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【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题68 参数方程（含解析）
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考点68 参数方程
1．（天津市河东区2019届高三二模数学理）已知直线的参数方程为（为参数），圆的极坐标方程为若直线与圆相交所得弦长为，则的值为________________.
2．（河南省南阳市第一中学2019-2020学年高三上学期第二次开学考试数学理）在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，为直线l上一点，求.
3．（宁夏长庆高级中学2020届高三上学期第一次月考数学理）已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于A、B两点，点P(1,3).
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）求的值.
4．（湖南省长沙市雅礼中学2020届高三上学期月考试卷一理）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线交于点.
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知极坐标系中两点，，若、都在曲线上，求的值.
5．（山东省烟台市、菏泽市2019届高三5月高考适应性练习一理）[选修4—4：坐标系与参数方程]:在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数，），以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，已知直线与曲线C交于不同的两点A，B．
(1)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)设P(1，2)，求的取值范围．
6．（广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测数学理）在直角坐标系中，直线，曲线（为参数）.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为.
（1）求直线和曲线的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，已知射线与,的公共点分别为,，且，求的面积．
7．（河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学理）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（是参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程是.
（Ⅰ）写出圆的直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线与有且仅有三个公共点，求的值.
8．（山东省临沂市2019届高三模拟考试三模理）在直角坐标系中，圆的参数方程为 （为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求的极坐标方程和直线的直角坐标方程；
（2）射线与圆的交点为，，与直线的交点为，求的取值范围．
9．（河南省十所名校2019届高三毕业班阶段性测试七理）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于，两点.
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若线段的长度为，求实数的值.
10．（辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟考试理）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求圆的极坐标方程；
（2）已知射线，若与圆交于点（异于点），与直线交于点，求的最大值.
11．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点，直线与曲线相交于，，求的值．
12．（江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测）选修4-2：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.若直线与曲线交于两点，求线段的长.
13．（江西省新八校2019届高三第二次联考理）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设曲线和交于，两点，点，若，，成等比数列，求的值.
14．（陕西省2019年高三第三次教学质量检测理）在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数，）.以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知曲线与曲线交于两点，且，求实数的值.
15．（四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断性考试数学理）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1+cos2θ）=8sinθ．
（1）求曲线C的普通方程；
（2）直线l的参数方程为,t为参数直线与y轴交于点F与曲线C的交点为A，B，当|FA|•|FB|取最小值时，求直线的直角坐标方程．
16．（湖南省师范大学附属中学2019届高三考前演练五数学理）在同一直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C的方程变为.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为.
（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；
（2）过点作l的垂线l0交C于A，B两点，点A在x轴上方，求的值.
17．（河北省保定市2019年高三第二次模拟考试理）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线的极坐标方程为.
（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设直线上的定点在曲线外且其到上的点的最短距离为，试求点的坐标.
18．（河南省八市重点高中联盟2019届高三5月领军考试理）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线交于，两点，求线段的长
19．（河北省保定市2019届高三4月第一次模拟考试理）已知曲线的极坐标程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程，（为参数），曲线的参数方程是（为参数）．
（1）写出曲线和直线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于、两点，为曲线上的动点，求三角形面积的最大值．
20．（广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学理）在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）过点倾斜角为的直线与曲线交于两点，求的值.
21．（天津市新华中学2019届高三下学期第八次统练一模数学理）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为.为直线上一动点，当到圆心 的距离最小时，则的直角坐标为__________________.
22．（天津市南开区2019届高三第二学期模拟考试二数学理）已知在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，直线与圆交于两点，则__________.
23．（天津市红桥区2019届高三一模数学理）设直线l：（t为参数），曲线C：（为参数），直线l与曲线C交于A、B两点，则|__（用数字填写）
24．（天津市部分区2019届高三联考一模数学理）已知直线的参数方程是（为参数），若与圆交于两点，且，则直线的斜率为_________.
考点68 参数方程
1．（天津市河东区2019届高三二模数学理）已知直线的参数方程为（为参数），圆的极坐标方程为若直线与圆相交所得弦长为，则的值为________________.
【答案】或.
【解析】
由参数方程可得：,
整理可得直线的直角坐标方程为，
圆的极坐标方程即,
设圆心到直线的距离为，
由弦长公式可得：,解得：，
结合点到直线距离公式可得：,
解得：或.
2．（河南省南阳市第一中学2019-2020学年高三上学期第二次开学考试数学理）在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，为直线l上一点，求.
