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人教版新课标A必修51.1 正弦定理和余弦定理课文课件ppt
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这是一份人教版新课标A必修51.1 正弦定理和余弦定理课文课件ppt，共46页。PPT课件主要包含了abc，其他元素等内容，欢迎下载使用。
主题 正弦定理1.在Rt△ABC中, 存在怎样的关系?
提示:在Rt△ABC中,因为sin A= ,故c= ,同理c= ,因此 又因为C=90°,故
2.在锐角△ABC中,以上关系式是否仍然成立?
提示:如图,在锐角△ABC中,作CD⊥AB于点D,有 =sin A, =sin B.所以CD=bsin A=asin B.所以 同理,在△ABC中, 所以 成立.
结论:1.正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的_____的比相等,即_________________.
2.解三角形(1)三角形的元素:三角形的三个内角A,B,C和它们的对边______.(2)解三角形:已知三角形的几个元素求_________的过程.
【对点训练】1.在△ABC中,a= b,A=120°,则角B的大小为( ) A.30°B.45°C.60°D.90°
【解析】选A.由正弦定理 得 sin B= ,因为A=120°,得B=30°.
2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=1,A=30°,B=45°,则b的值为( )A. B. C. D.2【解析】选C.由正弦定理 可得: .解得:b= .
类型一 已知两角和一边解三角形【典例1】(1)(2019·潮州高二检测)在△ABC中, B=135°,C=15°,a=3,则边b=( )A.5 B.4 C.3 D.2
(2)已知在△ABC中,D为BC中点,cs∠BAD= ,cs∠CAD= ,①求∠BAC的值;②求 的值.
【解题指南】(1)由已知利用三角形内角和定理可求角A,再根据正弦定理可求b的值即可.(2)①先求出sin∠BAD,sin∠CAD,根据cs∠BAC= cs(∠BAD+∠CAD)求解.②在△ABC与△ABD中分别利用正弦定理及D为BC中点求解.
【解析】(1)选C.因为B=135°,C=15°,所以A=180°-B-C=30°,所以由正弦定理 ,可得:b= .
(2)①因为cs∠BAD= ,cs∠CAD= ,所以在△ABC中,∠BAD,∠CAD为锐角,所以sin∠BAD= ,sin∠CAD= ,cs∠BAC=cs(∠BAD+∠CAD) 因为0<∠BAC<π,所以∠BAC=
②在△ABC中, 在△ABD中, 又因为BC=2BD,所以
【方法总结】已知两角和一边解三角形的步骤
【跟踪训练】1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A= ,B= ,a=3 ,则b=( ) A.2 B.2C.3D.3
【解析】选A.在△ABC中,由正弦定理得 ,所以b=
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=1,B= ,cs A= ,则a=( )
【解析】选A.由cs A= ,得sin A= .由正弦定理
【补偿训练】若在△ABC中,AC= ,A=45°,C=75°,求BC,AB及B.
【解析】在△ABC中,由A+B+C=180°得B=180°-A-C=60°,在△ABC中,由正弦定理得 故BC=
类型二 已知两边及其中一边的对角解三角形【典例2】(1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A= ,a=1,b= ,则B=__________. (2)已知△ABC中,a= ,b= ,A=45°,则三角形的解的个数为________.
【解题指南】(1)由正弦定理即可求出角B.(2)利用正弦定理求角B的值,从而确定解的个数.
【解析】(1)依题意,由正弦定理知 得出sin B= .由于0
【延伸探究】1.若本例(1)条件不变,试求边长c.
【解析】由本例(1)解析知B= 或 ,当B= 时,C=π- 所以c= 当B= 时,C=π- 故c=a=1.
2.把本例(1)中的“b= ”改为“b= ”,其他条件不变,试求B.【解析】由正弦定理得 即sin B= 由于0
(3)如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求出两个角,要分类讨论.
【跟踪训练】1.(2019·佛山高一检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 ,则cs B=( ) A.- B. C. D.
【解析】选B.因为 ,所以3sin Bsin A=4sin Acs B,因为sin A>0,所以3sin B=4cs B,所以tan B= ,由同角三角函数关系得cs B= .
2.已知在△ABC中,b=2 ,c=2,C=30°,那么解此三角形可得( )A.一解B.两解C.无解D.解的个数不确定
【解析】选B.因为 ,所以sin B= 因为b>c,所以B=60°或120°,故解此三角形可得两解.
类型三 利用正弦定理判断三角形形状【典例3】(1)若 则△ABC是( )A.等腰直角三角形B.有一内角是30°的直角三角形C.等边三角形D.有一内角是30°的等腰三角形
(2)在△ABC中,已知 则△ABC的形状是________三角形.
【解题指南】(1)由正弦定理可得tan B=tan C=1,从而判断△ABC形状.(2)切化弦后,利用正弦定理判断.
【解析】(1)选A.在△ABC中, 则由正弦定理可得 即tan B=tan C=1,所以B=C=45°,A=90°,故△ABC为等腰直角三角形.
(2)由正弦定理得 即cs A=cs B,故A=B,所以△ABC为等腰三角形.答案:等腰
【方法总结】判断三角形形状的常用方法及步骤(1)方法:化边为角或化角为边.(2)步骤:第一步,将题目中的条件,利用正弦定理化边为角或化角为边,第二步,根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系或三边的关系,进而确定三角形的形状.
【跟踪训练】设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcs C +ccs B=asinA,则△ABC的形状为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形
【解析】选B.由正弦定理可以得到sin Bcs C+sin C cs B=sin2A,故sin(B+C)=sin2 A,即sin A=sin2 A.因为A∈(0,π),故sin A≠0,所以sin A=1.因为A∈(0,π),故A= ,所以△ABC为直角三角形.
