2019年全国各地中考数学真题分类汇编 专题9 一元二次方程及其应用(含解析)


专题训练9 一元二次方程及其应用
一.选择题
1.（2019•湖北省鄂州市•3分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝5，则m的值为（　　）
A． B． C． D．0
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2＝4，代入代数式计算即可．
【解答】解：∵x1+x2＝4，
∴x1+3x2＝x1+x2+2x2＝4+2x2＝5，
∴x2＝，
把x2＝代入x2﹣4x+m＝0得：（）2﹣4×+m＝0，
解得：m＝，
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝是解题的关键．
2.（2019•湖北省仙桃市•3分）若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（　　）
A．12 B．10 C．4 D．﹣4
【分析】根据根与系数的关系可得α+β＝2，αβ＝﹣4，再利用完全平方公式变形α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ，代入即可求解；
【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，
∴α+β＝2，αβ＝﹣4，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝12；
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系；熟练掌握韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键．
3.（2019•湖北省咸宁市•3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4m≥0，
解得：m≤1．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．
4.（2019•四川省达州市•3分）某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（　　）
A．2500（1+x）2＝9100
B．2500（1+x%）2＝9100
C．2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100
D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100
【分析】分别表示出5月，6月的营业额进而得出等式即可．
【解答】解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程得：
2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100．
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题关键．
5. （2019•广东广州•3分）关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，则k的值（　　）
A．0或2 B．﹣2或2 C．﹣2 D．2
【分析】由根与系数的关系可得出x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2，结合（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3可求出k的值，根据方程的系数结合根的判别式△≥0可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而可确定k的值，此题得解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2．
∵（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，即（x1+x2）2﹣2x1x2﹣4＝﹣3，
∴（k﹣1）2+2k﹣4﹣4＝﹣3，
解得：k＝±2．
∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有实数根，
∴△＝[﹣（k﹣1）]2﹣4×1×（﹣k+2）≥0，
解得：k≥2﹣1或k≤﹣2﹣1，
∴k＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，求出k的值是解题的关键．
6. （2019•广西北部湾•3分）扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度.设花带的宽度为xm，则可列方程为 （　　）
A．(30﹣x) (20﹣x) =×20× 30 B． (30﹣2x) (20﹣x) =×20× 30
C． 30 x+2×20x) =×20× 30 D． (30﹣2x) (20﹣x) =×20× 30
【答案】D
【解析】
解：设花带的宽度为xm，则可列方程为（30-2x）（20-x）=×20×30，
故选：D．
根据空白区域的面积=矩形空地的面积可得．
本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系．
7. （2019•贵州省铜仁市•4分）一元二次方程4x2﹣2x﹣1＝0的根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
B．【解答】解：∵△＝（﹣2）2﹣4×4×（﹣1）＝20＞0，
∴一元二次方程4x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
8 （2019•河北省•2分）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（　　）
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根
A 【解答】解：∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1，
∴（﹣1）2﹣4+c＝0，
解得：c＝3，
故原方程中c＝5，
则b2﹣4ac＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0，
则原方程的根的情况是不存在实数根．
9. （2019•贵州省铜仁市•4分）某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁、三保障”的住房保障工作，去年已投入5亿元资金，并计划投入资金逐年增长，明年将投入7.2亿元资金用于保障性住房建设，则这两年投入资金的年平均增长率为　 　．
20%．【解答】解：设这两年中投入资金的平均年增长率是x，由题意得：
5（1+x）2＝7.2，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意舍去）．
答：这两年中投入资金的平均年增长率约是20%．
10.（2019浙江丽水3分）用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣3）2＝17 B．（x﹣3）2＝14 C．（x﹣6）2＝44 D．（x﹣3）2＝1
【分析】方程利用完全平方公式变形即可得到结果．
【解答】解：用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果为（x﹣3）2＝17，
