初中数学人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用第2课时导学案及答案

这是一份初中数学人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用第2课时导学案及答案，共8页。学案主要包含了复习旧知，探究应用解直角三角形解决坡度，反思小结，尝试应用等内容，欢迎下载使用。

28.2.2 应用举例(第2课时)





学习目标


1.了解方位角、坡度、坡角的概念,能用解直角三角形的知识解决有关问题.


2.体验数形结合的数学思想和方法,提升分析问题、解决问题的能力.


学习过程


一、复习旧知


1.解直角三角形常用的几个关系?


答:





2.什么叫做方位角?


答:





二、探究应用解直角三角形解决方位角问题





【例1】(教材例5)如图所示,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯塔80 n mile的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处.这时,B处距离灯塔P有多远(结果取整数)?


解:











三、探究应用解直角三角形解决坡度、坡角问题





【例2】(教材P77练习2)


如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD,斜面坡度i=1∶1.5是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比,斜面坡度i=1 ∶3是指DE与CE的比,根据图中数据,求:


(1)坡角α和β的度数;


(2)斜坡AB的长(结果保留小数点后一位).


四、反思小结


1.方位角:


坡度:


坡角:


2.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是什么?


答:


五、尝试应用





1.如图,海中有一小岛A,它周围8海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在B点测得小岛A在北偏东60°方向上,航行12海里到达D点,这时测得小岛A在北偏东30°方向上.如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有触礁的危险?


【思路点拨】过A作AC⊥BD于点C,求出∠CAD、∠CAB的度数,求出∠BAD和∠ABD,根据等角对等边得出AD=BD=12,根据含30度角的直角三角形性质求出CD,根据勾股定理求出AC即可.


解:

















2.如图,利用土埂修筑一条渠道,在埂中间挖去深为0.6 m的一块(图中的阴影部分),其横截面是梯形ABCD,其中,AB=CD,已知渠道内坡度为1∶1.5,渠道地面宽BC为0.5 m.


(1)计算横截面ABCD的面积;











(2)求修一条长为100 m的这种渠道要挖去的土方数.











【思路点拨】(1)分别求得梯形的两个底面的长和高,利用梯形的面积计算即可;


(2)利用底面积×高=体积进行计算即可.


解:











评价作业


(满分100分)





1.(8分)如图所示,某商场自动扶梯的长l为10米,该自动扶梯到达的高度h为6米,自动扶梯与地面所成的角为θ,则tan θ等于( )


A.


B.


C.


D.





2.(8分)如图所示,小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路,经测得有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60度方向500 m处,那么水塔所在的位置到公路的距离AB是( )


A.250 m


B.250 m


C. m


D.250 m


3.(8分)一段公路的坡度为1∶3,某人沿这段公路路面前进100米,那么他上升的最大高度是( )


A.30米 B.10米


C.30米D.10米


4.(8分)一只船向正东方向航行,上午7时在灯塔A的正北方向的C处,上午9时到达灯塔A的北偏东60°方向的B处,已知船的速度为每小时20千米,那么AB的长是( )


A.千米B.千米


C.千米D.千米


5.(8分)已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1∶2.4,如果它把物体送到离地面10米高的地方,那么物体所经过的路程为 米.


6.(8分)一只船向正东方向航行,上午9点到达一座灯塔的西南方向68海里处,上午11点到达这座灯塔的正南方向,这只船航行的速度是 海里/时.(答案可带根号)





7.(8分)如图所示,一游人由山脚A沿坡角为30°的山坡行走600 m,到达一个景点B,再由B沿山坡BC行走200 m到达山顶C,若在山顶C处观测到景点B的俯角为45°,则山高CD等于 (结果用根号表示).





8.(10分)如图所示,一船在A处测得北偏东45°方向有一灯塔B,船向正东方向以每小时20海里的速度航行1.5小时到达C处时,又观测到灯塔B在北偏东15°方向上,求此时船与灯塔相距多少海里.























9.(10分)如图所示,沿江堤坝的横断面是梯形ABCD,坝顶AD=4 m,坝高AE=6 m,斜坡AB的坡比i=1∶2,∠C=60°,求斜坡AB,CD的长.














10.(12分)如图所示,某渔船在小岛O南偏东75°方向的B处遇险,在小岛O南偏西45°方向A处巡航的中国渔政船接到求救信号后立刻前往救援,此时,中国渔政船与小岛O相距8海里,渔船在中国渔政船的正东方向上.


