【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题22 正弦定理和余弦定理（含解析）

考点22 正弦定理和余弦定理

1．（山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷数学理）设锐角三角形的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（  ）

A． B．

C． D．

2．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理科）在中，，，分别为角，，的对边，若的面为，且，则（　　）

A．1 B． C． D．

3．（辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试理科二）在中，，，，则的面积为（   ）

A．1 B．2 C． D．

4．（广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理）在中，角、、的对边分别为、、，边上的高为，则的最大值是_____．

5．（江苏省南通市2019届高三适应性考试）在中，已知边上的中线，且，，成等差数列，则的长为________.

6．（浙江省金华十校2019届第二学期高考模拟考试）在中，，，内角所对的边分别为，，，已知且，则的最小值为_____．

7．（江西省鹰潭市2019届高三第一次模拟考试理）设的三个内角的对边分别是，若，，，那么角的大小为__________．

8．（贵州省2019届高三高考教学质量测评卷八数学理）在中，角，，的对边分别为，，，其中最大的角等于另外两个角的和，当最长边时，周长的最大值为_______.

9．（北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试）在中，,，，则__________．

10．（安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷）在中，，已知边上的中线，则面积的最大值为__________．

11．（四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试）的内角所对的边成等比数列，则的最小值为_____.

12．（山东省泰安市教科研中心2019届高三考前密卷数学理）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c且ccosA＝4，asinC＝5．

（1）求边长c；

（2）著△ABC的面积S＝20．求△ABC的周长．

13．（陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试）在中，角，，的对边分别为，， ，且.

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，且外接圆的半径为1，求的面积.

14．（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学理）如图中，为的中点，，，.

（1）求边的长；

（2）点在边上，若是的角平分线，求的面积.

15．（山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学理）如图所示，锐角中，，点在线段上，且，的面积为，延长至，使得.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求的值.

16．（山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试）在中，角，，的对边分别为，，，且，.

（1）求；

（2）若，求的面积.

17．已知的三个内角，，的对边分别为，，，且.

（1）求；

（2）若的周长为3，求的最小值.

18．（广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测数学理）在中，是上的点，平分，.

（1）求；

（2）若，求的长．

19．（）在河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学理中，的对边分别，.

（Ⅰ）若是上的点，平分，求的值；

（Ⅱ）若，求的面积.

20．（江苏省镇江市2019届高三考前模拟三模）已知分别为三个内角所对的边，若向量，，且.

（1）求角；

（2）若，且，求边.

21．（湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟（三)理）在中，角的对边分別为，若，，.

（1）求；

（2）已知点在边上，且平分，求的面积.

22．（湖北省黄冈中学2019届高三第三次模拟考试数学理）已知在中，，，分别为角，，的对应边，点为边的中点，的面积为.

（I）求的值；

（II）若，，求.

23．（湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试数学理）在中，，

（1）若.求；

（2）若面积为1，求.

24．（山东省临沂市、枣庄市2019届高三第二次模拟预测数学理）已知的三个内角所对的边分别为，且

（1）求；

（2）若，求面积的最大值．

25．（黑龙江省大庆第一中学2019届高三第三次模拟考试）已知中，角的对边分别为，若

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若 ，求面积的最大值。

考点22 正弦定理和余弦定理

1．（山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷数学理）设锐角三角形的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（  ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

由锐角三角形的内角所对的边分别为，若，

，,

，

,

由正弦定理得，即

则b的取值范围为,故选C.

2．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理科）在中，，，分别为角，，的对边，若的面为，且，则（　　）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【解析】由，

得，

∵ ，

∴ ，

即

即，

则，

∵ ，

∴ ，

∴ ，即，

则，

故选：D．

3．（辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试理科二）在中，，，，则的面积为（   ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】C

【解析】

由余弦定理可知

，因为，所以，

因此，故本题选C.

4．（广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理）在中，角、、的对边分别为、、，边上的高为，则的最大值是_____．

【答案】

【解析】

因为边上的高为，

所以，即，

可得

，

故的最大值是．

故答案为．

5．（江苏省南通市2019届高三适应性考试）在中，已知边上的中线，且，，成等差数列，则的长为________.

【答案】

【解析】

因为，，成等差数列，

所以，即，

所以，由正弦定理可得，

又由余弦定理可得，所以，故，

又因为边上的中线，所以，因为，

所以，

即，解.

即的长为.

故答案为．

6．（浙江省金华十校2019届第二学期高考模拟考试）在中，，，内角所对的边分别为，，，已知且，则的最小值为_____．

【答案】

【解析】

∵，

∴，

∴，∵，

∴，∴，

由正弦定理可得，即，

当时，.当时，则的最小值为．

故答案为：.

7．（江西省鹰潭市2019届高三第一次模拟考试理）设的三个内角的对边分别是，若，，，那么角的大小为__________．

【答案】

【解析】

，

为钝角，可得，．

由正弦定理，可得．

为锐角，．

．

8．（贵州省2019届高三高考教学质量测评卷八数学理）在中，角，，的对边分别为，，，其中最大的角等于另外两个角的和，当最长边时，周长的最大值为_______.

【答案】

【解析】

依题意，，结合三角形的内角和定理，所以，设的外接圆半径为，则，于是

，

当时，取最大值为，所以周长的最大值为.

9．（北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试）在中，,，，则__________．

【答案】7

【解析】

由，代入，得，

即：解得 舍去）

故答案为：7．

10．（安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷）在中，，已知边上的中线，则面积的最大值为__________．

【答案】.