【答案】（1）直线l的普通方程为，曲线C的直角坐标方程为（2）
【解析】
解：（1）直线l的普通方程为，曲线C的直角坐标方程为.
（2）将直线l的参数方程化为（t为参数），代入曲线C的方程，得，所以，，所以.
3．（宁夏长庆高级中学2020届高三上学期第一次月考数学理）已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于A、B两点，点P(1,3).
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）求的值.
【答案】（1）直线：，曲线：；（2）
【解析】
（1）直线的普通方程 ，曲线的直角坐标方程为，
（2）直线的参数方程改写为，代入，
，，，
.
4．（湖南省长沙市雅礼中学2020届高三上学期月考试卷一理）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线交于点.
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知极坐标系中两点，，若、都在曲线上，求的值.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
（1）的参数方程为，的普通方程为，
由题意，设曲线的极坐标方程为（为半径），
将代入，得，，
圆的圆心的直角坐标为，半径为，
因此，的直角坐标方程为；
（2）曲线的极坐标方程为，即
，.
.
5．（山东省烟台市、菏泽市2019届高三5月高考适应性练习一理）[选修4—4：坐标系与参数方程]:在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数，），以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，已知直线与曲线C交于不同的两点A，B．
(1)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)设P(1，2)，求的取值范围．
【答案】（1）直线的普通方程为. 曲线的直角坐标方程为（2）
【解析】
解：（1）因为，所以，两式相减可得
直线的普通方程为.
因为，，，
所以曲线的直角坐标方程.
（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，
整理得关于的方程： .
因为直线与曲线有两个不同的交点，所以上述方程有两个不同的解，设为，
则 ，.
并且，
注意到 ，解得.
因为直线的参数方程为标准形式，所以根据参数的几何意义，
有
，
因为，所以，.
因此的取值范围是.
6．（广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测数学理）在直角坐标系中，直线，曲线（为参数）.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为.
（1）求直线和曲线的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，已知射线与,的公共点分别为,，且，求的面积．
【答案】（1）直线： ；曲线的极坐标方程为；（2）.
【解析】
解：（1）∵，∴直线的极坐标方程是，
曲线的普通方程为，即.
所以曲线的极坐标方程为.
（2）将分别代入，得：，.
∴，∴.
∵，∴.
∴，，.
所以.
即的面积为．
7．（河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学理）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（是参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程是.
（Ⅰ）写出圆的直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线与有且仅有三个公共点，求的值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）3.
【解析】（Ⅰ），
，
∴，
∴圆的直角坐标方程是.
（Ⅱ）因为曲线与有且仅有三个公共点，说明直线与圆相切，圆心为（1，2），半径为，
则，
解得，
所以.
8．（山东省临沂市2019届高三模拟考试三模理）在直角坐标系中，圆的参数方程为 （为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求的极坐标方程和直线的直角坐标方程；
（2）射线与圆的交点为，，与直线的交点为，求的取值范围．
【答案】（1）圆的极坐标方程为.直线的直角坐标方程为.（2）
【解析】
（1）圆的普通方程是，
将，代入上式：，化简得：，
所以圆的极坐标方程为.
直线的极坐标方程为，
将，代人上式，得：，
∴直线的直角坐标方程为.
（2）设，因为点在圆上，则有，
设，因为点在直线，则有，
所以，
∵，∴，∴，
∴，即，
故的范围为.
9．（河南省十所名校2019届高三毕业班阶段性测试七理）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于，两点.
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若线段的长度为，求实数的值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）由，得，化简得.
因为，，所以方程可化为，
整理得，即.
（Ⅱ）由直线的参数方程可得其普通方程为.
联立可得.
因为直线与曲线有两个交点，
所以，得.
设，，则，.
.
由，解得.
10．（辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟考试理）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求圆的极坐标方程；
（2）已知射线，若与圆交于点（异于点），与直线交于点，求的最大值.
【答案】（1）；（2）3
【解析】
（1）由圆的参数方程为消去参数，
得到圆的普通方程为，即，
所以其极坐标方程为，即；
（2）由题意，将代入圆的极坐标方程得；
将代入线的极坐标方程，得，
所以
，
因为，
所以，
因此，当，即时，取得最大值3.
