中考数学真题分类汇编第一期专题9一元二次方程及其应用试题含解析
展开1. (2018•山东菏泽•3分)关于x的一元二次方程(k+1)x2﹣2x+1=0有两个实数根,则k的取值范围是( )
A.k≥0B.k≤0C.k<0且k≠﹣1D.k≤0且k≠﹣1
【考点】AA:根的判别式;A1:一元二次方程的定义.
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k+1≠0且△=(﹣2)2﹣4(k+1)≥0,然后求出两个不等式的公共部分即可.
【解答】解:根据题意得k+1≠0且△=(﹣2)2﹣4(k+1)≥0,
解得k≤0且k≠﹣1.
故选:D.
【点评】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△<0时,方程无实数根.
2. (2018•江苏盐城•3分)已知一元二次方程 有一个根为1,则 的值为( )
A. -2 B. 2 C. -4 D. 4
8.【答案】B
【考点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解:把x=1代入方程可得1+k-3=0,解得k=2。故答案为:B
【分析】将x=1代入原方程可得关于k的一元一次方程,解之即可得k的值。
3.(2018•山西•3分)用配方法将二次函 数y x2 8x 9 化为 y ax h2 k 的形式为()
A. y x 42 7 B.y x 42 25 C.y x 42 7 D.y x 42 25
【答案】 B
【考点】 二 次 函 数 的 顶 点 式
【解析】 y x2 8x 9 x2 8x 16 16 9 x 42 25
4. (2018•山西•3分)下列一元二次方程 中 ,没有实数根的是 ( )
A. x2 2x 0 B.x2 4x 1 0 C.2x2 4x 3 0 D. 3x2 5x 2
【答案】 C
【考点】 一 元 二 次 方 程 根 的 判 别 式
【解析 】△> 0,有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ,△ =0,有 两 个 相 等 的 实 数 根 ,△ < 0,没 有 实 数 根 .
A.△ =4B.△ =20C. △ =-8D. △ =1
5.(2018·山东临沂·3分)一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化为( )
A.(y+)2=1B.(y﹣)2=1C.(y+)2=D.(y﹣)2=
【分析】根据配方法即可求出答案.
【解答】解:y2﹣y﹣=0
y2﹣y=
y2﹣y+=1
(y﹣)2=1
故选:B.
【点评】本题考查一元二次方程的配方法,解题的关键是熟练运用配方法,本题属于基础题型.
6. (2018•安徽•4分) 若关于的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根,则实数a的值为( )
A. B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】【分析】整理成一般式后,根据方程有两个相等的实数根,可得△=0,得到关于a的方程,解方程即可得.
【详解】x(x+1)+ax=0,
x2+(a+1)x=0,
由方程有两个相等的实数根,可得△=(a+1)2-4×1×0=0,
解得:a1=a2=-1,
故选A.
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
7. (2018•甘肃白银,定西,武威•3分) 关于的一元二次方程有两个实数根,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】关于的一元二次方程有两个实数根,得解不等式即可.
【解答】关于的一元二次方程有两个实数根,
得
解得:
故选C.
【点评】考查一元二次方程根的判别式,
当时,方程有两个不相等的实数根.
当时,方程有两个相等的实数根.
当时,方程没有实数根.
8. (2018•安徽•4分) 据省统计局发布,2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%假定2018年的平均增长率保持不变,2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件,则( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】【分析】根据题意可知2017年我省有效发明专利数为(1+22.1%)a万件,2018年我省有效发明专利数为(1+22.1%)•(1+22.1%)a,由此即可得.
【详解】由题意得:2017年我省有效发明专利数为(1+22.1%)a万件,
2018年我省有效发明专利数为(1+22.1%)•(1+22.1%)a万件,即b=(1+22.1%)2a万件,
故选B.
【点睛】本题考查了增长率问题,弄清题意,找到各量之间的数量关系是解题的关键.
