中考数学 专项训练 考点65 胡不归中的双线段模型与最值问题

专题65 胡不归中的双线段模型与最值问题

【专题说明】

【模型展示】

如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．

，记，

即求BC+kAC的最小值．

构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．

将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．在求形如“PA+kPB”式子最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．

【例题】

1、在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、(点在点的左侧)，，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为5．

(1)求抛物线和一次函数的解析式；

(2)抛物线上的动点在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标；

(3)若点为轴上任意一点，在(2)的结论下，求的最小值．

【解析】

 (1)将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为，

∵，∴点的坐标为，

代入抛物线的解析式得，，∴，

∴抛物线的解析式为，即．

令，解得，，∴，

∴，

∵的面积为5，∴，∴，

代入抛物线解析式得，，解得，，∴，

设直线的解析式为，

∴，解得：，

∴直线的解析式为．

(2)过点作轴交于，如图，设，则，

∴，

∴，

∴当时，的面积有最大值，最大值是，此时点坐标为．

(3)作关于轴的对称点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点，

∵，，∴，，∴，

∵，∴，∴，

∵、关于轴对称，∴，

∴，此时最小，

∵，，∴，

∴．∴的最小值是3．

2、如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是(     )

【解析】

如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．

∵BE⊥AC，∴∠AEB=90°，

∵tanA==2，设AE=a，BE=2a，

则有：100=a2+4a2，∴a2=20，∴a=2或-2（舍弃），∴BE=2a=4，

∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM=BE=4（等腰三角形两腰上的高相等））

∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，∴，

∴DH=BD，

∴CD+BD=CD+DH，

∴CD+DH≥CM，

∴CD+BD≥4，

∴CD+BD的最小值为4．

故选B．

3、已知抛物线过点，两点，与y轴交于点C，．

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)过点A作，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；

(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当面积最大时，求点P的坐标；

(4)若点Q为线段OC上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．

【解析】

(1)函数的表达式为：，即：，解得：，

故抛物线的表达式为：，则顶点；

(2)，，

∵A(1,0)，B(3,0)，∴ OB=3，OA=1，∴AB=2，

∴，

又∵D(2，-1)，∴AD=BD=，

∴AM=MB=AD=BD，∴四边形ADBM为菱形，

又∵，菱形ADBM为正方形；

(3)设直线BC的解析式为y=mx+n，

将点B、C的坐标代入得：，解得：，

所以直线BC的表达式为：y=-x+3，

过点P作y轴的平行线交BC于点N，

设点，则点N，

则，

，故有最大值，此时，故点；

(4)存在，理由：

如图，过点C作与y轴夹角为的直线CF交x轴于点F，过点A作，垂足为H，交y轴于点Q，此时，

则最小值，

在Rt△COF中，∠COF=90°，∠FOC=30°，OC=3，tan∠FCO=，

∴OF=，∴F(-，0)，

利用待定系数法可求得直线HC的表达式为：…①，

∵∠COF=90°，∠FOC=30°，∴∠CFO=90°-30°=60°，

∵∠AHF=90°，∴∠FAH=90°-60°=30°，

∴OQ=AO•tan∠FAQ=，∴Q(0,)，

利用待定系数法可求得直线AH的表达式为：…②，

联立①②并解得：，故点，而点，

则，即的最小值为．

4、已知抛物线（为常数，）经过点，点是轴正半轴上的动点．

（Ⅰ）当时，求抛物线的顶点坐标；

（Ⅱ）点在抛物线上，当，时，求的值；

（Ⅲ）点在抛物线上，当的最小值为时，求的值．

【解析】

（Ⅰ）∵抛物线经过点，∴．即．

当时，，

∴抛物线的顶点坐标为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线的解析式为．

∵点在抛物线上，

∴．

由，得，，

∴点在第四象限，且在抛物线对称轴的右侧．

如图，过点作轴，垂足为，则点．

∴，．得．

∴在中，．∴．

由已知，，∴．∴．

（Ⅲ）∵点在抛物线上，

∴．

可知点在第四象限，且在直线的右侧．

考虑到，可取点，

如图，过点作直线的垂线，垂足为，与轴相交于点，

有，得，

则此时点满足题意．

过点作轴于点，则点．

在中，可知．

∴，．

∵点，

∴．解得．

∵，

∴．

∴．

5、如图，在平面在角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3与x轴交与点A，B（点A在点B的左侧）交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．

