2020-2021学年第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理课时训练

这是一份2020-2021学年第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理课时训练，共6页。

一、选择题
1．已知方程x2sin A＋2xsin B＋sin C＝0有重根，则△ABC的三边a，b，c的关系满足( )
A．b＝acB．b2＝ac
C．a＝b＝cD．c＝ab
【解析】 由方程有重根，∴Δ＝4sin2B－4sin Asin C＝0，即sin2B＝sin Asin C，∴b2＝ac.
【答案】 B
2．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝eq \r(3)，则角A的对边的长为( )
A.eq \r(57) B.eq \r(37) C.eq \r(21) D．eq \r(13)
【解析】 ∵S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×1×c×sin 60°＝eq \r(3)，∴c＝4.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs 60°＝1＋16－2×1×4×eq \f(1,2)＝13.
∴a＝eq \r(13).
【答案】 D
3．在△ABC中，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则此三角形的外接圆的半径R＝( )
A.eq \f(1,2)B．1
C．2eq \r(2)D．eq \f(5\r(2),2)
【解析】 S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(\r(2),4)c＝2，∴c＝4eq \r(2).
b2＝a2＋c2－2accs B＝1＋32－8eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝25，
∴b＝5.∴R＝eq \f(b,2sin B)＝eq \f(5,2×\f(\r(2),2))＝eq \f(5\r(2),2).
【答案】 D
4．在△ABC中，AC＝eq \r(7)，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(3\r(3),2)
C.eq \f(\r(3)＋\r(6),2)D．eq \f(\r(3)＋\r(39),4)
【解析】
在△ABC中，由余弦定理可知：
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcs B，
即7＝AB2＋4－2×2×AB×eq \f(1,2).
整理得AB2－2AB－3＝0.
解得AB＝－1(舍去)或AB＝3.
故BC边上的高AD＝AB·sin B＝3×sin 60°＝eq \f(3\r(3),2).
【答案】 B
5．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C,3b＝20acs A，则sin A∶sin B∶sin C为( )
A．4∶3∶2B．5∶6∶7
C．5∶4∶3D．6∶5∶4
【解析】 由题意知：a＝b＋1，c＝b－1，
所以3b＝20acs A＝20(b＋1)·eq \f(b2＋c2－a2,2bc)
＝20(b＋1)·eq \f(b2＋b－12－b＋12,2bb－1)，
整理得7b2－27b－40＝0，
解之得：b＝5(负值舍去)，可知a＝6，c＝4.
结合正弦定理可知sin A∶sin B∶sin C＝6∶5∶4.
【答案】 D
二、填空题
6．在△ABC中，B＝60°，AB＝1，BC＝4，则BC边上的中线AD的长为 ．
【解析】 画出三角形知AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cs 60°＝3，∴AD＝eq \r(3).
【答案】 eq \r(3)
7．有一三角形的两边长分别为3 cm,5 cm，其夹角α的余弦值是方程5x2－7x－6＝0的根，则此三角形的面积是 cm2.
【解析】 解方程5x2－7x－6＝0，得x＝2或x＝－eq \f(3,5)，
∵|cs α|≤1，∴cs α＝－eq \f(3,5)，sin α＝eq \f(4,5).
故S△＝eq \f(1,2)×3×5×eq \f(4,5)＝6(cm2)．
【答案】 6
8．(2016·郑州模拟)在△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为 ．
【解析】 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accs B，
即49＝a2＋25－2×5×acs 120°.
整理得a2＋5a－24＝0，解得a＝3或a＝－8(舍)．
∴S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)×3×5sin 120°＝eq \f(15\r(3),4).
【答案】 eq \f(15\r(3),4)
三、解答题
9．已知△ABC的三内角满足cs(A＋B)cs(A－B)＝1－5sin2C，求证：a2＋b2＝5c2. 【导学号：05920063】
【证明】 由已知得cs2Acs2B－sin2Asin2B＝1－5sin2C，
∴(1－sin2A)(1－sin2B)－sin2Asin2B＝1－5sin2C，
∴1－sin2A－sin2B＝1－5sin2C，
∴sin2A＋sin2B＝5sin2C.
