人教版九年级下册27.2.1 相似三角形的判定一等奖教学设计及反思

第二十七章  相似

27.2  相似三角形

27.2.1 相似三角形的判定

课时1 相似多边形及平行线分线段成比例

【知识与技能】

　1.了解相似三角形的概念,掌握平行线分线段成比例这一基本事实.

　2.经历利用平行线判定三角形相似的证明过程,掌握利用平行线判定三角形相似的方法.

【过程与方法】

　1.通过平行线分线段成比例这一基本事实在三角形中的转化,体会数学中的化归思想及数形结合思想.

　2.通过平行线判定三角形相似及利用相似三角形的性质解决问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.

【情感态度与价值观】

　1.通过观察、测量、归纳平行线分线段成比例定理,培养学生动手操作能力及直觉思维.

　2.探究利用平行线判定三角形相似的证明,培养学生合情推理及演绎推理能力,提高逻辑思维能力.

　3.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯.

　1.掌握平行线分线段成比例基本事实.

　2.能利用平行线判定三角形相似.

　探索利用平行线判定三角形相似的方法.

多媒体课件.

导入一:

　【课件展示】　你知道金字塔有多高吗?传说法老命令祭师们测量金字塔的高度,祭师们为此伤透了脑筋,为了帮助祭师们解决困难,古希腊一位伟大的数学家泰勒斯利用巧妙的办法测量金字塔的高度(在金字塔旁边竖立一根木桩,当木桩影子的长度和木桩的长度相等时,只要测量金字塔的影子的长度,便可得出金字塔的高度),展示了他非凡的数学及科学才能，如图.

　　[过渡语]　泰勒斯测量金字塔的高度的方法正确吗?通过学习相似三角形的判定及性质,就可以说明他的测量方法是正确的.

导入二:

　【复习提问】　

　(1)什么是相似多边形?相似多边形有什么性质?

　(2)当相似比为1时,两个相似多边形有什么关系?

　【师生活动】　学生独立回答,教师点评.

　[设计意图]　通过数学家测量金字塔的高度导入新课,激发学生学习的兴趣,从而向学生进行要刻苦学习的思想教育,同时让学生体会数学在实际生活中的应用；通过复习相似多边形的概念及性质,让学生用类比法得到相似三角形的概念及性质,为本节课的学习做好铺垫.

　　[过渡语]　三角形是最简单的多边形,我们知道了相似多边形的概念,很容易得到相似三角形的概念.

一、认识相似三角形

　思考并回答:

　(1)类比相似多边形的概念,你能说出相似三角形的概念吗?

　(2)如果相似比是1,那么这两个三角形是什么关系?

　(3)△ABC与△A'B'C'的相似比为k,那么△A'B'C'与△ABC的相似比是多少?

　 (4)类比相似多边形的性质,说出相似三角形的性质,并用几何语言表示.

　【师生活动】　学生思考回答,教师对每个问题点评后展示课件,规范数学语言.

　(课件展示)

　(1)定义:三个角分别相等,三条边成比例,我们就说这两个三角形相似.对应边的比就叫做两个三角形的相似比.

　(2)表示:△ABC与△A'B'C'相似记作“△ABC∽△A'B'C'”,读作“△ABC相似于△A'B'C'”.

　注意:对应顶点写在对应的位置上.

　(3)相似比为1时,这两个三角形全等,所以全等三角形是相似三角形的特例.

　(4)△ABC与△A'B'C'的相似比为k,那么△A'B'C'与△ABC的相似比是.

　(5)性质:相似三角形的对应角相等,对应边成比例.

　【几何语言】　如图,△A1B1C1∽△ABC,∴∠A1=∠A,∠B1=∠B,∠C1=∠C；==.

　[设计意图]　通过复习相似多边形的定义和性质,迁移到相似三角形的定义和性质,让学生体会类比思想在数学中的应用,帮助学生建立新旧知识之间的联系,体会事物之间由一般到特殊,由特殊到一般之间的联系.

二、平行线分线段成比例基本事实

　思路一

　(1)在课前准备的距离相等的一组平行线l1,l2,l3中,任意作直线AC和A1C1(如图(1)),则=　　　　,=　　　　,即　　　 . 