9. (2018年江苏省泰州市•3分)已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根,下列结论一定正确的是( )
A.x1≠x2B.x1+x2>0C.x1•x2>0D.x1<0,x2<0
【分析】A、根据方程的系数结合根的判别式,可得出△>0,由此即可得出x1≠x2,结论A正确;
B、根据根与系数的关系可得出x1+x2=a,结合a的值不确定,可得出B结论不一定正确;
C、根据根与系数的关系可得出x1•x2=﹣2,结论C错误;
D、由x1•x2=﹣2,可得出x1<0,x2>0,结论D错误.
综上即可得出结论.
【解答】解:A∵△=(﹣a)2﹣4×1×(﹣2)=a2+8>0,
∴x1≠x2,结论A正确;
B、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根,
∴x1+x2=a,
∵a的值不确定,
∴B结论不一定正确;
C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根,
∴x1•x2=﹣2,结论C错误;
D、∵x1•x2=﹣2,
∴x1<0,x2>0,结论D错误.
故选:A.
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系,牢记“当△>0时,方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.
10. (2018·四川宜宾·3分)某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业.据统计,该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元.预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元,据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为( )
A.2%B.4.4%C.20%D.44%
【考点】AD:一元二次方程的应用.
【分析】设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x,根据2017年及2019年“竹文化”旅游收入总额,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论.
【解答】解:设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x,
根据题意得:2(1+x)2=2.88,
解得:x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(不合题意,舍去).
答:该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%.
故选:C.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
11. (2018·四川宜宾·3分)一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2,则x1x2为( )
A.﹣2B.1C.2D.0
【考点】AB:根与系数的关系.
【分析】根据根与系数的关系可得出x1x2=0,此题得解.
【解答】解:∵一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2,
∴x1x2=0.
故选:D.
【点评】本题考查了根与系数的关系,牢记两根之积等于是解题的关键.
12. (2018·台湾·分)若一元二次方程式x2﹣8x﹣3×11=0的两根为a、b,且a>b,则a﹣2b之值为何?( )
A.﹣25B.﹣19C.5D.17
【分析】先利用因式分解法解方程得到a=11,b=﹣3,然后计算代数式a﹣2b的值.
【解答】解:(x﹣11)(x+3)=0,
x﹣11=0或x﹣3=0,
所以x1=11,x2=﹣3,
即a=11,b=﹣3,
所以a﹣2b=11﹣2×(﹣3)=11+6=17.
故选:D.
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法:因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).
13. (2018·广东·3分)关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是( )
A.m<B.m≤C.m>D.m≥
【分析】根据一元二次方程的根的判别式,建立关于m的不等式,求出m的取值范围即可.
【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根,
∴△=b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×1×m>0,
∴m<.
故选:A.
【点评】此题考查了根的判别式,一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)△<0⇔方程没有实数根.
14. (2018•广西桂林•3分)已知关于x的一元二次方程有两个相等的实根,则k的值为( )
A. B. C. 2或3 D. 或
【答案】A
【解析】分析:根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次方程,解之即可得出结论.
详解:∵方程有两个相等的实根,
∴△=k2-4×2×3=k2-24=0,
解得:k=.
故选:A.
点睛:本题考查了根的判别式,熟练掌握“当△=0时,方程有两个相等的两个实数根.”是解题的关键.
15. (2018四川省绵阳市)在一次酒会上,每两人都只碰一次杯,如果一共碰杯55次,则参加酒会的人数为( )
A.9人
B.10人
C.11人
D.12人
【答案】C
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】解:设参加酒会的人数为x人,依题可得:
x(x-1)=55,
化简得:x2-x-110=0,
解得:x1=11,x2=-10(舍去),
故答案为:C.
【分析】设参加酒会的人数为x人,根据每两人都只碰一次杯,如果一共碰杯55次,列出一元二次方程,解之即可得出答案.
16. (2018四川省眉山市2分 ) 我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,为了加快资金周转,房地产开发商对价格经过连续两次下调后,决定以每平方4860元的均价开盘销售,则平均每次下调的百分率是( )。
A.8%
B.9%
C.10%
D.11%
【答案】C
【考点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解:设平均每次下调的百分率是x,依题可得:
6000(1-x)2=4860,
∴(1-x)2=0.81,
∴1-x= 0.9,
∴x1=0.1,x2=1.9(舍),
故答案为:C.
