有10个，分别为（甲，乙），（甲，a），（甲，b），（甲，c），（乙，a），（乙，b），（乙，c），（a，b），（a，c），（b，c）．
其中甲乙两人至少有1人被录用的基本事件有7个，分别是（甲，乙），（甲，a），（甲，b），（甲，c），（乙，a），（乙，b），（乙，c）．
∴甲、乙两人中至少有1人被录用的概率P=．
故选：B．
7．已知双曲线的实轴长为4，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y= B．y=±x C．y=±2x D．y=±
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】将双曲线的方程化为标准方程，可得a=，b=，由题意可得2=4，解得k，即有双曲线的方程和渐近线方程．
【解答】解：双曲线（k＜0）即为
﹣=1，
可得a=，b=，
由题意可得2=4，
解得k=﹣2，
即有双曲线的方程为﹣=1，
即有渐近线方程为y=±x．
故选：D．
8．若函数f（x）=x2+x﹣2alnx在[1，e]上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，] B．（﹣∞，1] C．（﹣1，] D．[1，+∞）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】由函数f（x）在[1，e]上单调递增，可得f′（x）≥0在[1，e]上恒成立．即2x+1﹣≥0，x∈[1，e]⇔a≤2x2min，x∈[1，e]．利用二次函数的单调性求出即可．
【解答】解：函数f（x）=x2+x﹣2alnx，（x∈[1，e]），f′（x）=2x+1﹣，
∵函数f（x）在[1，e]上单调递增，
∴f′（x）≥0在[1，e]上恒成立．
∴2x+1﹣≥0，x∈[1，e]⇔a≤（2x2+x）min，x∈[1，e]．
令g（x）=（2x2+x），则g（x）在[1，e]单调增函数．
∴g（x）≤g（1）=．
∴a≤．
故选：A．
9．已知函数f（x）=2sinxsin（x+3φ）是奇函数，其中φ∈（0，），则函数g（x）=cos（2x﹣φ）的图象（ ）
A．关于点（，0）对称
B．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到
C．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到
D．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到
【考点】余弦函数的对称性．
【分析】由条件利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：∵函数f（x）=2sinxsin（x+3φ）是奇函数，其中φ∈（0，），∴φ=，
∴f（x）=2sinxsin（x+）=sin2x=cos（2x﹣）=cos2（x﹣），
则函数g（x）=cos（2x﹣φ）=cos（2x﹣）=cos2（x﹣） 的图象可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到的，
故选：C．
10．执行如图所示的程序框图，则“3＜m＜5”是“输出i的值为5”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】程序框图；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，求出m的范围，结合充要条件的定义，可得答案．
【解答】解：第一次执行循环体后，S=2，i=2，应该不满足退出循环的条件；
第二次执行循环体后，S=6，i=3，应该不满足退出循环的条件；
第三次执行循环体后，S=13，i=4，应该不满足退出循环的条件；
第四次执行循环体后，S=23，i=5，应该满足退出循环的条件；
故，解得：，
故“3＜m＜5”是“输出i的值为5”的必要不充分条件，
故选：B
11．某几何体的三视图如图所示，记A为此几何体所有棱的长度构成的集合，则（ ）
A．3∈A B．5∈A C．2∈A D．4∈A
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图知该几何体一个直三棱柱切去一个三棱锥所得的几何体，由三视图求出几何元素的长度，判断出线面的位置关系，由勾股定理求出几何体的棱长，即可得到答案．
【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱柱截去一个三棱锥，
四边形ABCD是一个边长为4的正方形，
且AF⊥面ABCD，DE∥AF，DE=4，AF=2，
∴AF⊥AB、DE⊥DC、DE⊥BD，
∴EC==4，EF=FB==2，
BE===4，
∵A为此几何体所有棱的长度构成的集合，
∴A={2，4，4，4，4}，
故选：D．
12．已知函数f（x）=，且函数g（x）=loga（x2+x+2）（a＞0，且a≠1）在[﹣，1]上的最大值为2，若对任意x1∈[﹣1，2]，存在x2∈[0，3]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣] B．（﹣∞，] C．[，+∞） D．[﹣，+∞]