　　(2)在课前准备的距离相等的一组平行线l1,l2,l3,l4,l5中,任意作直线AE和A1E1(如图(2)),则=　　　　,=　　　　,即　　　 ；=　　　　,=　　　　,即　　　 . 

　(3)在图(2)中,你还能得到其他的比例式吗?

　(4)对于任意一组平行线,截得的对应线段成比例吗?

　(5)尝试用语言概括你得出的结论.

　【师生活动】　学生观察、思考、计算后,小组合作交流,得出结论,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的展示进行点评.

　【课件展示】　两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.

　如图,当直线l1∥l2∥l3时,则=,=,=,=等.

　思路二

　【动手操作】　任意画两条直线l1,l2,再画三条与l1,l2都相交的平行线l3,l4,l5,分别度量l3,l4,l5在l1上截得的线段AB,BC,AC和在l2上截得的线段DE,EF,DF的长度.

　(1)根据度量的长度,你得到哪些成比例线段?尝试写出来.

　(2)这些成比例线段在图中的位置有什么关系?

　(3)对于任意一组平行线,截得的对应线段成比例吗?

　(4)你能用语言概括你得到的结论吗?

　【师生活动】　学生动手独自测量思考,写出比例式,小组合作交流答案,学生展示后教师点评.

　　[过渡语]　我们每个同学虽然画的直线的位置不同,但得到的结论是相同的,所以我们可以得到基本事实:

　【课件展示】　两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.

　如图,当直线l1∥l2∥l3时,则=,=,=,=等.

　[设计意图]　通过动手操作,测量或计算得出平行线分线段成比例这一基本事实,体会从特殊到一般的探索过程,激发学生的求知欲,培养学生分析问题的能力.

三、平行线分线段成比例转化到三角形中

　活动1

　如图,l1∥l2∥l3,当两条被截直线的交点在直线l1或l2上时,你能得到哪些比例式?(教师动画演示,将图(1)中的直线平移到图(2)的位置,让学生直观感受平行线分线段成比例基本事实仍然成立)

　【师生活动】　学生观察教师演示动画,小组交流结果,教师点评结论.

　活动2

　(1)如图,在△ABC中,DE∥BC,且DE分别交AB,AC(或AB,AC的反向延长线)于点D,E,那么比例式=成立吗?

　(2)你能用语言叙述图中的结论吗?

　(3)用几何语言如何描述这一结论?

　【师生活动】　学生小组合作交流,共同探究结论,教师及时点拨,师生共同归纳结论.

　【课件展示】　平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.

　【几何语言】　如图,∵DE∥BC,∴=.

　[设计意图]　通过动画演示将平行线分线段成比例基本事实转化到三角形中,学生易直观形象地得出结论,同时通过学生讨论交流,培养学生的合作意识及语言表达能力.

四、利用平行线证明三角形相似

　问题

　如图,在△ABC中,DE∥BC,且DE分别交AB,AC于点D,E,△ADE与△ABC相似吗?如何证明?

　教师引导回答问题:

　(1)要证明三角形相似,需要哪些条件?

　(∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED=∠C,==)

　(2)你能证明这些角对应相等吗?

　(由两直线平行,同位角相等可得)

　(3)如何证明=?

　(由平行线分线段成比例事实易得)

　(4)DE不在BC边上,用什么方法将DE转化到BC边上呢?

　(过E作EF∥AB,交BC于点F)

　(5)你能证明=吗?

　(由平行线分线段成比例事实易得)

　(6)你能写出△ADE∽△ABC的证明过程吗?

　(7)尝试用语言叙述上述结论,并用几何语言表示你的结论.

　【师生活动】　学生在教师问题的引导下,思考后小组交流,小组代表板书过程,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,对学生板书点评,规范书写过程.

　证明:在△ADE和△ABC中,∠A=∠A.

　∵DE∥BC,

　∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.

　过E作EF∥AB,交BC于点F.

　∵DE∥BC,EF∥AB,

　∴=,=.

　∵四边形DBFE是平行四边形,

　∴DE=BF.

　∴=,

　∴==.

　∴△ADE∽△ABC.

　【课件展示】　平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.