【分析】设平均每次下调的百分率是x,根据题意可列一元二次方程,解之即可得出答案.
17(2018四川省泸州市3分)已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是( )
A.k≤2B.k≤0C.k<2D.k<0
【分析】利用判别式的意义得到△=(﹣2)2﹣4(k﹣1)>0,然后解不等式即可.
【解答】解:根据题意得△=(﹣2)2﹣4(k﹣1)>0,
解得k<2.
故选:C.
【点评】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△<0时,方程无实数根.
18. (2018四川省眉山市2分 ) 若α,β是一元二次方程3x2+2x-9=0的两根,则 + 的值是( )。
A.
B.-
C.-
D.
【答案】C
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解:∵α,β是一元二次方程3x2+2x-9=0的两根,
∴α+β=- ,αβ=- =-3,
∴ + = .
故答案为:C.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出α+β=- ,αβ=- =-3,再将原式通分变形,代入数值即可得出答案.
19.(2018·山东泰安·3分)一元二次方程(x+1)(x﹣3)=2x﹣5根的情况是( )
A.无实数根B.有一个正根,一个负根
C.有两个正根,且都小于3D.有两个正根,且有一根大于3
【分析】直接整理原方程,进而解方程得出x的值.
【解答】解:(x+1)(x﹣3)=2x﹣5
整理得:x2﹣2x﹣3=2x﹣5,
则x2﹣4x+2=0,
(x﹣2)2=2,
解得:x1=2+>3,x2=2﹣,
故有两个正根,且有一根大于3.
故选:D.
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法,正确解方程是解题关键.
20.(2018•河南•3分)下列一元二次方程中,有两个不相等实数根的是( )
A.x2+6x+9=0 B.x2=x C.x2+3=2x D.(x-1)2+1=0
21.(2018·山东潍坊·3分)已知关于x的一元二次方程mx2﹣(m+2)x+=0有两个不相等的实数根x1,x2.若+=4m,则m的值是( )
A.2B.﹣1C.2或﹣1D.不存在
【分析】先由二次项系数非零及根的判别式△>0,得出关于m的不等式组,解之得出m的取值范围,再根据根与系数的关系可得出x1+x2=,x1x2=,结合+=4m,即可求出m的值.
【解答】解:∵关于x的一元二次方程mx2﹣(m+2)x+=0有两个不相等的实数根x1、x2,
∴,
解得:m>﹣1且m≠0.
∵x1、x2是方程mx2﹣(m+2)x+=0的两个实数根,
∴x1+x2=,x1x2=,
∵+=4m,
∴=4m,
∴m=2或﹣1,
∵m>﹣1,
∴m=2.
故选:A.
【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式,解题的关键是:(1)根据二次项系数非零及根的判别式△>0,找出关于m的不等式组;(2)牢记两根之和等于﹣、两根之积等于.
二.填空题
(要求同上一.)
1.(2018年四川省南充市)若2n(n≠0)是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根,则m﹣n的值为 ﹣ .
【考点】A3:一元二次方程的解.
【分析】根据一元二次方程的解的定义,把x=2n代入方程得到x2﹣2mx+2n=0,然后把等式两边除以n即可.
【解答】解:∵2n(n≠0)是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根,
∴4n2﹣4mn+2n=0,
∴4n﹣4m+2=0,
∴m﹣n=﹣.
故答案是:﹣.
【点评】本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.
2.(2018年四川省内江市)已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1,x2=2,则方程a(x+1)2+b(x+1)+1=0的两根之和为 1 .
【考点】AB:根与系数的关系;A9:换元法解一元二次方程.
【分析】利用整体的思想以及根与系数的关系即可求出答案.
【解答】解:设x+1=t,方程a(x+1)2+b(x+1)+1=0的两根分别是x3,x4,
∴at2+bt+1=0,
由题意可知:t1=1,t2=2,
∴t1+t2=3,
∴x3+x4+2=3
故答案为:1
【点评】本题考查根与系数的关系,解题的关键是熟练运用根与系数的关系,本题属于基础题型.
