初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆教案及反思

27.4 正多边形和圆

教学目标

【知识与能力】

学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系。

【过程与方法】

通过正多边形定义教学，培养学生归纳能力；通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力。

【情感态度价值观】

进一步向学生渗透“特殊—一般”再“一般——特殊”的唯物辩证法思想。

教学重难点

【教学重点】

正多边形的概念与正多边形和圆的关系。

【教学难点】  

在圆中画正多边形。          

课前准备

无

教学过程

（一）观察、分析、归纳

观察、分析：

1．等边三角形的边、角各有什么性质？

2．正方形的边、角各有什么性质？

归纳：等边三角形与正方形的边、角性质的共同点．

教师组织学生进行，并可以提问学生问题．

（二）正多边形的概念

（1）概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如果一个正多边形有n（n≥3）条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．

（2）概念理解

①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形．（正三角形、正方形、正六边形……）

②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？

矩形不是正多边形，因为边不一定相等．菱形不是正多边形，因为角不一定相等．

（三）分析、发现：

问题：正多边形与圆有什么关系呢？

发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．

分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢？

（四）多边形和圆的关系的定理

定理：把圆分成n（n≥3）等份：

（1）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；

（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形．

我们以n=5的情况进行证明．

已知：⊙O中，TP、PQ、QR、RS、ST分别是经过点A、B、C、D、E的⊙O的切线．

求证：（1）五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形；

（2）五边形PQRST是⊙O的外切正五边形．

引导学生分析、归纳证明思路：

说明：（1）要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：①依次连结圆的n（n≥3）等分点，所得的多边形是正多边形；②经过圆的n（n≥3）等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边形．

（2）要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件．

（3）此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形．

（五）初步应用

1、（口答）矩形是正多边形吗？菱形是正多边形吗？为什么？

2．求证：正五边形的对角线相等．

3．如图，已知点A、B、C、D、E是⊙O的5等分点，画出⊙O的内接和外切正五边形．

（六）圆内多边形作法

(1）用量角器等分圆周

由在同圆中相等的弦所对的弧相等可知，在一个圆中，先用量角器作一个等于的圆心角，这个角所对的弧就是圆周的，然后在圆周上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等份点，从而作出正n边形（正五角星就是这样作出的）.

(2）用尺规等分圆周

对于一些特殊的正n边形，还可以用直尺和圆规来等分圆周.

①正四边形的作法

如图，用直尺和圆规作⊙O的两条互相垂直的直径，就可以把⊙O分成4等份，从而作出正四边形．我们再逐次平分各边所对的弧，就可以作出正八边形、正十六边形等.

②正六边形的作法

如图 (1)，设⊙O的半径为R，通常先作出⊙O的一条自径AB，然后分别以点A,B为圆心、R为半径作弧，与⊙O交于点C,D,E,F，从而得到⊙O的6等份点，作出正六边形．

如果再逐次等分各边所对的弧，就可作出正十二边形、正二十四边形等．我们可以连接6等份圆周的相间两个点，得到正三角形，如图 (2).

（七）小结

知识：（1）正多边形的概念．

（2）n等分圆周（n≥3）可得圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．

能力和方法：正多边形的证明方法和思路，正多边形判断能力.