中考数学 专项训练 考点48三角形中的平移综合问题

专题 48角形中的平移综合问题
1、如图，回答下列问题
（1）将△ABC沿x轴向左移一个单位长度，向上移2个单位长度，
则A1的坐标为　 　，B1的坐标为　 　，C1的坐标为　 　．
（2）若△ABC与△A2B2C2关于x轴对称，则A2的坐标为　 　，
B2的坐标为　 　，C2的坐标为　 　．

【解析】（1）A（3，0），B（﹣2，4），C（0，﹣1），
将△ABC沿x轴向左移一个单位长度，向上移2个单位长度，则A1的坐标为（3﹣1，0+2），B1的坐标为（﹣2﹣1，4+2），C1的坐标为（0﹣1，﹣1+2），
即：A1的坐标为（2，2），B1的坐标为（﹣3，6），C1的坐标为（﹣1，1），
故答案为：（2，2），（﹣3，6），（﹣1，1）；
（2）若△ABC与△A2B2C2关于x轴对称，则A2的坐标为（3，0），
B2的坐标为（﹣2，﹣4），C2的坐标为（0，1），
故答案为：（3，0），（﹣2，﹣4），（0，1）．

2、如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点A的坐标是（1，3），顶点B的坐标是（﹣2，4），顶点C的坐标是（﹣2，﹣1），现在将△ABC平移得到△A′B′C′，平移后点B和点A刚好重合．其中点A′，B′，C′分别为点A，B，C的对应点．
（1）在图中画出△A′B′C′；
（2）直接写出A′、C′点的坐标；
（3）若AB边上有一点P，P点的坐标是（a，b），平移后的对应点是P′，请直接写出P′点的坐标．

【解析】（1）△A′B′C′如图：

（2）∵平移后点B和点A刚好重合，
∴平移后，对应点的横坐标增加3，纵坐标减小1，
又∵顶点A的坐标是（1，3），顶点C的坐标是（﹣2，﹣1），
∴A′、C′点的坐标分别为（4，2），（1，﹣2）；
（3）∵P点的坐标是（a，b），
∴平移后的对应点P′的坐标是（a+3，b﹣1）．

3、如图所示，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（﹣3，﹣1）
（1）将△ABC沿x轴正方形平移3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，点B1坐标为　 　；
（2）将△A1B1C1沿y轴正方向平移4个单位长度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，点C2的坐标为　 　；
（3）点P（a，b）是△ABC内一点，经过上述2次平移后对应点坐标为　 　；△A2B2C2的面积为　 　．

【解析】（1）如图，△A1B1C1即为所求，点B1坐标为（1，﹣4）；
故答案为：（1，﹣4）；
（2）如图，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标为（2，2）；
故答案为：（2，2）；

（3）点P（a，b）沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移4个单位长度后，对应点的坐标为（a+3，b+4），△A2B2C2的面积为．
故答案为：（a+3，b+4），．

4、现有一副三角板，如图①中，∠B＝90°，∠A＝30°；图②中，∠D＝90°，∠F＝45°；图③中，将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动（移动开始时点D与点A重合）．
（1）△DEF在移动的过程中，若D、E两点始终在AC边上，
①F、C两点间的距离逐渐　 　；连接FC，∠FCE的度数逐渐　 　．（填“不变”、“变大”或“变小”）
②∠FCE与∠CFE度数之和是否为定值，请加以说明；
（2）△DEF在移动的过程中，如果D、E两点在AC的延长线上，那么∠FCE与∠CFE之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论；
（3）能否将△DEF移动至某位置，使F、C的连线与BC垂直？求出∠CFE的度数．

【解析】
（1）①F、C两点间的距离逐渐变小；连接FC，∠FCE的度数逐渐变大；
②∠FCE与∠CFE度数之和为定值；
理由：∵∠D＝90°，∠DFE＝45°，又∵∠D+∠DFE+∠FED＝180°，∴∠FED＝45°，
∵∠FED是△FEC的外角，∴∠FCE+∠CFE＝∠FED＝45°，即∠FCE与∠CFE度数之和为定值；