3.(2018四川省泸州市3分)已知x1,x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两实数根,则的值是 6 .
【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出x1+x2=2、x1x2=﹣1、=2x1+1、=2x2+1,将其代入=中即可得出结论.
【解答】解:∵x1、x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两实数根,
∴x1+x2=2,x1x2=﹣1,=2x1+1,=2x2+1,
∴=+====6.
故答案为:6.
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解,将代数式变形为是解题的关键.
4.(2018年四川省内江市)关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0有实数根,则k的取值范围是 k≥﹣4 .
【考点】AA:根的判别式.
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0,即可得出关于k的一元一次不等式,解之即可得出结论.
【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0有实数根,
∴△=42﹣4×1×(﹣k)=16+4k≥0,
解得:k≥﹣4.
故答案为:k≥﹣4.
【点评】本题考查了根的判别式,牢记“当△≥0时,方程有实数根”是解题的关键.
5. (2018·湖南省常德·3分)若关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根,则b的值可能是 6 (只写一个).
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△>0,即可得出关于b的一元二次不等式,解之即可得出b的取值范围,取其内的任意一值即可得出结论.
【解答】解:∵关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根,
∴△=b2﹣4×2×3>0,
解得:b<﹣2或b>2.
故答案可以为:6.
【点评】本题考查了根的判别式,牢记“当△>0时,方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.
6.(2018·山东威海·3分)关于x的一元二次方程(m﹣5)x2+2x+2=0有实根,则m的最大整数解是 m=4 .
【分析】若一元二次方程有实根,则根的判别式△=b2﹣4ac≥0,建立关于m的不等式,求出m的取值范围.还要注意二次项系数不为0.
【解答】解:∵关于x的一元二次方程(m﹣5)x2+2x+2=0有实根,
∴△=4﹣8(m﹣5)>0,且m﹣5≠0,
解得m<5.5,且m≠5,
则m的最大整数解是m=4.
故答案为:m=4.
【点评】考查了根的判别式,总结:一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
7. (2018·四川自贡·4分)若函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点,则m的值为 ﹣1 .
【分析】由抛物线与x轴只有一个交点,即可得出关于m的一元一次方程,解之即可得出m的值.
【解答】解:∵函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点,
∴△=22﹣4×1×(﹣m)=0,
解得:m=﹣1.
故答案为:﹣1.
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点,牢记“当△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点”是解题的关键.
8. (2018•江苏扬州•3分)若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根,则6m2﹣9m+2015的值为 2018 .
【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案.
【解答】解:由题意可知:2m2﹣3m﹣1=0,
∴2m2﹣3m=1
∴原式=3(2m2﹣3m)+2015=2018
故答案为:2018
【点评】本题考查一元二次方程的解,解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义,本题属于基础题型.
9. (2018•江苏扬州•3分)关于x的方程mx2﹣2x+3=0有两个不相等的实数根,那么m的取值范围是 m<且m≠0 .
【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得△=4﹣12m>0且m≠0,求出m的取值范围即可.
【解答】解:∵一元二次方程mx2﹣2x+3=0有两个不相等的实数根,
∴△>0且m≠0,
∴4﹣12m>0且m≠0,
∴m<且m≠0,
故答案为:m<且m≠0.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)根的判别式△=b2﹣4ac.当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.也考查了一元二次方程的定义.
10. (2018年江苏省南京市•2分)设x1、x2是一元二次方程x2﹣mx﹣6=0的两个根,且x1+x2=1,则x1= ﹣2 ,x2= 3 .
【分析】根据根与系数的关系结合x1+x2=1可得出m的值,将其代入原方程,再利用因式分解法解一元二次方程,即可得出结论.
【解答】解:∵x1、x2是一元二次方程x2﹣mx﹣6=0的两个根,且x1+x2=1,
∴m=1,
∴原方程为x2﹣x﹣6=0,即(x+2)(x﹣3)=0,
解得:x1=﹣2,x2=3.
