中考数学 专项训练 考点61 四边形中作辅助线造相似

专题61 四边形中作辅助线造相似
1、如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形．
探究发现
（1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．
拓展运用
（2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长．
（3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长．

【解析】（1）全等，理由是：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，，∴△ACE≌△BCD（ SAS）；
（2）如图3，由（1）得：△BCD≌△ACE，∴BD＝AE，

∵△DCE都是等边三角形，∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2，
∵∠ADC＝30°，∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°，
在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝2，
∴AE＝＝＝，∴BD＝；
（3）如图2，过A作AF⊥CD于F，

∵B、C、E三点在一条直线上，∴∠BCA+∠ACD+∠DCE＝180°，
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°，
在Rt△ACF中，sin∠ACF＝，∴AF＝AC×sin∠ACF＝1×＝，
∴S△ACD＝＝＝，
∴CF＝AC×cos∠ACF＝1×＝，FD＝CD﹣CF＝2﹣，
在Rt△AFD中，AD2＝AF2+FD2＝＝3，∴AD＝．

2、阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题．
数学课上，老师出示了这样一道题：
如图1，点E是正△ABC边AC上一点以BE为边做正△BDE，连接CD．探究线段AE与CD的数量关系，并证明．
同学们经过思考后，交流了自已的想法：
小明：“通过观察和度量，发现∠ABE与∠DBC相等．”
小伟：“通过全等三角形证明，再经过进一步推理，可以得到线段BC平分∠ACD．”
…
老师：“保留原题条件，连接AD，F是AB的延长线上一点，AD＝DF（如图2），如果BD＝BF，可以求出CE、CB、EB三条线段之间的数量关系．”

（1）求证：∠ABE＝∠DBC；
（2）求证：线段BC平分∠ACD；
（3）探究CE、CB、EB三条线段之间的数量关系，并加以证明．
（1）证明：∵△ABC，△DEB都是等边三角形，
∴∠ABC＝∠EBD＝60°，
∴∠ABE+∠EBC＝∠EBC+∠CBD，
∴∠ABE＝∠CBD．
（2）证明：∵△ABC，△DEB都是等边三角形，
∴BA＝BC，BE＝BD，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵∠ABE＝∠CBD，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴∠BAE＝∠BCD＝60°，
∴∠ACB＝∠BCD＝60°，
∴CB平分∠ACD．

（3）结论：EC+BE＝BC．理由：∵DA＝DF，
∴可以将△DBF绕点D顺时针旋转，使得DF与DA重合，得到△DMA，连接AM．
∵DA＝DF，BD＝BF，∴∠DAF＝∠F＝∠BDF，
∵∠BCD＝∠ABC＝60°，∴CD∥AB，∴∠CDF＝∠DAF，
∵∠MDA＝∠BDF＝∠F＝∠DAB，∴∠MDA＝∠CDA，∴D，C，M共线，
∵∠AMD＝∠DBF＝∠CDB，∠ACM＝∠BCD＝60°，AM＝DM＝BD＝BF，
∴△AMC≌△BDC（AAS），∴CM＝DC＝BD＝BE，
∵△ABE≌△CBD，∴AE＝CD，
∴BC＝AC＝EC+AE＝CE+CD＝CE+BE，
∴EC+BE＝BC．
3、如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE．
（1）如图①，连接BE、CD，求证：BE＝CD；
（2）如图②，连接BE、CD，若∠BAC＝∠DAE＝60°，CD⊥AE，AD＝3，CD＝4，求BD的长；
（3）如图③，若∠BAC＝∠DAE＝90°，且C点恰好落在DE上，试探究CD2、CE2和BC2之间的数量关系，并加以说明．

（1）证明：
∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD．
又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ACD≌△ABE（SAS），∴CD＝BE．

（2）如图2，连结BE，
∵AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AD＝3，∠ADE＝∠AED＝60°，
∵CD⊥AE，
∴∠CDA＝∠ADE＝×60°＝30°，
∵由（1）得△ACD≌△ABE，
∴BE＝CD＝4，∠BEA＝∠CDA＝30°，
∴∠BED＝∠BEA+∠AED＝30°+60°＝90°，即BE⊥DE，
∴BD＝＝＝5．

（3）CD2、CE2、BC2之间的数量关系为：CD2+CE2＝BC2，理由如下：

解法一：
如图3，连结BE．
∵AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠D＝∠AED＝45°，
∵由（1）得△ACD≌△ABE，
∴BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°，
∴∠BEC＝∠BEA+∠AED＝45°+45°＝90°，即BE⊥DE，
在Rt△BEC中，由勾股定理可知：BC2＝BE2+CE2．
∴BC2＝CD2+CE2．