（2）如图，∠FCE与∠CFE度数之和为定值；
理由：∵∠FDE＝90°，∠F＝45°，又∵∠FDE+∠F+∠FED＝180°，∴∠FED＝45°，
∵∠FEG是△FEC的外角，∴∠FCE+∠CFE＝∠FEG＝135°，即∠FCE与∠CFE度数之和为定值；

（3）要使FC⊥BC，则需∠FCE＝∠A＝30°，又∵∠CFE+∠FCE＝45°，
∴∠CFE＝45°﹣30°＝15°．

5、操作题：
（1）如图甲所示，已知△ABC，用三角尺和量角器作△ABC的：①中线AD；②角平分线BE；③高CH．
（2）如图乙在方格中平移△ABC，
①使点A移到点M
使点A移到点N
②分别画出两次平移后的三角形．

【解析】（1）如图1所示；

（2）如图2所示．


6、按要求画图．
（1）在图1中分别画出点A、点B到直线CD的垂线段AE、BF
（2）如图2，已知三角形ABC，点D为点A的对应点，过点D作三角形ABC平移后的三角形DEF．

【解析】（1）如图所示；

（2）△DEF如图所示．


7、在边长为1个单位长度的正方形格纸上建立如图的平面直角坐标系，三角形ABC的顶点都在格点上．
（1）请直接写出三角形ABC各点的坐标．
（2）求出三角形ABC的面积是　 　．
（3）若把三角形ABC向上平移3个单位，再向右平移2个单位得到三角形A1B1C1，在图中画出三角形A1B1C1．

【解析】
（1）如图所示：A（﹣1，﹣1）；B（4，2）；C（1，3）；
（2）S△ABC＝4×5﹣×2×4﹣×1×3﹣×3×5＝7．
（3）如图所示：△A1B1C1，即为所求．

8、如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0），点A在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为 .

【解析】作AM⊥x轴于点M.根据等边三角形的性质得OA=OB=2，∠AOB=60°，
在Rt△OAM中,利用含30°角的直角三角形的性质求出OM=1，AM=，从而求得
点A的坐标为（1，），直线OA的解析式为y=x,当x=3时，y=3,所以
点A′的坐标为（3，3），所以点A′是由点A向右平移2个单位，向上平移
23个单位后得到的，于是得点B′的坐标为（4,2）.

9、在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=30°,线段AD是BC边上的中线,如图1,将△ADC沿直线BC平移,使点D与点C重合,得到△FCE,如图2,再将△FCE绕点C顺时针旋转,设旋转角为α(0°＜α≤90°),连接AF,DE．

(1)在旋转过程中,当∠ACE=150°时,求旋转角α的度数；
(2)探究旋转过程中四边形ADEF能形成哪些特殊四边形？请说明理由．
【分析】(1)由题意分析可知此问需分两种情况讨论：①点E和点D在直线AC两侧；②点E和点D在直线AC同侧；(2)在旋转过程中,总是存在AC=CE,DC=CE.由图形的对称性可知,将会出现两种对角线相等的特殊四边形：等腰梯形和矩形.抓住平移和旋转的性质,较易证明．
【答案】：(1)在图1中,∵∠BAC=90°,∠B=30°,∴∠ACE=∠BAC+∠B=120°．
如图2,当点E和点D在直线AC两侧时,由于∠ACE=150°,
∴α=150°-120°=30°.当点E和点D在直线AC同侧时,
由于∠ACB=180°-∠BAC-∠B=60°,∴∠DCE=∠ACE-∠ACB=150°-60°=90°.
∴α=180°-∠DCE=90°.∴旋转角α为30°或90°;
(2)四边形ADEF能形成等腰梯形和矩形．
∵∠BAC=90°,∠B=30°,∴AC=BC．
又∵AD是BC边上的中线,∴AD=DC=BC=AC.∴△ADC为正三角形．

①当α=60°时,如图3,∠ACE=120°+60°=180°.又∵CA=CE=CD=CF,∴四边形ADEF为矩形．
②当α≠60°时,∠ACF≠120°,∠DCE=360°-60°-60°-∠ACF≠120°．
显然DE≠AF．∵AC=CF,CD=CE,∴2∠FAC+∠ACF=2∠CDE+∠DCE=180°.
∵∠ACF+∠DCE=360°-60°-60°=240°,∴∠FAC+∠CDE=60°.∴∠DAF+∠ADE=120°+60°=180°.∴AF∥DE．
又∵DE≠AF,AD=EF,∴四边形ADEF为等腰梯形．
10、如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠（AP＞AM），点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上的点F处.
（1）判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？
（2）如果AM=1，sin∠DMF=，求AB的长.