故答案为:﹣2;3.
【点评】本题考查了根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程,利用根与系数的关系求出m的值是解题的关键.
11. (2018年江苏省泰州市•3分)已知3x﹣y=3a2﹣6a+9,x+y=a2+6a﹣9,若x≤y,则实数a的值为 3 .
【分析】根据题意列出关于x、y的方程组,然后求得x、y的值,结合已知条件x≤y来求a的取值.
【解答】解:依题意得:,
解得
∵x≤y,
∴a2≤6a﹣9,
整理,得(a﹣3)2≤0,
故a﹣3=0,
解得a=3.
故答案是:3.
【点评】考查了配方法的应用,非负数的性质以及解二元一次方程组.配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=(a±b)2.
12.(2018•湖北荆门•3分)已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+(k2﹣2)x+2k+4=0的一个根,则k的值为 .
【分析】把x=2代入kx2+(k2﹣2)x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0,再解关于k的方程,然后根据一元二次方程的定义确定k的值.
【解答】解:把x=2代入kx2+(k2﹣2)x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0,
整理得k2+3k=0,解得k1=0,k2=﹣3,
因为k≠0,
所以k的值为﹣3.
故答案为﹣3.
【点评】本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.
13.(2018•湖北黄冈•3分)一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程x2-10x+21=0的根,则三角形的周长为______________.
【考点】解一元二次方程,三角形三边的关系.
【分析】将已知的方程x2-10x+21=0左边分解因式,利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程,求出一次方程的解得到原方程的解为3或7,利用三角形的两边之和大于第三边进行判断,得到满足题意的第三边的长,从而求得三角形的周长.
【解答】解:x2-10x+21=0,
因式分解得:(x-3)(x-7)=0,
解得:x1=3,x2=7,
∵三角形的第三边是x2-10x+21=0的根,
∴三角形的第三边为3或7,
当三角形第三边为3时,3+3=6,不能构成三角形,舍去;
当三角形第三边为7时,三角形三边分别为3,6,7,能构成三角形,
则第三边的长为7.
∴三角形的周长为: 3+6+7=16.
故答案为:16.
【点评】本题考查了利用因式分解法求解解一元二次方程,以及三角形三边的关系. 利用因式分解法求解解一元二次方程时,首先将方程右边化为0,左边分解因式,然后利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0,转化为两个一元一次方程来求解。
14. (2018•江西•3分)一元二次方程的两根为, ,则的值为 .
【解析】 本题考察一元二次方程根与系数的关系,因为,所以,
因为,所以原式值为2,有一定的技巧性.
【答案】 2 ★★
三.解答题
(要求同上一)
1.(2018·湖北省孝感·9分)已知关于x的一元二次方程(x﹣3)(x﹣2)=p(p+1).
(1)试证明:无论p取何值此方程总有两个实数根;
(2)若原方程的两根x1,x2,满足x12+x22﹣x1x2=3p2+1,求p的值.
【分析】(1)将原方程变形为一般式,根据方程的系数结合根的判别式,即可得出△=(2p+1)2≥0,由此即可证出:无论p取何值此方程总有两个实数根;
(2)根据根与系数的关系可得出x1+x2=5、x1x2=6﹣p2﹣p,结合x12+x22﹣x1x2=3p2+1,即可求出p值.
【解答】解:(1)证明:原方程可变形为x2﹣5x+6﹣p2﹣p=0.
∵△=(﹣5)2﹣4(6﹣p2﹣p)=25﹣24+4p2+4p=4p2+4p+1=(2p+1)2≥0,
∴无论p取何值此方程总有两个实数根;
(2)∵原方程的两根为x1、x2,
∴x1+x2=5,x1x2=6﹣p2﹣p.
又∵x12+x22﹣x1x2=3p2+1,
∴(x1+x2)2﹣3x1x2=3p2+1,
∴52﹣3(6﹣p2﹣p)=3p2+1,
∴25﹣18+3p2+3p=3p2+1,
∴3p=﹣6,
∴p=﹣2.
