备战2021年高考数学（理）一轮复习 易错点05 数列 学案
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易错点1：知Sn求an
已知数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系式，求an时应注意分类讨论的应用，特别是在利用an＝Sn－Sn－1进行转化时，要注意分n＝1和n≥2两种情况进行讨论，学生特别是容易忽视要检验n＝1是否也适合an.
易错点2：等比数列中的公比问题
在等比数列求和公式中要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论.
易错点3：错位相减前n项和中的项数问题
利用错位相减法求解数列的前n项和时，应注意两边乘以公比后，对应项的幂指数会发生变化，为避免出错，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多了一项，两式相减，除第一项和最后一项外，剩下的n－1项是一个等比数列．
易错点4：裂项相消求前n项和的剩余项问题
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
．
01 求通项公式
已知数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系式，求an时应注意分类讨论的应用，特别是在利用an＝Sn－Sn－1进行转化时，要注意分n＝1和n≥2两种情况进行讨论，学生特别是容易忽视要检验n＝1是否也适合an.
例1已知数列的前项和为＝n2＋n＋1，求的通项公式．
【警示】此类题型，考生会因为忽略考虑的情况而导致错误。
【解析】当n＝1时，a1＝S1＝＋＋1＝2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n＋1－(n－1)2－(n－1)－1＝n.
当n＝1时不符合上式，所以．
【叮嘱】成立的条件是，当要单独验证．
1．已知数列的前项和，求通项.
【解析】当时，==
而不适合上式，
2．数列满足，则 __________.
【解析】∵①
②
①-②得，
02 等比数列中的公比问题
在等比数列求和公式中要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论.
例2．求数列的前n项和．
【警示】此题会因为忽略考虑的情况，而错解得.
【解析】当时，；
当时，由于，[来源:学科网]
[来源:学,科,网]
两式相减得=
.
所以
【叮嘱】在等比数列求和公式中，若公比未知，则要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论。
1．（2018全国卷Ⅲ）等比数列中，．记为的前项和．
若，=________．
【解析】设的公比，由，
当时，所以
当时，所以故答案为m=6
2．（2019全国1理14）记为等比数列的前项和．若，，则 ．
【解析】设等比数列的公比为q(q>0),由得，
所以
03 错位相减前n项和中的项数问题
利用错位相减法求解数列的前n项和时，应注意两边乘以公比后，对应项的幂指数会发生变化，为避免出错，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多了一项，两式相减，除第一项和最后一项外，剩下的n－1项是一个等比数列．
例3．（2020•全国1卷）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
【警示】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比的方程，求解即可得出结论；
（2）由（1）结合条件得出的通项，根据的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.
【解析】（1）设的公比为，为的等差中项，
，；
（2）设前项和为，，
，①
，②
①②得，
，.
1.（2014新课标1）已知是递增的等差数列，，是方程
的根．(Ⅰ)求的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和．
【解析】(Ⅰ)方程的两根为2,3，由题意得
设数列的公差为d，则故从而
所以的通项公式为．
（Ⅱ）设的前n项和为由（I）知则
两式相减得
所以．
2.(2020•全国3卷）设数列{an}满足a1＝3，．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
【解析】（1）由题意可得，，
由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即，
证明如下：当时，成立；
假设时，成立.
那么时，也成立.
则对任意的，都有成立；
（2）由（1）可知，
，①
，②
由①②得：
，
即.
04 裂项相消求前n项和的剩余项问题
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
．
例4.（2017.新课标Ⅱ）等差数列的前项和为，，，
则 ．
【警示】在解答数列问题时，及时准确地“数清”数列的项数是必不可少的，在数项数时，要把握数列的项的构成规律，找准数列的通项公式的特点并找准项数．如果把数列的项数弄错了，将会前功尽。
【解析】设等差数列的首项为，公差为，则，
解得，，
∴，所以，
所以．
1.（2015新课标Ⅰ）已知,设，数列的前n项和=______.
【解析】由，，
所以数列{}前n项和为
=
=.
2.（2013新课标1）已知等差数列的前项和满足，．
（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．
【解析】（1）设的公差为，则=．
由已知可得
（2）由（1）知
从而数列
.
1．（2014新课标1）已知是递增的等差数列，，是方程的根．则=_________.
【解析】(Ⅰ)方程的两根为2,3，由题意得
设数列的公差为d，则故从而
所以的通项公式为．
2.（2013新课标1）已知等差数列的前项和满足，．
则=_________.
【解析】设的公差为，则=．
由已知可得
3.（2011新课标）等比数列的各项均为正数，且
则=_________.
【解析】设等比数列的公比为q(q>0),由得
，所以
4．（2013新课标2）已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列．则=_________.
【解析】设的公差为，由题意，即
于是所以（舍去），
故
5.数列的前项和为，则_________________.
【解析】当时，
而不适合上式，∴
6.数列满足，则 __________.
【解析】∵①
②
①-②得，
7.若数列的前项和为，则=__________.
【解析】当n=1时，
当n≥2时，
，故数列从第二项开始是以-2为首项，-2为公比的等比数列，故当n≥2时，，经验证当n=1时，上式也满足，所以
8.(2015新课标Ⅰ)为数列的前项和，若，
则=________.
【解析】当时，，因为，所以=3，
当时，，即，因为，所以=2，
所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，
所以=；
9..(2014新课标1)已知数列的前n项和，，其中，
则=__________.
【解析】由题意得，故，，.
由，得，即.
由，得，所以.
因此是首项为，公比为的等比数列，
于是．
10．(2018全国卷Ⅰ)记为数列的前项和，若，则_____．
【解析】法1： 因为，所以当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得．
所以．
法2：因为，所以当时，，解得，
当时，，所以，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，
所以．
