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人教版新课标A必修53.2 一元二次不等式及其解法授课ppt课件
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这是一份人教版新课标A必修53.2 一元二次不等式及其解法授课ppt课件，共23页。PPT课件主要包含了典例分析，举一反三，答案-22］，易错警示，考点演练等内容，欢迎下载使用。
3. 分式不等式与一元二次不等式的关系
设a0; <0等价于（x-a）(x-b)<0; (x-a)(x-b)≥0; ≥0等价于 x-b≠0; (x-a)(x-b)≤0 ≤0等价于 x-b≠0.
分式不等式解法的实质是转化，把分式不等式转化为整式不等式来求解，需要注意分式有意义即分母不为零，也可将分式不等式转化为两个不等式组的并集，继而求出其解集.
题型一 一元二次不等式的解法
【例1】解下列不等式. (1)-x2+2x- >0； (2)8x-1≤16x2.
分析 可根据二次函数、方程和不等式的关系求解，也可利用二次函数图象求解，还可对不等式左边（右边为0)进行因式分解，然后求解.
解 (1)两边同乘以-3，得3x2-6x+2<0. 因为3>0,且方程3x2-6x+2=0的根是 x1=1- ,x2=1+ , 所以原不等式的解集是{x|1-
方法二：8x-1≤16x216x2-8x+1≥0(4x-1)2≥0, ∴x∈R,∴不等式的解集为R.
学后反思 一般地，对于a<0的一元二次不等式，可以直接按a>0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解.
题型二 三个二次问题
【例2】函数f(x)=x2+ax+3.
(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立,求a的取值范围；(2)当x∈[-2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围.
分析 设g（x）=f(x)-a=x2+ax+3-a,f(x)≥a恒成立问题转化为g(x)≥0恒成立问题：
（1）中x∈R时,g(x)≥0恒成立，即g(x)的图象不在x轴下方，故Δ≤0;(2)中求当x∈[-2,2]时，g(x)≥0恒成立，并不能说明抛物线恒在x轴上方，怎样解呢？
解 （1）∵x∈R时，有x2+ax+3-a≥0恒成立，则有Δ=a2-4(3-a)≤0,即a2+4a-12≤0,∴-6≤a≤2.(2)方法一：当x∈[-2,2]时，g(x)=x2+ax+3-a≥0,分如下三种情况讨论：
①如图1，当g(x)的图象恒在x轴上方，满足条件时，有Δ=a2-4(3-a)≤0,即-6≤a≤2.
②如图2，g(x)的图象与x轴有交点，但在x∈[-2,+∞)时，g(x)≥0,即 Δ≥0, a2-4(3-a)≥0, a≥2或a≤-6, x=- <-2, 即 - <-2, a>4 g(-2)≥0, 4-2a+3-a≥0 a≤ , 解得a∈φ.
③如图3,g(x)的图象与x轴有交点,但在x∈(-∞,2]时,g(x)≥0, 即 Δ≥0, a2-4(3-a)≥0 a≥2或a≤-6, x=- >2 即 - >2, a<-4, g(2)≥0, 4+2a+3-a≥0 a≥-7解得-7≤a≤-6.综合①②③得a∈[-7,2].
方法二:f(x)=x2+ax+3≥a,只要f(x)的最小值大于或等于a即可.f(x)=x2+ax+3=(x+ )2+ . 当-2≤- ≤2,即-4≤a≤4时,f(x)min=3- .令3- ≥a-6≤a≤2,再结合-4≤a≤4,得-4≤a≤2. ①当- >2,即a<-4时，f(x)min=f(2)=2a+7.令2a+7≥a,则a≥-7,∴-7≤a<-4. ②当- <-2,即a>4时,f(x)min=f(-2)=7-2a.令7-2a≥a时,则a≤ ,∴a∈φ. ③由①②③,得-7≤a≤2.即当a∈[-7,2]时，在x∈[-2,2]时，有f(x)≥a恒成立.
学后反思 (1)f(x)=ax2+bx+c≥0(a≠0)对x∈R恒成立时， a>0只要求满足 Δ≤0 即可.另外：①ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立 a>0, Δ<0;②ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立 a<0, Δ<0;③ax2+bx+c≤0(a≠0)恒成立 a<0, Δ≤0.(2) 区别“f(x)≥0对x∈R恒成立”与“f(x)≥0对x∈[m,n]恒成立”的不同.f(x)≥0对x∈[m,n]恒成立，即f(x)在[m,n]上的最小值f(x)min≥0
举一反三2. 不等式 对于x∈R恒成立，则a的取值范围是.