解法二：
如图4，过点A作AP⊥DE于点P．
∵△ADE为等腰直角三角形，AP⊥DE，∴AP＝EP＝DP．
∵CD2＝（CP+PD）2＝（CP+AP）2＝CP2+2CP•AP+AP2，
CE2＝（EP﹣CP）2＝（AP﹣CP）2＝AP2﹣2AP•CP+CP2，
∴CD2+CE2＝2AP2+2CP2＝2（AP2+CP2），
∵在Rt△APC中，由勾股定理可知：AC2＝AP2+CP2，∴CD2+CE2＝2AC2．
∵△ABC为等腰直角三角形，由勾股定理可知：
∴AB2+AC2＝BC2，即2AC2＝BC2，
∴CD2+CE2＝BC2．
4、如图，在矩形ABCD中，点P为BC边上一点（BP＞CP），∠APD＝90⁰，将△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，PC′的延长线交AD于点M，过点A作AN∥PM交BC于点N．
（1）试判断四边形AMPN的形状并说明理由；
（2）如图2，连接BD，分别交MP，AP于点E，F，若tAn∠PDC＝，求的值．

【解析】（1）四边形AMPN是菱形；理由：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴AM∥PN，
∵AN∥PM，∴四边形ANPM是平行四边形，
∵将△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，∴∠DPC＝∠DPC′，
∵AD∥BC，∴∠ADP＝∠DPC，∴∠ADP＝∠DPM，∴DM＝PM，
∵∠APD＝90°，∴AM＝DM＝PM，∴四边形AMPN是菱形；

（2）∵tAn∠PDC＝＝，可设PC＝1，CD＝2，
过P作PG⊥AD于G，则四边形PCDG与四边形ABPG是矩形，
∴CP＝DG＝1，PG＝CD＝2，
∵PG⊥AD，∠APD＝90°，∴PG2＝AG•GD，∴4＝1•GD，∴AG＝PB＝4，AD＝AG+GD＝5，
∵BP∥AD，∴△PBF∽△ADF，∴＝＝，∴＝，
∵DM∥PB，∴△PBE∽△MDE，DM＝AD＝，∴＝＝＝，∴＝，
∴EF＝DF﹣DE＝BD﹣BD＝BD，
∴＝＝
5、已知四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，E为BC边上一动点且不与B、C重合，连接AE（1）如图1，过点E作EN⊥AE交CD于点N
①若BE＝1，求CN的长；
②将△ECN沿EN翻折，点C恰好落在边AD上，求BE的长；
（2）如图2，连接BD，设BE＝M，试用含M的代数式表示S四边形CDFE：S△ADF值．

【解析】（1）①∵BE＝1，∴CE＝BC﹣BE＝4﹣1＝3，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠BEA＝90°，
∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，
∴∠BEA+∠FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
∴△ABE∽△ECF，∴＝，即：＝，
解得：CN＝；

②过点E作EF⊥AD于F，如图1所示：
则四边形ABEF是矩形，
∴AB＝EF＝2，AF＝BE，
由折叠的性质得：CE＝C′E，CN＝C′N，∠EC′N＝∠C＝90°，
∴∠NC′D+∠EC′F＝90°，
∵∠C′ND+∠NC′D＝90°，
∴∠EC′F＝∠C′ND，
∵∠D＝∠EFC′，∴△EC′F∽△NC′D，
∴＝＝，
∴＝＝，
∵＝，∴＝，
∴＝＝，
∴C′D＝BE，
设BE＝x，则C′D＝AF＝x，C′F＝4﹣2x，CE＝4﹣x，
∴＝，＝，
∴DN＝x（2﹣x），CN＝，
∴CN+DN＝x（2﹣x）+＝CD＝2，
解得：x＝2或x＝，
∴BE＝2或BE＝；
（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴BC＝AD，AD∥BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴＝＝，
∴＝（）2＝，
∴S△ADF＝s△BEF，
S△ABF＝＝＝S△BEF，
S四边形CDFE＝S△ADF+S△ABF﹣S△BEF＝S△BEF+S△BEF﹣S△BEF＝（+﹣1）S△BEF，
∴S四边形CDFE：S△ADF＝（+﹣1）S△BEF：s△BEF＝1+﹣．
6、已知在▱ABCD中，点E，F分别为边AB，BC上的点，∠ADE＝∠BAF，DE，AF交于点M．
（1）如图1，若∠ABC＝90°，求证：△AEM∽△AFB；
（2）若E为AB中点．
①如图2，若AF⊥BC，＝，求的值；
②如图3，若∠ABC＝60°，＝n，请直接写出的值（用n的式子表示）．

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，且∠ADE＝∠BAF，
∴∠BAD﹣∠BAF＝∠ABC﹣∠BAF
∴∠AED＝∠AFB，且∠BAF＝∠BAF，∴△AEM∽△AFB
（2）如图2，过点E作EN⊥AF于点N，

