人教版新课标A必修5第二章 数列综合与测试达标测试

这是一份人教版新课标A必修5第二章 数列综合与测试达标测试，共4页。试卷主要包含了等差数列的常用性质等内容，欢迎下载使用。

1．熟练掌握等差数列的概念、通项公式、前n项和公式，并能综合运用这些知识解决一些问题．
2．熟练掌握等差数列的性质、等差数列前n项和的性质，并能综合运用这些性质解决相关问题．
要点回顾
1．若Sn是数列{an}的前n项和，则Sn＝a1＋a2＋…＋an，an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1， n＝1，,Sn－Sn－1， n≥2.))
2．若数列{an}为等差数列，则有：
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d；
(2)前n项和：Sn＝na1＋eq \f(nn－1d,2)＝eq \f(na1＋an,2).
3．等差数列的常用性质
(1)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
(2)若Sn表示等差数列{an}的前n项和，则
Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等差数列．

一、选择题
1．在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值为( )
A．24 B．22
C．20 D．－8
答案 A
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a7＋a11＝6，则S13等于( )
A．24 B．25
C．26 D．27
答案 C
解析 ∵a3＋a7＋a11＝6，∴a7＝2，
∴S13＝eq \f(13a1＋a13,2)＝13a7＝26.
3．设数列{an}、{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于( )
A．0 B．37
C．100 D．－37
答案 C
解析 设数列{an}，{bn}的公差分别为d，d′，
则a2＋b2＝(a1＋d)＋(b1＋d′)
＝(a1＋b1)＋(d＋d′)
＝100.
又∵a1＋b1＝100，∴d＋d′＝0.
∴a37＋b37＝(a1＋36d)＋(b1＋36d′)
＝(a1＋b1)＋36(d＋d′)＝100.
4．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13等于( )
A．120 B．105
C．90 D．75
答案 B
解析 ∵a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5.
∵a1＝5－d，a3＝5＋d，d>0，
∴a1a2a3＝(5－d)·5·(5＋d)＝80，
∴d＝3，a1＝2.
∴a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a1＋11d)
＝3a1＋33d＝3×2＋33×3＝105.
5．若{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1>0，d<0，S4＝S8，则Sn>0成立的最大自然数n为( )
A．11 B．12
C．13 D．14
答案 A
解析 S4＝S8⇒a5＋a6＋a7＋a8＝0⇒a6＋a7＝0，又a1>0，d<0，S12＝eq \f(a1＋a12·12,2)＝0，n<12时，
Sn>0.
6．在等差数列{an}中，a1＝－2 008，其前n项和为Sn，若eq \f(S2 008,2 008)－eq \f(S2 006,2 006)＝2，则S2 012等于( )
A．－2 012 B．2 012
C．6 033 D．6 036
答案 D
解析 eq \f(Sn,n)＝a1＋eq \f(n－1d,2)，
∴eq \f(S2 008,2 008)－eq \f(S2 006,2 006)＝a1＋eq \f(2 008－1,2)d－a1－eq \f(2 006－1,2)d
＝d＝2.
∴S2 012＝2 012×(－2 008)＋eq \f(2 012×2 011,2)×2
＝2 012×3＝6 036.
二、填空题
7．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n＋1，则a6＋a7＋…＋a10的值为________．
答案 80
解析 a6＋a7＋…＋a10＝S10－S5＝111－31＝80.
8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sp＝Sq(p，q∈N*且p≠q)，则Sp＋q＝________.
答案 0
解析 设Sn＝an2＋bn，由Sp＝Sq.
知ap2＋bp＝aq2＋bq，∴p＋q＝－eq \f(b,a).