【解析】

在△ABC中，，BC边上的中线AD=3，，设AB＝c，AC＝b，

平方可得 9＝.

化简可得，，∴bc≤36，当且仅当时成立，

故△ABC的面积S＝

故答案为：

11．（四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试）的内角所对的边成等比数列，则的最小值为_____.

【答案】

【解析】因为成等比数列，所以

，

由基本不等式可以得到，当且仅当时等号成立，

故的最小值为.

12．（山东省泰安市教科研中心2019届高三考前密卷数学理）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c且ccosA＝4，asinC＝5．

（1）求边长c；

（2）著△ABC的面积S＝20．求△ABC的周长．

【答案】（1）；（2）8+2

【解析】

（1）∵由正弦定理可得：，可得：asinC＝csinA，

∵asinC＝5，可得：csinA＝5，可得：sinA＝，又∵ccosA＝4，可得：cosA＝，

∴可得：sin2A+cos2A＝＝1，∴解得c＝．

（2）∵△ABC的面积S＝absinC＝20，asinC＝5，∴解得：b＝8，

∴由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccosA＝64+41﹣2×＝41，

解得：a＝，或﹣（舍去），

∴△ABC的周长＝a+b+c＝+8+＝8+2．

13．（陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试）在中，角，，的对边分别为，， ，且.

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，且外接圆的半径为1，求的面积.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）∵，

∴，

由正弦定理得，，

∴，

又，∴，∴，

又，∴.

（Ⅱ）设外接圆的半径为，则，，

由余弦定理得，即，

∴，

∴的面积.

14．（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学理）如图中，为的中点，，，.

（1）求边的长；

（2）点在边上，若是的角平分线，求的面积.

【答案】（1）10；（2）.

【解析】

（1）因为在边上，所以，

在和中由余弦定理，得，

因为，，，，

所以，所以，.

所以边的长为10.

（2）由（1）知为直角三角形，所以，.

因为是的角平分线，

所以.

所以，所以.

即的面积为.

15．（山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学理）如图所示，锐角中，，点在线段上，且，的面积为，延长至，使得.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求的值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）在中，.

所以.

因为，所以.

由余弦定理得，得.

（Ⅱ）因为，所以.

在中，由正弦定理得，

即，所以.

16．（山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试）在中，角，，的对边分别为，，，且，.

（1）求；

（2）若，求的面积.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）因为，所以，即.                   

又因为，

所以.                   

（2）因为，所以.

因为，在中，，所以                                           

所以.

17．已知的三个内角，，的对边分别为，，，且.

（1）求；

（2）若的周长为3，求的最小值.

【答案】（1）；（2）1.

【解析】

（1）由已知及正弦定理得，

即，

∵，

∴.

又∵，∴.

（2）∵，

化简得，

∵，∴，

代入式得，

∵，∴，即，

解得或（舍），当且仅当时取“”.

∴，即的最小值为1，此时，且为正三角形.

18．（广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测数学理）在中，是上的点，平分，.

（1）求；

（2）若，求的长．

【答案】（1）2；（2）.

【解析】

解：（1）由正弦定理可得在中，，

在中，，

又因为，.

（2），由正弦定理得，

设，则，则.

因为，

所以，解得.

.

19．（）在河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学理中，的对边分别，.

（Ⅰ）若是上的点，平分，求的值；

（Ⅱ）若，求的面积.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）因为，∴，

，

由正弦定理得，

因为平分，

所以.

（Ⅱ）由，即，

所以，∴，

故.

20．（江苏省镇江市2019届高三考前模拟三模）已知分别为三个内角所对的边，若向量，，且.

（1）求角；

（2）若，且，求边.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）    ，又向量，，

故

由正弦定理得：

又   

又   

（2）由（1）知       

，即：，解得：

在中，由余弦定理得：

又，故，即：

又，解得：或．

21．（湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟（三)理）在中，角的对边分別为，若，，.

（1）求；

（2）已知点在边上，且平分，求的面积.

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）由，，得，

所以，

由正弦定理，可得.

（2），

在中，由余弦定理，得，

解得或（舍去）.

，

因为，

所以.

22．（湖北省黄冈中学2019届高三第三次模拟考试数学理）已知在中，，，分别为角，，的对应边，点为边的中点，的面积为.

（I）求的值；

（II）若，，求.

【答案】（I）；（II）

【解析】（I）由的面积为且为的中点可知：的面积为，

由三角形的面积公式可知，

由正弦定理可得，所以.

（II）因为，所以在中，由正弦定理可得，

所以，由（1）可知，

所以，，∵，∴，

在直角中，，所以，.

∵，，

在中用余弦定理，可得

．

23．（湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试数学理）在中，，

（1）若.求；

（2）若面积为1，求.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由题设知，，  

所以.   .

由大边对大角，所以．

（2），容易得出，

在中，由余弦定理得

所以.

24．（山东省临沂市、枣庄市2019届高三第二次模拟预测数学理）已知的三个内角所对的边分别为，且

（1）求；

（2）若，求面积的最大值．

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）

由正弦定理可得：

由余弦定理可得：

（2）由余弦定理可得：，即：

（当且仅当时取等号）

∴，即面积的最大值为：．

25．（黑龙江省大庆第一中学2019届高三第三次模拟考试）已知中，角的对边分别为，若

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若 ，求面积的最大值。

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由正弦定理可得：

又

.

（Ⅱ）

由余弦定理可得，又

故，当且仅当时，等号成立.

所以.所以面积最大为.