11．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点，直线与曲线相交于，，求的值．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【解析】
解：（Ⅰ ）由（为参数），消去参数，可得．
∵，∴，即．
∴曲线的直角坐标方程为；
（Ⅱ ）把代入，得．
设，两点对应的参数分别为，
则，．
不妨设，，
∴．
12．（江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测）选修4-2：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.若直线与曲线交于两点，求线段的长.
【答案】
【解析】
由曲线的极坐标方程，得，
所以曲线的直角坐标方程是.
所以直线的普通方程为.
由得，所以.
13．（江西省新八校2019届高三第二次联考理）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设曲线和交于，两点，点，若，，成等比数列，求的值.
【答案】（1）曲线的普通方程是：，曲线的直角坐标方程为：； （2）
【解析】
（1）由题意得：曲线的普通方程是：
曲线的直角坐标方程为：
（2）易知在上 可设直线的参数方程为：（为参数）
将直线的参数方程代入曲线的普通方程，可得：
，整理可得：
设对应的参数分别是，则，，
，
又，，成等比数列
则
即：，解得：．
14．（陕西省2019年高三第三次教学质量检测理）在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数，）.以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知曲线与曲线交于两点，且，求实数的值.
【答案】(1) ;.(2) 或.
【解析】
（1）曲线参数方程为为参数，消去参数，得，
∴曲线的普通方程，
又由曲线的极坐标方程为，∴，
根据极坐标与直角坐标的互化公式，代入得，
整理得，即曲线的直角坐标方程.
（2）设两点所对应参数分别为，，
将代入，得，
要使与有两个不同的交点，则，即，
由韦达定理有，根据参数的几何意义可知，，
又由，可得，即或，
∴当时，有，符合题意.
当时，有，符合题意.
综上所述，实数的值为或.
15．（四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断性考试数学理）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1+cos2θ）=8sinθ．
（1）求曲线C的普通方程；
（2）直线l的参数方程为,t为参数直线与y轴交于点F与曲线C的交点为A，B，当|FA|•|FB|取最小值时，求直线的直角坐标方程．
【答案】（1）x2=4y；（2）y=1
【解析】
（1）由题意得ρ（1+cos2θ）=8sinθ，得2ρcos2θ=8sinθ，得ρ2cos2θ=4ρsinθ，
∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴x2=4y，即曲线C的普通方程为x2=4y．
（2）由题意可知，直线与y轴交于点F（0，1）即为抛物线C的焦点，
令|FA|=|t1|，|FB|=|t2|，将直线的参数方程代入C的普通方程x2=4y中，
整理得t2cos2α-4tsinα-4=0，
由题意得cosα≠0，根据韦达定理得：t1+t2=，t1t2=，
∴|FA||FB|=|t1||t2|=|t1t2|=≥4，（当且仅当cos2α=1时，等号成立），
∴当|FA|•|FB|取得最小值时，直线的直角坐标方程为y=1．
16．（湖南省师范大学附属中学2019届高三考前演练五数学理）在同一直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C的方程变为.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为.
（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；
（2）过点作l的垂线l0交C于A，B两点，点A在x轴上方，求的值.
【答案】（1），（2）
【解析】
（1）将代入得，曲线C的方程为，
由，得，
把，代入上式得直线l的直角坐标方程为.
（2）因为直线l的倾斜角为，所以其垂线l0的倾斜角为，
则直线l0的参数方程为（t为参数），即（t为参数）
代入曲线C的方程整理得，
设A，B两点对应的参数为t1，t2，由题意知，，
则，且，
所以.
17．（河北省保定市2019年高三第二次模拟考试理）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线的极坐标方程为.
（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设直线上的定点在曲线外且其到上的点的最短距离为，试求点的坐标.
【答案】（1）的普通方程为．的直角坐标方程为 （2）（-1，0）或（2，3）
【解析】解：（1）由消去参数，得．
即直线的普通方程为．
因为
又，
∴曲线的直角坐标方程为
（2）由知，曲线C是以Q（1,1）为圆心，为半径的圆
设点P的坐标为，则点P到上的点的最短距离为|PQ|
即，整理得，解得
所以点P的坐标为（-1，0）或（2，3）．
18．（河南省八市重点高中联盟2019届高三5月领军考试理）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线交于，两点，求线段的长
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）的方程可化为，将，，代入其中
得，所以曲线的直角坐标方程为.
（2）直线过定点，将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得，，，
所以.
