【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题55 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（含解析）

考点55 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理）给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（　　）
A．12种 B．18种 C．24种 D．64种
2．（辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试理科数学二）从4男2女共6名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，不同选法共有（ ）
A．156种 B．168种 C．180种 D．240种
3．（辽宁省大连市2019届高三第二次模拟考试数学理）把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有（　　）
A．18种 B．9种 C．6种 D．3种
4．（陕西省汉中市2019届高三年级教学质量第二次检测考试理）汉中市2019年油菜花节在汉台区举办，组委会将甲、乙等6名工作人员分配到两个不同的接待处负责参与接待工作，每个接待处至少2人，则甲、乙两人不在同一接待处的分配方法共有（ ）
A．12种 B．22种 C．28种 D．30种
5．（宁夏吴忠市吴忠中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学理）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有
A．36种 B．18种
C．24种 D．12种
6．（辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第五次模拟数学理）某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（　　）
A．8种 B．12种 C．16种 D．20种
7．（江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考数学理）今有个人组成的旅游团,包括4个大人，2个小孩，去庐山旅游，准备同时乘缆车观光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘3人，为了安全起见，小孩乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有( )种
A． B． C． D．
8．（山东省日照市2017届高三下学期第一次模拟考试数学理）甲、乙、丙 3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是
A．210 B．84 C．343 D．336
9．（安徽省淮南市2019届高三第一次模拟考试数学理）如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为　　

A． B． C． D．
10．（山东省2018年普通高校招生春季考试）景区中有一座山，山的南面有2条道路，山的北面有3条道路，均可用于游客上山或下山，假设没有其他道路，某游客计划从山的一面走到山顶后，接着从另一面下山，则不同走法的种数是（ ）
A．6 B．10 C．12 D．20
11．（湖北省黄冈中学2018届高三5月第三次模拟考试数学理）对33000分解质因数得，则的正偶数因数的个数是（ ）
A．48 B．72 C．64 D．96
12．（贵州省凯里市第一中学2018届高三下学期《黄金卷》第四套模拟考试数学理）集合，从集合中各取一个数，能组成（ ）个没有重复数字的两位数？
A．52 B．58 C．64 D．70
13．（安徽省合肥市2018届高三三模数学理）如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有（　　）

A．24 B．48 C．96 D．120
14．（山东省潍坊市2018届高三第二次高考模拟考试 数学理）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
15．（北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试数学理）用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，其中百位上的数字是5的四位数共有______个（用数字作答）．
16．（山西省2019届高三高考考前适应性训练三理）将名学生分配到个社区参加社会实践活动，每个社区至少分配一人，则不同的分配方案有__________种．（用数字填写答案）
17．（北京市昌平区2019届高三5月综合练习二模数学理）2019年3月2日，昌平 “回天”地区开展了种不同类型的 “三月雷锋月,回天有我”社会服务活动. 其中有种活动既在上午开展、又在下午开展， 种活动只在上午开展，种活动只在下午开展 . 小王参加了两种不同的活动，且分别安排在上、下午，那么不同安排方案的种数是___________.
18．（湖南省师范大学附属中学2019届高三考前演练五数学理）习近平总书记在湖南省湘西州十八洞村考察时首次提出“精准扶贫”概念，精准扶贫成为我国脱贫攻坚的基本方略．为配合国家精准扶贫战略，某省示范性高中安排6名高级教师（不同姓）到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，因工作需要，其中李老师不去甲校，则分配方案种数为_________．
19．（福建省泉州市2019届高三第二次5月质检数学理）某校开设物理、化学、生物、政治、历史、地理等6门选修课，甲同学需从中选修3门，其中化学、生物两门中至少选修一门，则不同的选法种数有_________．（用数字填写答案）
20．（浙江省三校2019年5月份第二次联考）某超市内一排共有个收费通道，每个通道处有号，号两个收费点，根据每天的人流量，超市准备周一选择其中的处通道，要求处通道互不相邻，且每个通道至少开通一个收费点，则周一这天超市选择收费的安排方式共有__________种．
21．（广东省广州市天河区2019届高三毕业班综合测试一理）如果一个三位数abc同时满足且，则称该三位数为“凹数”，那么所有不同的三位“凹数”的个数是______．
22．（四川省资阳市2018-2019学年高三第一次诊断性考试数学理）从数字1，2，3，4中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，则各位数字之和等于9的概率为__________．
23．（吉林省长春外国语学校2018届高考数学二模试卷理）在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科学科，3门文科学科）中选择3门学科参加等级考试，小丁同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么小丁同学的选科方案有__________种．
24．（2018年天津市南开中学高三模拟考试数学理）用五种不同颜色给三棱台的六个顶点染色，要求每个点染一种颜色，且每条棱的两个端点染不同颜色.则不同的染色方法有___________种.