故选：A．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
11．（2019•山东威海•3分）已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2019的值是（　　）
A．2023 B．2021 C．2020 D．2019
【分析】根据题意可知b＝3﹣b2，a+b＝﹣1，ab﹣3，所求式子化为a2﹣b+2019＝a2﹣3+b2+2019＝（a+b）2﹣2ab+2016即可求解；
【解答】解：a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴b＝3﹣b2，a+b＝﹣1，ab﹣3，
∴a2﹣b+2019＝a2﹣3+b2+2019＝（a+b）2﹣2ab+2016＝1+6+2016＝2023；
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入是解题的关键．
12．（2019•山东潍坊•3分）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为（　　）
A．m＝﹣2 B．m＝3 C．m＝3或m＝﹣2 D．m＝﹣3或m＝2
【分析】设x1，x2是x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根，由根与系数的关系得x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2+m，再由x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2代入即可；
【解答】解：设x1，x2是x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根，
∴△＝﹣4m≥0，
∴m≤0，
∴x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2+m，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝4m2﹣2m2﹣2m＝2m2﹣2m＝12，
∴m＝3或m＝﹣2；
∴m＝﹣2；
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系；牢记韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键．
13．(2019•浙江丽水•3分)用配方法解方程x2－6x－8＝0时，配方结果正确的是(　　)
A．(x－3)2＝17 B．(x－3)2＝14 C．(x－6)2＝44 D．(x－3)2＝1
【考点】用配方法解一元二次方程．
【分析】方程利用完全平方公式变形即可得到结果．
【解答】解：用配方法解方程x2－6x－8＝0时，配方结果为(x－3)2＝17，故选A．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
14. (2019湖北咸宁市3分)若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4m≥0，
解得：m≤1．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．
15 （2019湖北省鄂州市）（3分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝5，则m的值为（　　）
A． B． C． D．0
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2＝4，代入代数式计算即可．
【解答】解：∵x1+x2＝4，
∴x1+3x2＝x1+x2+2x2＝4+2x2＝5，
∴x2＝，
把x2＝代入x2﹣4x+m＝0得：（）2﹣4×+m＝0，
解得：m＝，
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝是解题的关键．
16. (2019湖北仙桃)（3分）若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（　　）
A．12 B．10 C．4 D．﹣4
【分析】根据根与系数的关系可得α+β＝2，αβ＝﹣4，再利用完全平方公式变形α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ，代入即可求解；
【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，
∴α+β＝2，αβ＝﹣4，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝12；
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系；熟练掌握韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键．
二.填空题
1.（2019•湖北省荆门市•3分）已知x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，则k的值为　1　．
【分析】根据根与系数的关系结合（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，根据方程的系数结合根的判别式△＞0，可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而即可确定k值，此题得解．
【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣（3k+1），x1x2＝2k2+1．
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，即x1x2﹣（x1+x2）+1＝8k2，
∴2k2+1+3k+1+1＝8k2，
整理，得：2k2﹣k﹣1＝0，
解得：k1＝﹣，k2＝1．
∵关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，
∴△＝（3k+1）2﹣4×1×（2k2+1）＞0，
解得：k＜﹣3﹣2或k＞﹣3+2，
∴k＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，利用根与系数的关系结合（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，求出k值是解题的关键．
2. （2019•甘肃庆阳•4分）关于x的一元二次方程x2+x+1＝0有两个相等的实数根，则m的取值为　4　．
【分析】要使方程有两个相等的实数根，即△＝b2﹣4ac＝0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数．
【解答】解：
由题意，△＝b2﹣4ac＝（）2﹣4＝0
得m＝4
故答案为4
【点评】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0 时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0 时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立．
3．（2019•山东青岛•3分）若关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为　　．
