初中数学人教版七年级下册第九章 不等式与不等式组综合与测试教学设计

第 2 课时 一元一次不等式的应用

1. 会在实际问题中寻找数量关系；

2. 会列一元一次不等式解决实际问题．(重点、难点)

一、情境导入

如果你要分别购买 40 元、80 元、140 元、160 元的商品，应该去哪家商店更优惠？

二、合作探究

探究点：一元一次不等式的应用

【类型一】 商品销售问题

 某商品的进价是 120 元，标价为 180 元，但销量较小．为了促销，商场决定打折

销售，为了保证利润率不低于 20%，那么最多可以打几折出售此商品？

解析：由题意可知，利润率为 20%时，获得的利润为 120×20%＝24(元)．若打 x 折， 该商品获得的利润＝该商品的标价× x －进价，即该商品获得的利润＝180× x －120，列出

10 10

不等式，解得 x 的值即可．

解：设可以打 x 折出售此商品，由题意得

180× x －120≥120×20%，

10

解得 x≥8.

答：最多可以打 8 折出售此商品．

方法总结：商品销售问题的基本关系是：售价－进价＝利润．读懂题意列出不等关系式  求解是解题关键．

【类型二】 竞赛积分问题

 某次知识竞赛共有 25 道题，答对一道得 4 分，答错或不答都扣 2 分．小明得分要

超过 80 分，他至少要答对多少道题？

解析：设小明答对 x 道题，则答错或不答的题数为(25－x)道，根据得分要超过 80 分， 列出不等关系式求解即可．

解：设小明答对 x 道题，则他答错或不答的题数为(25－x)道．根据他的得分要超过 80

分，得

4x－2(25－x)＞80，

解得 x＞

2 2.

3

因为 x 应是整数而且不能超过 25，所以小明至少要答对 22 道题． 答：小明至少要答对 22 道题．

方法总结：竞赛积分问题的基本关系是：得分－扣分＝最后得分．本题涉及不等式的整  数解，取整数解时要注意关键词：“至多”“至少”等．

【类型三】 安全问题

 在一次爆破中，用一条 1m 长的导火索来引爆炸药，导火索的燃烧速度为 0.5cm/s，

引爆员点着导火索后，至少以每秒多少米的速度才能跑到 600m 以外(包括 600m)的安全区域？

解析：本题首先依题意可得出不等关系即引爆员所跑路程大于等于 600 米，然后列出不

等式为 1 x≥600，解出不等式即可． 0.005

解：设以每秒 xm 的速度能跑到 600m 以外(包括 600m)的安全区域.0.5cm/s＝0.005m/s，

依题意可得 1 x≥600，

0.005

解得 x≥3.

答：引爆员点着导火索后，至少以每秒 3m 的速度才能跑到 600m 以外(包括 600m)的安全区域．

方法总结：题中的“至少”是建立不等式的关键词，也是列不等式的依据．

【类型四】 分段计费问题

 小明家每月水费都不少于 15 元，自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不

超过 5 立方米，则每立方米收费 1.8 元；若每户每月用水超过 5 立方米，则超出部分每立方

米收费 2 元．小明家每月用水量至少是多少？

解析：当每月用水 5 立方米时，花费 5×1.8＝9(元)，则可知小明家每月用水超过 5 立方米．设每月用水 x 立方米，则超出(x－5)立方米，根据题意超出部分每立方米收费 2 元， 列一元一次不等式求解即可．

解：设小明家每月用水 x 立方米．

∵5×1.8＝9＜15，

∴小明家每月用水超过 5 立方米．

则超出(x－5)立方米，按每立方米 2 元收费， 列出不等式为 5×1.8＋(x－5)×2≥15，

解得 x≥8.

答：小明家每月用水量至少是 8 立方米．

方法总结：分段计费问题中的费用一般包括两个部分：基本部分的费用和超出部分的费

用，根据费用之间的关系建立不等式求解即可．

【类型五】 调配问题

 有 10 名菜农，每人可种甲种蔬菜 3 亩或乙种蔬菜 2 亩，已知甲种蔬菜每亩可收入

0.5 万元，乙种蔬菜每亩可收入 0.8 万元，要使总收入不低于 15.6 万元，则最多只能安排多少人种甲种蔬菜？

解析：设安排 x 人种甲种蔬菜，则种乙种蔬菜的为(10－x)人．则种甲种蔬菜 3x 亩，乙种蔬菜 2(10－x)亩．再列出不等式求解即可．

解：设安排 x 人种甲种蔬菜，则种乙种蔬菜的为(10－x)人． 根据题意得 0.5×3x＋0.8×2(10－x)≥15.6，

解得 x≤4.

答：最多只能安排 4 人种甲种蔬菜．

方法总结：调配问题中，各项工作的人数之和等于总人数．

【类型六】 方案决策问题

 为了保护环境，某企业决定购买 10 台污水处理设备．现有 A、B 两种型号的设备，

其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表．经预算，该企业购买设备的资金不高于

105 万元．

(1) 该企业有几种购买方案？

(2) 若企业每月产生的污水量为 2040 吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案？

解析：(1)设购买污水处理设备 A 型 x 台，则 B 型为(10－x)台，列出不等式求解即可，x 的值取整数；(2)根据题表信息列出不等式求解，再根据 x 的值选出最佳方案．

解：(1)设购买污水处理设备 A 型 x 台，则 B 型为(10－x)台．由题意得

12x＋10(10－x)≤105，解得 x≤2.5.

∵x 取非负整数，∴x 可取 0，1，2.

有三种购买方案：购 A 型 0 台，B 型 10 台；A 型 1 台，B 型 9 台；A 型 2 台，B 型 8 台；

(2)由题意得 240x＋200(10－x)≥2040，解得 x≥1， 所以 x 为 1 或 2.

当 x＝1 时，购买资金为 12×1＋10×9＝102(万元)； 当 x＝2 时，购买资金为 12×2＋10×8＝104(万元)． 为了节约资金，应选购 A 型 1 台，B 型 9 台．

方法总结：此题将现实生活中的事件与数学思想联系起来，属于最优化问题，在确定最优方案时，应把几种情况进行比较，找出最大或最小．

三、板书设计

应用一元一次不等式解决实际问题的步骤：

找出不等关系

――→

设未知数

―→ ―→

本节课通过实例引入，激发学生的学习兴趣，让学生积极参与，讲练结合，引导学生找   不等关系列不等式．在教学过程中，可通过类比列一元一次方程解决实际问题的应用题来学   习，让学生认识到列方程与列不等式的区别与联系