人教版八年级上册13.3.2 等边三角形教学设计

这是一份人教版八年级上册13.3.2 等边三角形教学设计，共8页。教案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题，思路点拨，答案与解析，总结升华等内容，欢迎下载使用。

1. 掌握等边三角形的性质和判定.
2. 掌握含30°角的直角三角形的一个主要性质．
3. 熟练运用等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．
【要点梳理】
要点一、等边三角形
等边三角形定义：
三边都相等的三角形叫等边三角形.
要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包
括等边三角形．
要点二、等边三角形的性质
等边三角形的性质：
等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.
要点三、等边三角形的判定
等边三角形的判定：
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
要点四、含30°的直角三角形
含30°的直角三角形的性质定理：
在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.
【典型例题】
类型一、等边三角形
1、 如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE=BD，求证：△ADE为等边三角形．
【思路点拨】由条件可以容易证明△ABD≌△ACE，进一步得出AD=AE，∠BAD=∠CAE，加上∠DAE=60°，即可证明△ADE为等边三角形．
【答案与解析】
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，AB=AC，
即∠ACD=120°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠1=∠2=60°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
又∠BAC=60°，
∴∠DAE=60°，
∴△ADE为等边三角形．
【总结升华】本题考查了等边三角形的判定与性质，难度适中，关键找出判定三角形等边的条件．
举一反三：
【变式】等边△ABC，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．如图，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状.
【答案】
解： ∵PE⊥AB，∠B＝60°，
因此直角三角形PEB中，BE＝BP＝BC＝PC，
∴∠BPE＝30°，
∵∠EPF＝60°，
∴FP⊥BC，
∵∠B＝∠C＝60°，BE＝PC，∠PEB＝∠FPC＝90°，
∴△BEP≌△CPF，
∴PE＝PF，
∵∠EPF＝60°，
∴△EPF是等边三角形．
2、已知：如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝60°，AD＝CE，求∠BPD的度数.
【答案与解析】
证明：在中，AB＝AC，∠ABC＝60°
∴为等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）
∴AC＝BC，∠A＝∠ECB＝60°
在和中
≌（SAS）
∴（全等三角形对应角相等）
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）
∴
∴∠DPB＝60°.
【总结升华】这道题利用等边三角形每个角都是60°的性质，并借助全等三角形，和三角形的外角性质使问题得以解决.
举一反三：
【变式】 △ABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，BN与AM相交于Q点，∠AQN等于多少度？
【答案】
解：证法一．
∵△ABC为正三角形
∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC
在△AMB和△BNC中
，
△AMB≌△BNC（SAS），
∵∠ANB=∠C+∠NBC=60°+∠NBC，
∠MAN=∠BAC﹣∠MAB=60°﹣∠MAB，
又∵∠NBC=∠MAB（全等三角形对应角相等），
∴∠ANB+∠MAN=120°，
又∵∠ANQ+∠MAN+∠AQN=180°，
∴∠AQN=180°﹣∠ANB﹣∠MAN，
∠AQN=180°﹣（∠ANB+∠MAN），
=180°﹣120°=60°，
∠BOM=∠AQN=60°（全等三角形对应角相等）．
证法二．
∵△ABC为正三角形
∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC
在△AMB和△BNC中
∴△AMB≌△BNC（SAS）
∵∠ANB=∠C+∠NBC=60°+∠NBC
∠MAN=∠BAC﹣∠MAB
又∵∠NBC=∠MAB（全等三角形对应角相等）
∴∠ANB+∠MAN=120°
又∵∠ANQ+∠MAN+∠AQN=180°
∴∠AQN=180°﹣∠ANB﹣∠MAB
∠AQN=180°﹣（∠ANB+∠MAN）
=180°﹣120°=60°
3、（1）如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC，求∠AEB的大小；
（2）如图，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小．
【思路点拨】（1）由于△OCD和△OAB都是等边三角形，可得OD＝OC＝OB＝OA，进而求出∠BDA与∠CAD的大小及关系，则可求解∠AEB．（2）旋转后，△BOD与△AOC仍然保持全等，∠ACO＝∠BDO，∠AED＝∠ACO＋∠DCO＋∠CDB＝∠BDO＋60°＋∠CDB＝60°＋∠CDO＝120°，从而得到∠AEB的值.
【答案与解析】证明：（1）∵O是AD的中点，
∴AO＝DO
又∵等边△AOB和等边△COD
∴AO＝DO＝CO＝BO，∠DOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°
∴∠CAO＝∠ACO＝∠BDO＝∠DBO＝30°
∴∠AEB＝∠BDO ＋∠CAO ＝60°
（2）∵∠BOD＝∠DOC＋∠BOC，∠AOC＝∠AOB＋∠BOC
∴∠BOD＝∠AOC
在△BOD与△AOC中，
∴△BOD≌△AOC（SAS）
∴∠ACO＝∠BDO
∵∠AED＝∠ACO＋∠DCO＋∠CDB
＝∠BDO＋60°＋∠CDB＝60°＋∠CDO＝60°＋60°＝120°
∴∠AEB＝180°－∠AED＝60°.
【总结升华】这道题利用等边三角形每个角都是60°的性质，并借助全等三角形，和三角形的外角性质使问题加以解决.
举一反三：
【变式】如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，AD、BE交于点F，求∠AFB 的度数.
【答案】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD，
又∵∠ACB＋∠BCD＝∠ECD＋∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
设AD与BC相交于P点，在△ACP和△BFP中，有一对对顶角，
∴∠AFB＝∠ACB＝60°．
类型二、含30°的直角三角形
4、 如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD交OE于点F，若∠AOB=60°．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）若EF=5，求线段OE的长.
【答案与解析】解：（1）∵点E是∠AOB的平分线上一点，
EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，
∴DE=CE，
在Rt△ODE和Rt△OCE中，

∴Rt△ODE≌Rt△OCE（LH）
∴OD=OC，
∵∠AOB=60°，
∴△OCD是等边三角形；
（2）∵△OCD是等边三角形，OF是角平分线，
∴OE⊥DC，
∵∠AOB=60°，
∴∠AOE=∠BOE=30°，
∵∠ODF=60°，ED⊥OA，
∴∠EDF=30°，
∴DE=2EF=10，
∴OE=2DE=20.
【总结升华】本题考查等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，30°的直角三角形的性质等，熟练掌握性质和定理是解题的关键。
举一反三：
【变式】如图, △ABC中, ∠ACB＝90°, ∠ABC＝60°, AB的中垂线交BC的延长线于D，交AC于E, 已知DE＝2.则 AC的长为_________.
【答案】3；
提示：连接AD，证△ABD为等边三角形，则DE＝AE＝2，CE＝1，所以AC＝3.