2013年安徽省高考数学试卷（文科）

这是一份2013年安徽省高考数学试卷（文科），共23页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2013年安徽省高考数学试卷（文科）
　
一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设i是虚数单位，若复数a﹣（a∈R）是纯虚数，则a的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
2．（5分）已知A={x|x+1＞0}，B={﹣2，﹣1，0，1}，则（∁RA）∩B=（　　）
A．{﹣2，﹣1} B．{﹣2} C．{﹣2，0，1} D．{0，1}
3．（5分）如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（　　）

A． B． C． D．
4．（5分）“（2x﹣1）x=0”是“x=0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．4
7．（5分）设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8=4a3，a7=﹣2，则a9=（　　）
A．﹣6 B．﹣4 C．﹣2 D．2
8．（5分）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…xn，使得==…=，则n的取值范围为（　　）

A．{2，3} B．{2，3，4} C．{3，4} D．{3，4，5}
9．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=（　　）
A． B． C． D．
10．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
　
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．
11．（5分）函数y=ln（1+）+的定义域为　 　．
12．（5分）若非负数变量x、y满足约束条件，则x+y的最大值为　 　．
13．（5分）若非零向量，满足||=3||=|+2|，则与夹角的余弦值为　 　．
14．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x）．若当0≤x≤1时．f（x）=x（1﹣x），则当﹣1≤x≤0时，f（x）=　 　．
15．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是　 　（写出所有正确命题的编号）．
①当0＜CQ＜时，S为四边形
②当CQ=时，S为等腰梯形
③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=
④当＜CQ＜1时，S为六边形
⑤当CQ=1时，S的面积为．

　
三、解答题
16．（12分）设函数f（x）=sinx+sin（x+）．
（Ⅰ）求f（x）的最小值，并求使f（x）取得最小值的x的集合；
（Ⅱ）不画图，说明函数y=f（x）的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变化得到．
17．（12分）为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，现从这两个学校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图：

（Ⅰ）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；
（Ⅱ）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为、，估计﹣的值．
18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°．已知PB=PD=2，PA=．
（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC
（Ⅱ）若E为PA的中点，求三菱锥P﹣BCE的体积．

19．（13分）设数列{an}满足a1=2，a2+a4=8，且对任意n∈N*，函数 f（x）=（an﹣an+1+an+2）x+an+1cosx﹣an+2sinx满足f′（）=0
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=2（an+）求数列{bn}的前n项和Sn．
20．（13分）设函数f（x）=ax﹣（1+a2）x2，其中a＞0，区间I={x|f（x）＞0}
（Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α）；
（Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1﹣k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．
21．（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，且过点P（，）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设Q（x0，y0）（x0y0≠0）为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E．取点A（0，2），连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D．点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由．
　

2013年安徽省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设i是虚数单位，若复数a﹣（a∈R）是纯虚数，则a的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【分析】利用复数的运算法则把a﹣（a∈R）可以化为（a﹣3）﹣i，再利用纯虚数的定义即可得到a．
【解答】解：∵=（a﹣3）﹣i是纯虚数，
∴a﹣3=0，解得a=3．
故选：D．
【点评】熟练掌握复数的运算法则和纯虚数的定义是解题的关键．
　
2．（5分）已知A={x|x+1＞0}，B={﹣2，﹣1，0，1}，则（∁RA）∩B=（　　）
A．{﹣2，﹣1} B．{﹣2} C．{﹣2，0，1} D．{0，1}
【分析】先利用一元一次不等式的解法化简集合A，再求其在实数集中的补集，最后求集合B与A的补集的交集即可．
【解答】解：∵A={x|x+1＞0}={x|x＞﹣1}，
∴CUA={x|x≤﹣1}，
∴（∁RA）∩B={x|x≤﹣1}∩{﹣2，﹣1，0，1}={﹣2，﹣1}
故选：A．
【点评】本题主要考查了集合的补集与交集运算，属于集合运算的常规题．
　
3．（5分）如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据所给数值执行循环语句，然后判定是否满足判断框中的条件，一旦不满足条件就退出循环，从而到结论．
【解答】解：由程序框图知，循环体被执行后S的值依次为：
第1次S=0+，
第2次S=+，
第3次S=++，此时n=8
不满足选择条件n＜8，退出循环，故输出的结果是S=++=．
故选：C．
【点评】本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，属于基础题．
　
4．（5分）“（2x﹣1）x=0”是“x=0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断．
【解答】解：若（2x﹣1）x=0 则x=0或x=．即（2x﹣1）x=0推不出x=0．
反之，若x=0，则（2x﹣1）x=0，即x=0推出（2x﹣1）x=0
所以“（2x﹣1）x=0”是“x=0”的 必要不充分条件．
故选：B．
【点评】判定条件种类，根据定义转化成相关命题的真假来判定．
一般的，①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
　
5．（5分）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】设“甲或乙被录用”为事件A，则其对立事件表示“甲乙两人都没有被录取”，先求出，再利用P（A）=1﹣P（）即可得出．
【解答】解：设“甲或乙被录用”为事件A，则其对立事件表示“甲乙两人都没有被录取”，则==．
因此P（A）=1﹣P（）=1﹣=．
故选：D．
【点评】熟练掌握互为对立事件的概率之间的关系是解题的关键．
　
6．（5分）直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．4
【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆的圆心坐标和半径，由点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出半弦长，则弦长可求．
【解答】解：由x2+y2﹣2x﹣4y=0，得（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，
所以圆的圆心坐标是C（1，2），半径r=．
圆心C到直线x+2y﹣5+=0的距离为d=．
所以直线直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为．
故选：C．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了弦心距、圆的半径及半弦长之间的关系，是基础题．
　
7．（5分）设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8=4a3，a7=﹣2，则a9=（　　）
A．﹣6 B．﹣4 C．﹣2 D．2
【分析】利用等差数列有前n项和公式和通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出第9项．
【解答】解：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，
S8=4a3，a7=﹣2，
∴，
解得a1=10，d=﹣2，
∴a9=a1+8d=10﹣16=﹣6．
故选：A．
【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
　
8．（5分）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…xn，使得==…=，则n的取值范围为（　　）