19．（河北省保定市2019届高三4月第一次模拟考试理）已知曲线的极坐标程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程，（为参数），曲线的参数方程是（为参数）．
（1）写出曲线和直线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于、两点，为曲线上的动点，求三角形面积的最大值．
【答案】（1），直线的直角坐标方程为．（2）
【解析】
解：（1）由题意可知，直线的直角坐标方程为．
（2）将直线方程代入的方程并整理得，
设对应的参数分别为，，
则，，
∴
设，
所以点到直线的距离，
所以当时，的最大值，
即三角形面积最大值为．
20．（广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学理）在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）过点倾斜角为的直线与曲线交于两点，求的值.
【答案】（1）;（2）8.
【解析】
（1）依题意，曲线的普通方程为，
即，故，故，
故所求极坐标方程为；
（2）设直线的参数方程为（为参数），
将此参数方程代入中，
化简可得，
显然.设所对应的参数分别为，，则.
∴.
21．（天津市新华中学2019届高三下学期第八次统练一模数学理）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为.为直线上一动点，当到圆心 的距离最小时，则的直角坐标为__________________.
【答案】
【解析】
极坐标方程即：，故，,
消去参数可得直线的普通方程为：,
过圆心与直线垂直的方程为，
联立直线方程：可得交点坐标为：.
即的直角坐标为.
22．（天津市南开区2019届高三第二学期模拟考试二数学理）已知在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，直线与圆交于两点，则__________.
【答案】4
【解析】
圆，化为，
所以，圆心，半径为，
直线，化为，化为，
直线上，，故答案为4.
23．（天津市红桥区2019届高三一模数学理）设直线l：（t为参数），曲线C：（为参数），直线l与曲线C交于A、B两点，则|__（用数字填写）
【答案】1
【解析】
解：由曲线C1：（θ为参数），化为x2+y2＝1，
直线l：（t为参数），消去参数化为y（x﹣1），即0．
∴圆心C1（0，0）到直线l的距离d．
∴|AB|＝21．
故答案为：1．
24．（天津市部分区2019届高三联考一模数学理）已知直线的参数方程是（为参数），若与圆交于两点，且，则直线的斜率为_________.
【答案】
【解析】
由，得，
设，得直线，
由，得圆心为，半径为1，
圆心到直线的距离为，
得.
故答案为.
1．（天津市河东区2019届高三二模数学理）已知直线的参数方程为（为参数），圆的极坐标方程为若直线与圆相交所得弦长为，则的值为________________.
2．（河南省南阳市第一中学2019-2020学年高三上学期第二次开学考试数学理）在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，为直线l上一点，求.
3．（宁夏长庆高级中学2020届高三上学期第一次月考数学理）已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于A、B两点，点P(1,3).
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）求的值.
4．（湖南省长沙市雅礼中学2020届高三上学期月考试卷一理）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线交于点.
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知极坐标系中两点，，若、都在曲线上，求的值.
5．（山东省烟台市、菏泽市2019届高三5月高考适应性练习一理）[选修4—4：坐标系与参数方程]:在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数，），以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，已知直线与曲线C交于不同的两点A，B．
(1)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)设P(1，2)，求的取值范围．
6．（广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测数学理）在直角坐标系中，直线，曲线（为参数）.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为.
（1）求直线和曲线的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，已知射线与,的公共点分别为,，且，求的面积．
7．（河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学理）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（是参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程是.
（Ⅰ）写出圆的直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线与有且仅有三个公共点，求的值.
8．（山东省临沂市2019届高三模拟考试三模理）在直角坐标系中，圆的参数方程为 （为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求的极坐标方程和直线的直角坐标方程；
（2）射线与圆的交点为，，与直线的交点为，求的取值范围．
9．（河南省十所名校2019届高三毕业班阶段性测试七理）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于，两点.
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若线段的长度为，求实数的值.
10．（辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟考试理）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求圆的极坐标方程；
（2）已知射线，若与圆交于点（异于点），与直线交于点，求的最大值.
11．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点，直线与曲线相交于，，求的值．
12．（江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测）选修4-2：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.若直线与曲线交于两点，求线段的长.
13．（江西省新八校2019届高三第二次联考理）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设曲线和交于，两点，点，若，，成等比数列，求的值.
14．（陕西省2019年高三第三次教学质量检测理）在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数，）.以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知曲线与曲线交于两点，且，求实数的值.
