1.1 菱形的性质与判定 第2课时 数学北师大版九年级上册学案

1　菱形的性质与判定

第2课时

【旧知再现】

有一组__邻边__相等的__平行__四边形是菱形．

【新知初探】

阅读教材P5—P6完成下面问题：

1．菱形的判定

2．菱形的面积等于两条对角线长__乘积的一半__．

如图，菱形ABCD的面积等于AC·__BD__．

【图表导思】

如图，在▱ABCD中，AB＝5，OB＝4，AO＝3.

1．▱ABCD是否为菱形？

【解析】∵OA2＋OB2＝AB2，∴∠AOB＝90°，∴AC⊥BD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，得AD＝＝5＝AB，∴▱ABCD是菱形．

2．四边形ABCD的面积是多少？

【解析】S四边形ABCD＝BD·AC＝×8×6＝24.

【质疑判断】

1．对角线互相垂直平分的四边形是菱形(　√　)

2．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形(　×　)

3．对角线互相平分且有一组对边相等的四边形是菱形(　×　)

　菱形的判定

【P6例2补充】——有一组邻边相等的平行四边形是菱形

　(6分)如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F.且BE＝DF.

求证：四边形ABCD是菱形．

【完善解答】

【归纳提升】

　菱形的常用判定方法

变式一：巩固某班同学在“为抗疫英雄祈福”的主题班会课上制作象征“平安归来”的丝带，如图所示，丝带重叠部分形成的图形是(B)

A．矩形        B．菱形

C．正方形       D．等腰梯形

变式二：提升 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E为AO的中点，过点A作AF∥BD交BE的延长线于点F，连接DF.

(1)求证：四边形AODF是平行四边形．

(2)当△ACD满足什么条件时，四边形AODF是菱形？请说明理由．

【解析】见全解全析

　菱形的性质与判定的综合应用

【P8例3补充】——菱形面积的计算

已知，如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，BF平分∠ABC交AE于点O，交AD于点F.连接EF.

(1)求证：四边形ABEF是菱形．

(2)若AE＝6，BF＝8，CE＝3，求四边形ABCD的面积．

【自主解答】见全解全析

【归纳提升】

计算菱形的面积的两种方法

　(1)如果已知菱形两条对角线长分别为a，b，选择S＝ab.

(2)已知菱形一边长(或周长)和一内角度数(30°，45°，60°)时，选择S＝底边×高．

变式一：巩固(2021·海淀月考)如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝110°，AD＝DC.E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠PEF＝(A)

A．35°    B．45°

C．50°    D．55°

变式二：提升 (2021•徐州模拟)如图，由两个长为8，宽为4的全等矩形叠合而得到四边形ABCD，则四边形ABCD面积的最大值是(D)

A.15　    B．16　    C．19    D．20

【火眼金睛】

如图，在▱ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为点E，F，且PE＝PF，证明：▱ABCD是菱形．

【正解】∵PE⊥AB，PF⊥AD且PE＝PF，

∴AP平分∠BAD，∴∠DAC＝∠BAC.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，

∴∠DAC＝∠DCA，

∴AD＝DC，∴▱ABCD是菱形．

【一题多变】

　(2020·日照中考)已知菱形的周长为8，两邻角的度数比为1∶2，则菱形的面积为(D)

A．8    B．8    C．4    D．2

【母题变式】

　【变式一】(变换条件及问法)一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和2，则它的面积为(C)

A．8    B．6    C．4    D．12

【变式二】 (变换条件及问法)如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC＝24 cm，则四边形ABCD的周长为(A)

A．52 cm    B．40 cm

C．39 cm    D．26 cm

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