A．{2，3} B．{2，3，4} C．{3，4} D．{3，4，5}
【分析】由表示（x，f（x））点与原点连线的斜率，结合函数y=f（x）的图象，数形结合分析可得答案．
【解答】解：令y=f（x），y=kx，
作直线y=kx，可以得出2，3，4个交点，
故k=（x＞0）可分别有2，3，4个解．
故n的取值范围为2，3，4．
故选：B．

【点评】正确理解斜率的意义、函数交点的意义及数形结合的思想方法是解题的关键．
　
9．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=（　　）
A． B． C． D．
【分析】3sinA=5sinB，由正弦定理可得：3a=5b，可得a=，又b+c=2a，可得c=，不妨取b=3，则a=5，c=7．再利用余弦定理即可得出．
【解答】解：∵3sinA=5sinB，由正弦定理可得：3a=5b，∴a=，
又b+c=2a，可得c=2a﹣b=，
不妨取b=3，则a=5，c=7．
∴cosC===﹣，
∵C∈（0，π），
∴．
故选：D．
【点评】本题考查了正弦定理余弦定理解三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
　
10．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，可得f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，必有△=4a2﹣12b＞0．而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，可知此方程有两解且f（x）=x1或x2．再分别讨论利用平移变换即可解出方程f（x）=x1或f（x）=x2解的个数．
【解答】解：∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，
∴f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，
∴△=4a2﹣12b＞0．解得=．
∵x1＜x2，
∴，．
而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，
∴此方程有两解且f（x）=x1或x2．
不妨取0＜x1＜x2，f（x1）＞0．
①把y=f（x）向下平移x1个单位即可得到y=f（x）﹣x1的图象，
∵f（x1）=x1，可知方程f（x）=x1有两解．
②把y=f（x）向下平移x2个单位即可得到y=f（x）﹣x2的图象，∵f（x1）=x1，∴f（x1）﹣x2＜0，可知方程f（x）=x2只有一解．
综上①②可知：方程f（x）=x1或f（x）=x2．只有3个实数解．即关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的只有3不同实根．
故选：A．

【点评】本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值及方程解的个数、平移变换等基础知识，考查了数形结合的思想方法、推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．
　
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．
11．（5分）函数y=ln（1+）+的定义域为　（0，1]　．
【分析】根据偶次根式下大于等于0，对数的真数大于0，建立不等式组解之即可求出所求．
【解答】解：由题意得：，即
解得：x∈（0，1]．
故答案为：（0，1]．
【点评】本题主要考查了对数函数的定义域，以及偶次根式函数的定义域，属于基础题．
　
12．（5分）若非负数变量x、y满足约束条件，则x+y的最大值为　4　．
【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．
【解答】解：画出可行域如图阴影部分，
其中，可得A（4，0）
目标函数z=x+y可以变形为y=﹣x+z，
可看做斜率为﹣1的动直线，其纵截距越大z越大，
由图数形结合可得当动直线过点A时，z最大=4+0=4
故答案为：4