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】由已知函数g（x）=loga（x2+x+2）（a＞0，且a≠1）在[﹣，1]上的最大值为2，先求出a值，进而求出两个函数在指定区间上的最小值，结合已知，分析两个最小值的关系，可得答案．
【解答】解：∵函数f（x）==31﹣x﹣m，
当x1∈[﹣1，2]时，f（x1）∈[﹣m，9﹣m]；
∵t=x2+x+2的图象是开口朝上，且以直线x=﹣为对称轴的抛物线，
故x∈[﹣，1]时，t∈[，4]，
若函数g（x）=loga（x2+x+2）（a＞0，且a≠1）在[﹣，1]上的最大值为2，
则a=2，
即g（x）=log2（x2+x+2），
当x2∈[0，3]时，g（x2）∈[1，log214]，
若对任意x1∈[﹣1，2]，存在x2∈[0，3]，使得f（x1）≥g（x2），
则﹣m≥1，
解得m∈（﹣∞，﹣]，
故选：A．
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在△ABC中，A=，b2sinC=sinB，则△ABC的面积为 2 ．
【考点】正弦定理．
【分析】利用正弦定理将角化边得到bc=4，代入面积公式即可求出．
【解答】解：∵b2sinC=sinB，∴b2c=4b，即bc=4．
∴S△ABC=bcsinA==2．
故答案为：2．
14．已知函数f（x）=，若不等式f（x）＞a恒成立，则实数a的取值范围是 （﹣∞，﹣1] ．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】求得f（x）的值域，运用二次函数和指数函数的单调性即可求得，再由不等式恒成立思想即可得到所求a的范围．
【解答】解：当x＜﹣1时，f（x）=x2﹣2递减，
可得f（x）＞f（﹣1）=1﹣2=﹣1；
当x≥﹣1时，f（x）=2x﹣1递增，
可得f（x）≥f（﹣1）=﹣1=﹣．
综上可得，f（x）的值域为（﹣1，+∞）．
由不等式f（x）＞a恒成立，
即有a≤﹣1．
则a的范围是（﹣∞，﹣1]．
故答案为：（﹣∞，﹣1]．
15．如果实数x，y满足条件，则z=的最小值为 ．
【考点】简单线性规划．
【分析】由题意作平面区域，易知z=的几何意义是点B（x，y）与点A（﹣1，0）连线的直线的斜率，从而解得．
【解答】解：由题意作平面区域如下，
z=的几何意义是点B（x，y）与点A（﹣1，0）连线的直线的斜率，
故当B（1，1）时，z=有最小值，
z==；
故答案为：．
16．已知椭圆C； +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），P是椭圆C上一点，且|PF2|=|F1F2|，直线PF1与圆x2+y2=相切，则椭圆的离心率为 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由题意画出图形，求解三角形得到F2到PF1所在直线距离，进一步得到O到PF1所在直线距离，结合直线PF1与圆x2+y2=相切列式求得椭圆的离心率．
【解答】解：如图，
设直线PF1与圆x2+y2=相切于G，连接OG，
过F2作F2H⊥PF1于H，
∵|PF2|=|F1F2|=2c，
∴|PF1|=2a﹣|PF2|=2a﹣2c，则|PH|=a﹣c，
∴=．
∴|OG|==．
即3c2+2ac﹣a2=c2，
∴2e2+2e﹣1=0，解得e=（舍）或e=．
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17．在等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，b2+S3=21，b3=S2．
（1）求an与bn；
（2）设数列{bn}的前n项和为Tn，求使不等式4Tn＞S15成立的最小正整数n的值．
【考点】数列与不等式的综合；等差数列的通项公式．
【分析】（1）通过设等差数列{an}的公差为d、等比数列{bn}的公比为q（q＞0），利用b2+S3=21、b3=S2联立方程组计算可知q=d=3，进而计算可得结论；
（2）通过（1）及等比、等差数列的求和公式计算可知Tn=、S15=360，代入化简即得结论．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q（q＞0），
则：b2+S3=b2+3a2=q+3（3+d）=21，q2=3+（3+d），
整理得：，解得：或（舍），
∴数列{an}是首项、公差均为3的等差数列，数列{bn}是首项为1、公比为3的等比数列，
∴an=3n，bn=3n﹣1；
（2）由（1）可知Tn==，S15==360，
∴不等式4Tn＞S15成立等价于4×＞360，即3n＞181，
∵34=81＜181＜35=243，