15．（四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断性考试数学理）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1+cos2θ）=8sinθ．
（1）求曲线C的普通方程；
（2）直线l的参数方程为,t为参数直线与y轴交于点F与曲线C的交点为A，B，当|FA|•|FB|取最小值时，求直线的直角坐标方程．
16．（湖南省师范大学附属中学2019届高三考前演练五数学理）在同一直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C的方程变为.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为.
（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；
（2）过点作l的垂线l0交C于A，B两点，点A在x轴上方，求的值.
17．（河北省保定市2019年高三第二次模拟考试理）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线的极坐标方程为.
（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设直线上的定点在曲线外且其到上的点的最短距离为，试求点的坐标.
18．（河南省八市重点高中联盟2019届高三5月领军考试理）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线交于，两点，求线段的长
19．（河北省保定市2019届高三4月第一次模拟考试理）已知曲线的极坐标程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程，（为参数），曲线的参数方程是（为参数）．
（1）写出曲线和直线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于、两点，为曲线上的动点，求三角形面积的最大值．
20．（广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学理）在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）过点倾斜角为的直线与曲线交于两点，求的值.
21．（天津市新华中学2019届高三下学期第八次统练一模数学理）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为.为直线上一动点，当到圆心 的距离最小时，则的直角坐标为__________________.
22．（天津市南开区2019届高三第二学期模拟考试二数学理）已知在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，直线与圆交于两点，则__________.
23．（天津市红桥区2019届高三一模数学理）设直线l：（t为参数），曲线C：（为参数），直线l与曲线C交于A、B两点，则|__（用数字填写）
24．（天津市部分区2019届高三联考一模数学理）已知直线的参数方程是（为参数），若与圆交于两点，且，则直线的斜率为_________.
考点68 参数方程
1．（天津市河东区2019届高三二模数学理）已知直线的参数方程为（为参数），圆的极坐标方程为若直线与圆相交所得弦长为，则的值为________________.
【答案】或.
【解析】
由参数方程可得：,
整理可得直线的直角坐标方程为，
圆的极坐标方程即,
设圆心到直线的距离为，
由弦长公式可得：,解得：，
结合点到直线距离公式可得：,
解得：或.
2．（河南省南阳市第一中学2019-2020学年高三上学期第二次开学考试数学理）在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，为直线l上一点，求.
【答案】（1）直线l的普通方程为，曲线C的直角坐标方程为（2）
【解析】
解：（1）直线l的普通方程为，曲线C的直角坐标方程为.
（2）将直线l的参数方程化为（t为参数），代入曲线C的方程，得，所以，，所以.
3．（宁夏长庆高级中学2020届高三上学期第一次月考数学理）已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于A、B两点，点P(1,3).
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）求的值.
【答案】（1）直线：，曲线：；（2）
【解析】
（1）直线的普通方程 ，曲线的直角坐标方程为，
（2）直线的参数方程改写为，代入，
，，，
.
4．（湖南省长沙市雅礼中学2020届高三上学期月考试卷一理）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线交于点.
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知极坐标系中两点，，若、都在曲线上，求的值.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
（1）的参数方程为，的普通方程为，
由题意，设曲线的极坐标方程为（为半径），
将代入，得，，
圆的圆心的直角坐标为，半径为，
因此，的直角坐标方程为；
（2）曲线的极坐标方程为，即
，.
.
5．（山东省烟台市、菏泽市2019届高三5月高考适应性练习一理）[选修4—4：坐标系与参数方程]:在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数，），以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，已知直线与曲线C交于不同的两点A，B．
(1)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)设P(1，2)，求的取值范围．
【答案】（1）直线的普通方程为. 曲线的直角坐标方程为（2）
【解析】
解：（1）因为，所以，两式相减可得
直线的普通方程为.
因为，，，
所以曲线的直角坐标方程.
（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，
整理得关于的方程： .
因为直线与曲线有两个不同的交点，所以上述方程有两个不同的解，设为，
则 ，.
并且，
注意到 ，解得.
因为直线的参数方程为标准形式，所以根据参数的几何意义，
有
，
因为，所以，.
因此的取值范围是.
6．（广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测数学理）在直角坐标系中，直线，曲线（为参数）.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为.
（1）求直线和曲线的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，已知射线与,的公共点分别为,，且，求的面积．
【答案】（1）直线： ；曲线的极坐标方程为；（2）.
【解析】
解：（1）∵，∴直线的极坐标方程是，
曲线的普通方程为，即.