考点55 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理）给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（　　）
A．12种 B．18种 C．24种 D．64种
【答案】C
【解析】
解：根据题意，分2步进行分析：
①，将4人分成3组，有种分法；
②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况，
将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有种情况，
此时有种情况，
则有种不同的安排方法；
故选：C．
2．（辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试理科数学二）从4男2女共6名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，不同选法共有（ ）
A．156种 B．168种 C．180种 D．240种
【答案】B
【解析】
从4男2女共6名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队有种选法，服务队中没有女生的选法有
种，所以要求服务队中至少有1名女生，
不同选法共有种选法，故本题选B.
3．（辽宁省大连市2019届高三第二次模拟考试数学理）把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有（　　）
A．18种 B．9种 C．6种 D．3种
【答案】A
【解析】由于1号球不放入1号盒子，则1号盒子有2、3、4号球三种选择，还剩余三个球可以任意放入2、3、4号盒子中，则2号盒子有三种选择，3号盒子还剩两种选择，4号盒子只有一种选择，根据分步计数原理可得1号球不放入1号盒子的方法有种。
故答案选A。
4．（陕西省汉中市2019届高三年级教学质量第二次检测考试理）汉中市2019年油菜花节在汉台区举办，组委会将甲、乙等6名工作人员分配到两个不同的接待处负责参与接待工作，每个接待处至少2人，则甲、乙两人不在同一接待处的分配方法共有（ ）
A．12种 B．22种 C．28种 D．30种
【答案】C
【解析】由题可分两种情况讨论：
①甲可能在A组，组内分到其他四人中的1人,2人或3人，则有种分法；
②甲可能在B组，组内分到其他四人中的1人,2人或3人，则有种分法；
一共有种分法。
故选C.
5．（宁夏吴忠市吴忠中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学理）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有
A．36种 B．18种
C．24种 D．12种
【答案】A
【解析】根据题意，先将4项工作分成3组，有C42=6种分组方法，
将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有A33=6种情况，
则有6×6=36种不同的安排方式；
故选：A．
6．（辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第五次模拟数学理）某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（　　）
A．8种 B．12种 C．16种 D．20种
【答案】C
【解析】若一名学生只选物理和历史中的一门，则有种组合；
若一名学生物理和历史都选，则有种组合；
因此共有种组合.
故选C
7．（江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考数学理）今有个人组成的旅游团,包括4个大人，2个小孩，去庐山旅游，准备同时乘缆车观光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘3人，为了安全起见，小孩乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有( )种
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
第一类：只用两辆缆车，
若两个小孩坐在一块，则有种乘车方式；
若两个小孩不坐在一块，则有种乘车方式；
第二类：用三辆缆车，
若两个小孩坐在一块，则有种乘车方式；
若两个小孩不坐在一块，则有种乘车方式；
综上不同的乘车方式有种.
故选C
8．（山东省日照市2017届高三下学期第一次模拟考试数学理）甲、乙、丙 3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是
A．210 B．84 C．343 D．336
【答案】D
【解析】
由题意知本题需要分组解决，因为对于7个台阶上每一个只站一人有种；
若有一个台阶有2人另一个是1人共有种，
所以根据分类计数原理知共有不同的站法种数是种．
故选：D．
9．（安徽省淮南市2019届高三第一次模拟考试数学理）如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为　　

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，
根据题意，如图，设5个区域依次为,分4步进行分析：
，对于区域，有5种颜色可选；
，对于区域与区域相邻，有4种颜色可选；
，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选；
，对于区域，若与颜色相同，区域有3种颜色可选，
若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有2种颜色可选，
则区域有种选择，
则不同的涂色方案有种，
其中，区域涂色不相同的情况有：
，对于区域，有5种颜色可选；
，对于区域与区域相邻，有4种颜色可选；
，对于区域与区域相邻，有2种颜色可选；
，对于区域，若与颜色相同，区域有2种颜色可选，
若与颜色不相同，区域有1种颜色可选，区域有1种颜色可选，
则区域有种选择，
不同的涂色方案有种，
区域涂色不相同的概率为 ,故选B．
10．（山东省2018年普通高校招生春季考试）景区中有一座山，山的南面有2条道路，山的北面有3条道路，均可用于游客上山或下山，假设没有其他道路，某游客计划从山的一面走到山顶后，接着从另一面下山，则不同走法的种数是（ ）
A．6 B．10 C．12 D．20
【答案】C
【解析】
先确定从那一面上，有两种选择，再选择上山与下山道路，可得不同走法的种数是
因此选C.
11．（湖北省黄冈中学2018届高三5月第三次模拟考试数学理）对33000分解质因数得，则的正偶数因数的个数是（ ）
A．48 B．72 C．64 D．96
【答案】A
【解析】
的因数由若干个（共有四种情况），
若干个（共有两种情况），
若干个（共有四种情况），
若干个（共有两种情况），
由分步计数乘法原理可得的因数共有，
不含的共有，
正偶数因数的个数有个，
即的正偶数因数的个数是，故选A.
12．（贵州省凯里市第一中学2018届高三下学期《黄金卷》第四套模拟考试数学理）集合，从集合中各取一个数，能组成（ ）个没有重复数字的两位数？
A．52 B．58 C．64 D．70
【答案】B
【解析】