【分析】根据“关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于m的一元一次方程，解之即可．
【解答】解：根据题意得：
△＝1﹣4×2m＝0，
整理得：1﹣8m＝0，
解得：m＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．
4．（2019•山东泰安•4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是　k　．
【分析】根据方程有两个不相等的实数根可得△＝（2k﹣1）2﹣4（k2+3）＞0，求出k的取值范围；
【解答】解：∵原方程有两个不相等的实数根，
∴△＝（2k﹣1）2﹣4（k2+3）＝﹣4k+1﹣12＞0，
解得k；
故答案为：k．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
5．（2019•山东威海•3分）一元二次方程3x2＝4﹣2x的解是　x1＝，x2＝　．
【分析】直接利用公式法解方程得出答案．
【解答】解：3x2＝4﹣2x
3x2+2x﹣4＝0，
则b2﹣4ac＝4﹣4×3×（﹣4）＝52＞0，
故x＝，
解得：x1＝，x2＝．
故答案为：x1＝，x2＝．
【点评】此题主要考查了公式法解方程，正确掌握公式法是解题关键．
6. (2019湖北荆门)（3分）已知x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，则k的值为　1　．
【分析】根据根与系数的关系结合（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，根据方程的系数结合根的判别式△＞0，可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而即可确定k值，此题得解．
【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣（3k+1），x1x2＝2k2+1．
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，即x1x2﹣（x1+x2）+1＝8k2，
∴2k2+1+3k+1+1＝8k2，
整理，得：2k2﹣k﹣1＝0，
解得：k1＝﹣，k2＝1．
∵关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，
∴△＝（3k+1）2﹣4×1×（2k2+1）＞0，
解得：k＜﹣3﹣2或k＞﹣3+2，
∴k＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，利用根与系数的关系结合（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，求出k值是解题的关键．
三.解答题
1.（2019•湖北省鄂州市•8分）已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程的两根分别是x1、x2，且+＝x1•x2，试求k的值．
【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有两个不相等的实数根得到△＝（﹣2）2﹣4（2k﹣1）≥0，求出k的取值范围即可；
（2）根据根与系数的关系得出方程解答即可．
【解答】（1）解：∵原方程有实数根，
∴b2﹣4ac≥0∴（﹣2）2﹣4（2k﹣1）≥0
∴k≤1
（2）∵x1，x2是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：
x1+x2 ＝2，x1 •x2 ＝2k﹣1
又∵+＝x1•x2，
∴
∴（x1+x2）2﹣2x1 x2 ＝（x1 •x2）2
∴22﹣2（2k﹣1）＝（2k﹣1）2
解之，得：．经检验，都符合原分式方程的根
∵k≤1
∴．
【点评】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出k的取值范围，此题难度不大．
2.（2019•湖北省随州市•7分）已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1+x2=3，求k的值及方程的根．
【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+1=0有两个不相等的实数根，∴△＞0，∴（2k+1）2-4（k2+1）＞0，
整理得，4k-3＞0，解得：k＞，故实数k的取值范围为k＞；
（2）∵方程的两个根分别为x1，x2，
∴x1+x2=2k+1=3，解得：k=1，∴原方程为x2-3x+2=0，∴x1=1，x2=2．
【解析】（1）由于关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+1=0有两个不相等的实数根，可知△＞0，据此进行计算即可；
（2）利用根与系数的关系得出x1+x2=2k+1，进而得出关于k的方程求出即可．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．以及根与系数的关系．

3.（2019•四川省广安市•10分）已知关于的一元二次方程.
（1）求证：无论为任何实数，此方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根为、，满足，求的值；
（3）若△的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根、，求的内切圆半径.
（1）证明：
，……………………2分
无论为任何实数时，此方程总有两个实数根. ………………3分
（2）由题意得：，， ……………………4分
，，即， ……………………5分
解得：； ……………………6分
（3）（3）解方程得：，， ………………7分
根据题意得：，即，………………8分
设直角三角形的内切圆半径为，如图，
由切线长定理可得：，
直角三角形的内切圆半径=； ………………10分
4. （2019•广东广州•12分）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．
（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？
（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．
【分析】（1）2020年全省5G基站的数量＝目前广东5G基站的数量×4，即可求出结论；
（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，根据2020年底及2022年底全省5G基站数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）1.5×4＝6（万座）．
答：计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座．
（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，
依题意，得：6（1+x）2＝17.34，
解得：x1＝0.7＝70%，x2＝﹣2.7（舍去）．
答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5. （2019·广西贺州·8分）2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元．
（1）求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率；
