高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件课时练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件课时练习，共9页。试卷主要包含了已知平面内的两个向量，且，已知点，若平面，则点的坐标为等内容，欢迎下载使用。

一，选择题


1．已知向量a＝(2, －1,3)和b＝(－4,2x2,6x)都是直线l的方向向量，则x的值是( )


A．－1 B．1或－1


C．－3 D．1


2．若平面α，β的一个法向量分别为m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,6)，\f(1,3)，－1))，n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－1，3))，则( )


A．α∥β B．α⊥β


C．α与β相交但不垂直 D．α∥β或α与β重合


3.已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的值是( )


A.B.C.D.


4.已知平面内的两个向量，且.若为平面的法向量，则的值分别为( )


A.B.C.1，2D.


5.已知三条直线的一个方向向量分别为，则( )


A.，但与不垂直B.，但与不垂直


C.，但与不垂直D.两两互相垂直


6.已知平面内的三点，平面的一个法向量为，且与不重合，则( )


A.B.


C.与相交但不垂直D.以上都不对


7.如图，在平行六面体中，点分别为棱的中点，若平行六面体的各棱长均相等，给出以下结论：





①；②；③平面；④平面


其中正确的有( )


A.1个B.2个C.3个D.4个


8.在四棱锥中，底面是平行四边形，，，则与底面的关系是( )


A.相交B.垂直C.不垂直D.成角


9.如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点，是的中点，则直线的位置关系是( )





A.平行B.相交C.异面垂直D.异面不垂直


10.已知点，若平面，则点的坐标为( )


A.B.C.D.


二，填空题


11.若不同的平面的一个法向量分别为，则与的位置关系为_________.


12.已知平面的法向量，平面的法向量，若，则______.


13.已知直线与平面垂直，直线的一个方向向量为，向量与平面平行，则__________.


14.已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，.对于结论：①；②；③是平面的法向量；④.其中正确的是___________.


三，简答题


15．已知A(2,2,2)，B(2,0,0)，C(0,2, －2)．


(1)写出直线BC的一个方向向量；


(2)设平面α经过点A，且BC是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式．





16．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别是A1C1，A1D和B1A上任意一点．求证：平面A1EF∥平面B1MC.








17.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝eq \f(1,2)，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量．








18.如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝AB＝BC＝eq \f(1,2)AD＝1.问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由．








答案以及解析


1.答案：A


解析 由题意得a∥b，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x2＝2，,6x＝－6，))解得x＝－1.


2.答案：D


解析 因为n＝－3m，所以m∥n，所以α∥β或α与β重合．


3.答案：B


解析：∵，∴的法向量与的法向量也互相平行.∴.∴.


4.答案：A


解析：.由为平面的法向量，得，即，解得.


5.答案：A


解析：，，与不垂直，，但不垂直于.


6.答案：A


解析：，，∴.∴也为的一个法向量.又与不重合，∴.


7.答案：C


解析：，∴，从而.∴①③④正确.


8.答案：B


解析：因为，所以平面.


9.答案：C


解析：建立空间直角坐标系，如图所示，设正方形的棱长为2，则，，，，则直线的位置关系是异面垂直.





10.答案：C


解析：由题意知，又平面，所以，得①，，得②，联立①②，解得，故点的坐标为.


11.答案：平行


解析：.


12.答案：


解析：


所以存在实数，使得


，解得，


.


13.答案：3


解析：∵平面的法向量为.又与平面平行，∴，解得.


14.答案：①②③


解析：∵，∴，则①②正确.又与不平行，∴是平面的法向量，则③正确.由于，，∴与不平行，故④错误.


15.解 (1)∵B(2,0,0)，C(0,2，－2)，


∴eq \(BC,\s\up6(→))＝(－2,2，－2)，即(－2,2，－2)为直线BC的一个方向向量．


(2)由题意eq \(AM,\s\up6(→))＝(x－2，y－2，z－2)，


∵eq \(BC,\s\up6(→))⊥平面α，AM⊂α，


∴eq \(BC,\s\up6(→))⊥eq \(AM,\s\up6(→))，


∴(－2,2，－2)·(x－2，y－2，z－2)＝0.


∴－2(x－2)＋2(y－2)－2(z－2)＝0. 化简得x－y＋z－2＝0.


16.证明 如图，建立空间直角坐标系Dxyz，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，C(0,1,0)，


则eq \(A1C1,\s\up6(—→)) ＝(－1,1,0), eq \(B1C,\s\up6(—→)) ＝(－1,0，－1), eq \(DA1,\s\up6(—→))＝(1,0,1), eq \(B1A,\s\up6(—→))＝(0，－1，－1)，





设eq \(A1E,\s\up6(—→))＝λeq \(A1C1,\s\up6(—→))，eq \(A1F,\s\up6(—→))＝μeq \(A1D,\s\up6(—→)),eq \(B1M,\s\up6(—→))＝veq \(B1A,\s\up6(—→))(λ，μ，v∈R，且均不为0)．


设n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)分别是平面A1EF与平面B1MC的法向量，


可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n1·\(A1E,\s\up6(—→))＝0，,n1·\(A1F,\s\up6(—→))＝0，))


可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n1·\(A1C1,\s\up6(—→))＝0，,n1·\(DA1,\s\up6(—→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x1＋y1＝0，,x1＋z1＝0，))


所以可取n1＝(1,1, －1)．


由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n2·\(B1M,\s\up6(—→))＝0，,n2·\(B1C,\s\up6(—→))＝0，))


可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n2·\(B1A,\s\up6(—→))＝0，,n2·\(B1C,\s\up6(—→))＝0，))


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－y2－z2＝0，,－x2－z2＝0，))


可取n2＝(1,1，－1)，所以n1＝n2，所以n1∥n2，


所以平面A1EF∥平面B1MC.


17.解 以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，





则A(0,0,0)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，0))，C(1,1,0)，S(0,0,1)，


则eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，0))，eq \(DS,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0，1)).


向量eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，0))是平面SAB的一个法向量．


设n＝(x，y，z)为平面SDC的一个法向量，


则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(DC,\s\up6(→))＝\f(1,2)x＋y＝0，,n·\(DS,\s\up6(→))＝－\f(1,2)x＋z＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－\f(1,2)x，,z＝\f(1,2)x.))


取x＝2，得y＝－1，z＝1，


故平面SDC的一个法向量为(2，－1,1)．


18.解 分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图．





则P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0), 设E(0，y，z)，则


eq \(PE,\s\up6(→))＝(0，y，z－1)，


eq \(PD,\s\up6(→))＝(0,2，－1)，


∵eq \(PE,\s\up6(→))∥eq \(PD,\s\up6(→))，


∴eq \f(y,2)＝eq \f(z－1,－1)，①


∵eq \(AD,\s\up6(→))＝(0,2,0)是平面PAB的法向量，


eq \(CE,\s\up6(→))＝(－1，y－1，z)，


∴由CE∥平面PAB， 可得eq \(CE,\s\up6(→))⊥eq \(AD,\s\up6(→))，


∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝2(y－1)＝0，


∴y＝1，代入①式得z＝eq \f(1,2).


∴E是PD的中点，


即存在点E为PD中点时，CE∥平面PAB.