故选：B
13．（安徽省合肥市2018届高三三模数学理）如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有（　　）

A．24 B．48 C．96 D．120
【答案】C
【解析】若颜色相同，先涂有种涂法，再涂有种涂法，再涂有种涂法，只有一种涂法，共有种；若颜色不同，先涂有种涂法，再涂有种涂法，再涂有种涂法，当和相同时，有一种涂法，当和不同时， 只有一种涂法，共有种，根据分类计数原理可得，共有 种，故选C.
14．（山东省潍坊市2018届高三第二次高考模拟考试 数学理）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】A
【解析】
当“数”排在第一节时有排法，当“数”排在第二节时有种排法，当“数”排在第三节时，当“射”和“御”两门课程排在第一、二节时有种排法，当“射”和“御”两门课程排在后三节的时候有种排法，所以满足条件的共有种排法，故选A.
15．（北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试数学理）用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，其中百位上的数字是5的四位数共有______个（用数字作答）．
【答案】48
【解析】
根据题意，组成四位数的百位数字为5，分2步进行分析：
①组成四位数的千位数字不能为0，则千位数字有4种选法，
②在剩下的4个数字中选出2个，安排在是十位、个位，有种选法，
则符合条件的四位数有个；
故答案为：48
16．（山西省2019届高三高考考前适应性训练三理）将名学生分配到个社区参加社会实践活动，每个社区至少分配一人，则不同的分配方案有__________种．（用数字填写答案）
【答案】
【解析】
当一个社区3人其他社区各有1人时，方案有（种）；当一个社区1人其他社区各人时，方案有（种），故不同的分配方案共有种.
17．（北京市昌平区2019届高三5月综合练习二模数学理）2019年3月2日，昌平 “回天”地区开展了种不同类型的 “三月雷锋月,回天有我”社会服务活动. 其中有种活动既在上午开展、又在下午开展， 种活动只在上午开展，种活动只在下午开展 . 小王参加了两种不同的活动，且分别安排在上、下午，那么不同安排方案的种数是___________.
【答案】
【解析】
小王参加的是两种不同的活动，有种活动既在上午开展、又在下午开展，
（1）设小王没参加既在上午开展、又在下午开展的2种活动，则有：＝6种方案；
（2）设小王参加了既在上午开展、又在下午开展的2种活动，
（a）上午参加了既在上午开展、又在下午开展的2种活动之一，则有：＝4种方案；
（b）下午参加了既在上午开展、又在下午开展的2种活动之一，则有：＝6种方案；
（c）上下午都参加了既在上午开展、又在下午开展的2种活动，则有：＝2种方案；
所以，不同的安排方案有：6＋4＋6＋2＝18种.
18．（湖南省师范大学附属中学2019届高三考前演练五数学理）习近平总书记在湖南省湘西州十八洞村考察时首次提出“精准扶贫”概念，精准扶贫成为我国脱贫攻坚的基本方略．为配合国家精准扶贫战略，某省示范性高中安排6名高级教师（不同姓）到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，因工作需要，其中李老师不去甲校，则分配方案种数为_________．
【答案】360
【解析】
方法1：根据甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，可分四种情况：
（1）甲校安排1名教师，分配方案种数有；
（2）甲校安排2名教师，分配方案种数有；
（3）甲校安排3名教师，分配方案种数有；
（4）甲校安排4名教师，分配方案种数有；
由分类计数原理，可得共有（种）分配方案.
方法2：由6名教师到三所学校，每所学校至少一人，可能的分组情况为4，1，1；3，2，1；2，2，2，
（1）对于第一种情况，由于李老师不去甲校，李老师自己去一个学校有种，其余5名分成一人组和四人组有种，共（种）；李老师分配到四人组且该组不去甲校有（种），则第一种情况共有（种）；
（2）对于第二种情况，李老师分配到一人组有（种），李老师分配到三人组有（种），李老师分配到两人组有（种），所以第二种情况共有（种）；
（3）对于第三种情况，共有（种）；