【分析】（1）由矩形的性质得∠A=∠B=∠C=90°，由折叠的性质和等角的余角相等，可得∠BPQ=∠AMP=∠DQC，所以△AMP∽△BPQ∽△CQD；（2）先证明MD=MQ，然后根据sin∠DMF=DFMD=35，设DF=3x，MD=5x，分别表示出AP，BP，BQ，根据△AMP∽△BPQ，列出比例式解方程求解
【解析】（1）△AMP∽△BPQ∽△CQD.
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=90°.
由折叠的性质可知∠APM=∠EPM，∠EPQ=∠BPQ.
∴∠APM+∠BPQ=∠EPM+∠EPQ=90°.
∵∠APM+∠AMP=90°，∴∠BPQ=∠AMP.，∴△AMP∽△BPQ.
同理：△BPQ∽△CQD.
根据相似的传递性可得△AMP∽△CQD；
（2）∵AD∥BC，∴∠DQC=∠MDQ.
由折叠的性质可知∠DQC=∠DQM.
∴∠MDQ=∠DQM.∴MD=MQ.
∵AM=ME，BQ=EQ，
∴BQ=MQ-ME=MD-AM.
∵sin∠DMF=，则设DF=3x，MD=5x，则BP=PA=PE=，BQ=5x-1.
∵△AMP∽△BPQ，∴，即，解得x=（舍去）或x=2，∴AB=6.
11、如图，点E是正方形ABCD的边BC上一点，连接DE，将DE绕着点E逆时针旋转90°，得到EG，过点G作GF⊥CB，垂足为F，GH⊥AB，垂足为H，连接DG，交AB于I．
（1）求证：四边形BFGH是正方形；
（2）求证：ED平分∠CEI；
（3）连接IE，若正方形ABCD的边长为3，则△BEI的周长为　 　．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠DCE＝∠ABC＝∠ABF＝90°，
∵GF⊥CF，GH⊥AB，∴∠F＝∠GHB＝∠FBH＝90°，∴四边形FBHG是矩形，
∵ED＝EG，∠DEG＝90°，
∵∠DEC+∠FEG＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，∴∠FEG＝∠EDC，
∵∠F＝∠DCE＝90°，∴△DCE≌△EFG（AAS），∴FG＝EC，EF＝CD，
∵CB＝CD，∴EF＝BC，∴BF＝EC，∴BF＝GF，∴四边形FBHG是正方形．
（2）证明：延长BC到J，使得CJ＝AI．
∵DA＝DC，∠A＝∠DCJ＝90°，AI＝CJ，∴△DAI≌△DCJ（SAS），
∴DI＝DJ，∠ADI＝∠CDJ，∴∠IDJ＝∠ADC＝90°，
∵∠IDE＝45°，∴∠EDI＝∠EDJ＝45°，
∵DE＝DE，∴△IDE≌△JDE（SAS），∴∠DEI＝∠DEJ，∴DE平分∠IEC．
（3）解：∵△IDE≌△JDE，∴IE＝EJ，
∵EJ＝EC+CJ，AI＝CJ，∴IE＝EC＝AI，
∴△BIE的周长＝BI+BE+IE＝BI+AI+BE+EC＝2AB＝6．

12、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，将△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C，再将△A1B1C沿CB向右平移，使点B2恰好落在斜边AB上，A2B2与AC相交于点D．
（1）判断四边形A1A2B2B1的形状，并说明理由；
（2）求A2C的长度．

