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    中考数学 专项训练 考点25 以函数为背景的等腰三角形的存在性问题
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    中考数学 专项训练 考点25 以函数为背景的等腰三角形的存在性问题

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    专题25 以函数为背景的等腰三角形的存在性问题

    【知识讲解】

    1     知识内容:

     在用字母表示某条线段的长度时,常用的方法有但不仅限于以下几种:

    1)勾股定理:找到直角三角形,利用两边的长度表示出第三边;

    2)全等或相似:通过相似,将未知边与已知边建立起联系,进而表示出未知边

    3)两点间距离公式:设,则AB两点间的距离为:

    2     解题思路:

    1              利用几何或代数的手段,表示出三角形的三边对应的函数式;

    2              根据条件分情况进行讨论,排除不可能的情况,将可能情况列出方程(多为分式或根式方程)

    3              解出方程,并代回原题中进行检验,舍去增根.

    注:用相似的方法得到的代数式构造一般比较简单,但对几何能力的要求较高,用勾股定理则反之.

    【例题讲解】

    1、如图,已知中,AB = AC = 6BC = 8,点DBC边上的一个动点,点EAC边上,∠ADE =B.设BD的长为xCE的长为y

    1)当DBC的中点时,求CE的长;

    2)求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;

    3)如果为等腰三角形,求x的值.

    【答案】(1;(2);(32

    【解析】解:∵

     

     

     

     1)当DBC中点时,,∴

     2x的取值范围为

     3)分情况讨论,

      ①当AD = AE时:

      ,∴,此情况不存在;

      ②当AD = DE时:

      ,即

      解得:(舍)或

      ③当AE = DE时:

      

      

      又∵,∴

    ,解得:

    综上:x的值为2

    【总结】本题综合性较强,主要考查等腰三角形的性质及分类讨论的运用.

    2已知,一条抛物线的顶点为E4,且过点A0,与y轴交于点C,点D是这条抛物线上一点,它的横坐标为m,且,过点D轴,垂足为KDK分别交线段AEAC于点GH

    1)求这条抛物线的解析式;

    2)求证:GH = HK

    3)当是等腰三角形时,求m的值.

    【解析】1;(2)略;

    3m的值为

    【解析】(1)∵抛物线的顶点为E4),

    设抛物线的解析式为

    抛物线过点A0)∴

    这条抛物线的解析式为

    2)∵A0),E4),C03

         直线AE的解析式为;直线AC的解析式为

         D的横坐标为m

    Gm2m + 6),Hmm + 3

    Km0),∴GH = m + 3HK = m + 3,∴GH = HK

    3C03),Gm2m + 6),Hmm + 3

      CG = CH,则

    解得都是原方程的解,但不合题意舍去

    所以这种情况不存在.

      GC = GH,则

    解得都是原方程的解,但不合题意,舍去.

      HC = HG,则解得

      综上所述:当是等腰三角形时,m的值为

    【总结】本题主要考查二次函数背景下的等腰三角形的分类讨论问题,注意对方法的选择.

     

     

     

     

     

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