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    备战2021年高考数学(理)一轮复习 易错点06 三角函数与解三角形 学案
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    备战2021年高考数学(理)一轮复习 易错点06 三角函数与解三角形 学案

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    易错点06  三角函数与解三角形

    易错点1:解三角函数的定义

    此类题主要考查三角函数的符号,二倍角公式,特殊角的三角函数值等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.所以要求考生要熟记公式,并懂得灵活应用。

    易错点2三角函数图象变换

    函数图象的平移变换解题策略:

    1)对函数y=sin xy=Asin(ωxφ)y=Acos(ωxφ)的图象,无论是先平移再伸缩,还是先伸缩再平移,只要平移|φ|个单位,都是相应的解析式中的x变为x±|φ|,而不是ωx变为ωx±|φ|.

    2)注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应用诱导公式化为同名函数再平移.

    易错点3:由三角函数图像求解析式

    结合图象及性质求解析式y=Asin(ωxφ)B(A>0ω>0)的方法

    1AB,已知函数的最大值M和最小值m,则.

    2ω,已知函数的周期T,则.

    3φ,常用方法有:

    代入法:把图象上的一个已知点代入(此时,AωB已知)

    确定φ值时,往往以寻找五点法中的第一个零点作为突破口,具体如下:

    第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)ωxφ=0

    第二点”(即图象的峰点”)ωxφ=

    第三点”(即图象下降时与x轴的交点)ωxφ

    第四点”(即图象的谷点”)ωxφ=

    第五点ωxφ=2π.

    易错点4 给值(式)求角(值)

    解三角函数的给值求值问题的基本步骤

    1)先化简所求式子或所给条件;

    2)观察已知条件与所求式子之间的联系;

    3)将已知条件代入所求式子,化简求值.

    易错点5:三角形中边角关系

    此类题考查解三角形的相关知识,涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题;求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中,结合基本不等式构造不等关系求得最值.

     

                01  三角函数的定义

    1.2020全国2卷)α为第四象限角,则(   

    A. cos2α0   B. cos2α0   C. sin2α0   D. sin2α0

    【警示】此类题型,考生会因为忽略考虑角所在的象限而导致错误。

    【解析】方法一:由α为第四象限角,可得

    所以

    此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上,所以

    故选:D.

    方法二:当时,,选项B错误;

    时,,选项A错误;

    在第四象限可得:,则,选项C错误,选项D正确;

    故选:D.

    【叮嘱】此类题主要考查三角函数的符号,二倍角公式,特殊角的三角函数值等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.所以要求考生要熟记公式,并懂得灵活应用。

    1.(2014新课标)若,则(  

    A      B       C     D

    【解析】 的终边在第一象限或第三象限,此时同号,

    ,选C

    2.(2011新课标)已知角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,终边在直线上,则= 

    A       B       C        D

    【解析】由角的终边在直线上可得,

    .故选B

                02  三角函数图象变换

    22020江苏卷)将函数y的图象向右平移个单位长度,则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.

    【警示】此题先根据图象变换得解析式,再求对称轴方程,最后确定结果.

    【详解】

    ,,故答案为:

     

    【叮嘱】 函数图象的平移变换解题策略

    1)对函数y=sin xy=Asin(ωxφ)y=Acos(ωxφ)的图象,无论是先平移再伸缩,还是先伸缩再平移,只要平移|φ|个单位,都是相应的解析式中的x变为x±|φ|,而不是ωx变为ωx±|φ|.

    2)注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应用诱导公式化为同名函数再平移.

     

    1.(2017新课标)已知曲线,则下面结论正确的是(   )

    A.把上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位长度,得到曲线

    B.把上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位长度,得到曲线

    C.把上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位长度,得到曲线

    D.把上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位长度,得到曲线

    【解析】的解析式运用诱导公式变为余弦,

    则由图象横坐标缩短为原来的,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线.选D

    2.(2016全国II)若将函数的图像向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为

    A              B

    C              D

    【解析】函数的图像向左平移个单位长度,得到的图像对应的函数表达式为,令,解得,所以所求对称轴的方程为,故选B

     

                03  由三角函数图像求解析式

    32020全国1卷)设函数的图像大致如下图,则f(x)的最小正周期为(   

    A.    B.     C.     D.

     

    【警示】由图可得:函数图象过点,即可得到,结合是函数图象与轴负半轴的第一个交点即可得到,即可求得,再利用三角函数周期公式即可得解.

     

    【解析】由图可得:函数图象过点,将它代入函数可得:

    是函数图象与轴负半轴的第一个交点,所以,解得:

    所以函数的最小正周期为故选:C

    【叮嘱】结合图象及性质求解析式y=Asin(ωxφ)B(A>0ω>0)的方法

    1AB,已知函数的最大值M和最小值m,则.

    2ω,已知函数的周期T,则.

