备战2021年高考数学（理）一轮复习 易错点04 导数及其应用 学案

易错点04  导数及其应用

易错点1：导数与函数的单调性

导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．

易错点2：导数与函数的极（最）值

求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤

(1)求函数在(a，b)内的极值；

(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；

(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。

易错点3：对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚

讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论．

易错点4：导数与函数的零点

研究函数图像的交点、方程的根、函数零点，归根到底是研究函数的性质，如单调性、极值等。用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数单调性，借助零点村子性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图像的交点问题，利用数形结合来解决。

          01  导数与函数的单调性

例1（2020全国二卷理21）．已知函数f(x)=sin2xsin2x.

（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；

【警示】讨论函数单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则。此题首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可

【解析】（1)由函数的解析式可得：，则：

，

在上的根为：，

当时，单调递增，

当时，单调递减，

当时，单调递增.

【叮嘱】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．

1．（2014新课标Ⅱ）若函数在区间单调递增，则的取值范围是

A．     B．    C．  D．

【解析】∵，∴，∵在单调递增，

所以当 时，恒成立，即在上恒成立，

∵，∴，所以，故选D．

2．（2020•全国1卷）已知函数.

（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；

【解析】(1)当时，，，

由于，故单调递增，注意到，故：

当时，单调递减，当时，单调递增.

            02  导数与函数的极（最）值

例2．（2020•北京卷）已知函数．

（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；

（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．

【警示】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；

（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.

【解析】（Ⅰ）因为，所以，

设切点为，则，即，所以切点为，

由点斜式可得切线方程：，即.

（Ⅱ）显然，因为在点处的切线方程为：，

令，得，令，得，所以，

不妨设时，结果一样，则，

所以，

由，得，由，得，

所以在上递减，在上递增，所以时，取得极小值，

也是最小值为.

【叮嘱】 求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤

(1)求函数在(a，b)内的极值；

(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；

(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。

1．（2017新课标Ⅱ）若是函数的极值点，则

的极小值为

A．     B．           C．           D．1

 【解析】∵，∵，∴，

所以，，

令，解得或，所以当，，单调递增；当时，，单调递减；当，，单调递增，所以的极小值为，选A．

2．(2018全国卷Ⅲ)已知函数．

(1)若，证明：当时，；当时，；

(2)若是的极大值点，求．

【解析】(1)当时，，．

设函数，则．

当时，；当时，．

故当时，，且仅当时，，从而，且仅当时，．

所以在单调递增．

又，故当时，；当时，．

(2)（i）若，由(1)知，当时，，这与是的极大值点矛盾．

（ii）若，设函数．

由于当时，，故与符号相同．

又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点．

．

如果，则当，且时，，

故不是的极大值点．

如果，则存在根，

故当，且时，，所以不是的极大值点．

如果，则．则当时，；

当时，．所以是的极大值点，从而是的极大值点

综上，．

            03  对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚

例3．（2017浙江）函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是

A．              B．             C．              D．

【警示】此类题目，考生容易将导函数图像的升降当作原函数图像的升降。

【解析】由导函数的图象可知，的单调性是减增减增，排除 A、C；由导函数的图象可知，的极值点一负两正，所以D符合，选D．

【叮嘱】 1.导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤

(1)求f′(x)；(2)确认f′(x)在(a，b)内的符号；(3)作出结论：f′(x)＞0时为增函数；f′(x)＜0时为减函数

1.已知函数f（x）的导函数的图像如左图所示，那么函数的图像最有可能的是   

【解析】由导函数的图像，可得：当时，，当时， ，且开口向下；则在上递减，在上递增，在递减；故选A．

2.（2015安徽）设，其中均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是        （写出所有正确条件的编号）

①；②；③；④；

⑤．

【解析】 令，当时，，

则 在R上单调递增函数，此时仅有一个实根，所以(4)(5)对；

当时，由得，所以 是的极小值点．

由，得,即，(3)对． 是的极大值点，

由，得，即，(1)对．填①③④⑤

            04   导数与函数的零点

4.（2019全国Ⅱ理20（1））已知函数,讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；

【警示】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.

【解析】f（x）的定义域为.

