初中数学人教版九年级下册27.2.1 相似三角形的判定第3课时导学案

这是一份初中数学人教版九年级下册27.2.1 相似三角形的判定第3课时导学案，共8页。学案主要包含了自主预习，探究新知，例题学习，反馈练习，能力提升，系统小结等内容，欢迎下载使用。




学习目标


1.掌握相似三角形的性质,理解相似三角形对应线段的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方.


2.能应用相似三角形的性质进行有关角、线段、周长、面积等有关计算.


学习过程


一、自主预习


1.根据相似三角形的定义可知,相似三角形有什么性质?


2.三角形中有各种各样的几何量,除了三条边的长度、三个内角的度数外,还有高、中线、角平分线的长度,以及周长、面积等.如果两个三角形相似,那么除边、角外的其他几何量之间有什么关系呢?


二、探究新知


探究1:如图,△ABC∽△A'B'C',相似比为k,它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少?





猜想:相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比各是 .


证明:如图1,分别作△ABC∽△A'B'C'的对应高AD和A'D',


∵△ABC∽△A'B'C',∴∠B= ;


∵ = =90°,∴ ∽ ;


∴=k.


即:相似三角形对应高的比是 .


类似的,可以证明相似三角形 、 的比也等于 .


这样,我们得到 .


探究2:相似三角形面积的比与相似比有什么关系?





设△ABC与△A'B'C'的相似比为k,分别作△ABC和△A'B'C'的对应高AD,A'D'.


则AD= A'D',BC= B'C'.


∴S△ABC=BC·AD=× B'C'· A'D'= S△A'B'C',∴= .


相似三角形的面积比等于 .


三、例题学习


【例3】如图,在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D,BC边上的高为6,面积是12,求△DEF的边EF上的高和面积.





解:





四、反馈练习


1.判断题(正确的画“√”,错误的画“×”).


(1)一个三角形的各边长扩大为原来的5倍,这个三角形的角平分线也扩大为原来的5倍;( )


(2)一个三角形的各边长扩大为原来的9倍,这个三角形的面积也扩大为原来的9倍.( )


2.如图,△ABC与△A'B'C'相似,AD,BE是△ABC的高,A'D',B'E'是△A'B'C'的高,求证:.








3.在一张复印出来的纸上,一个三角形的一条边由原图中的2 cm变成了6 cm,放缩比例是多少?这个三角形的面积发生了怎样的变化?


五、能力提升


1.如果两个相似三角形对应高线的比是9∶4,那么它们的对应角平分线的比为( )


A.9∶4 B.81∶16 C.16∶81 D.2∶3


2.△ABC中的三条中位线围成的三角形周长是15 cm,则△ABC的周长为( )


A.60 cmB.45 cm


C.30 cmD. cm


3.两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm和18 cm,若较大三角形的周长是42 cm,面积是12 cm2,则较小三角形的周长为 cm,面积为 cm2.





4.如图,在△ABC中,AB=8,AC=6,BC=9,如果动点D以每秒2个单位长的速度,从点B出发沿边BA向点A运动,直线DE∥BC,交AC于E.记x秒时DE的长度是y,写出y关于x的函数关系式.并画出它的图象.








六、系统小结


相似三角形的性质总共有哪些?





评价作业





1.如图所示,AB∥CD,,则△AOB的周长与△DOC的周长比是( )


A.


B.


C.


D.


2.若两个相似三角形面积的比为1∶5,则它们的相似比为( )


A.1∶25 B.1∶5


C.1∶2.5D.1∶





3.如图所示,在▱ABCD中,E是AD边上的中点,连接BE,并延长BE交CD的延长线于点F,则△EDF与△BCF的周长之比是( )


A.1∶2


B.1∶3


C.1∶4


D.1∶5





4.如图所示,在△ABC中,DE∥BC,,则下列结论中正确的是( )


A.


B.


C.


D.


5.△ABC∽△A'B'C',且相似比是3∶4,△ABC的面积是27 cm2,则△A'B'C'的面积为 cm2.


6.已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为2∶3,则△ABC与△DEF对应边上的中线的比为 .





7.如图所示,把△ABC沿AB边平移到△A'B'C'的位置,它们的重叠部分(即图中的阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半,若AB=,则此三角形移动的距离AA'= .





8.如图所示,平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等,则= .


9.在△ABC中,AB=9,AC=12,BC=18,D为AC上一点,AD=4,在AB上取一点E,得到△ADE,若这两个三角形相似,则它们的周长之比是 .





10.如图所示,若BC∥DE,,S△ABC=4,求S四边形DBCE的值.














11.如图所示,在▱ABCD中,E是CD延长线上的一点,BE与AD交于点F,DE=CD.


(1)求证:△ABF∽△CEB;

















(2)若△DEF的面积为2,求▱ABCD的面积.























参考答案


学习过程


一、自主预习


1.相似三角形的对应角相等,对应边成比例.


2.其他几何量之间的比值有的等于相似比,有的等于相似比的平方.


二、探究新知


探究1:


猜想:相似比


证明:∠B' ∠ADB ∠A'D'B' △ADB △A'D'B' 相似比 对应中线 对应角平分线 相似比


相似三角形对应线段的比等于相似比


探究2:k k k k k2 k2 相似比的平方


三、例题学习


【例3】解:在△ABC和△DEF中,


∵AB=2DE,AC=2DF,


∴.


又∠D=∠A,


∴△DEF∽△ABC,△DEF与△ABC的相似比为.


∵△ABC的边BC上的高为6,面积为12,


∴△DEF的边EF上的高为×6=3,面积为×12=3.


四、反馈练习


答案:


1.(1)√ (2)×


2.证明:△ABC∽△A'B'C',令相似比为k,∵AD,A'D'分别是BC边和B'C'边上的高,∴=k,同理,=k,即.


3.解:放缩比例是3∶1,面积扩大为原来的9倍.


五、能力提升


1.A


2.C


3.14


4.解:由题意可知BD=2x,则AD=AB-BD=8-2x,


∵DE∥BC,


∴,即,


∴y=-x+9(0≤x≤4),


其图象如图所示:





六、系统小结


(1)相似三角形的对应边成比例;


(2)相似三角形的对应角相等;


(3)相似三角形的对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于相似比;


(4)相似三角形的周长比等于相似比;


(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.


评价作业


1.D 2.D 3.A 4.C 5.48 6.2∶3 7.-1 8. 9.


10.解:∵BC∥DE,∴△ABC∽△ADE,∴.∵,∴.又∵S△ABC=4,∴S△ADE=,∴S四边形DBCE=.


11.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,AB∥CD,∴∠ABF=∠CEB,∴△ABF∽△CEB.


(2)解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB平行且等于CD,∴△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF.∵DE=CD,∴.∵S△DEF=2,∴S△CEB=18,S△ABF=8,∴S四边形BCDF=S△BCE-S△DEF=16.∴S四边形ABCD=S四边形BCDF+S△ABF=16+8=24.