【解析】（1）四边形A1A2B2B1是平行四边形，
理由：∵∠ACB＝∠B2C＝90°，∴B1C∥C2B2，
∵再将△A1B1C沿CB向右平移，
∴B1C＝C2B2，
∴四边形B1B2C2C是矩形，
∴B2B1∥B1C，
∴B2B1∥A1A2，
∵再将△A1B1C沿CB向右平移，∴A1B1∥A2B2，
∴四边形A1A2B2B1是平行四边形；
（2）在Rt△ABC中，BC＝＝＝3，
由题意：BC＝CB1＝C2B2＝3，∴AB1＝1，
∵B1B2∥BC，
∴△AB1B2∽△ACB，
∴，
∴，
∴B1B2＝，
∴B1B2＝CC2＝，
∴CA2＝A2C2﹣CC2＝4﹣＝．
13、在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是对角线BD上一动点，将线段CP绕点C顺时针旋转120°到CQ，连接DQ．连接QP并延长，分别交AB、CD于点M，N．
（1）如图1，求证：△BCP≌△DCQ；
（2）如图2，已知PM＝QN；若MN的最小值为，求菱形ABCD的面积．

（1）证明：四边形ABCD是菱形，∴BC＝DC，AB∥CD，
∴∠PBM＝∠PBC＝∠ABC＝30°，∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝120°
由旋转的性质得：PC＝QC，∠PCQ＝120°，∴∠BCD＝∠DCQ，∴∠BCP＝∠DCQ，
在△BCP和△DCQ中，，∴△BCP≌△DCQ（SAS）；
（2）解：过点C作CG⊥PQ于点G，连接AC，

∵PC＝QC，∠PCQ＝120°，∴∠PCG＝60°，PG＝QG，
∴PG＝PC，∴PQ＝PC．
∵PM＝QN，∴MN＝PQ＝PC，
∴当PC⊥BD时，PC最小，此时MN最小，
∴PC＝2，BC＝2PC＝4，
∵菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，
∴＝4，
∴菱形ABCD的面积＝2S△ABC＝2×4＝8；
15、四边形ABCD是正方形，PA是过正方形顶点A的直线，作DE⊥PA于E，将射线DE绕点D逆时针旋转45°与直线PA交于点F．
（1）如图1，当∠PAD＝45°时，点F恰好与点A重合，则的值为　 　；
（2）如图2，若45°＜∠PAD＜90°，连接BF、BD，试求的值，并说明理由．

【解析】（1）∵∠PAD＝45°，DE⊥AP，∴∠DAE＝∠EDA，∴AE＝DE，∴AD＝AE，
∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BF＝AE，∴＝；
（2）过点B作BH⊥AP于H，

∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠ABD＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAH+∠DAE＝90°，
又∵∠BAH+∠ABH＝90°，∴∠ABH＝∠DAE，
又∵AD＝AB，∠DEA＝∠AHB＝90°，∴△ADE≌△BAH（AAS），∴AE＝BH，
∵将射线DE绕点D逆时针旋转45°与直线PA交于点F，∴∠EDF＝45°，
∴∠EFD＝45°＝∠ABD，
∴点A，点F，点B，点D四点共圆，
∴∠BFH＝∠ADB＝45°，又∵BH⊥AP，
∴∠FBH＝∠BFH＝45°，
∴BH＝FH，
∴BF＝BH＝AE，∴＝＝．
16、如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D是AB边上一点，连接CD，以CD为边作等边△CDE．

（1）如图1，若∠CDB＝45°，AB＝6，求等边△CDE的边长；
（2）如图2，点D在AB边上移动过程中，连接BE，取BE的中点F，连接CF，DF，过点D作DG⊥AC于点G．
①求证：CF⊥DF；
②如图3，将△CFD沿CF翻折得△CFD′，连接BD′，直接写出的最小值．
【解析】（1）如图1，过点C作CH⊥AB于点 H，