∴满足条件的最小正整数n=5．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，AB=BC=PA=1，CD=2，点E在棱PB上，且PE=2EB．
（1）求证：PD∥平面EAC；
（2）求证：平面APD⊥平面EAC．
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）连结AC，BD，交于点O，连结OE，推导出△AOB∽△DOC，从而=，进而，推导出OE∥PD，由此能证明PD∥平面EAC．
（2）取CD中点F，连结AF，推导出PA⊥AC，AC⊥AD，从而AC⊥平面PAD，由此能证明平面APD⊥平面EAC．
【解答】证明：（1）连结AC，BD，交于点O，连结OE，
∵底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB=BC=PA=1，CD=2，
∴△AOB∽△DOC，∴=，
∵点E在棱PB上，且PE=2EB，
∴，∴OE∥PD，
∵PD⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，
∴PD∥平面EAC．
（2）取CD中点F，连结AF，
∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，AB=BC=PA=1，CD=2，
∴PA⊥AC，四边形ABCF是正方形，AF=DF=CF，AF⊥CD，
∴AC⊥AD，
∵PA∩AD=A，∴AC⊥平面PAD，
∵AC⊂平面PAC，
∴平面APD⊥平面EAC．
19．某中学进行教学改革试点，推行“高效课堂”的教学法，为了比较教学效果，某化学老师分别用原传统教学和“高效课堂”两种不同的教学方式，在甲乙两个平行班进行教学实验，为了了解教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出的茎叶图如下：记成绩不低于70分者为“成绩优良”．
（1）分别计算甲乙两班20各样本中，化学分数前十的平均分，并大致判断哪种教学方式的教学效果更佳；
（2）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断“成绩优良”与教学方式是否有关？
甲班
乙班
总计
成绩优良
成绩不优良
总计
附：K2（x2）=．
独立性检验临界值表
P（K2≥k）
0.10
0.05
0.025
0.010
k
2.706
3.841
5.024
6.635
【考点】独立性检验的应用；茎叶图．
【分析】（1）根据茎叶图计算甲、乙两班数学成绩前10名学生的平均分即可；
（2）填写列联表，计算K2，对照数表即可得出结论．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）甲班数学成绩前10名学生的平均分为=×（72+74+74+79+79+80+81+85+89+96）=80.9，
乙班数学成绩前10名学生的平均分为=×（78+80+81+85+86+93+96+97+99+99）=89.4；
=80.9＜=89.4，
由此判断使用“高效教学法”的乙班教学效果更佳；…5分
（2）根据茎叶图中的数据，列出列联表，如下；
甲班
乙班（B方式）
总计
成绩优良
10
16
26
成绩不优良
10
4
14
总计
20
20
40
计算K2=≈3.956＞3.841，
∴能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良”与数学方式有关．…12分
20．已知圆M与圆N：（x﹣）2+（y+）2=r2关于直线y=x对称，且点D（﹣，）在圆M上
（1）判断圆M与圆N的位置关系
（2）设P为圆M上任意一点，A（﹣1，）．B（1，），与不共线，PG为∠APB的平分线，且交AB于G，求证△PBG与△APG的面积之比为定值．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】（1）先求得点N关于直线y=x对称点M的坐标，可得圆M的方程，再根据圆心距大于两圆的半径之和，可得两圆相离．
（2）设∠PAB=2α，则∠APG=∠BPG=α，可得==．设点P（x，y），求得PA2和 PB2的值，可得的值．
【解答】解：（1）由于点N（，﹣）关于直线y=x对称点M（﹣，），
故圆M的方程为：（x+）2+（y﹣）2=r2．
把点D（﹣，）在圆M上，可得r2=，故圆M的方程为：（x+）2+（y﹣）2=．
可得圆N：（x﹣）2+（y+）2=，N（，﹣），
根据|MN|==＞，故两圆相离．
（2）设∠PAB=2α，则∠APG=∠BPG=α，∴==．
设点P（x，y），则（x+）2+（y﹣）2=．
PA2=（x+1）2+（y﹣）2=（x+1）2+﹣（x+）2=x；
PB2=（x﹣1）2+（y﹣）2=（x﹣1）2+﹣（x+）2=﹣x；
∴=4，∴=2，即=2．
21．已知函数f（x）=x3﹣mx2+mx（m＞0）
