人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第二课时学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第二课时学案，共9页。学案主要包含了知识点一，知识点二，知识点三，例2-1，例2-2，参考答案，自我检测1，自我检测2等内容，欢迎下载使用。

导学目标：


掌握基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(a，b≥0)及其凑配过程．


结合具体实例，能用基本不等式求最值问题及证明不等式问题．


（预习教材P46~ P48，回答下列问题）


复习：基本不等式： ．


（1）基本不等式成立的条件： ．


（2）等号成立的条件，当且仅当 时取等号．


【知识点一】利用基本不等式求最值（最值使用）


已知都是正数，是常数．


（1） （当且仅当时，“”成立）


（2） （当且仅当时，“”成立）


自我检测1：利用基本不等式求最值时应注意什么？





【知识点二】利用基本不等式证明有关不等式问题（放缩使用）





自我检测2：你能证明下面两个常见的放缩不等式吗？


（1）（）．


（2）．





【知识点三】利用基本不等式解决实际中的问题


（1）问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等．题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解；


（2）经常建立的函数模型有正(反)比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及等．


自我检测3：求函数的最值，并猜想该函数的图像的形状？





题型一 利用基本不等式求最值问题


【例1】求下列代数式的最值


（1）已知x>0，y>0，且，求的最小值．


（2） 求函数的最小值．


（3）求函数的最小值．


（4）已知x>0，y>0，x＋3y＋xy=9，求x＋3y的最小值．


（5）若正数a，b满足，求的最小值．










































































题型二 利用基本不等式证明不等式


【例2-1】 已知a、b、c>0，求证：eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,c)＋eq \f(c2,a)≥a＋b＋c．


























【例2-2】已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)>9．


























题型三 利用基本不等式解决实际问题


【例3】 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？






































1．已知,且，则的最小值为 ．








2．若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是____ __．











3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y=−x2＋18x−25(xN*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．








4．设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的最大值为 ．














5．已知x>0，y>0，z>0．求证：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x)＋\f(z,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,y)＋\f(z,y)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,z)＋\f(y,z)))≥8．





























【参考答案】


学后反思 巩固提高





复习：基本不等式：


（1）基本不等式成立的条件：．


（2）等号成立的条件，当且仅当时取等号．





【自我检测1】利用基本不等式求最值的常用技巧：


（1）正确定义（凑配）重要不等式中的，如构造“1”的代换等．


（2）使用重要不等式求最值时，一定要检验“一正、二定、三相等”缺一不可且检验顺序不可改变．


（3）若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致．


【自我检测2】


（1）【解析】左边：由eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)，得；


右边：要证，


只需证，


只需证，显然成立．


所以，原命题得证．


（2）【解析】∵a、b、c互不相等，


∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2ac，a2＋c2>2ac．


∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．


即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac．


【自我检测3】函数图像的形状如右图











【例1】求下列代数式的最值


（1）【解析】∵x>0，y>0，且，


∴，


当且仅当，即时，等号成立．


所以函数的最小值为．





（2）【解析】∵，∴，


∴


．


当且仅当，即时，等号成立．


所以函数的最小值为．


（3）【解析】，


当且仅当，即，显然，即时，等号成立．


所以函数的最小值为．





（4）【解析】因为9=x＋3y＋xy=x＋3y＋·(x·3y)≤x＋3y＋，所以(x＋3y)2＋12(x＋3y)−108≥0．所以x＋3y≥6或x＋3y≤−18(舍去)，当且仅当x=3，y=1时取“=”．








（5）【解析】解法一：因为，所以a＋b=ab⇒(a−1)·(b−1)=1，


所以=2×3=6(当且仅当，b=4时取“=”)．


解法二：因为，所以a＋b=ab，所以





(当且仅当，b=4时取“=”)．





【例2-1】【解析】因为a，b，c，eq \f(a2,b)，eq \f(b2,c)，eq \f(c2,a)均大于0，所以


eq \f(a2,b)＋b≥2eq \r(\f(a2,b)·b)＝2a． 当且仅当eq \f(a2,b)＝b时等号成立．





eq \f(b2,c)＋c≥2eq \r(\f(b2,c)·c)＝2b． 当且仅当eq \f(b2,c)＝c时等号成立．





eq \f(c2,a)＋a≥2eq \r(\f(c2,a)·a)＝2c， 当且仅当eq \f(c2,a)＝a时等号成立．





相加得eq \f(a2,b)＋b＋eq \f(b2,c)＋c＋eq \f(c2,a)＋a≥2a＋2b＋2c，


∴eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,c)＋eq \f(c2,a)≥a＋b＋c．








【例2-2】【解析】∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，


∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＝eq \f(a＋b＋c,a)＋eq \f(a＋b＋c,b)＋eq \f(a＋b＋c,c)


＝3＋eq \f(b,a)＋eq \f(c,a)＋eq \f(a,b)＋eq \f(c,b)＋eq \f(a,c)＋eq \f(b,c)＝3＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,b)＋\f(b,c)))


≥3＋2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＋2eq \r(\f(c,a)·\f(a,c))＋2eq \r(\f(c,b)·\f(b,c))＝3＋2＋2＋2＝9．


当且仅当a＝b＝c时取等号，


∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)>9．


【例3】【解析】 设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为x m，y m，水池的总造价为z元．根据题意，有


z＝150×eq \f(4 800,3)＋120(2×3x＋2×3y)


＝240 000＋720(x＋y)．


由容积为4 800 m3，可得3xy＝4 800．


因此xy＝1 600．


所以z≥240 000＋720×2eq \r(xy)，


当x＝y＝40时，上式等号成立，此时z＝297 600．


所以，将贮水池的池底设计成边长为40 m的正方形时总造价最低，


最低总造价是297 600元．





1．【解析】∵,,


∴(当且仅当,即时，取“=”)．又∵,∴，


∴当,时，有最小值，为．


2．【解析】设eq \r(xy)＝t(t>0)，由xy＝2x＋y＋6≥2eq \r(2xy)＋6，即t2≥2eq \r(2)t＋6，(t－3eq \r(2))(t＋eq \r(2))≥0，∴t≥3eq \r(2)，则xy≥18，当且仅当2x＝y,2x＋y＋6＝xy，即x＝3，y＝6时等号成立，∴xy的最小值为18．














3．【解析】每台机器运转x年的年平均利润为，而x>0，故，当且仅当x=5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．





4．【解析】由题意得，，当且仅当时等号成立，此时，，当且仅当时等号成立，故所求的最大值为1．








5．【解析】证明：因为x>0，y>0，z>0，


所以eq \f(y,x)＋eq \f(z,x)≥eq \f(2\r(yz),x)>0，


eq \f(x,y)＋eq \f(z,y)≥eq \f(2\r(xz),y)>0，


eq \f(x,z)＋eq \f(y,z)≥eq \f(2\r(xy),z)>0，


所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x)＋\f(z,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,y)＋\f(z,y)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,z)＋\f(y,z)))≥eq \f(8\r(yz)·\r(xz)·\r(xy),xyz)＝8，当且仅当x＝y＝z时等号成立．