∵AC＝BC，∠ACB＝120°，CH⊥AB，∴∠A＝∠B＝30°，AH＝BH＝3，∴CH＝＝，
∵∠CDH＝45°，CH⊥AB，∴∠CDH＝∠DCH＝45°，∴DH＝CH＝，CD＝CH＝；
（2）①如图2，延长BC到N，使CN＝BC，

∵AC＝BC，∠ACB＝120°，∴∠A＝∠ABC＝30°，∠NCA＝60°，
∵△ECD是等边三角形，∴EC＝CD，∠ECD＝60°，
∴∠NCA＝∠ECD，
∴∠NCE＝∠DCA，
又∵CE＝CD，AC＝BC＝CN，
∴△CEN≌△CDA（SAS），
∴EN＝AD，∠N＝∠A＝30°，
∵BC＝CN，BF＝EF，∴CF∥EN，CF＝EN，
∴∠BCF＝∠N＝30°，
∴∠ACF＝∠ACB﹣∠BCF＝90°，
又∵DG⊥AC，∴CF∥DG，
∵∠A＝30°，DG⊥AC，
∴DG＝AD，∴DG＝CF，
∴四边形CFDG是平行四边形，
又∵∠ACF＝90°，∴四边形CFDG是矩形，
∴∠CFD＝90°，∴CF⊥DF；
②如图3，连接BD'，

∵将△CFD沿CF翻折得△CFD′，∴CD＝CD'，DF＝D'F，∠CFD＝∠CFD'＝90°，
又∵EF＝BF，∠EFD＝∠BFD'，
∴△EFD≌∠BFD'（SAS），
∴BD'＝DE，∴BD'＝CD，
∵当BD'取最小值时，有最小值，
∴当CD取最小值时，有最小值，
∵当CD⊥AB时，CD有最小值，
∴AD＝CD，AB＝2AD＝2CD，
∴最小值＝．

17、（1）观察与发现：小明将三角形纸片ABC（AC＞AB）沿过点A的直线折叠，使得AB落在AC边上，折痕为AD，展开纸片（如图1）；在第一次的折叠基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图2）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意他的结论吗？请说明理由：
（2）模型与运用：
如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC交AC于点E，过点C作CD⊥BD，交BE的延长线于点D．若CD＝4，求△BCE的面积．

【解析】（1）同意，理由如下：
如图2，设AD与EF交于点G，由折叠知，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．
由折叠知，∠AGE＝∠DGE，∴∠AGE＝∠AGF＝90°，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF．
即：△AEF为等腰三角形．

（2）如图3，延长CD与BA并交于点F，由（1）知，BC＝BF，
又∵BE平分∠ABC，∴BD是△CBF的中线，即FD＝CD＝4，CF＝2CD＝8，
∵∠BAC＝90°，∴∠ABD+∠AEB＝90°，
∵CD⊥BD，∴∠EDC＝90°，∴∠ACD+∠CED＝90°，
∵∠AEB＝∠CED，∴∠ACD＝∠ABD，
∵AC＝AB，
∴△CAF≌△BAE（ASA）
∴BE＝CF＝8，
∴S△BCE＝BE•CD＝×8×4＝16．
18、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．
[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△　 　，可推证△CEF是　 　三角形，从而求得∠DCE＝　 　°．

[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．
[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．
【解析】[问题初探]
如图2，过点E作EF⊥BC交直线BC于F，
∴∠DFE＝90°＝∠ABD，
∴∠EDF+∠DEF＝90°，
由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，
∴∠ADB+∠EDF＝90°，
∴∠ADB＝∠DEF，
∴△ABD≌△DFE（AAS），
∴BD＝EF，DF＝AB，
∵AB＝BC，
∴BC＝DF，
∴BD＝CF，
∴EF＝CF，
∴△CEG是等腰直角三角形，
∴∠ECF＝45°，
∴∠DCE＝135°，
故答案为：ADB，等腰直角，135；

[继续探究]
如图3，过点E作EF⊥BC于F，
∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，
∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，
∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，
∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝45°；

[拓展延伸]
如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴∠ACB＝45°
当点D在射线BC上时，由[问题初探]知，∠BCM＝135°，
∴∠ACM＝∠BCM﹣∠ACB＝90°，
当点D在线段CB的延长线上时，
由[继续探究]知，∠BCE＝45°，∴∠ACN＝∠ACB+∠BCM＝90°，
∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点，∴当BE⊥MN时，BE最小，
∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE，
∴BE最小＝BC＝，
即：BE的最小值为．