    3φ,常用方法有:

    代入法:把图象上的一个已知点代入(此时,AωB已知)

    确定φ值时,往往以寻找五点法中的第一个零点作为突破口,具体如下:

    第一点(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)ωxφ=0

    第二点(即图象的峰点”)ωxφ=

    第三点(即图象下降时与x轴的交点)ωxφ

    第四点(即图象的谷点”)ωxφ=

    第五点ωxφ=2π.

    1.2020新全国1山东)下图是函数y sin(ωxφ)的部分图像,则sin(ωxφ)    

    A.   B.   C.   D.

    【解析】由函数图像可知:,则,所以不选A,

    时,

    解得:,即函数的解析式为:

    .

    ,故选:BC.

    2.(2015新课标)函数的部分图像如图所示,则的单调递减区间为(  ).

    A        

    B

    C           

    D

    【解析】由图象可知

    所以

    所以函数的单调递减区间为,

    ,即

     

                04   给值(式)求角(值)

    42020江苏卷)已知 ,则的值是____.

    【警示】直接按照两角和正弦公式展开,再平方即得结果.

    【解析】

    ,故答案为:

    【叮嘱】解三角函数的给值求值问题的基本步骤

    1先化简所求式子或所给条件;

    2)观察已知条件与所求式子之间的联系;

    3)将已知条件代入所求式子,化简求值.

    1.2020全国3卷)已知2tanθ–tan(θ)7,则tanθ   

    A. –2    B. –1    C. 1     D. 2

    【解析】,令,则,整理得,解得,即.故选:D.

    2020全国1卷)已知,且,则   

    A.    B.    C.     D.

    【解析】,得

    ,解得(舍去),

    .故选:A.

                05   三角形中边角关系

    5.2020全国2卷)中,sin2Asin2Bsin2CsinBsinC.

    1)求A

    2)若BC3,求周长的最大值.

    【警示】1)利用正弦定理角化边,配凑出的形式,进而求得

    2)利用余弦定理可得到,利用基本不等式可求得的最大值,进而得到结果.

    【解析】1)由正弦定理可得:

    2)由余弦定理得:

    .(当且仅当时取等号),

    解得:(当且仅当时取等号),

    周长周长的最大值为.

    【叮嘱】此类题考查解三角形的相关知识,涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题;求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中,结合基本不等式构造不等关系求得最值.

    1.2020全国3卷)ABC中,cosCAC4BC3,则cosB   

    A.     B.     C.     D.

    【解析】中,

    根据余弦定理:,,

    可得 ,即,,

    .故选:A.

    2.2020江苏卷)ABC中,角ABC的对边分别为abc,已知

    1)求的值;

    2)在边BC上取一点D,使得,求的值.

    【解析】1)由余弦定理得,所以.

    由正弦定理得.

    2)由于,所以.

    由于,所以,所以

    所以

    .

    由于,所以.

    所以.

    1.(2011新课标)设函数,则( 

    A单调递增,其图象关于直线对称

    B单调递增,其图象关于直线对称

    C单调递减,其图象关于直线对称

    D单调递减,其图象关于直线对称

    【解析】=

    所以单调递减,对称轴为,即

    2.(2012新课标)已知>0,直线==是函数图像的两条相邻的对称轴,则= 

    A        B       C       D

    【解析】由题设知,==1=),

    =),=,故选A.

    3.(2017新课标)设函数,则下列结论错误的是( 

    A的一个周期为      B的图像关于直线对称

    C的一个零点为  D单调递减

    【解析】的周期为,所以A正确;

    ,所以B正确;

    ,而C正确;选D

    4.(2012新课标)已知,函数单调递减,则的取值范围是(   )

    A   B     C    D

    【解析】函数的图像可看作是由函数的图像先向左平移个单位得的图像,再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的倍,纵坐标不变得到的,而函数的减区间是,所以要使函数上是减函数,需满足,解得.故选A

    5.(2016全国I)已知函数的零点,图像的对称轴,且单调,则的最大值为(  

    A11                  B9                   C7                   D5

    【解析】因为为函数的零点,图像的对称轴,所以为周期),得).又单调,所以,又当时,不单调;当时,单调,满足题意,故,即的最大值为9

    6.2013新课标)已知锐角的内角的对边分别为,则

    A       B      C      D

    【解析】,由余弦定理解得

    7.2016年全国II的内角的对边分别为,若

    ,则       

    【解析】

    由正弦定理得:解得

    8.2020北京卷)若函数的最大值为2,则常数的一个取值为________

    【解析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得,可得,即可解出.

    【详解】因为

    所以,解得,故可取.故答案为:均可).

    9.2019全国15的内角的对边分别为.,则的面积为__________.

    【解析】由余弦定理有
    因为,所以

    所以.

    10.2020浙江卷)在锐角ABC中,角ABC的对边分别为abc,且

    I)求角B

    II)求cosAcosBcosC的取值范围.

    【解析】I)由结合正弦定理可得:

    ABC为锐角三角形,故.

    II)结合(1)的结论有:

    .

    可得:

    .

    的取值范围是.

     

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