因为，所以在（0，1），（1，+∞）单调递增．

因为f（e）=，，

所以f（x）在（1，+∞）有唯一零点x1，即f（x1）=0．

又，，

故f（x）在（0，1）有唯一零点．

综上，f（x）有且仅有两个零点．

【叮嘱】研究函数图像的交点、方程的根、函数零点，归根到底是研究函数的性质，如单调性、极值等。用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数单调性，借助零点村子性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图像的交点问题，利用数形结合来解决。

1.(2016年全国Ⅰ)已知函数有两个零点．

（I）求a的取值范围；

【解析】Ⅰ）．

（i）设，则，只有一个零点．

（ii）设，则当时，；当时，．

所以在上单调递减，在上单调递增．

又，，取满足且，则

，故存在两个零点．

（iii）设，由得或．

若，则，故当时，，

因此在上单调递增．又当时，，

所以不存在两个零点．

若，则，故当时，；

当时，．因此在上单调递减，

在上单调递增．又当时，，

所以不存在两个零点．综上，的取值范围为．

2.（2019全国Ⅰ理20（2））已知函数，为的导数．证明：（2）有且仅有2个零点．

【解析】的定义域为.

（i）当时，由（1）知，在单调递增，而，所以当时，，故在单调递减，又，从而是在的唯一零点.

（ii）当时，由（1）知，在单调递增，在单调递减，而，，所以存在，使得，且当时，；当时，.故在单调递增，在单调递减.

又，，所以当时，.

从而 在没有零点.

（iii）当时，，所以在单调递减.而，，所以在有唯一零点.

（iv）当时，，所以<0，从而在没有零点.

综上，有且仅有2个零点.

1．（2017新课标Ⅱ）若是函数的极值点，则

的极小值为

A．     B．           C．           D．1

【解析】∵，∵，∴，

所以，，

令，解得或，所以当，，单调递增；当时，，单调递减；当，，单调递增，所以的极小值为，选A．

2.（2020•全国1卷）函数的图像在点处的切线方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【解析】，，，，

因此，所求切线的方程为，即.故选：B.

3．（2012陕西）设函数，则

A．为的极大值点         B．为的极小值点

C．为的极大值点        D．为的极小值点

【解析】，，恒成立，令，则

当时，，函数单调减，当时，，函数单调增，

则为的极小值点，故选D．

4．（2015新课标Ⅱ）设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得f (x)0成立的的取值范围是

A．              B．

C．             D．

【解析】令，因为为奇函数，所以为偶函数，由于

，当时， ，所以在

上单调递减，根据对称性在上单调递增，又，，

数形结合可知，使得成立的的取值范围是．故选A.

5．（2015新课标Ⅰ）设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是

A．   B．   C．   D．

【解析】由题意可知存在唯一的整数，使得，设

，，由，可知在

上单调递减，在上单调递增，作出与的大致图象如图所示，

故，即，所以．故选D.

6.（2020•全国3卷）若直线l与曲线y＝和x2＋y2＝都相切，则l的方程为（    ）

A. y＝2x＋1    B. y＝2x＋    C. y＝x＋1    D. y＝x＋

【解析】设直线在曲线上的切点为，则，

函数的导数为，则直线的斜率，

设直线的方程为，即，

由于直线与圆相切，则，

两边平方并整理得，解得，（舍），

则直线的方程为，即.故选：D.

7．（2017新课标Ⅲ）已知函数有唯一零点，则

A．  B．   C．  D．1

【解析】令，则方程有唯一解，

设，，则与有唯一交点，

又，当且仅当时取得最小值2．

而，此时时取得最大值1，

有唯一的交点，则．选C．  

8. 已知函数=，若存在唯一的零点，且＞0，则的取值范围为

A.（2，+∞）  B.（-∞，-2）    C.（1，+∞）  D.（-∞，-1）

【解析】

9．（2011广东）函数在=______处取得极小值．

【解析】由题意，令得或．

因或时，，时，．

∴时取得极小值．故填2.

10．（2017新课标Ⅰ）已知函数．

(1)讨论的单调性；(2)若有两个零点，求的取值范围．

【解析】（1）的定义域为，

，

（ⅰ）若，则，所以在单调递减．

（ⅱ）若，则由得．

当时，；当时，，

所以在单调递减，在单调递增．

（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点．

（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，

最小值为．

①当时，由于，故只有一个零点；

②当时，由于，即，故没有零点；

③当时，，即．

又，

故在有一个零点．