2023年全国各地中考数学真题分类汇编之一元二次方程及其应用(含解析)

这是一份2023年全国各地中考数学真题分类汇编之一元二次方程及其应用(含解析)，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 一元二次方程及其应用


一、单选题
1．（2023·四川泸州·统考中考真题）关于的一元二次方程的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数的取值有关
2．（2023·天津·统考中考真题）若是方程的两个根，则（    ）
A． B． C． D．
3．（2023·广西·统考中考真题）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（    ）
A． B．
C． D．
4．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（    ）
  
A． B． C．或 D．
5．（2023·河南·统考中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
6．（2023·四川眉山·统考中考真题）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

7．（2023·新疆·统考中考真题）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ）
A． B． C． D．
8．（2023·四川乐山·统考中考真题）若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（    ）
A．4 B．8 C．12 D．16
9．（2023·山东滨州·统考中考真题）一元二次方程根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能判定
10．（2023·全国·统考中考真题）一元二次方程根的判别式的值是（    ）
A．33 B．23 C．17 D．
11．（2023·四川·统考中考真题）关于x的一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
12．（2023·山东聊城·统考中考真题）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（    ）
A． B． C．且 D．且
13．（2023·山东·统考中考真题）一元二次方程的两根为，则的值为（    ）
A． B． C．3 D．
14．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）用配方法解方程时，配方后正确的是（    ）
A． B． C． D．

二、填空题
15．（2023·湖南常德·统考中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________．
16．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）已知、是方程的两根，则代数式的值为_________．
17．（2022秋·河南新乡·九年级统考期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_____________．
18．（2023·四川宜宾·统考中考真题）若关于x的方程两根的倒数和为1，则m的值为___________．
19．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）已知一元二次方程的两根为与，则的值为_______．
20．（2023·重庆·统考中考真题）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为___________．
21．（2023·四川达州·统考中考真题）已知是方程的两个实数根，且，则的值为___________．
22．（2023·四川遂宁·统考中考真题）若A.b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_________．
23．（2023·四川眉山·统考中考真题）已知方程的根为，则的值为____________．
24．（2023·湖南怀化·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为__________，另一个根为__________．
25．（2023·甘肃武威·统考中考真题）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则________（写出一个满足条件的值）．
26．（2023·上海·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么a的取值范围是________．
27．（2023·湖南·统考中考真题）已知关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是________．
28．（2023·山东枣庄·统考中考真题）若是关x的方程的解，则的值为___________．
29．（2022春·江苏泰州·九年级校考阶段练习）已知一元二次方程x2﹣3x＋1＝0有两个实数根x1，x2，则x1＋x2﹣x1x2的值等于_____．
30．（2023·四川内江·统考中考真题）已知A.b是方程的两根，则___________．
31．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数_____________．
32．（2023·湖南·统考中考真题）某校截止到年底，校园绿化面积为平方米．为美化环境，该校计划年底绿化面积达到平方米．利用方程想想，设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意列方程为__________．
33．（2022秋·北京东城·九年级景山学校校考阶段练习）关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．
34．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数_________．


三、解答题
35．（2023秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）解方程：．




36．（2023·辽宁大连·统考中考真题）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求年买书资金的平均增长率．




37．（2023·湖北·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值．




38．（2023·四川南充·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程
(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；
(2)若，是方程的两个实数根，且，求m的值．




39．（2023·浙江杭州·统考中考真题）设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①；②；③；④．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．




40．（2023·湖南郴州·统考中考真题）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？




41．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)当时，用配方法解方程．

参考答案


一、单选题
1．【答案】C
【分析】根据一元二次方程根的判别式求出，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故C正确．
故选：C．
【点拨】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
2．【答案】A
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得．
【详解】解：方程中的，
是方程的两个根，
，，
故选：A．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
3．【答案】B
【分析】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可．
【详解】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，
根据题意得，．
故选：B．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
4．【答案】A
【分析】设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，根据花草的种植面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，
依题意得：
解得：，（不合题意，舍去），
∴小路宽为．
故选：A．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．【答案】A
【分析】对于，当, 方程有两个不相等的实根，当, 方程有两个相等的实根，, 方程没有实根，根据原理作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
所以原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
6．【答案】D
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
7．【答案】D
【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即计算即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点拨】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键．
8．【答案】C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点拨】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键．
9．【答案】A
【分析】根据题意，求得，根据一元二次方程根的判别式的意义，即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程中，，
∴，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键．
10．【答案】C
【分析】直接利用一元二次方程根的判别式求出答案．
【详解】解：∵，，，
∴．
故选：C．
【点拨】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，正确记忆公式是解题关键．
11．【答案】C
【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得．
【详解】解：，
其中，，，
∴，
∴方程没有实数根．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
12．【答案】D
【分析】由于关于的一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知，且，据此列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得，，且，
解得，，且.
故选：D．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
13．【答案】C
【分析】先求得，，再将变形，代入与的值求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两根为，
∴，
∴


．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记，是解决本题的关键．
14．【答案】C
【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上，即可求解．
【详解】解：
移项得，
两边同时加上，即
∴，
故选：C．
【点拨】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．