【点评】本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题
　
13．（5分）若非零向量，满足||=3||=|+2|，则与夹角的余弦值为　﹣　．
【分析】利用条件化简可得 4=﹣4，由此可得||•||=||•||cos＜，＞，从而求得与夹角的余弦值．
【解答】解：由题意可得 =9，且 =+4+4，化简可得 4=﹣4，
∴||•||=﹣||•||cos＜，＞，∴cos＜，＞=﹣=﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量夹角公式的应用，属于中档题．
　
14．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x）．若当0≤x≤1时．f（x）=x（1﹣x），则当﹣1≤x≤0时，f（x）=　﹣x（x+1）　．
【分析】当﹣1≤x≤0时，0≤x+1≤1，由已知表达式可求得f（x+1），根据f（x+1）=2f（x）即可求得f（x）．
【解答】解：当﹣1≤x≤0时，0≤x+1≤1，
由题意f（x）=f（x+1）=（x+1）[1﹣（x+1）]=﹣x（x+1），
故答案为：﹣x（x+1）．
【点评】本题考查函数解析式的求解，属基础题，正确理解函数定义是解决问题的关键．
　
15．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是　①②③⑤　（写出所有正确命题的编号）．
①当0＜CQ＜时，S为四边形
②当CQ=时，S为等腰梯形
③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=
④当＜CQ＜1时，S为六边形
⑤当CQ=1时，S的面积为．

【分析】由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误．
【解答】解：如图
当CQ=时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1==，
故可得截面APQD1为等腰梯形，故②正确；
由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ，
即可得截面为四边形APQM，故①正确；
③当CQ=时，如图，

延长DD1至N，使D1N=，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，
可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R=，故正确；
④由③可知当＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误；
⑤当CQ=1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1=AF，
可知截面为APC1F为菱形，故其面积为AC1•PF==，故正确．
故答案为：①②③⑤．
【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及正方体的截面问题，属中档题．
　
三、解答题
16．（12分）设函数f（x）=sinx+sin（x+）．
（Ⅰ）求f（x）的最小值，并求使f（x）取得最小值的x的集合；
（Ⅱ）不画图，说明函数y=f（x）的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变化得到．
【分析】（Ⅰ）f（x）解析式第二项利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的图象与性质即可求出满足题意x的集合；
（Ⅱ）根据变换及平移规律即可得到结果．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sinx+sinx+cosx=sinx+cosx=sin（x+），
∴当x+=2kπ﹣（k∈Z），即x=2kπ﹣（x∈Z）时，f（x）取得最小值﹣，
此时x的取值集合为{x|x=2kπ﹣（k∈Z）}；
（Ⅱ）先由y=sinx的图象上的所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，即为y=sinx的图象；
再由y=sinx的图象上的所有点向左平移个单位，得到y=f（x）的图象．
【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键．
　
17．（12分）为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，现从这两个学校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图：

（Ⅰ）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；
（Ⅱ）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为、，估计﹣的值．
【分析】（I）先设甲校高三年级总人数为n，利用甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05得=0.05求出n，又样本中甲校高三年级这次联考数学成绩的不及格人数为5，利用对立事件的概率可估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率；
（II）设样本中甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为a1，a2，利用茎叶图中同一行的数据之差可得30（a1﹣a2 ）=（7﹣5）+55+（2﹣8）+（5﹣0）+（5﹣6）+…+92=15，从而求出a1﹣a2 的值，最后利用样本估计总体的思想得出结论即可．
【解答】解：（I）设甲校高三年级总人数为n，则=0.05，∴n=600，
又样本中甲校高三年级这次联考数学成绩的不及格人数为5，
∴估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率1﹣=；
（II）设样本中甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为a1，a2，
由茎叶图可知，
30（a1﹣a2 ）=（7﹣5）+55+（2﹣8）+（5﹣0）+（5﹣6）+…+92=15，
∴a1﹣a2==0.5．
∴利用样本估计总体，故估计x1﹣x2 的值为0.5．

【点评】此题考查了学生的识图及计算能力，茎叶图，及格率的定义及平均数的定义．
　
18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°．已知PB=PD=2，PA=．
（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC
（Ⅱ）若E为PA的中点，求三菱锥P﹣BCE的体积．

【分析】（Ⅰ）连接BD，AC交于O点，分别证明出PO⊥BD，BD⊥AC，根据线面垂直的判定定理证明出BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）先证明出△ABD≌△PBD，求得PO，根据勾股定理证明出AC⊥PO，求得△PAC的面积，最后根据VP﹣BCE=VB﹣PEC=VB﹣PAC求得答案．
【解答】（Ⅰ）证明：连接BD，AC交于O点，
∵PB=PD，
∴PO⊥BD，
又ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
∵PO⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，AC∩PO=O，
∴BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）则AC=2，
∵△ABD和△PBD的三边长均为2，
∴△ABD≌△PBD，
∴AO=PO=，
∴AO2+PO2=PA2，
∴AC⊥PO，
S△PAC=•AC•PO=3，
VP﹣BCE=VB﹣PEC=VB﹣PAC=••S△PAC•BO=××3×1=．