　【几何语言】　如图,在△ABC中,∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.

　【追问】　当DE与BA和CA的延长线相交时,上述结论还成立吗?(教师总结归纳利用平行线证明三角形相似的基本图形:“A”型和“X”型)

　[设计意图]　通过教师设计的小问题,层层深入,达到分析问题的目的,学生易于理解和掌握,提高学生分析问题的能力,同时培养学生归纳总结的能力,加深对平行线证明三角形相似的判定方法的理解.

　[知识拓展]　(1)相似三角形与全等三角形的联系与区别:全等三角形的大小相等,形状相同,而相似三角形的形状相同,大小不一定相等,所以全等三角形是相似三角形的特例,相似比是1∶1的两个相似三角形是全等三角形.

　(2)相似三角形的传递性:如果△ABC∽△A'B'C',△A'B'C'∽△A″B″C″,那么△ABC∽

△A″B″C″.

　(3)在应用平行线分线段成比例这个基本事实时,找准被平行线截得的对应线段,被截线段不一定平行,当“上比下”的值为1时,说明这些平行线间的距离相等.

　(4)符合平行线证明三角形相似的图形有两个,我们称为“A”型和“X”型,如图,若DE∥BC,则△ADE∽△ABC.

　1.相似三角形的概念、表示:三个角分别相等,三条边成比例,△ABC∽△A'B'C'.

　2.平行线分线段成比例的基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.

　3.平行线分线段成比例在三角形中的应用:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.

　4.平行线证明三角形相似:“A”型和“X”型.平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.

　第1课时

　1.相似三角形的概念、表示

　2.平行线分线段成比例的基本事实

　3.平行线分线段成比例在三角形中的应用

　4.平行线证明三角形相似:“A”型和“X”型

一、教材作业

二、课后作业

【基础巩固】

1.若△ABC∽△A'B'C',∠A=40°,∠C=110°,则∠B'等于　　(　　)

A.30°　　B.50°C.40°　　D.70°

2.若△ABC∽△A'B'C',且相似比为k,则k的值等于　　(　　)

A.∠A∶∠A'　　B.AB∶ A'C'C.AB∶A'B'　　D.BC∶A'B'

3.如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC边上,DE∥BC,若=,BC=9,则DE等于　　(　　)

A.2　　B.3　　C.4　　D.5

4.如图,已知在△ABC中,点D,E,F分别是边AB,AC,BC上的点,DE∥BC,EF∥AB,且=,那么的值为　　(　　)

A.　　B.　　C.　　D.

5.如图,点 P是▱ABCD边AB上的一点,射线CP交DA的延长线于点E,则图中相似的三角形有　　(　　)

A.0对　　B.1对C.2对　　D.3对

6.已知△ABC∽△DEF,∠A=80°,∠B=20°,那么△DEF的各角的度数分别是　　　　. 

7.如图,直线l1,l2,…,l6 是一组等距离的平行线,过直线l1上的点A作两条射线,分别与直线l3,l6相交于点B,E,C,F.若BC=2,则EF的长是　　　　. 

8.如图,AB是斜靠在墙壁上的长梯,梯脚B距墙80 cm,梯上点D距墙70 cm,BD长55 cm.求梯子的长.

9.如图,已知AC⊥AB,BD⊥AB,AO=78 cm,BO=42 cm,CD=159 cm,求CO和DO.

【能力提升】

10.如图是A,B,C,D四点在坐标平面上的位置,其中O为原点,AB∥CD.根据图中各点的坐标,可知D点的坐标为　　(　　)

A.　　B.C.(0,5)　　D.(0,6)

11.如图,已知AB,CD,EF都与BD垂直,垂足分别是B,D,F,且AB=1,CD=3,那么EF的长是　　(　　)

A.　　B.　　C.　　D.

12.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥CD.求证=.

【拓展探究】

13. 如图(1),在▱ABCD中,O是对角线AC上一动点,连接DO并延长交直线AB于点E,得到

△DOC∽△EOA.

(1)当点O运动到何处时,△DOC与△EOA的相似比为2?(如图(2))

(2)当点O运动到何处时,△DOC≌△EOA?

