高中数学人教版新课标A必修53.2 一元二次不等式及其解法第2课时课后测评

这是一份高中数学人教版新课标A必修53.2 一元二次不等式及其解法第2课时课后测评，共5页。

[A组 学业达标]
1．不等式eq \f(x－2,x＋1)≤0的解集是( )
A．(－∞，－1)∪(－1,2] B．(－1,2]
C．(－∞，－1)∪[2，＋∞) D．[－1,2]
解析：eq \f(x－2,x＋1)≤0⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1x－2≤0，,x＋1≠0))⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x≤2，,x≠－1，))
∴x∈(－1,2]．
答案：B
2．不等式eq \f(3x,2x＋1)≤1的解集为( )
A．(－∞，1]
B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪[1，＋∞)
解析：由题意可知，eq \f(3x,2x＋1)－1≤0⇒eq \f(3x－2x－1,2x＋1)≤0⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－12x＋1≤0，,2x＋1≠0))⇒－eq \f(1,2)＜x≤1.
答案：C
3．不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．[－1,4]
B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
D．[－2,5]
解析：因为x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以要使x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.
答案：A
4．若ax2＋ax＋a＋3≥0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－4,0) B．(－4,0]
C．[0，＋∞) D．[－4，＋∞)
解析：若a＝0，则不等式等价为3≥0，满足条件．若a≠0，要使ax2＋ax＋a＋3≥0对一切实数x恒成立，则满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞0，,Δ＝a2－4a×a＋3≤0，))解得a＞0，
综上可得实数a的取值范围是[0，＋∞)．
答案：C
5．不等式eq \f(x－22x－3,x＋1)＜0的解集为( )
A．{x|－1＜x＜2或2＜x＜3}
B．{x|1＜x＜3}
C．{x|2＜x＜3}
D．{x|－1＜x＜3}
解析：原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3x＋1＜0，,x＋1≠0，,x－22≠0，))
解得－1＜x＜3，且x≠2.
答案：A
6．不等式eq \f(2x－5,3x－1)＜1的解集是________．
解析：不等式eq \f(2x－5,3x－1)＜1可改写为eq \f(2x－5,3x－1)－1＜0，即eq \f(－x－4,3x－1)＜0，即eq \f(x＋4,3x－1)＞0，可化为(x＋4)(3x－1)＞0，所以x＜－4或x＞eq \f(1,3).
答案：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(xx＜－4或x＞\f(1,3)))
7．若关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈[0,1]恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：设f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，
所以f(x)在x∈[0,1]上单调递减，
所以当x＝1时，函数f(x)取得最小值f(1)＝－3.
所以要使x2－4x≥m对于任意x∈[0,1]恒成立，则需m≤－3.
答案：(－∞，－3]
8．若实数a，b满足a＋b＜0，则不等式eq \f(x＋a,b－x)＜0的解集为________．
解析：原不等式等价于
(x＋a)(b－x)＜0⇔(x－b)(x＋a)＞0.
又a＋b＜0，所以b＜－a.
所以原不等式的解集为{x|x＞－a或x＜b}．
答案：{x|x＞－a或x＜b}
9．已知关于x的不等式kx2－2x＋6k＜0(k≠0)．
(1)若不等式的解集为R，求k的取值范围．
(2)若不等式的解集为∅，求k的取值范围．
解析：(1)不等式的解集为R，所以Δ＝4－24k2＜0，且k＜0，解得k＜－eq \f(\r(6),6).
(2)不等式的解集为∅，得Δ＝4－24k2≤0，且k＞0，解得k≥eq \f(\r(6),6).
10．求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．
解析：原不等式可化为12x2－ax－a2＞0，
即(4x＋a)(3x－a)＞0，
令(4x＋a)(3x－a)＝0，
解得x1＝－eq \f(a,4)，x2＝eq \f(a,3).
当a＞0时，不等式的解集为
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(a,4)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,3)，＋∞))；
当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
当a＜0时，不等式的解集为
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(a,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,4)，＋∞)).
[B组 能力提升]
11．已知2a＋1＜0，关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解集是( )
A．{x|x＞5a或x＜－a}
B．{x|－a＜x＜5a}
C．{x|x＜5a或x＞－a}
D．{x|5a＜x＜－a}
解析：不等式x2－4ax－5a2＞0可化为(x－5a)(x＋a)＞0；
因为方程(x－5a)(x＋a)＝0的两根为x1＝5a，x2＝－a，
且2a＋1＜0，所以a＜－eq \f(1,2)，所以5a＜－a，
所以原不等式的解集为{x|x＜5a或x＞－a}．
答案：C
12．在R上定义运算□：A□B＝A(1－B)．若不等式(x－a)□(x＋a)＜1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．－1＜a＜1 B．0＜a＜2
C．－eq \f(1,2)＜a＜eq \f(3,2) D．－eq \f(3,2)＜a＜eq \f(1,2)
解析：因为(x－a)□(x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]＝－x2＋x＋a2－a，所以－x2＋x＋a2－a＜1，即x2－x－a2＋a＋1＞0对x∈R恒成立，所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)＝4a2－4a－3＜0，所以(2a－3)(2a＋1)＜0，即－eq \f(1,2)＜a＜eq \f(3,2).
答案：C
13．若对任意a∈[1,3]，不等式ax2＋(a－2)x－2＞0恒成立，则实数x的取值范围是________．
解析：由题意知，原不等式即为(x2＋x)a－2x－2＞0对a∈[1，3]恒成立，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋x－2x－2＞0，,3x2＋x－2x－2＞0，))
解得x＜－1或x＞2.
答案：{x|x＞2或x＜－1}
14．函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则不等式eq \f(ax＋b,cx＋a)＜0的解集是________．
解析：由题图知，1和2是ax2＋bx＋c＝0的两个根，
所以－eq \f(b,a)＝3且eq \f(c,a)＝2，所以b＝－3a，c＝2a且a＞0.
不等式eq \f(ax＋b,cx＋a)＜0等价于(ax＋b)(cx＋a)＜0.
即(x－3)(2x＋1)＜0，所以－eq \f(1,2)＜x＜3.
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，3))
15．解关于x的不等式eq \f(mx2,mx－1)－x＞0.
解析：原不等式可化为eq \f(x,mx－1)＞0，即x(mx－1)＞0.
当m＞0时，解得x＜0或x＞eq \f(1,m)；
当m＜0时，解得eq \f(1,m)＜x＜0；
当m＝0时，解得x＜0.
综上，当m＞0时，不等式的解集为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(xx＜0或x＞\f(1,m)))；
当m＜0时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\f(1,m)＜x＜0))；
当m＝0时，不等式的解集为{x|x＜0}．
16．已知不等式mx2－2x＋m－2＜0.
(1)若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；
(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．
解析：(1)对所有实数x，不等式mx2－2x＋m－2＜0恒成立，即函数f(x)＝mx2－2x＋m－2的图象全部在x轴下方．
当m＝0时，－2x－2＜0，显然对任意x不能恒成立；
当m≠0时，由二次函数的图象可知有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＜0，,Δ＝4－4mm－2＜0，))
解得m＜1－eq \r(2).
综上，m的取值范围是(－∞，1－eq \r(2))．
(2)设g(m)＝(x2＋1)m－2x－2，它是一个以m为自变量的一次函数，由x2＋1＞0知，g(m)在[－2,2]上为增函数，则只需g(2)＜0即可，即2x2＋2－2x－2＜0，解得0＜x＜1.
故x的取值范围是(0,1)．