【点评】本题主要考查了线面垂直的判定问题，三棱锥的体积计算．解题过程中注重了对学生基础定理的考查．
　
19．（13分）设数列{an}满足a1=2，a2+a4=8，且对任意n∈N*，函数 f（x）=（an﹣an+1+an+2）x+an+1cosx﹣an+2sinx满足f′（）=0
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=2（an+）求数列{bn}的前n项和Sn．
【分析】（I）利用导数的运算法则先求出f′（x），再利用，即可得到数列{an}是等差数列，再利用已知及等差数列的通项公式即可得出an；
（II）利用（I）得出bn，利用等差数列和等比数列的前n项和公式即可得出Sn．
【解答】解：（I）∵f′（x）=an﹣an+1+an+2﹣an+1sinx﹣an+2cosx，．
∴2an+1=an+an+2对任意n∈N*，都成立．
∴数列{an}是等差数列，设公差为d，∵a1=2，a2+a4=8，∴2+d+2+3d=8，解得d=1．
∴an=a1+（n﹣1）d=2+n﹣1=n+1．
（II）由（I）可得，=2（n+1）+，
∴Sn=2[2+3+…+（n+1）]+
=
=．
【点评】数列掌握导数的运算法则、等差数列的通项公式、等差数列和等比数列的前n项和公式是解题的关键．
　
20．（13分）设函数f（x）=ax﹣（1+a2）x2，其中a＞0，区间I={x|f（x）＞0}
（Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α）；
（Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1﹣k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．
【分析】（Ⅰ）解不等式f（x）＞0可得区间I，由区间长度定义可得I的长度；
（Ⅱ）由（Ⅰ）构造函数d（a）=，利用导数可判断d（a）的单调性，由单调性可判断d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得，通过作商比较可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）因为方程ax﹣（1+a2）x2=0（a＞0）有两个实根x1=0，＞0，
故f（x）＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}，
因此区间I=（0，），区间长度为；

（Ⅱ）设d（a）=，则d′（a）=，
令d′（a）=0，得a=1，由于0＜k＜1，
故当1﹣k≤a＜1时，d′（a）＞0，d（a）单调递增；当1＜a≤1+k时，d′（a）＜0，d（a）单调递减，
因此当1﹣k≤a≤1+k时，d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得，
而=＜1，故d（1﹣k）＜d（1+k），
因此当a=1﹣k时，d（a）在区间[1﹣k，1+k]上取得最小值，即I长度的最小值为．
【点评】本题考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用等基础知识和基本技能，考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力．
　
21．（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，且过点P（，）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设Q（x0，y0）（x0y0≠0）为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E．取点A（0，2），连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D．点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由．
【分析】（I）根据椭圆的焦距为4，得到c==2，再由点P（）在椭圆C上得到，两式联解即可得到a2=8且b2=4，从而得到椭圆C的方程；
（II）由题意得E（x0，0），设D的坐标为（xD，0），可得向量、的坐标，根据AD⊥AE得，从而算出xD=﹣，因为点G是点D关于y轴的对称点，得到G（，0）．直线QG的斜率为kQG=，结合点Q是椭圆C上的点化简得kQG=﹣，从而得到直线QG的方程为：y=﹣（x﹣），将此方程与椭圆C的方程联解可得△=0，从而得到方程组有唯一解，即点Q是直线QG与椭圆C的唯一公共点，由此即得直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点．
【解答】解：（I）∵椭圆C：+（a＞b＞0）的焦距为4，
∴c=2，可得=2…①
又∵点P（）在椭圆C上
∴…②
联解①②，可得a2=8且b2=4，椭圆C的方程为；
（II）由题意，得E点坐标为（x0，0），
设D（xD，0），可得=（x0，﹣），=（xD，﹣），
∵AD⊥AE，可得
∴x0xD+（﹣）•（﹣）=0，即x0xD+8=0，得xD=﹣
∵点G是点D关于y轴的对称点，∴点G的坐标为（，0）
因此，直线QG的斜率为kQG==
又∵点Q（x0，y0）在椭圆C上，可得
∴kQG==﹣
由此可得直线QG的方程为：y=﹣（x﹣），
代入椭圆C方程，化简得（）x2﹣16x0x+64﹣16=0
将代入上式，得8x2﹣16x0x+8=0，
化简得x2﹣2x0x+=0，所以△=，
从而可得x=x0，y=y0是方程组的唯一解，即点Q是直线QG与椭圆C的唯一公共点．
综上所述，可得直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点．

【点评】本题给出椭圆的焦距和椭圆上的点P的坐标，求椭圆的方程并由此讨论直线QG与椭圆公共点的个数问题．着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．