所以曲线的极坐标方程为.
（2）将分别代入，得：，.
∴，∴.
∵，∴.
∴，，.
所以.
即的面积为．
7．（河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学理）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（是参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程是.
（Ⅰ）写出圆的直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线与有且仅有三个公共点，求的值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）3.
【解析】（Ⅰ），
，
∴，
∴圆的直角坐标方程是.
（Ⅱ）因为曲线与有且仅有三个公共点，说明直线与圆相切，圆心为（1，2），半径为，
则，
解得，
所以.
8．（山东省临沂市2019届高三模拟考试三模理）在直角坐标系中，圆的参数方程为 （为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求的极坐标方程和直线的直角坐标方程；
（2）射线与圆的交点为，，与直线的交点为，求的取值范围．
【答案】（1）圆的极坐标方程为.直线的直角坐标方程为.（2）
【解析】
（1）圆的普通方程是，
将，代入上式：，化简得：，
所以圆的极坐标方程为.
直线的极坐标方程为，
将，代人上式，得：，
∴直线的直角坐标方程为.
（2）设，因为点在圆上，则有，
设，因为点在直线，则有，
所以，
∵，∴，∴，
∴，即，
故的范围为.
9．（河南省十所名校2019届高三毕业班阶段性测试七理）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于，两点.
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若线段的长度为，求实数的值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）由，得，化简得.
因为，，所以方程可化为，
整理得，即.
（Ⅱ）由直线的参数方程可得其普通方程为.
联立可得.
因为直线与曲线有两个交点，
所以，得.
设，，则，.
.
由，解得.
10．（辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟考试理）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求圆的极坐标方程；
（2）已知射线，若与圆交于点（异于点），与直线交于点，求的最大值.
【答案】（1）；（2）3
【解析】
（1）由圆的参数方程为消去参数，
得到圆的普通方程为，即，
所以其极坐标方程为，即；
（2）由题意，将代入圆的极坐标方程得；
将代入线的极坐标方程，得，
所以
，
因为，
所以，
因此，当，即时，取得最大值3.
11．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点，直线与曲线相交于，，求的值．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【解析】
解：（Ⅰ ）由（为参数），消去参数，可得．
∵，∴，即．
∴曲线的直角坐标方程为；
（Ⅱ ）把代入，得．
设，两点对应的参数分别为，
则，．
不妨设，，
∴．
12．（江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测）选修4-2：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.若直线与曲线交于两点，求线段的长.
【答案】
【解析】
由曲线的极坐标方程，得，
所以曲线的直角坐标方程是.
所以直线的普通方程为.
由得，所以.
13．（江西省新八校2019届高三第二次联考理）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设曲线和交于，两点，点，若，，成等比数列，求的值.
【答案】（1）曲线的普通方程是：，曲线的直角坐标方程为：； （2）
【解析】
（1）由题意得：曲线的普通方程是：
曲线的直角坐标方程为：
（2）易知在上 可设直线的参数方程为：（为参数）
将直线的参数方程代入曲线的普通方程，可得：
，整理可得：
设对应的参数分别是，则，，
，
又，，成等比数列
则
即：，解得：．
14．（陕西省2019年高三第三次教学质量检测理）在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数，）.以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知曲线与曲线交于两点，且，求实数的值.
【答案】(1) ;.(2) 或.
【解析】
（1）曲线参数方程为为参数，消去参数，得，
∴曲线的普通方程，
又由曲线的极坐标方程为，∴，
根据极坐标与直角坐标的互化公式，代入得，
整理得，即曲线的直角坐标方程.
（2）设两点所对应参数分别为，，
将代入，得，
要使与有两个不同的交点，则，即，
由韦达定理有，根据参数的几何意义可知，，
又由，可得，即或，
∴当时，有，符合题意.
当时，有，符合题意.
综上所述，实数的值为或.