∵EN⊥AF，BF⊥AF，∴EN∥BF，∴
∴AF＝2AN，BF＝2EN，
∵＝，∴AD＝3BF，∴AD＝6EN，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥EN，∴△MNE∽△MAD
∴，∠ADE＝∠MEN，
∴AM＝6MN，
∴AN＝7MN，
∵∠ADE＝∠MEN，∠BAF＝∠ADE，
∴∠BAF＝∠MEN，且∠ANE＝∠ANE，
∴△ENM∽△ANE，∴
∴EN2＝MN•AN＝AN2，
∵设AE＝BE＝A，EN＝B，∴BF＝2B，AD＝6B，
∴B2＝（A2﹣B2），∴A＝2B
∴AB＝2AE＝2A＝4B，AD＝6B，∴
②如图3，过点A作AH平分∠BAD，交BC的延长线于H，过点B作BG∥AH交AF的延长线于点G，

∵＝n，E为AB中点．∴AB＝nAD，AE＝BE＝AD
∵∠ABC＝60°，AD∥BC，∴∠BAD＝120°，
∵AH平分∠BAD，∴∠BAH＝60°＝∠ABC
∴△ABH是等边三角形，∴AB＝AH＝BH＝nAD，
∵BG∥AH，∴∠H＝∠GBF＝60°，
∴∠ABG＝120°＝∠EAD，且∠BAF＝∠ADE，
∴△ABG∽△DAE，∴，∴BG＝AD
∵BG∥AH
∴△BFG∽△HFA，∴，∴，∴FH＝BF
∵BH＝BF+FH，∴nAD＝（）BF
∴＝
7、如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．
（1）当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；
（2）设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长；
（3）当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，

∵矩形ABCD中，CD⊥AD，
∴∠CDE+∠ADO＝90°，
又∵∠OAD+∠ADO＝90°，
∴∠CDE＝∠OAD＝30°，
∴在Rt△CED中，CE＝CD＝2，DE＝＝2，
在Rt△OAD中，∠OAD＝30°，
∴OD＝AD＝3，
∴点C的坐标为（2，3+2）；
（2）∵M为AD的中点，
∴DM＝3，S△DCM＝6，
又S四边形OMCD＝，
∴S△ODM＝，
∴S△OAD＝9，
设OA＝x、OD＝y，则x2+y2＝36，xy＝9，
∴x2+y2＝2xy，即x＝y，
将x＝y代入x2+y2＝36得x2＝18，
解得x＝3（负值舍去），
∴OA＝3；
（3）OC的最大值为8，
如图2，M为AD的中点，

∴OM＝3，CM＝＝5，
∴OC≤OM+CM＝8，
当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，
连接OC，则此时OC与AD的交点为M，过点O作ON⊥AD，垂足为N，
∵∠CDM＝∠ONM＝90°，∠CMD＝∠OMN，
∴△CMD∽△OMN，
∴＝＝，即＝＝，解得MN＝，ON＝，
∴AN＝AM﹣MN＝，
在Rt△OAN中，OA＝＝，
∴cos∠OAD＝＝＝．
即＝．
8、在△ABC中，AC＝BC，点G是直线BC上一点，CF⊥AG，垂足为点E，BF⊥CF于点F，点D为AB的中点，连接DF．
（1）如图1，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，设CF交AB于点R，且E为CR的中点，若CG＝1，求线段BG的长；
（2）如图2，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，求证：EF＝DF；
（3）如图3，如果∠ACB＝60°，且G在CB的延长线上，∠BAG＝15°，请探究线段EF、BD之间的数量关系，并直接写出你的结论．

（1）解：如图1中，在CA上取一点H，使得CH＝CG．

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，
∵AE⊥CR，CE＝ER，∴AC＝AR，∴∠CAG＝∠GAB＝22.5°
∵CG＝CH＝1，
∴GH＝＝＝，∠CHG＝45°，
∵∠CHG＝∠HAG+∠HGA，
∴∠HAG＝∠HGA＝22.5°，
∴HA＝HG＝，
∵CB＝CA，CG＝CH，∴BG＝AH＝．
（2）解：如图2中，连接CD，DE．

∵CF⊥AG，BC⊥CF，
∴∠BCF＝∠CAE＝90°﹣∠ACE
在△AEC和△CFB，，∴△AEC≌△CFB（AAS），∴AE＝CF，CE＝BF，
∵等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴CD＝BD，∠CDB＝90°，
∵∠CDB＝∠CFB＝90°，
∴∠FBD＝∠DCE，
在△BFD与△CED中，，∴△BFD≌△CED（SAS），∴DF＝DE，∠FDB＝∠EDC，
∴∠EDC+∠EDB＝∠BDF+∠BDE＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴EF＝DF．
（3）如图3中，结论：＝．
理由：连接AF，在EC上取一点H，使得CH＝AH，连接AH．