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式,解题的关键是:(1)牢记“当△≥0时,方程有两个实数根”;(2)根据根与系数的关系结合x12+x22﹣x1x2=3p2+1,求出p值.
2. (2018·湖北省宜昌·10分)某市创建“绿色发展模范城市”,针对境内长江段两种主要污染源:生活污水和沿江工厂污染物排放,分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理,若江水污染指数记为Q,沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工),从当年开始,所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算.第一年有40家工厂用乙方案治理,共使Q值降低了12.经过三年治理,境内长江水质明显改善.
(1)求n的值;
(2)从第二年起,每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m,三年来用乙方案治理的工厂数量共190家,求m的值,并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量;
(3)该市生活污水用甲方案治理,从第二年起,每年因此降低的Q值比上一年都增加个相同的数值a.在(2)的情况下,第二年,用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年因甲方案治理降低的Q值相等,第三年,用甲方案使Q值降低了39.5.求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值.
【分析】(1)直接利用第一年有40家工厂用乙方案治理,共使Q值降低了12,得出等式求出答案;
(2)利用从第二年起,每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m,三年来用乙方案治理的工厂数量共190家得出等式求出答案;
(3)利用n的值即可得出关于a的等式求出答案.
【解答】解:(1)由题意可得:40n=12,解得:n=0.3;
(2)由题意可得:40+40(1+m)+40(1+m)2=190,
解得:m1=,m2=﹣(舍去),
∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为:40(1+m)=40(1+50%)=60(家),
(3)设第一年用乙方案治理降低了100n=100×0.3=30,
则(30﹣a)+2a=39.5,解得:a=9.5,则Q=20.5.
设第一年用甲方案整理降低的Q值为x,
第二年Q值因乙方案治理降低了100n=100×0.3=30,
解法一:(30﹣a)+2a=39.5a=9.5
x=20.5
【点评】考查了一元二次方程和一元一次方程的应用.解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解.
3(2018•湖北黄石•8分)已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2
(1)求实数m的取值范围;
(2)若x1﹣x2=2,求实数m的值.
【分析】(1)根据根的判别式得出不等式,求出不等式的解集即可;
(2)根据根与系数的关系得出x1+x2=2,和已知组成方程组,求出方程组的解,再根据根与系数的关系求出m即可.
【解答】解:(1)由题意得:△=(﹣2)2﹣4×1×m=4﹣4m>0,
解得:m<1,
即实数m的取值范围是m<1;
(2)由根与系数的关系得:x1+x2=2,
即,
解得:x1=2,x2=0,
由根与系数的关系得:m=2×0=0.
【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式、一元二次方程的解,能熟记根与系数的关系的内容和根的判别式的内容是解此题的关键.
4. (2018•江苏盐城•10分)一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利,该店采取了降价措施,在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件.
(1)若降价3元,则平均每天销售数量为________件;
(2)当每件商品降价多少元时,该商店每天销售利润为1200元?
23.【答案】(1)26
(2)解:解:设每件商品降价x元时,该商店每天销售利润为1200元,则平均每天销售数量为(20+2x)件,每件盈利为(40-x)元,且40-x≥25,即x≤15.根据题意可得(40-x)(20+2x)=1200,
整理得x2-30x+200=0,
解得x1=10,x2=20(舍去),
答:每件商品降价10元时,该商店每天销售利润为1200元。
【考点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据等量关系“原销售件数+2×降价数=降价后的销售件数”计算;(2)根据等量关系“每件盈利×销量=利润”,可设降价x元,则销量根据(1)的等量关系可得为(20+2x)件,而每件盈利为(40-x)元,利润为1200元,代入等量关系解答即可。
5. (2018•四川成都•6分)若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根,求 的取值范围.
【答案】由题知: .原方程有两个不相等的实数根, , .
【考点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】根据已知条件此方程有两个不相等的实数根,得出b2-ac>0,解不等式求解即可。
6(2018•北京•5分)关于的一元二次方程.
(1)当时,利用根的判别式判断方程根的情况;
(2)若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的,的值,并求此时方程的根.