∴Sp＋q＝a(p＋q)2＋b(p＋q)
＝a(－eq \f(b,a))2＋b(－eq \f(b,a))
＝eq \f(b2,a)－eq \f(b2,a)＝0.
9．等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使前n项和Sn取得最大值的自然数n是______．
答案 5或6
解析 d<0，|a3|＝|a9|，∴a3>0，a9<0且a3＋a9＝0，
∴a6＝0，∴a1>a2>…>a5>0，a6＝0,0>a7>a8>….
∴当n＝5或6时，Sn取到最大值．
10．已知数列{an}中，a1＝20，an＋1＝an＋2n－1，n∈N*，则数列{an}的通项公式an＝________.
答案 n2－2n＋21
解析 ∵an＋1－an＝2n－1，
∴a2－a1＝1，a3－a2＝3，…，
an－an－1＝2n－3，n≥2.
∴an－a1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3)．
∴an＝20＋eq \f(n－12n－2,2)＝n2－2n＋21.
三、解答题
11．甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？
解 (1)设n分钟后第1次相遇，依题意，
有2n＋eq \f(nn－1,2)＋5n＝70，
整理得n2＋13n－140＝0.
解之得n＝7，n＝－20(舍去)．
第1次相遇是在开始运动后7分钟．
(2)设n分钟后第2次相遇，依题意，有
2n＋eq \f(nn－1,2)＋5n＝3×70，
整理得n2＋13n－420＝0.
解之得n＝15，n＝－28(舍去)．
第2次相遇是在开始运动后15分钟．
12．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3·a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝eq \f(Sn,n＋c)，求非零常数c.
解 (1)设等差数列{an}的公差为d，且d>0.
∵a3＋a4＝a2＋a5＝22，又a3·a4＝117，
又公差d>0，∴a3∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋2d＝9,a1＋3d＝13))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1,d＝4))，∴an＝4n－3.
(2)由(1)知，Sn＝n·1＋eq \f(nn－1,2)·4＝2n2－n，
∴bn＝eq \f(Sn,n＋c)＝eq \f(2n2－n,n＋c).
∴b1＝eq \f(1,1＋c)，b2＝eq \f(6,2＋c)，b3＝eq \f(15,3＋c).
∵{bn}是等差数列，∴2b2＝b1＋b3，
∴2c2＋c＝0，∴c＝－eq \f(1,2) (c＝0舍去)．
能力提升
13．在等差数列{an}中，a10<0，a11>0，且|a10|A．S1，S2，…，S10都小于零，S11，S12，…都大于零
B．S1，S2，…，S5都小于零，S6，S7，…都大于零
C．S1，S2，…，S20都小于零，S21，S22，…都大于零
D．S1，S2，…，S19都小于零，S20，S21，…都大于零
答案 D
解析 ∵S19＝eq \f(19a1＋a19,2)＝19a10<0，
S20＝eq \f(20a1＋a20,2).
而a1＋a20＝a10＋a11，∵a10<0，a11>0且|a10|∴a10＋a11>0，
∴S20＝eq \f(20a1＋a20,2)＝10(a10＋a11)>0.
又∵d＝a11－a10>0.
∴Sn>0 (n≥20)．
14．把自然数1,2,3,4，…按下列方式排成一个数阵．
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
……………………………
根据以上排列规律，数阵中第n (n≥3)行从左至右的第3个数是______________.
答案 eq \f(n2,2)－eq \f(n,2)＋3
解析 该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n行有n个数，则第n－1 (n≥3)行的最后一个数为eq \f(n－11＋n－1,2)＝eq \f(n2,2)－eq \f(n,2)，则第n行从左至右的第3个数为eq \f(n2,2)－eq \f(n,2)＋3.
1．等差数列是最基本、最常见的数列，等差数列的定义是研究解决等差数列的判定和性质，推导通项公式、前n项和公式的出发点．
2．通项公式与前n项和公式联系着五个基本量：a1、d、n、an、Sn.掌握好本部分知识的内在联系、结构，以便灵活运用．
3．另外用函数观点和方法揭示等差数列的特征，在分析解决数列的综合题中有重要的意义．