∵AC＝BC，∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠CAB＝60°，AB＝AC＝BC，
∵∠BAG＝15°，
∴∠CAE＝75°，
∵CE⊥AG，
∴∠CEA＝90°，
∴∠ACE＝15°，
∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACE＝45°，
∵BF⊥CE，
∴∠FCB＝∠FBC＝45°，
∴FB＝FC，
∵AB＝AC，
∴AF垂直平分线段BC，
∴AF平分∠CAB，
∴∠FAB＝∠CAB＝30°，
∴∠EAF＝∠EFA＝45°，
∴EF＝AE，设EF＝AE＝M，
∵HC＝HA，
∴∠HCA＝∠HAC＝15°，
∴∠EHA＝∠HCA+∠HAC＝30°，
∴AH＝2AE＝2M，EH＝M，
∴EC＝2M+M，
∴AC＝＝＝（+）M，
∵BD＝AB＝AC＝M，
∴＝．

9、如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D是边AB上的动点（点D不与点AB重合），点G在边AB的延长线上，∠CDE＝∠A，∠GBE＝∠ABC，DE与边BC交于点F．
（1）求cosA的值；
（2）当∠A＝2∠ACD时，求AD的长；
（3）点D在边AB上运动的过程中，AD：BE的值是否会发生变化？如果不变化，请求AD：BE的值；如果变化，请说明理由．

【解析】（1）作AH⊥BC于H，BM⊥AC于M．
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝3，
∴AH＝＝＝4，
∵S△ABC＝•BC•AH＝•AC•BM，
∴BM＝＝，
∴AM＝＝＝，
∴cosA＝＝．

（2）设AH交CD于K．
∵∠BAC＝2∠ACD，∠BAH＝∠CAH，
∴∠CAK＝∠ACK，
∴CK＝AK，设CK＝AK＝x，
在Rt△CKH中，则有x2＝（4﹣x）2+32，
解得x＝，
∴AK＝CK＝，
∵∠ADK＝∠ADC，∠DAK＝∠ACD，
∴△ADK∽△CDA，
∴＝＝＝＝，设AD＝M，DK＝n，
则有，解得M＝，n＝．
∴AD＝．
（3）结论：AD：BE＝5：6值不变．
理由：∵∠GBE＝∠ABC，∠BAC+2∠ABC＝180°，∠GBE+∠EBC+∠ABC＝180°，
∴∠EBC＝∠BAC，
∵∠EDC＝∠BAC，
∴∠EBC＝∠EDC，
∴D，B，E，C四点共圆，
∴∠EDB＝∠ECB，
∵∠EDB+∠EDC＝∠ACD+∠DAC，∠EDC＝∠DAC，
∴∠EDB＝∠ACD，
∴∠ECB＝∠ACD，
∴△ACD∽△BCE，
∴＝＝．


10、在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是BC上一点．

（1）如图1，AD平分∠BAC，求证：AB＝AC+CD；
（2）如图2，点E在线段AD上，且∠CED＝45°，∠BED＝30°，求证：BE＝2AE；
（3）如图3，CD＝BD，过B点作BM⊥AD交AD的延长线于点M，连接CM，过C点作CN⊥CM交AD于N，求证：DN＝3DM．
证明：（1）如图1中，作DH⊥AB于H．

∵∠ACD＝∠AHD＝90°，AD＝AD，∠DAC＝∠DAH，
∴△ADC≌△ADH（ASA），
∴AC＝AH，DC＝DH，
∵CA＝CB，∠C＝90°，∴∠B＝45°，
∵∠DHB＝90°，∴∠HDB＝∠B＝45°，
∴HD＝HB，
∴BH＝CD，
∴AB＝AH+BH＝AC+CD．
（2）如图2中，作BM⊥AD交AD的延长线于M，连接CM．

∵∠ACB＝∠AMB＝90°，
∴C，A，B，M四点共圆，
∴∠AMC＝∠ABC＝45°，
∵∠CEM＝45°，
∴∠CEM＝∠CME，
∴CE＝CM，
∴∠ECM＝∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCM，
∵CA＝CB，CE＝CM，
∴△ACE≌△BCM（SAS），
∴AE＝BM，
∵在Rt∠EMB中，∠MEB＝30°，∴BE＝2BM＝2AE．
（3）如图3中，作CH⊥MN于H．

∵∠ACB＝∠AMB＝90°，
∴C，A，B，M四点共圆，
∴∠AMC＝∠ABC＝45°，
∵CN⊥CM，∴∠NCM＝90°
∴∠CNM＝∠CMN，
∴CN＝CM，
∵CH⊥MN，∴HN＝HM．
∵CD＝DB，∠CHD＝∠BMD＝90°，∠ADH＝∠BDM，
∴△CHD≌△BMD（AAS），∴DH＝DM，
∵HN＝HM，
∴DN＝3DM．