二、填空题
15．【答案】
【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，建立关于k的不等式，解不等式即可得出答案．
【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得．
故答案为：．
【点拨】此题考查了根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：（1）⇔方程有两个不相等的实数根；（2）⇔方程有两个相等的实数根；（3）⇔方程没有实数根．
16．【答案】
【分析】根据、是一元二次方程的两个根，则有，求解即可．
【详解】解：由题意得
，
原式．
故答案：．
【点拨】本题考查了韦达定理，掌握定理是解题的关键．
17．【答案】m＞-1
【分析】根据有两个不相等的实数根得到＞0，解不等式即可．
【详解】解：根据题意，得＞0，
解得 m＞-1；
故答案为m＞-1．
【点拨】本题考查一元二次方程的判别式，解决问题的关键是掌握判别式和方程根之间的关系：当＞0时，原方程有两个不相等的实数根，当=0时，原方程有两个相等的实数根，当＜0时，原方程无实数根．
18．【答案】2
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：设方程的两个根分别为a，b，
由题意得：，，
∴，
∴，解得：，
经检验：是分式方程的解，
检验：，
∴符合题意，
∴．
故答案为：2．
【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
19．【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，将分式通分，代入即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程，即，的两根为与，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
20．【答案】
【分析】设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意得，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，根据题意列出方程是解题的关键．
21．【答案】7
【分析】根据根与系数的关系求出与的值，然后整体代入求值即可．
【详解】∵是方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
，
，
∴解得．
故答案为：7．
【点拨】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．
22．【答案】2
【分析】根据根与系数的关系得到，由此即可得到答案．
【详解】解：∵A.b是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．
23．【答案】6
【分析】解方程，将解得的代入即可解答．
【详解】解：，
对左边式子因式分解，可得
解得，，
将，代入，
可得原式，
故答案为：6．
【点拨】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握计算方法是解题的关键．
24．【答案】；
【分析】将代入原方程，解得，根据一元二次方程根与系数的关系，得出，即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为，
∴
解得：，
设原方程的另一个根为，则，
∵
∴
故答案为：．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
25．【答案】（答案不唯一，合理即可）
【分析】先根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根得到，解得，根据的取值范围，选取合适的值即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
当时，满足题意，
故答案为：（答案不唯一，合理即可）.
【点拨】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握当时，一元二次方程有两个不相等的实数根是解题的关键．
26．【答案】
【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根，
∴，
解得：；
故答案为：．
【点拨】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
27．【答案】5
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，根据该方程一个根为，即可求出另一个根．
【详解】解：根据题意可得：，
∴，
∵该方程一个根为，令，
∴，解得：．
故答案为：5．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程有两根为，，则，．
28．【答案】2019
【分析】将代入方程，得到，利用整体思想代入求值即可．
【详解】解：∵是关x的方程的解，
∴，即：，
∴



；
故答案为：2019．
【点拨】本题考查方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．
29．【答案】2
【分析】先根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝1，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据根与系数的关系得：
x1+x2＝3，x1x2＝1，
∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣1＝2．
故答案为：2．
【点拨】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．熟练掌握根与系数的关系是解决本题的关键．
30．【答案】
【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得，从而得到，然后代入，即可求解．
【详解】解：∵a，b是方程的两根，
∴，
∴，
∴


．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键．
31．【答案】
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，得出，代入已知等式，即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为，
∴
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
32．【答案】
【分析】设这两年绿化面积的年平均增长率为，依题意列出一元二次方程即可求解．
【详解】解：设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意列方程为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
33．【答案】k＜1．
【分析】由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【详解】∵关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，
∴△=，
解得：，
故答案为：.
【点拨】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式．熟知“在一元二次方程中，若方程有两个不相等的实数根，则△=”是解答本题的关键.
34．【答案】3
【分析】利用一元二次方程有两个不相等的实数根求出m的取值范围，由根与系数关系得到，代入，解得的值，根据求得的m的取值范围，确定m的值即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
∵，，
∴，
解得（不合题意，舍去），
∴
故答案为：3.
【点拨】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系数关系的内容是解题的关键．



三、解答题
35．【答案】，
【分析】首先将方程进行因式分解，然后根据因式分解的结果求出方程的解．
【详解】解：

∴或
∴，．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法求解方程．
36．【答案】
【分析】设年买书资金的平均增长率为，根据2022年买书资金2020年买书资金建立方程，解方程即可得．
【详解】解：设年买书资金的平均增长率为，
由题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
答：年买书资金的平均增长率为．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
37．【答案】(1)见解析；(2)的值为1或
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：∵的两个实数根为，
∴．
∵，
∴，．
∴．
即．
解得或．
∴的值为1或．
【点拨】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
38．【答案】(1)见解析；(2)或
【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入得到求解即可得到答案．
【详解】（1）证明：关于的一元二次方程，
∴，，，
∴，
∵，即，
∴不论为何值，方程总有实数根；
（2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴，整理，得，解得，，
∴m的值为或．
【点拨】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．
39．【答案】选②，，；选③，，
【分析】先根据判别式判断一元二次方程根的情况，再利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解：中，
①时，，方程有两个相等的实数根；
②时，，方程有两个不相等的实数根；
③时，，方程有两个不相等的实数根；
④时，，方程没有实数根；
因此可选择②或③．
选择②时，
，
，
，
，；
选择③时，
，
，
，
，．
【点拨】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，解一元二次方程，解题的关键是掌握：对于一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程没有实数根．
40．【答案】(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为；(2)5月份后10天日均接待游客人数最多是1万人
【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，根据题意，列出不等式进行计算即可．
【详解】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，由题意，得：
，
解得：（负值已舍掉）；
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，由题意，得：
，
解得：；
∴5月份后10天日均接待游客人数最多是1万人．
【点拨】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和不等式，是解题的关键．
41．【答案】(1)且；(2)，
【分析】（1）根据题意，可得，注意一元二次方程的系数问题，即可解答，
（2）将代入，利用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：依题意得：，
解得且；
（2）解：当时，原方程变为：，
则有：，
，
，
方程的根为，．
【点拨】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次方程是解题的关键．