由正弦定理得，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2R)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2R)))2＝5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2R)))2，
即a2＋b2＝5c2.
10．(2014·全国卷Ⅱ)四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.
(1)求C和BD；
(2)求四边形ABCD的面积．
【解】 (1)由题设及余弦定理得
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcs C＝13－12cs C，①
BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcs A＝5＋4cs C．②
由①，②得cs C＝eq \f(1,2)，故C＝60°，BD＝eq \r(7).
(2)四边形ABCD的面积
S＝eq \f(1,2)AB·DAsin A＋eq \f(1,2)BC·CDsin C
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×1×2＋\f(1,2)×3×2))·sin 60°＝2eq \r(3).
[能力提升]
1．已知锐角△ABC中，|eq \(AB,\s\up14(→))|＝4，|eq \(AC,\s\up14(→))|＝1，△ABC的面积为eq \r(3)，则eq \(AB,\s\up14(→))·eq \(AC,\s\up14(→))的值为( )
A．2B．－2
C．4D．－4
【解析】 由题意S△ABC＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up14(→))||eq \(AC,\s\up14(→))|sin A＝eq \r(3)，
得sin A＝eq \f(\r(3),2)，又△ABC为锐角三角形，
∴cs A＝eq \f(1,2)，∴eq \(AB,\s\up14(→))·eq \(AC,\s\up14(→))＝|eq \(AB,\s\up14(→))||eq \(AC,\s\up14(→))|cs A＝2.
【答案】 A
2．在斜三角形ABC中，sin A＝－eq \r(2)cs B·cs C，且tan B·tan C＝1－eq \r(2)，则角A的值为( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,2) D．eq \f(3π,4)
【解析】 由题意知，sin A＝－eq \r(2)cs B·cs C＝sin(B＋C)＝sin B·cs C＋cs B·sin C，在等式－eq \r(2)cs B·cs C＝sin B·cs C＋cs B·sin C两边除以cs B·cs C得tan B＋tan C＝－eq \r(2)，tan(B＋C)＝eq \f(tan B＋tan C,1－tan Btan C)＝－1＝－tan A，所以角A＝eq \f(π,4).
【答案】 A
3．(2015·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3eq \r(15)，b－c＝2，cs A＝－eq \f(1,4)，则a的值为 ．
【解析】 在△ABC中，由cs A＝－eq \f(1,4)可得sin A＝eq \f(\r(15),4)，
所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)bc×\f(\r(15),4)＝3\r(15)，,b－c＝2，,a2＝b2＋c2－2bc×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝8，,b＝6，,c＝4.))
【答案】 8
4．(2015·陕西高考)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，eq \r(3)b)与n＝(cs A，sin B)平行．
(1)求A；
(2)若a＝eq \r(7)，b＝2，求△ABC的面积．
【解】 (1)因为m∥n，所以asin B－eq \r(3)bcs A＝0，
由正弦定理，得sin Asin B－eq \r(3)sin Bcs A＝0，
又sin B≠0，从而tan A＝eq \r(3).
由于0(2)法一 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccs A，
而a＝eq \r(7)，b＝2，A＝eq \f(π,3)，
得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0.
因为c>0，所以c＝3.
故△ABC的面积为eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(3\r(3),2).
法二 由正弦定理，得eq \f(\r(7),sin \f(π,3))＝eq \f(2,sin B)，从而sin B＝eq \f(\r(21),7).
又由a>b，知A>B，所以cs B＝eq \f(2\r(7),7).
故sin C＝sin(A＋B)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,3)))
＝sin Bcs eq \f(π,3)＋cs Bsin eq \f(π,3)＝eq \f(3\r(21),14).
所以△ABC的面积为eq \f(1,2)absin C＝eq \f(3\r(3),2).