初中数学人教版八年级下册19.2.2 一次函数教案及反思

这是一份初中数学人教版八年级下册19.2.2 一次函数教案及反思，共7页。教案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题，思路点拨，答案与解析，总结升华等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】


1. 理解一次函数的概念，理解一次函数的图象与正比例函数的图象之间的关系；


2. 能正确画出一次函数的图象．掌握一次函数的性质．利用函数的图象解决与一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题．


3. 对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题．


【要点梳理】


要点一、一次函数的定义


一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数.


要点诠释：当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数.


要点二、一次函数的图象与性质


1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线 ；


当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的；


当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的.


2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质：


3. 、对一次函数的图象和性质的影响：


决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．


4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：


（1）与相交； （2），且与平行；


要点三、待定系数法求一次函数解析式


一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值.


要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.


要点四、分段函数


对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.


要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.


【典型例题】


类型一、待定系数法求函数的解析式


1、根据函数的图象，求函数的解析式．





【思路点拨】由于此函数的图象过（0，2），因此＝2，可以设函数的解析式为，再利用过点（1.5，0），求出相应的值.


【答案与解析】利用待定系数法求函数的解析式.


解：设函数的解析式为.


它的图象过点（1.5，0），（0，2）





∴该函数的解析式为.


【总结升华】用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.


举一反三：


【变式1】已知一次函数的图象与正比例函数的图象平行且经过(2，1)点，则一次函数的解析式为________．


【答案】 ；


提示：设一次函数的解析式为，它的图象与的图象平行，则，又因为一次函数的图象经过(2，1)点，代入得1＝2×2＋．解得．


∴ 一次函数解析式为．


【变式2】（2015春•广安校级月考）已知函数y1=2x﹣3，y2=﹣x+3．


（1）在同一坐标系中画出这两个函数的图象．


（2）求出函数图象与x轴围成三角形的面积．


【答案】解：（1）函数y1=2x﹣3与x轴和y轴的交点是（1.5，0）和（0，﹣3），y2=﹣x+3与x轴和y轴的交点是（3，0）和（0，3），其图象如图：





（2）设y1=2x﹣3，y2=﹣x+3的交点为点A，可得：，


可得：，


S△ABC=BC•1=×（3﹣1.5）×1=．


类型二、一次函数图象的应用


2、（2016春•南昌期末）电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费的办法，已知某户居民每月应缴电费y（元）与用电量x（度）的函数图象是一条折线（如图所示），根据图象解答下列问题．


（1）分别写出当0≤x≤100和x＞100时，y与x之间的函数关系式；


（2）若该用户某月用电80度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元，则该用户该月用了多少度电？





【思路点拨】（1）对0≤x≤100段，列出正比例函数y=kx，对x≥100段，列出一次函数y=kx+b；将坐标点代入即可求出．


（2）根据（1）的函数解析式以及图标即可解答即可．


【答案与解析】解：（1）当0≤x≤100时，


设y=kx，则有65=100k，解得k=0.65．


∴y=0.65x．


当x＞100时，


设y=ax+b，则有，


解得


∴y=0.8x﹣15．


（2）当用户用电80度时，该月应缴电费0.65×80=52（元）．


当用户缴费105元时，由105=0.8x﹣15，解得x=150．


∴该用户该月用电150度．


【总结升华】本题主要考查一次函数的应用，关键考查从一次函数的图象上获取信息的能力．


举一反三：


【变式】小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A，再走下坡路到达点B，最后走平路到达学校C，所用的时间与路程的关系如图所示.放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是( )


A.14分钟B.17分钟C.18分钟D.20分钟





【答案】D；


提示：由图象可知，上坡速度为80米/分；下坡速度为200米/分；走平路速度为100米/分.原路返回，走平路需要8分钟，上坡路需要10分钟，下坡路需要2分钟，一共20分钟.


类型三、一次函数的性质


3、已知一次函数．


（1）当、是什么数时，随的增大而增大；


（2）当、是什么数时，函数图象经过原点；


（3）若图象经过一、二、三象限，求、的取值范围.


【答案与解析】


解：（1），即＞－2，为任何实数时，随的增大而增大；


（2）当、是满足即时，函数图象经过原点；


（3）若图象经过一、二、三象限，则，即．


【总结升华】一次函数的图象有四种情况：


①当＞0，＞0时，函数的图象经过第一、二、三象限，的值随的值增大而增大；


②当＞0，＜0时，函数的图象经过第一、三、四象限，的值随的值增大而增大；


③当＜0，＞0时，函数的图象经过第一、二、四象限，的值随的值增大而减小；


④当＜0，＜0时，函数的图象经过第二、三、四象限，的值随的值增大而减小．


4、（2015春•咸丰县期末）已知点A（4，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=5，0为坐标原点，设△OPA的面积为S．


（1）求S关于x的函数解析式；


（2）求x的取值范围；


（3）当S=4时，求P点的坐标．


【思路点拨】（1）根据题意画出图形，由x+y=5可知y=5﹣x，再由三角形的面积公式即可得出结论；（2）由点P（x，y）在第一象限，且x+y=5得出x的取值范围即可；（3）把S=4代入（1）中的关系式求出x的值，进而可得出y的值．


【答案与解析】解：（1）如图所示，


∵x+y=5，


∴y=5﹣x，


∴S=×4×（5﹣x）=10﹣2x；


（2）∵点P（x，y）在第一象限，且x+y=5，


∴0＜x＜5；


（3）∵由（1）知，S=10﹣2x，


∴10﹣2x=4，解得x=3，


∴y=2，


∴P（3，2）．





【总结升华】本题考查的是一次函数的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．


举一反三：


【变式】函数在直角坐标系中的图象可能是（ ）．





【答案】B；


提示：不论为正还是为负，都大于0，图象应该交于轴上方,故选B.