题型三 一元二次不等式的实际应用
【例3】(14分)国家原计划以2400元/t的价格收购某种农产品m t,按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳8元（称作税率为8个百分点，即8%）.为了减轻农民负担,制定积极的收购政策.根据市场规律,税率降低x个百分点,收购量能增加2x个百分点.试确定x的范围,使税率调低后,国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
分析 理解题意,巧设未知数,正确将不等关系转化成不等式是解题关键.
解 设税率调低后的税收总收入为y元, …………………….1′则y=2 400m(1+2x%)[(8-x)%]= (x2+42x-400)(0
3. 已知汽车从刹车到停车所滑行的距离（m）与时速（km/h）的平方及汽车总质量成正比例.设某辆卡车不装货物以时速50 km/h行驶时,从刹车到停车走了20 m.如果这辆卡车装着等于车重的货物行驶时,发现前面20 m处有障碍物,这时为了能在离障碍物5 m以外处停车,最大限制时速应是多少(结果只保留整数部分,设卡车司机发现障碍物到刹车需经过1 s)?
解析：设卡车从刹车到停车滑行距离为s m,时速为v km/h,卡车总质量为t,则有s=kv2t(k为常数).设卡车空载时的总质量为t0,则20=k·502t0,解得k= = .设卡车的限速为x km/h（x>0),易知1 s走了 = (m),由题意得 ·x2·2t0+ ≤15,即 ，解得0
错解 ax2-（a+1）x+1<0x2-(1+ )x+1a<0,即(x-1)(x- )<0.当 >1,即01或a<0时,不等式解集为{x|
正解 若a=0,原不等式-x+1<0 x>1;若a<0,原不等式(x- )(x-1)>0x< 或x>1;若a>0，原不等式x- (x-1)<0. (*)其解的情况应由1a与1的大小关系决定:①当a=1时，式（*）x∈φ;②当a>1时，式（*）1};当a=0时，不等式解集为{x|x>1};当01时，不等式解集为{x|1a
11. (2010·厦门质检)若不等式 对满足-2≤m≤2的所有m都成立，求实数x的取值范围.
12.(2009·南京模拟)已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}.(1)求a,b;(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.
解析：(1)因为不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b},所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,且b>1,由根与系数关系得 1+b= , a=1, 1×b= , 解得 b=2.
3. 分式不等式与一元二次不等式的关系
设a0; <0等价于（x-a）(x-b)<0; (x-a)(x-b)≥0; ≥0等价于 x-b≠0; (x-a)(x-b)≤0 ≤0等价于 x-b≠0.
分式不等式解法的实质是转化，把分式不等式转化为整式不等式来求解，需要注意分式有意义即分母不为零，也可将分式不等式转化为两个不等式组的并集，继而求出其解集.
题型一 一元二次不等式的解法
【例1】解下列不等式. (1)-x2+2x- >0； (2)8x-1≤16x2.
分析 可根据二次函数、方程和不等式的关系求解，也可利用二次函数图象求解，还可对不等式左边（右边为0)进行因式分解，然后求解.
解 (1)两边同乘以-3，得3x2-6x+2<0. 因为3>0,且方程3x2-6x+2=0的根是 x1=1- ,x2=1+ , 所以原不等式的解集是{x|1-
方法二：8x-1≤16x216x2-8x+1≥0(4x-1)2≥0, ∴x∈R,∴不等式的解集为R.
学后反思 一般地，对于a<0的一元二次不等式，可以直接按a>0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解.
题型二 三个二次问题
【例2】函数f(x)=x2+ax+3.
(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立,求a的取值范围；(2)当x∈[-2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围.
分析 设g（x）=f(x)-a=x2+ax+3-a,f(x)≥a恒成立问题转化为g(x)≥0恒成立问题：
（1）中x∈R时,g(x)≥0恒成立，即g(x)的图象不在x轴下方，故Δ≤0;(2)中求当x∈[-2,2]时，g(x)≥0恒成立，并不能说明抛物线恒在x轴上方，怎样解呢？
解 （1）∵x∈R时，有x2+ax+3-a≥0恒成立，则有Δ=a2-4(3-a)≤0,即a2+4a-12≤0,∴-6≤a≤2.(2)方法一：当x∈[-2,2]时，g(x)=x2+ax+3-a≥0,分如下三种情况讨论：
①如图1，当g(x)的图象恒在x轴上方，满足条件时，有Δ=a2-4(3-a)≤0,即-6≤a≤2.