（1）当m=2时，求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）既有极大值，又有极小值，且当0≤x≤4m时，f（x）＜mx2+（m﹣3m2）x+恒成立，求m的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）m=2时，可求出f（x），然后求导数，解f′（x）≥0即可得出y=f（x）的单调递增区间；
（2）求导数，根据题意可知一元二次方程f′（x）=0有两个不同实数根，从而可得出，构造函数，根据导数在[0，4m]上的符号情况即可求出函数g（x）在[0，4m]上的最大值为，然后解不等式即可得出m的取值范围．
【解答】解：（1）m=2时，，f′（x）=x2﹣4x+3；
∴解f′（x）≥0得，x≤1，或x≥3；
∴函数f（x）的单调递增区间是（﹣∞，1]，[3，+∞）；
（2）；
∵f（x）既有极大值又有极小值；
∴方程f′（x）=0有两个不同实数根；
∴△=4m2﹣6m＞0，m＞0；
∴；
令=，g′（x）=x2﹣4mx+3m2；
∴解g′（x）=0得，x=m或x=3m，且m；
∴x∈[0，m）时，g′（x）＞0，x∈（m，3m）时，g′（x）＜0，x∈（3m，4m]时，g′（x）＞0；
∴x=m时，g（x）有极大值，x=3m时，g（x）有极小值0，且g（0）=0，g（4m）=；
∴g（x）的最大值为，则恒成立；
∴m＜2；
∴；
∴m的取值范围为．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，AB是圆O的直径，C为圆周上一点，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E．
（1）求证：AB•DE=BC•CE；
（2）若AB=8，BC=4，求线段AE的长．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（1）连接BE，OC，OC∩BE=F，证明△EDC∽△BCA，即可证明AB•DE=BC•CE；
（2）证明四边形EFCD是矩形，△OBC是等边三角形，即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接BE，OC，AC，OC∩BE=F，则
∵CD是圆O的切线，
∴OC⊥l，
∵AD⊥l，∴AD∥OC，
∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BE，
∵AD⊥l，∴l∥BE，
∴∠DCE=∠CBE=∠CAB，
∵∠EDC=∠BCA=90°，
∴△EDC∽△BCA，
∴=，
∴AB•DE=BC•CE；
（2）解：由（1）可知四边形EFCD是矩形，
∴DE=CF，
∵圆O的直径AB=8，BC=4，
∴∠ABC=60°
∴△OBC是等边三角形，
∴∠EBA=30°，AE=4．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程是ρ=asinθ，直线l的参数方程是（t为参数）
（1）若a=2，直线l与x轴的交点是M，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；
（2）直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的倍，求a的值．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）求出圆C的圆心和半径，M点坐标，则|MN|的最大值为|MC|+r；
（2）由垂径定理可知圆心到直线l的距离为半径的，列出方程解出．
【解答】解：（1）当a=2时，圆C的直角坐标方程为x2+y2=2y，即x2+（y﹣1）2=1．∴圆C的圆心坐标为C（0，1），半径r=1．
令y==0得t=0，把t=0代入x=﹣得x=2．∴M（2，0）．
∴|MC|==．∴|MN|的最大值为|MC|+r=．
（2）由ρ=asinθ得ρ2=aρsinθ，∴圆C的直角坐标方程是x2+y2=ay，即x2+（y﹣）2=．
∴圆C的圆心为C（0，），半径为||，
直线l的普通方程为4x+3y﹣8=0．
∵直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的倍，
∴圆心C到直线l的距离为圆C半径的一半．
∴=||，解得a=32或a=．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知实数a、b满足：a＞0，b＞0．
（1）若x∈R，求证：|x+a|+|x﹣b|≥2．
（2）若a+b=1，求证： ++≥12．
【考点】不等式的证明；绝对值三角不等式．
【分析】（1）运用绝对值不等式的性质和均值不等式，即可得证；
（2）由均值不等式可得ab≤，即≥4，原不等式左边化简即为，即可得证．
【解答】证明：（1）由a＞0，b＞0，可得
|x+a|+|x﹣b|≥|（x+a）﹣（x﹣b）|=a+b≥2，
当且仅当a=b取得等号；
（2）由a，b＞0，1=a+b≥2，
可得ab≤，即≥4，
则++=+=≥12，
当且仅当a=b=，取得等号．
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