高中数学3.4 函数的应用（一）优秀学案设计

函数的应用（一）

【学习目标】

在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题．

【学习重难点】

函数模型与实际应用问题。

【学习过程】

一、自主学习

知识点：几类常见函数模型

建立函数模型解决实际问题的基本思路

教材解难：

建立函数模型应把握的三个关口：

（1）事理关：通过阅读、理解，明白问题讲什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口．

（2）文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系．

（3）数理关：在构建数学模型的过程中，利用已有的数学知识进行检验，从而认定或构建相应的数学问题．

基础自测：

1．某厂日产手套总成本y（元）与手套日产量x（副）的关系式为y＝5x＋4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为（    ）

A．200副

B．400副

C．600副

D．800副

解析：利润z＝10x－y＝10x－（5x＋4000）≥0．

解得x≥800．

答案：D

2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（    ）

解析：距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C．

答案：C

3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（    ）

A．45.606万元

B．45.6万元

C．45.56万元

D．45.51万元

解析：依题意可设甲销售x辆，则乙销售（15－x）辆，总利润S＝L1＋L2，则总利润S＝5.06x－0.15x2＋2（15－x）＝－0.15x2＋3.06x＋30＝－0.15（x－10.2）2＋0.15×10.22＋30（0≤x≤15且x∈N），所以当x＝10时，Smax＝45.6（万元）．

答案：B

4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：

y＝

其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为________．

解析：令y＝60，

若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；

若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；

若1．5x＝60，则x＝40<100，不合题意．

故拟录用人数为25人．

答案：25

二、素养提升

题型一：一次、二次函数模型

例1：某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值．

解析：设每个提价x元（x≥0，x∈N），利润为y元．

每天销售总额为（10＋x）（100－10x）元，

进货总额＝8（100－10x）元，

显然100－10x>0，即x<10，

则y＝（10＋x）（100－10x）－8（100－10x）

＝（2＋x）（100－10x）

＝－10（x－4）2＋360（0≤x<10，x∈N）．

当x＝4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元．

答：当售价定为14元时，可使每天所赚的利润最大，最大利润为360元．

可根据实际问题建立二次函数模型解析式．

方法归纳：

1．利用一次函数模型解决实际问题时，需注意以下两点：

（1）待定系数法是求一次函数解析式的常用方法．

（2）当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数．

2．二次函数模型主要用来解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题，是高考考查的重点．解题时，建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题．

跟踪训练1：某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km．火车出发10min开出13km，之后以120km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式，并求离开北京2h时火车行驶的路程．

解析：因为火车匀速行驶的总时间为（277－13）÷120＝（h），所以0≤t≤．

因为火车匀速行驶th所行驶的路程为120tkm，所以火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式为

s＝13＋120t．

离开北京2h时火车匀速行驶的时间为2－＝（h），此时火车行驶的路程s＝13＋120×＝233（km）．

求出火车匀速行驶的总时间，可得定义域，再建立总路程关于时间的函数模型．

题型二：分段函数（教材P94例2）

例2：一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率v（单位：km/h）与时间t（单位：h）的关系如图所示，

（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；

（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s（单位：km）与时间t的函数解析式，并画出相应的图象．

解析：（1）阴影部分的面积为

50×1＋80×1＋90×1＋75×1＋65×1＝360．

阴影部分的面积表示汽车在这5h内行驶的路程为360km．

（2）根据题图，有

s＝

这个函数的图象如下图所示．

当时间t在[0，5]内变化时，对于任意的时刻t都有唯一确定的行驶路程与之相对应．根据题图，在时间段[0，1），[1，2），[2，3），[3，4），[4，5]内行驶的平均速率分别为50km/h，80km/h，90km/h，75km/h，65km/h，因此在每个时间段内，行驶路程与时间的关系也不一样，需要分段表述．

教材反思：

（1）分段函数是刻画现实问题的重要模型，由自变量变化所遵循规律的不同决定的，函数的分段表示是建模的关键．

（2）若求分段函数值域或最值时，应对分段函数中的每段函数分别求出值域或最值，然后再由各段函数的值域或最值确定本函数的值域或最值．分类讨论思想是本类问题的主要思想方法．

跟踪训练2：为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租．该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租自行车的日净收入（日净收入＝一日出租自行车的总收入－管理费用）．