②如图2，g(x)的图象与x轴有交点，但在x∈[-2,+∞)时，g(x)≥0,即 Δ≥0, a2-4(3-a)≥0, a≥2或a≤-6, x=- <-2, 即 - <-2, a>4 g(-2)≥0, 4-2a+3-a≥0 a≤ , 解得a∈φ.
③如图3,g(x)的图象与x轴有交点,但在x∈(-∞,2]时,g(x)≥0, 即 Δ≥0, a2-4(3-a)≥0 a≥2或a≤-6, x=- >2 即 - >2, a<-4, g(2)≥0, 4+2a+3-a≥0 a≥-7解得-7≤a≤-6.综合①②③得a∈[-7,2].
方法二:f(x)=x2+ax+3≥a,只要f(x)的最小值大于或等于a即可.f(x)=x2+ax+3=(x+ )2+ . 当-2≤- ≤2,即-4≤a≤4时,f(x)min=3- .令3- ≥a-6≤a≤2,再结合-4≤a≤4,得-4≤a≤2. ①当- >2,即a<-4时，f(x)min=f(2)=2a+7.令2a+7≥a,则a≥-7,∴-7≤a<-4. ②当- <-2,即a>4时,f(x)min=f(-2)=7-2a.令7-2a≥a时,则a≤ ,∴a∈φ. ③由①②③,得-7≤a≤2.即当a∈[-7,2]时，在x∈[-2,2]时，有f(x)≥a恒成立.
学后反思 (1)f(x)=ax2+bx+c≥0(a≠0)对x∈R恒成立时， a>0只要求满足 Δ≤0 即可.另外：①ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立 a>0, Δ<0;②ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立 a<0, Δ<0;③ax2+bx+c≤0(a≠0)恒成立 a<0, Δ≤0.(2) 区别“f(x)≥0对x∈R恒成立”与“f(x)≥0对x∈[m,n]恒成立”的不同.f(x)≥0对x∈[m,n]恒成立，即f(x)在[m,n]上的最小值f(x)min≥0
举一反三2. 不等式 对于x∈R恒成立，则a的取值范围是.
题型三 一元二次不等式的实际应用
【例3】(14分)国家原计划以2400元/t的价格收购某种农产品m t,按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳8元（称作税率为8个百分点，即8%）.为了减轻农民负担,制定积极的收购政策.根据市场规律,税率降低x个百分点,收购量能增加2x个百分点.试确定x的范围,使税率调低后,国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
分析 理解题意,巧设未知数,正确将不等关系转化成不等式是解题关键.
解 设税率调低后的税收总收入为y元, …………………….1′则y=2 400m(1+2x%)[(8-x)%]= (x2+42x-400)(0
3. 已知汽车从刹车到停车所滑行的距离（m）与时速（km/h）的平方及汽车总质量成正比例.设某辆卡车不装货物以时速50 km/h行驶时,从刹车到停车走了20 m.如果这辆卡车装着等于车重的货物行驶时,发现前面20 m处有障碍物,这时为了能在离障碍物5 m以外处停车,最大限制时速应是多少(结果只保留整数部分,设卡车司机发现障碍物到刹车需经过1 s)?
解析：设卡车从刹车到停车滑行距离为s m,时速为v km/h,卡车总质量为t,则有s=kv2t(k为常数).设卡车空载时的总质量为t0,则20=k·502t0,解得k= = .设卡车的限速为x km/h（x>0),易知1 s走了 = (m),由题意得 ·x2·2t0+ ≤15,即 ，解得0
错解 ax2-（a+1）x+1<0x2-(1+ )x+1a<0,即(x-1)(x- )<0.当 >1,即0
正解 若a=0,原不等式-x+1<0 x>1;若a<0,原不等式(x- )(x-1)>0x< 或x>1;若a>0，原不等式x- (x-1)<0. (*)其解的情况应由1a与1的大小关系决定:①当a=1时，式（*）x∈φ;②当a>1时，式（*）
11. (2010·厦门质检)若不等式 对满足-2≤m≤2的所有m都成立，求实数x的取值范围.
12.(2009·南京模拟)已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}.(1)求a,b;(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.
解析：(1)因为不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b},所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,且b>1,由根与系数关系得 1+b= , a=1, 1×b= , 解得 b=2.
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