(3)当点O运动到何处时E与B重合?此时△DOC与△EOA的相似比是多少?此时O点继续向C点运动,DO的延长线与BC交于F,且有△DFC∽△EFB,当F是BC的中点时,求△DOC与△EOA的相似比.

【答案与解析】

1.A解析:在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°,∠A=40°,∠C=110°,∴∠B=30°.又△ABC∽△A'B'C',∴∠B'=∠B=30°.故选A.

2.C解析:相似比为相似三角形对应边的比,即AB∶A'B'或AC∶ A'C' 或BC∶B'C'.故选C.

3.B解析:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴=,∵=,∴=,=.又∵BC=9,∴=,

∴DE=3.故选B.

4.A解析:∵=,∴=.∵DE∥BC,∴==.∵EF∥AB,∴==.故选A.

5.D解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD,∴△APE∽△BPC,△APE∽

△DCE,∴△BPC∽△DCE.故选D.

6. 80°,20°,80°解析:根据三角形的内角和,可得∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=80°.

∵△ABC∽△DEF,∴∠D=∠A=80°,∠E=∠B=20°,∠F=∠C=80°.故填80°,20°,80°.

7. 5解析:由平行线分线段定理可得=.因为BC∥EF,所以△ABC∽△AEF,所以==.因为BC=2,所以AE=5.故填5.

8.解:∵DE⊥AC,BC⊥AC,∴DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.∴=,∴=.∴AB=440(cm).

∴梯子的长为440 cm.

9.解:设DO=x cm,则CO=(159-x)cm.∵AC⊥AB,BD⊥AB,∴AC∥BD.∴△AOC∽△BOD.∴=,即=.∴x=55.65.∴CO=103.35 cm,DO=55.65 cm.

10.C解析:∵AB∥CD,∴△AOB∽△COD.∴=,即∶=∶DO,∴DO=5,∴D点的坐标为(0,5).故选C.

11.C解析:∵AB,CD,EF都与BD垂直,∴AB∥CD∥EF,∴△DEF∽△DAB,△BEF∽△BCD,

∴=,=,∴+=+=1.∵AB=1,CD=3,∴+=1,∴EF=.故选C.

12. 证明:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.∴=.∵EF∥CD,∴△AEF∽△ACD.∴=,

∴=.

13. 解:(1)∵△DOC与△EOA的相似比为2,则=2,∴当点O运动到=2处时,△DOC与△EOA的相似比为2.　

(2)  当点O运动到AC的中点时,AO=CO,∵AB∥CD,∴∠CDO=∠AEO,∠DCO=∠EAO,∴△DOC≌

△EOA,∴当O点运动到AC的中点处时,△DOC与△EOA全等.　

(3)∵当E与B重合时,△DOC与△EOA全等,∴AO=CO,∴当点O运动到AC的中点时,E与B重合,此时△DOC与△EOA的相似比是1.当点F是BC的中点时,则BF=CF.∵AB∥CD,∴∠CDF=∠BEF,∠DCF=∠EBF,∴△DFC≌△EFB,∴DC=BE,∴AB=DC=BE,∴=,∴△DOC与△EOA的相似比为=.

　本节课是三角形的判定的第1课时,通过复习相似多边形的概念,学生用类比法易得到相似三角形的概念及表示方法,降低了学习概念的难度.以动手操作为主，探究平行线分线段成比例这一事实,学生经历动手操作、观察、计算、比较、讨论、归纳等教学活动,人人参与课堂,积极展示,学生成为课堂的主人,在积极思维中经历知识的形成过程,然后通过动画展示,学生直观形象地观察到这一基本事实在三角形中的应用,体会数学中的转化思想,为平行线证明相似做好铺垫.最后在教师的引导下完成定理的证明,培养学生逻辑思维能力和严谨的学习精神.

　本节课在探究平行线分线段成比例基本事实后,将这一基本事实转化到三角形中应用,得到三角形中的两个推论,课容量较大,在前面概念及基本事实的探究活动中耽误时间长,后面的探究活动教师设计的小问题较多,造成完不成课时任务,后面的处理过于仓促,有头重脚轻的感觉,学生对本节课的重点把握不准,在以后的教学中要注重时间的安排,突出课时重点.