主题 正弦定理1.在Rt△ABC中, 存在怎样的关系?
提示:在Rt△ABC中,因为sin A= ,故c= ,同理c= ,因此 又因为C=90°,故
2.在锐角△ABC中,以上关系式是否仍然成立?
提示:如图,在锐角△ABC中,作CD⊥AB于点D,有 =sin A, =sin B.所以CD=bsin A=asin B.所以 同理,在△ABC中, 所以 成立.
结论:1.正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的_____的比相等,即_________________.
2.解三角形(1)三角形的元素:三角形的三个内角A,B,C和它们的对边______.(2)解三角形:已知三角形的几个元素求_________的过程.
【对点训练】1.在△ABC中,a= b,A=120°,则角B的大小为( ) A.30°B.45°C.60°D.90°
【解析】选A.由正弦定理 得 sin B= ,因为A=120°,得B=30°.
2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=1,A=30°,B=45°,则b的值为( )A. B. C. D.2【解析】选C.由正弦定理 可得: .解得:b= .
类型一 已知两角和一边解三角形【典例1】(1)(2019·潮州高二检测)在△ABC中, B=135°,C=15°,a=3,则边b=( )A.5 B.4 C.3 D.2
(2)已知在△ABC中,D为BC中点,cs∠BAD= ,cs∠CAD= ,①求∠BAC的值;②求 的值.
【解题指南】(1)由已知利用三角形内角和定理可求角A,再根据正弦定理可求b的值即可.(2)①先求出sin∠BAD,sin∠CAD,根据cs∠BAC= cs(∠BAD+∠CAD)求解.②在△ABC与△ABD中分别利用正弦定理及D为BC中点求解.
【解析】(1)选C.因为B=135°,C=15°,所以A=180°-B-C=30°,所以由正弦定理 ,可得:b= .
(2)①因为cs∠BAD= ,cs∠CAD= ,所以在△ABC中,∠BAD,∠CAD为锐角,所以sin∠BAD= ,sin∠CAD= ,cs∠BAC=cs(∠BAD+∠CAD) 因为0<∠BAC<π,所以∠BAC=
②在△ABC中, 在△ABD中, 又因为BC=2BD,所以
【方法总结】已知两角和一边解三角形的步骤
【跟踪训练】1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A= ,B= ,a=3 ,则b=( ) A.2 B.2C.3D.3
【解析】选A.在△ABC中,由正弦定理得 ,所以b=
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=1,B= ,cs A= ,则a=( )
【解析】选A.由cs A= ,得sin A= .由正弦定理
【补偿训练】若在△ABC中,AC= ,A=45°,C=75°,求BC,AB及B.
【解析】在△ABC中,由A+B+C=180°得B=180°-A-C=60°,在△ABC中,由正弦定理得 故BC=
类型二 已知两边及其中一边的对角解三角形【典例2】(1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A= ,a=1,b= ,则B=__________. (2)已知△ABC中,a= ,b= ,A=45°,则三角形的解的个数为________.
【解题指南】(1)由正弦定理即可求出角B.(2)利用正弦定理求角B的值,从而确定解的个数.
【解析】(1)依题意,由正弦定理知 得出sin B= .由于0
【延伸探究】1.若本例(1)条件不变,试求边长c.
【解析】由本例(1)解析知B= 或 ,当B= 时,C=π- 所以c= 当B= 时,C=π- 故c=a=1.
2.把本例(1)中的“b= ”改为“b= ”,其他条件不变,试求B.【解析】由正弦定理得 即sin B= 由于0
(3)如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求出两个角,要分类讨论.
【跟踪训练】1.(2019·佛山高一检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 ,则cs B=( ) A.- B. C. D.
【解析】选B.因为 ,所以3sin Bsin A=4sin Acs B,因为sin A>0,所以3sin B=4cs B,所以tan B= ,由同角三角函数关系得cs B= .
2.已知在△ABC中,b=2 ,c=2,C=30°,那么解此三角形可得( )A.一解B.两解C.无解D.解的个数不确定
【解析】选B.因为 ,所以sin B= 因为b>c,所以B=60°或120°,故解此三角形可得两解.
类型三 利用正弦定理判断三角形形状【典例3】(1)若 则△ABC是( )A.等腰直角三角形B.有一内角是30°的直角三角形C.等边三角形D.有一内角是30°的等腰三角形
(2)在△ABC中,已知 则△ABC的形状是________三角形.
【解题指南】(1)由正弦定理可得tan B=tan C=1,从而判断△ABC形状.(2)切化弦后,利用正弦定理判断.
【解析】(1)选A.在△ABC中, 则由正弦定理可得 即tan B=tan C=1,所以B=C=45°,A=90°,故△ABC为等腰直角三角形.
(2)由正弦定理得 即cs A=cs B,故A=B,所以△ABC为等腰三角形.答案:等腰
【方法总结】判断三角形形状的常用方法及步骤(1)方法:化边为角或化角为边.(2)步骤:第一步,将题目中的条件,利用正弦定理化边为角或化角为边,第二步,根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系或三边的关系,进而确定三角形的形状.
【跟踪训练】设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcs C +ccs B=asinA,则△ABC的形状为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形
【解析】选B.由正弦定理可以得到sin Bcs C+sin C cs B=sin2A,故sin(B+C)=sin2 A,即sin A=sin2 A.因为A∈(0,π),故sin A≠0,所以sin A=1.因为A∈(0,π),故A= ,所以△ABC为直角三角形.
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