（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF+FP+PC的最小值；

（2）在（1）中，当MN取得最大值HF+FP+1/3PC取得小值时，把点P向上平移个单位得到点Q，连结AQ，把△AOQ绕点O瓶时针旋转一定的角度（0°<<360°），得到△AOQ，其中边AQ交坐标轴于点C在旋转过程中，是否存在一点G使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）如图1

∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C

∴令y＝0解得：x1＝﹣1，x2＝3，令x＝0，解得：y＝﹣3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）

∵点D为抛物线的顶点，且﹣4

∴点D的坐标为D（1，﹣4）,∴直线BD的解析式为：y＝2x﹣6，

由题意，可设点N（m，m2﹣2m﹣3），则点F（m，2m﹣6）

∴|NF|＝（2m﹣6）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3

∴当m＝＝2时，NF 取到最大值，此时MN取到最大值，此时HF＝2，

此时，N（2，﹣3），F（2，﹣2），H（2，0）

在x轴上找一点K（，0），连接CK，过点F作CK的垂线交CK于点J点，交y轴于点P，

∴sin∠OCK＝ ，直线KC的解析式为：，且点F（2，﹣2），

∴PJ＝PC，直线FJ的解析式为：,∴点J（ , ）

∴FP+PC的最小值即为FJ的长，且,∴；

（2）由（1）知，点P（0， ），

∵把点P向上平移 个单位得到点Q,∴点Q（0，﹣2）

∴在Rt△AOQ中，∠AOG＝90°，AQ＝，取AQ的中点G，连接OG，则OG＝GQ＝AQ＝，此时，∠AQO＝∠GOQ

把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中边A′Q′交坐标轴于点G

①如图2

G点落在y轴的负半轴，则G（0，﹣），过点Q'作Q'I⊥x轴交x轴于点I，且∠GOQ'＝∠Q'

则∠IOQ'＝∠OA'Q'＝∠OAQ，

∵sin∠OAQ＝＝＝,∴，解得：|IO|＝

∴在Rt△OIQ'中根据勾股定理可得|OI|＝,∴点Q'的坐标为Q'（，﹣）；

②如图3，

当G点落在x轴的正半轴上时，同理可得Q'（，）

③如图4

当G点落在y轴的正半轴上时，同理可得Q'（﹣，）

④如图5

当G点落在x轴的负半轴上时，同理可得Q'（﹣，﹣）

综上所述，满足条件的点Q′坐标为：（，﹣），（，），（﹣，），（，﹣）

【2019长沙中考】如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是_______．

【分析】本题关键在于处理“”，考虑tanA=2，△ABE三边之比为，，故作DH⊥AB交AB于H点，则．

问题转化为CD+DH最小值，故C、D、H共线时值最小，此时．

【小结】本题简单在于题目已经将BA线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：

则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在．

【2019南通中考】如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________．

【分析】考虑如何构造“”，已知∠A=60°，且sin60°=，故延长AD，作PH⊥AD延长线于H点，即可得，将问题转化为：求PB+PH最小值．

当B、P、H三点共线时，可得PB+PH取到最小值，即BH的长，解直角△ABH即可得BH长．

【2014成都中考】如图，已知抛物线（k为常数，且k>0）与轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D．

（1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；

（2）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

【分析】第一小问代点坐标，求解析式即可，此处我们直接写答案：A（-2,0），B（4,0），直线解析式为，D点坐标为，故抛物线解析式为，化简为：．另外为了突出问题，此处略去了该题的第二小问．

点M运动的时间为，即求的最小值．

接下来问题便是如何构造，考虑BD与x轴夹角为30°，且DF方向不变，故过点D作DM∥x轴，过点F作FH⊥DM交DM于H点，则任意位置均有FH=．

当A、F、H共线时取到最小值，根据A、D两点坐标可得结果．

【2018重庆中考】抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标．（为突出问题，删去了两个小问）

【分析】根据抛物线解析式得A、B、C，直线AC的解析式为：，可知AC与x轴夹角为30°．　

根据题意考虑，P在何处时，PE+取到最大值．过点E作EH⊥y轴交y轴于H点，则∠CEH=30°，故CH=，问题转化为PE+CH何时取到最小值．

考虑到PE于CH并无公共端点，故用代数法计算，设，则，，，，

当P点坐标为时，取到最小值，故确定P、C、求四边形面积最小值，运用将军饮马模型解题即可．