(1)求∠BAO与∠ABO的度数(直接写出答案);











(2)若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援,能否在1小时内赶到?请说明理由.(参考数据:tan 75°≈3.73,tan 15°≈0.27,≈1.41,≈2.45)














11.(12分)李明同学积极响应学校号召,利用假期参加了班级组织的“研学旅行”活动,在参观某红色景区时,李明站在台阶DF上发现了对面山坡BC上有一块竖立的标语牌AB,他在台阶顶端F处测得标语牌顶点A的仰角为45°,标语牌底端B的仰角为32°,如图,已知台阶高EF为3米,山坡坡面BC的长为25米,山坡BC的坡度为1∶0.75,求标语牌AB的高度.(结果精确到0.1米,参考数据sin 32°≈0.53,cs 32°≈0.85,tan 32°≈0.62)

















参考答案


学习过程


一、复习旧知


1.答:解直角三角形常用的关系有3个:


(1)三边之间关系:a2+b2=c2(勾股定理);


(2)两锐角之间关系:∠A+∠B=90°;


(3)边角之间关系:sin A=,cs A=,tan A=.


2.答:以正北、正南方向为基准,描述物体位置的角.


二、探究应用解直角三角形解决方位角问题


解:在Rt△APC中,


PC=PA·cs(90°-65°)


=80·cs 25°≈72.505.


在Rt△BPC中,∠B=34°,


∵sin B=,


∴PB=≈130(n mile).


因此,当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处时,它距离灯塔P大约130 n mile.


三、探究应用解直角三角形解决坡度、坡角问题


解:(1)由已知得tan α=,∴α≈33.69°,tan β=,∴β≈18.43°.


(2)在Rt△ABF中,∵sin α=,∴AB=≈10.9(m).


四、反思小结


1.以正北、正南方向为基准,描述物体位置的角.


斜坡的铅直高度与水平宽度的比.


斜坡的坡面与水平面的夹角.


2.答:(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题);


(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数等解直角三角形;


(3)得到数学问题的答案;


(4)得到实际问题的答案.


五、尝试应用





1.解:只要求出A到BD的最短距离是否在以A为圆心,以8海里的圆内或圆上即可,


如图,过A作AC⊥BD于点C,则AC的长是A到BD的最短距离,


∵∠CAD=30°,∠CAB=60°,


∴∠BAD=60°-30°=30°,∠ABD=90°-60°=30°,


∴∠ABD=∠BAD,


∴BD=AD=12海里,


∵∠CAD=30°,∠ACD=90°,


∴CD=AD=6海里,


由勾股定理得:AC==6≈10.392>8,


即渔船继续向正东方向行驶,没有触礁的危险.


2.解:(1)∵渠道内坡度为1∶1.5,


∴BE∶AE=1∶1.5,


∵BE=0.6米,


∴AE=0.9米,


∴AD=AE+EF+FD=2×AE+BC=2×0.9+0.5=2.3(米),


∴截面ABCD的面积为(AD+BC)×BE=×(2.3+0.5)×0.6=0.84(平方米);


(2)修一条长为100 m的这种渠道要挖去的土方数为100×0.84=84(立方米).


评价作业


1.A 2.A 3.D 4.D


5.26 6.17 7.(100+300) m








8.解:如图所示,过C作CD⊥AB,垂足为D,过C作CE⊥AC,交AB于E.在Rt△ACD中,∠DAC=45°,AC=20×1.5=30,∴CD=ACsin 45°=30×=15,在Rt△BCD中,∠BCD=∠BCE+∠ECD=45°+15°=60°,∴BC==30(海里).答:此时船与灯塔相距30海里.





9.解:∵斜坡AB的坡比i=1∶2,∴AE∶BE=1∶2.又AE=6 m,∴BE=12 m,∴AB==6(m),作DF⊥BC于F(如图所示),则得矩形AEFD,有DF=AE=6 m,∵∠C=60°,∴CD==4(m).答:斜坡AB,CD的长分别是6 m,4 m.





10.解:(1)∠BAO=45°,∠ABO=15°.


(2)能.过点O作OC⊥AB于点C,如图所示,则△AOC与△BOC都是直角三角形,由(1)得∠BAO=45°,∠ABO=15°,∴△AOC是等腰直角三角形,∴AC=OC.在Rt△AOC中,AC=OAcs 45°=8×=4≈5.64,∴OC=AC≈5.64,在Rt△BOC中,BC=≈20.89.∴AB=AC+BC≈5.64+20.89=26.53(海里).∵中国渔政船的速度是每小时28海里,∴中国渔政船能在1小时内赶到.





11.解:延长AB交ED的延长线于点G,过点F作FH垂直于AB的延长线于点H,


即∠AHF=90°,∠AGE=90°,


∵山坡坡面BC的长为25米,山坡BC的坡度为1∶0.75,


∴,BG2+CG2=BC2.


∴BG=20.


∵EF=HG=3,


∴BH=BG-HG=17.


∵∠AFH=45°,∠BFH=32°,tan 32°≈0.62,


∴AH=FH,≈0.62.


∴AH=FH≈≈27.42,


∴AB=AH-BH≈27.42-17≈10.4(米).


答:标语牌AB的高度为10.4米.