综上所述，共有（种）分配方案.
19．（福建省泉州市2019届高三第二次5月质检数学理）某校开设物理、化学、生物、政治、历史、地理等6门选修课，甲同学需从中选修3门，其中化学、生物两门中至少选修一门，则不同的选法种数有_________．（用数字填写答案）
【答案】
【解析】
由题意，可知化学、生物两门中至少选修一门，可分为两种情况：
当化学、生物两门中选修一门，其余四科中选两门，共有种；
当化学、生物两门中选修两门，其余四科中选一门，共有种；
综上可知，化学、生物两门中至少选修一门，则不同的选法共有．
20．（浙江省三校2019年5月份第二次联考）某超市内一排共有个收费通道，每个通道处有号，号两个收费点，根据每天的人流量，超市准备周一选择其中的处通道，要求处通道互不相邻，且每个通道至少开通一个收费点，则周一这天超市选择收费的安排方式共有__________种．
【答案】108
【解析】
设6个收费通道依次编号为1,2,3,4,5,6，从中选择3个互不相邻的通道，有135,136,146,246共4种不同的选法.
对于每个通道，至少开通一个收费点，即可以开通1号收费点，开通2号收费点，同时开通两个收费点，共3种不同的安排方式.
由分步乘法计数原理，可得超市选择收费的安排方式共有种.
21．（广东省广州市天河区2019届高三毕业班综合测试一理）如果一个三位数abc同时满足且，则称该三位数为“凹数”，那么所有不同的三位“凹数”的个数是______．
【答案】285
【解析】
根据题意，按十位数字分类讨论：
十位数字是9时不存在，此时三位“凹数”的个数为0；
十位数字是8，只有989，此时三位“凹数”的个数为1；
十位数字是7，则百位与个位都有2种可能，所以此时三位“凹数”的个数为；
十位数字是6，则百位与个位都有3种可能，所以此时三位“凹数”的个数为；
十位数字是5，则百位与个位都有4种可能，所以此时三位“凹数”的个数为；
十位数字是4时，则百位与个位都有5种可能，所以此时三位“凹数”的个数为；
十位数字是3时，则百位与个位都有6种可能，所以此时三位“凹数”的个数为；
十位数字是2时，则百位与个位都有7种可能，所以此时三位“凹数”的个数为；
十位数字是1时，则百位与个位都有8种可能，所以此时三位“凹数”的个数为；
十位数字是0时，则百位与个位都有9种可能，所以此时三位“凹数”的个数为，
所以所有不同的三位“凹数”的个数是个，
故答案为：285．
22．（四川省资阳市2018-2019学年高三第一次诊断性考试数学理）从数字1，2，3，4中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，则各位数字之和等于9的概率为__________．
【答案】
【解析】
三位数共有个，
各位数字之和等于9有这样几种情况，
第一种：各个数字不同只有有一种情况，即取2，3，4这样的三位数有个；
第二种：有数字相同的情况，可以取，这样的三位数也有3个,
可以取这样三位数有1个，
所以位数字之和等于9的概率是，故答案为.
23．（吉林省长春外国语学校2018届高考数学二模试卷理）在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科学科，3门文科学科）中选择3门学科参加等级考试，小丁同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么小丁同学的选科方案有__________种．
【答案】10
【解析】
选择两门理科学科，一门文科学科，有种；选择三门理科学科，有1种，
故共有10种．
故答案为：10．
24．（2018年天津市南开中学高三模拟考试数学理）用五种不同颜色给三棱台的六个顶点染色，要求每个点染一种颜色，且每条棱的两个端点染不同颜色.则不同的染色方法有___________种.
【答案】1920.
【解析】
分两步来进行，先涂，再涂.
第一类：若5种颜色都用上，先涂，方法有种，再涂中的两个点，方法有种，最后剩余的一个点只有2种涂法，故此时方法共有种；
第二类：若5种颜色只用4种，首先选出4种颜色，方法有种；
先涂，方法有种，再涂中的一个点，方法有3种，最后剩余的两个点只有3种涂法，故此时方法共有种；
第三类：若5种颜色只用3种，首先选出3种颜色，方法有种；
先涂，方法有种，再涂，方法有2种，故此时方法共有种；
综上可得，不同涂色方案共有种，
故答案是1920.