北师大版九年级上册1 菱形的性质与判定导学案

教学目标

掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定并能准确应用  

重点

         性质与判定的掌握与总结以及条件的准确分析与数理  

难点

                     应用知识点准确解题

知识点的回顾：

平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定分别是：

四边形的内外角和、正多边形的内外角和、三角形的内外角分别有哪些相关的定义：

规则四边形与函数有哪些动点题，常见的类型分别是哪些：

例题展现：

例一、1、下列命题中，真命题是

A、对角线相等的四边形是等腰梯形      B、对角线互相垂直且平分的四边形是正方形

C、对角线互相垂直的四边形是菱形         D 、 四个角相等的四边形是矩形

2、如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（　　）

A．16　  　B．17　　C．18　  　D．19

3、如图，在□ABCD中，E在DC上，若DE:EC=1:2，则BF:BE=          .

4、已知一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是　 　．

5、如图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为20cm2，则正八边形的面积为　　　　     cm2．

6、如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=，则AB的长是　 　．

7、如图，菱形中，，，则以为边长的正方形的周长为

A．14   B．15   C．16   D．17

8、如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）中正确的有（     ）

A．4个  B．3个  C．2个  D．1个

9、如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边做平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边做平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为（　　）

　 A． cm2       B． cm2       C．cm2      D．cm2

例二、证明题：

1、已知四边形ABCD是平行四边形（如图9），把△ABD沿对角线BD翻折180°得到△AˊBD.

（1） 利用尺规作出△AˊBD.（要求保留作图痕迹，不写作法）；

（2）设DAˊ与BC交于点E，求证：△BAˊE≌△DCE.

2、如图，已知四边形ABDE是平行四边形，C为边B D延长线上一点，连结AC、CE，使AB=AC.

⑴求证：△BAD≌△AEC；

⑵若∠B=30°，∠ADC=45°，BD=10，求平行四边形ABDE的面积.

3、已知：在□ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF，EG，AG，∠1=∠2．

（1）若CF=2，AE=3，求BE的长；

（2）求证：∠CEG=∠AGE．

4、如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE＝CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC．

（1）求证：OE＝OF；

（2）若BC＝，求AB的长．

5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在边AB上，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，连接AE．

（1）求证：AB⊥AE；

（2）若BC2=AD·AB，求证：四边形ADCE为正方形．

6、 如图，矩形ABCD中，点P在边CD上，且与点C、 D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，PQ的中点为M.

(1)求证：△ADP∽△ABQ；

(2)若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x, BM 2=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM长的最小值；

(3)若AD=10, AB=a， DP=8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化，当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围。

7、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．

（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．

8、如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．

（1）求证：OE=OF；

（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；

（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．

9、如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．

（1）求证：AF=BE；

（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．

例三、函数与动点：

1、如图，直线y=－x＋4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）．

（1）求点P运动的速度是多少？

（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？

（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值．

2、如图，抛物线关于直线对称，与坐标轴交于三点，且，点在抛物线上，直线是一次函数的图象，点是坐标原点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若直线平分四边形的面积，求的值．

（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于两点，问在轴正半轴上是否存在一定点，使得不论取何值，直线与总是关于轴对称？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．

3、如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=2，CD=1，BC=，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过点P作PE⊥PA交CD所在直线于E，设BP=，CE=.

（1）求与的函数关系式；

（2）若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求的取值范围；

（3）如图2，若=4，将△PEC沿PE翻折到△PEG位置，∠BAG=90°，求BP长.

拓展练习：

1、如图，在矩形中，点A的坐标是（-2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标为【     】

A.（，）、（，）      B.（，）、（，）             

C.(，)、（，）       D.(，) 、（，）

2、如图，正方形ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP等于         cm．

3、如图，顺次连接边长为1的正方形ABCD四边的中点，得到四边形A1B1C1D1，然后顺次连接四边形A1B1C1D1的中点，得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点，得到四边形A3B3C3D3，…，按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为         ．

4、已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处.

（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP，OP，OA.

   ①求证：△OCP∽△PDA；

   ②若△OCP与△PDA的面积比为1:4，求边AB的长；

（2）若图1中的点P恰巧是CD边的中点，求∠OAB的度数；

（3）如图2，在（1）条件下，擦去折痕AO、线段OP，连结BP. 动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E. 试问当点M，N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求线段EF的长度.

5、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DA、BC的延长线于点E、F，连接BE、DF．

（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；

（2）若EF⊥AB，垂足为M，tan∠MBO=，求EM：MF的值．

6、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=8cm．BC=4cm，CD=5cm．动点P从点B开始沿折线BC﹣CD﹣DA以1cm/s的速度运动到点A．设点P运动的时间为t（s），△PAB面积为S（cm2）．

（1）当t=2时，求S的值；（2）当点P在边DA上运动时，求S关于t的函数表达式；

（3）当S=12时，求t的值．

7、如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EC，GD．

（1）求证：EB=GD；（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．

8、如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E为AB上一点，AE=1，M为射线AD上一动点，AM=a（a为大于0的常数），直线EM与直线CD交于点F，过点M作MG⊥EM，交直线BC于G．

（1）若M为边AD中点，求证：△EFG是等腰三角形；

（2）若点G与点C重合，求线段MG的长；

（3）请用含a的代数式表示△EFG的面积S，并指出S的最小整数值．

9、如图1，矩形OABC顶点B的坐标为（8，3），定点D的坐标为（12，0），动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，PQ两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR．设运动时间为t秒．

（1）当t=          时，△PQR的边QR经过点B；

（2）设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；

（3）如图2，过定点E（5，0）作EF⊥BC，垂足为F，当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时，过点R作x轴、y轴的平行线，分别交EF、BC于点M、N，若∠MAN=45°，求t的值．