【解析】(1)解:由题意:.
∵,
∴原方程有两个不相等的实数根.
(2)答案不唯一,满足()即可,例如:
解:令,,则原方程为,
解得:.
【考点】一元二次方程
7. (2018·新疆生产建设兵团·8分)先化简,再求值:(+1)÷,其中x是方程x2+3x=0的根.
【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子,然后根据x2+3x=0可以求得x的值,注意代入的x的值必须使得原分式有意义.
【解答】解:(+1)÷
=
=
=x+1,
由x2+3x=0可得,x=0或x=﹣3,
当x=0时,原来的分式无意义,
∴当x=﹣3时,原式=﹣3+1=﹣2.
【点评】本题考查分式的化简求值、一元二次方程的解,解答本题的关键是明确分式的化简求值的计算方法.
8. (2018·重庆(A)·10分)在美丽乡村建设中,某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造。
(1) 原计划是今年1至5月,村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米,其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍,那么,原计划今年1至5月,道路硬化和里程数至少是多少千米?
(2) 到今年5月底,道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成,且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值。2017年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米,每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1 : 2,且里程数之比为2 : 1,为加快美丽乡村建设,政府决定加大投入。经测算:从今年6月起至年底,如果政府投入经费在2017年的基础上增加10a%(a>0),并全部用于道路硬化和道路拓宽,而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加a%,5a%,那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%,8a%,求a的值。
【考点】一元一次不等式的应用,一元二次方程的应用
【解析】解:
设道路硬化的里程数至少是x千米。
则由题意得:
x≥4(50-x)
解不等式得:
x≥40
答:道路硬化的里程数至少是40千米。
由题意得:
2017年:道路硬化经费为:13万/千米,里程为:30km
道路拓宽经费为:20万/千米,里程为:15km
∴今年6月起:
道路硬化经费为:13(1+a%)万/千米,里程数:40(1+5a%)km
道路拓宽经费为:26(1+5a%)万/千米,里程数:10(1+8a%)km
又∵政府投入费用为:780(1+10a%)万元
∴列方程:
13(1+a%)×40(1+5a%)+26(1+5a%)×10(1+8a%)=780(1+10a%)
令a%=t,方程可整理为:
13(1+t)×40(1+5t)+26(1+5t)×10(1+8t)=780(1+10t)
520(1+t)(1+5t)+260(1+5t)(1+8t)=780(1+10t)
化简得:
2(1+t)(1+5t)+(1+5t)(1+8t)=3 (1+10t)
t(10t-1)=0
∴(舍去),.
∴a = 10
答:a的值为10。
【点评】
本题考查一元一次不等式的应用,一元二次方程的应用。求出本题的关键是将道路硬化,道路拓宽的里程数及每千米需要的经费求出。
利用“道路硬化的里程数是道路拓宽里程数的4倍”列出不等式求解。
根据2017年道路硬化和道路拓宽的里程数及每千米经费,表示出6月起道路硬化及道路拓宽的里程数及每千米经费。表示出总费用列方程求解。
9.(2018年四川省南充市)已知关于x的一元二次方程x2﹣(2m﹣2)x+(m2﹣2m)=0.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根.
(2)如果方程的两实数根为x1,x2,且x12+x22=10,求m的值.
【考点】AB:根与系数的关系;AA:根的判别式.
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案.
【解答】解:(1)由题意可知:△=(2m﹣2)2﹣4(m2﹣2m)
=4>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
(2)∵x1+x2=2m﹣2,x1x2=m2﹣2m,
∴+=(x1+x2)2﹣2x1x2=10,
∴(2m﹣2)2﹣2(m2﹣2m)=10,
∴m2﹣2m﹣3=0,
∴m=﹣1或m=3
【点评】本题考查根与系数的关系,解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次方程的解法,本题属于中等题型.