15．（四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断性考试数学理）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1+cos2θ）=8sinθ．
（1）求曲线C的普通方程；
（2）直线l的参数方程为,t为参数直线与y轴交于点F与曲线C的交点为A，B，当|FA|•|FB|取最小值时，求直线的直角坐标方程．
【答案】（1）x2=4y；（2）y=1
【解析】
（1）由题意得ρ（1+cos2θ）=8sinθ，得2ρcos2θ=8sinθ，得ρ2cos2θ=4ρsinθ，
∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴x2=4y，即曲线C的普通方程为x2=4y．
（2）由题意可知，直线与y轴交于点F（0，1）即为抛物线C的焦点，
令|FA|=|t1|，|FB|=|t2|，将直线的参数方程代入C的普通方程x2=4y中，
整理得t2cos2α-4tsinα-4=0，
由题意得cosα≠0，根据韦达定理得：t1+t2=，t1t2=，
∴|FA||FB|=|t1||t2|=|t1t2|=≥4，（当且仅当cos2α=1时，等号成立），
∴当|FA|•|FB|取得最小值时，直线的直角坐标方程为y=1．
16．（湖南省师范大学附属中学2019届高三考前演练五数学理）在同一直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C的方程变为.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为.
（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；
（2）过点作l的垂线l0交C于A，B两点，点A在x轴上方，求的值.
【答案】（1），（2）
【解析】
（1）将代入得，曲线C的方程为，
由，得，
把，代入上式得直线l的直角坐标方程为.
（2）因为直线l的倾斜角为，所以其垂线l0的倾斜角为，
则直线l0的参数方程为（t为参数），即（t为参数）
代入曲线C的方程整理得，
设A，B两点对应的参数为t1，t2，由题意知，，
则，且，
所以.
17．（河北省保定市2019年高三第二次模拟考试理）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线的极坐标方程为.
（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设直线上的定点在曲线外且其到上的点的最短距离为，试求点的坐标.
【答案】（1）的普通方程为．的直角坐标方程为 （2）（-1，0）或（2，3）
【解析】解：（1）由消去参数，得．
即直线的普通方程为．
因为
又，
∴曲线的直角坐标方程为
（2）由知，曲线C是以Q（1,1）为圆心，为半径的圆
设点P的坐标为，则点P到上的点的最短距离为|PQ|
即，整理得，解得
所以点P的坐标为（-1，0）或（2，3）．
18．（河南省八市重点高中联盟2019届高三5月领军考试理）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线交于，两点，求线段的长
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）的方程可化为，将，，代入其中
得，所以曲线的直角坐标方程为.
（2）直线过定点，将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得，，，
所以.
19．（河北省保定市2019届高三4月第一次模拟考试理）已知曲线的极坐标程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程，（为参数），曲线的参数方程是（为参数）．
（1）写出曲线和直线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于、两点，为曲线上的动点，求三角形面积的最大值．
【答案】（1），直线的直角坐标方程为．（2）
【解析】
解：（1）由题意可知，直线的直角坐标方程为．
（2）将直线方程代入的方程并整理得，
设对应的参数分别为，，
则，，
∴
设，
所以点到直线的距离，
所以当时，的最大值，
即三角形面积最大值为．
20．（广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学理）在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）过点倾斜角为的直线与曲线交于两点，求的值.
【答案】（1）;（2）8.
【解析】
（1）依题意，曲线的普通方程为，
即，故，故，
故所求极坐标方程为；
（2）设直线的参数方程为（为参数），
将此参数方程代入中，
化简可得，
显然.设所对应的参数分别为，，则.
∴.
21．（天津市新华中学2019届高三下学期第八次统练一模数学理）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为.为直线上一动点，当到圆心 的距离最小时，则的直角坐标为__________________.
【答案】
【解析】
极坐标方程即：，故，,
消去参数可得直线的普通方程为：,
过圆心与直线垂直的方程为，
联立直线方程：可得交点坐标为：.
即的直角坐标为.
22．（天津市南开区2019届高三第二学期模拟考试二数学理）已知在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，直线与圆交于两点，则__________.
【答案】4
【解析】
圆，化为，
所以，圆心，半径为，
直线，化为，化为，
直线上，，故答案为4.
23．（天津市红桥区2019届高三一模数学理）设直线l：（t为参数），曲线C：（为参数），直线l与曲线C交于A、B两点，则|__（用数字填写）
【答案】1
【解析】
解：由曲线C1：（θ为参数），化为x2+y2＝1，
直线l：（t为参数），消去参数化为y（x﹣1），即0．
∴圆心C1（0，0）到直线l的距离d．
∴|AB|＝21．
故答案为：1．
24．（天津市部分区2019届高三联考一模数学理）已知直线的参数方程是（为参数），若与圆交于两点，且，则直线的斜率为_________.
【答案】
【解析】
由，得，
设，得直线，
由，得圆心为，半径为1，
圆心到直线的距离为，
得.
故答案为.
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