（2）若年平均增长率保持不变，2019年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4200元？
【分析】（1）设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，根据该该贫困户2016年及2018年家庭年人均纯收入，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其中正值即可得出结论；
（2）根据2019年该贫困户的家庭年人均纯收入＝2018年该贫困户的家庭年人均纯收入×（1+增长率），可求出2019年该贫困户的家庭年人均纯收入，再与4200比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，
依题意，得：2500（1+x）2＝3600，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%．

（2）3600×（1+20%）＝4320（元），
4320＞4200．
答：2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4200元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6. （2019•黑龙江省绥化市•6分）已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x2+x1x2＝4时，求k的值．
考点：一元二次方程根的判别式，韦达定理。
解析：

2. （2019•黑龙江省齐齐哈尔市•5分）解方程：x2+6x＝﹣7
【分析】方程两边都加上9，配成完全平方式，再两边开方即可得．
【解答】解：∵x2+6x＝﹣7，
∴x2+6x+9＝﹣7+9，即（x+3）2＝2，
则x+3＝±，
∴x＝﹣3±，
即x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣．
7.（2019湖南常德5分）解方程：x2﹣3x﹣2＝0．
【分析】公式法的步骤：①化方程为一般形式；②找出a，b，c；③求b2﹣4ac；④代入公式x＝．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2；
∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝9+8＝17；
∴x＝
＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程的解法．要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解．此法适用于任何一元二次方程．
8．(2019•湖南常德•5分)解方程：x2－3x－2＝0．
【考点】一元二次方程的解法．
【分析】公式法的步骤：①化方程为一般形式；②找出a，b，c；③求b2－4ac；④代入公式x＝．
【解答】解：∵a＝1，b＝－3，c＝－2；
∴b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－2)＝9+8＝17；
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程的解法．要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解．此法适用于解任何一元二次方程．
9．(2019•湖北宜昌•10分)HW公司2018年使用自主研发生产的“QL”系列甲、乙、丙三类芯片共2800万块，生产了2800万部手机，其中乙类芯片的产量是甲类芯片的2倍，丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片产量的和还多400万块．这些“QL”芯片解决了该公司2018年生产的全部手机所需芯片的10%．
(1)求2018年甲类芯片的产量；
(2)HW公司计划2020年生产的手机全部使用自主研发的“QL”系列芯片．从2019年起逐年扩大“QL”芯片的产量，2019年、2020年这两年，甲类芯片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数m%，乙类芯片的产量平均每年增长的百分数比m%小1，丙类芯片的产量每年按相同的数量递增.2018年到2020年，丙类芯片三年的总产量达到1.44亿块．这样，2020年的HW公司的手机产量比2018年全年的手机产量多10%，求丙类芯片2020年的产量及m的值．
【考点】一元二次方程应用题．
【分析】(1)设2018年甲类芯片的产量为x万块，由题意列出方程，解方程即可；
(2)2018年万块丙类芯片的产量为3x+400＝1600万块，设丙类芯片的产量每年增加的熟练为y万块，则1600+1600+y+1600+2y＝14400，解得：y＝3200，得出丙类芯片2020年的产量为1600+2×3200＝8000万块，2018年HW公司手机产量为2800÷10%＝28000万部，由题意得出400(1+m%)2+2×400(1+m%﹣1)2+8000＝28000×(1+10%)，设m%＝t，化简得：3t2+2t﹣56＝0，解得：t＝4，或t＝﹣（舍去），即可得出答案．
【解答】解：(1)设2018年甲类芯片的产量为x万块，
由题意得：x+2x+（x+2x）+400＝2800，解得：x＝400，
答：2018年甲类芯片的产量为400万块；
(2)2018年万块丙类芯片的产量为3x+400＝1600万块，
设丙类芯片的产量每年增加的数量为y万块，
则1600+1600+y+1600+2y＝14400，解得：y＝3200，
∴丙类芯片2020年的产量为1600+2×3200＝8000万块，
2018年HW公司手机产量为2800÷10%＝28000万部，
400(1+m%)2+2×400(1+m%－1)2+8000＝28000×(1+10%)，
设m%＝t，化简得：3t2+2t－56＝0，
解得：t＝4，或t＝－（舍去），
∴t＝4，∴m%＝4，∴m＝400；
答：丙类芯片2020年的产量为8000万块，m＝400．
【点评】本题考查了一元一次方程与一元二次方程的应用，弄清数量关系列出方程是解题的关键．
10. （2019黑龙江省绥化）（6分）已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x2+x1x2＝4时，求k的值．
考点：一元二次方程根的判别式，韦达定理。
解析：


11．（2019湖北省鄂州市）（8分）已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程的两根分别是x1、x2，且+＝x1•x2，试求k的值．
【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有两个不相等的实数根得到△＝（﹣2）2﹣4（2k﹣1）≥0，求出k的取值范围即可；
（2）根据根与系数的关系得出方程解答即可．
【解答】（1）解：∵原方程有实数根，
∴b2﹣4ac≥0∴（﹣2）2﹣4（2k﹣1）≥0
∴k≤1
（2）∵x1，x2是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：
x1+x2 ＝2，x1 •x2 ＝2k﹣1
又∵+＝x1•x2，
∴
∴（x1+x2）2﹣2x1 x2 ＝（x1 •x2）2
∴22﹣2（2k﹣1）＝（2k﹣1）2
解之，得：．经检验，都符合原分式方程的根
∵k≤1
∴．
【点评】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出k的取值范围，此题难度不大