10.(2018·广东广州·14分)已知抛物线 。
(1)证明:该抛物线与x轴总有两个不同的交点。
(2)设该抛物线与x轴的两个交点分别为A,B(点A在点B的右侧),与y轴交于点C,A,B,C三点都在圆P上。①试判断:不论m取任何正数,圆P是否经过y轴上某个定点?若是,求出该定点的坐标,若不是,说明理由;
②若点C关于直线 的对称点为点E,点D(0,1),连接BE,BD,DE,△BDE的周长记为 ,圆P的半径记为 ,求 的值。
【答案】(1)证明:当抛物线与x轴相交时,令y=0,得:
x2+mx-m-4=0
∴△=m2+4(2m+4)=m2+8m+16=(m+4)2
∵m>0,
∴(m+4)2>0,
∴该抛物线与x轴总有两个不同的交点。
(2)解:①令y=x2+mx-2m-4=(x-2)(x+m+2)=0,
解得:x1=2,x2=-m-2,
∵抛物线与x轴的两个交点分别为A,B(点A在点B的右侧),
∴A(2,0),B(-2-m,0),
∵抛物线与y轴交于点C,
∴C(0,-2m-4),
设⊙P的圆心为P(x0 , y0),
则x0= = ,
∴P( ,y0),
且PA=PC,则PA2=PC2 ,
则
解得 ,
∴P( , ),
∴⊙P与y轴的另一交点的坐标为(0,b)
则 ,
∴b=1,
∴⊙P经过y轴上一个定点,该定点坐标为(0,1)
②由①知,D(0,1)在⊙P上,
∵E是点C关于直线 的对称点,且⊙P的圆心P( , ),
∴E(-m,-2m-4)且点E在⊙P上,
即D,E,C均在⊙P上的点,且∠DCE=90°,
∴DE为⊙P的直径,
∴∠DBE=90°,△DBE为直角三角形,
∵D(0,1),E(-m,-2m-4),B(-2-m,0),
∴DB= ,
BE= = =
∴BE=2DB,
在Rt△DBE中,设DB=x,则BE=2x,
∴DE= = ,
∴△BDE的周长l=DB+BE+DE=x+2x+ =
⊙P的半径r= =
∴ = =
【考点】一元二次方程根的判别式及应用,二次函数图像与坐标轴的交点问题,两点间的距离,勾股定理,圆周角定理
【解析】【分析】(1)当抛物线与x轴相交时,即y=0,根据一元二次方程根的判别式△=b2-4ac=m2+4(2m+4)=m2+8m+16=(m+4)2>0,从而得出该抛物线与x轴总有两个不同的交点.
(2)①抛物线与x轴的两个交点,即y=0,因式分解得出A(2,0),B(-2-m,0);抛物线与y轴交点,即x=0,得出C(0,-2m-4);设⊙P的圆心为P(x0 , y0),由P为AB中点,得出P点横坐标,再PA=PC,根据两点间距离公式得出P点纵坐标,即P( , );设⊙P与y轴的另一交点的坐标为(0,b),根据中点坐标公式得b=1,即⊙P经过y轴上一个定点,该定点坐标为(0,1).
②由①知,D(0,1)在⊙P上,由)①知⊙P的圆心P( , ),由圆周角定理得△DBE为直角三角形,再根据两点间距离公式得DB= ,BE= ,由BE=2DB,在Rt△DBE中,设DB=x,则BE=2x,根据勾股定理得DE= ,由三角形周长公式得
△BDE的周长l= ,又⊙P的半径r= ,从而得出 值.
2023年全国各地中考数学真题分类汇编之一元二次方程及其应用(含解析): 这是一份2023年全国各地中考数学真题分类汇编之一元二次方程及其应用(含解析),共21页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2023年全国各地中考数学真题分类汇编之不等式(组)及其应用(含解析): 这是一份2023年全国各地中考数学真题分类汇编之不等式(组)及其应用(含解析),共35页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
专题11 反比例函数及其应用- 2023年中考数学真题分类汇编(通用版含解析): 这是一份专题11 反比例函数及其应用- 2023年中考数学真题分类汇编(通用版含解析),文件包含专题11反比例函数及其应用共65题解析版docx、专题11反比例函数及其应用共65题原卷版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共111页, 欢迎下载使用。