（1）求函数y＝f（x）的解析式及其定义域．

（2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使日净收入最多？

解析：（1）当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115>0，解得x>2.3．

因为x∈N*，所以x≥3，所以3≤x≤6，x∈N*．

当x>6时，y＝[50－3（x－6）]x－115．令[50－3（x－6）]x－115>0，得3x2－68x＋115<0．

解得2≤x≤20，又x∈N*，所以6<x≤20，x∈N*，

故y＝

定义域为{x|3≤x≤20，x∈N*}．

（2）对于y＝50x－115（3≤x≤6，x∈N*），显然当x＝6时，ymax＝185，对于y＝－3x2＋68x－115＝－32＋（6<x≤20，x∈N*）．当x＝11时，ymax＝270，因为270>185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使日净收入最多．

（1）利用函数关系建立各个取值范围内的净收入与日租金的关系式，写出分段函数，注意实际问题中自变量的取值范围．

（2）利用一次函数的单调性及二次函数的性质分别求分段函数各段上的最大值，取其最大的即可．

三、学业达标

（一）选择题

1．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f（t）的图象如图所示，则杯子的形状是（    ）

解析：从题图中看出，在时间段[0，t1]，[t1，t2]内水面高度是匀速上升的，在[0，t1]上升慢，在[t1，t2]上升快，故选A．

答案：A

2．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是（    ）

A．y＝0．3x＋800（0≤x≤2000，x∈N*）

B．y＝0．3x＋1600（0≤x≤2000，x∈N*）

C．y＝－0．3x＋800（0≤x≤2000，x∈N*）

D．y＝－0．3x＋1600（0≤x≤2000，x∈N*）

解析：由题意知，变速车存车数为（2000－x）辆次，

则总收入y＝0.5x＋（2000－x）×0.8

＝0.5x＋1600－0.8x

＝－0.3x＋1600（0≤x≤2000，x∈N*）．

答案：D

3．某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是（    ）

A．7

B．8

C．9

D．10

解析：由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获利润为：y＝[8＋2（k－1）][60－3（k－1）]＝－6k2＋108k＋378（1≤k≤10），配方可得y＝－6（k－9）2＋864，∴当k＝9时，获得利润最大．

答案：C

4．已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地，则汽车离开A地的距离x关于时间t（时）的函数解析式是（    ）

A．x＝60t

B．x＝60t＋50t

C．x＝

D．x＝

解析：显然出发、停留、返回三个过程中行走速度是不同的，故应分三段表示函数，选D．

答案：D

（二）填空题

5．某电脑公司2017年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%．该公司预计2019年经营总收入要达到1690万元，且计划从2017年到2019年，每年经营总收入的年增长率相同，2018年预计经营总收入为________万元．

解析：设年增长率为x，则有×（1＋x）2＝1690，1＋x＝，因此2018年预计经营总收入为×＝1300（万元）．

答案：1300

6．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C（x）＝x2＋2x＋20（万元）．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．

解析：利润L（x）＝20x－C（x）＝－（x－18）2＋142，当x＝18时，L（x）有最大值．

答案：18

7．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为f（x）＝（A，c为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是____________．

解析：由函数解析式可以看出，组装第A件产品所需时间为＝15，故组装第4件产品所需时间为＝30，解得c＝60，将c＝60代入＝15得A＝16．

答案：60；16

（三）解答题

8．某游乐场每天的盈利额y元与售出的门票张数x之间的函数关系如图所示，试由图象解决下列问题：

（1）求y与x的函数解析式；

（2）要使该游乐场每天的盈利额超过1000元，每天至少卖出多少张门票？

解析：（1）由图象知，可设y＝kx＋b，x∈[0，200]时，过点（0，－1000）和（200，1000），解得k＝10，b＝－1000，从而y＝10x－1000；x∈（200，300]时，过点（200，500）和（300，2000），解得k＝15，b＝－2500，从而y＝15x－2500，

所以y＝

（2）每天的盈利额超过1000元，则x∈（200，300]，由15x－2500>1000得，x>，故每天至少需要卖出234张门票．

9．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：

R（x）＝

其中x是仪器的月产量．

（1）将利润表示为月产量的函数f（x）；

（2）当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润为多少元？（总收益＝总成本＋利润）

解析：（1）设月产量为x台，则总成本为20000＋100x，从而

f（x）＝

（2）当0≤x≤400时，

f（x）＝－（x－300）2＋25000．

∴当x＝300时，f（x）的最大值为25000；

当x>400时，

f（x）＝60000－100x是减函数，

f（x）<60000－100×400＝20000<25000．

∴当x＝300时，f（x）的最大值为25000，

即每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25000元．

尖子生题库：

10．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车辆每月需要维护费50元．

（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

解析：（1）租金增加了600元，所以未租出的车有12辆，一共租出了88辆．

（2）设每辆车的月租金为x元（x≥3000），租赁公司的月收益为y元，

则y＝x－×50－×150＝－＋162x－21000＝－（x－4050）2＋307050，

当x＝4050时，ymax＝307050．

所以每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大为307050元．