人教版八年级上册13.1.1 轴对称巩固练习

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1．下面四个图标中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图案，故此选项不符合；
B、是轴对称图案，故此选项符合；
C、不是轴对称图案，故此选项不符合；
D、不是轴对称图案，故此选项不符合；
故答案为：B．
【分析】 在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形 。根据轴对称图形的定义对每个选项一一判断即可。
2．点 M(−1，2) 关于 x 轴对称的点 M′ 的坐标是（ ）
A．(1，−2)B．(1，2)C．(−1，−2)D．(−1，2)
【答案】C
【解析】【解答】解：点M（-1，2）关于x轴对称的点的坐标为（-1，-2）.
故答案为：C.
【分析】关于x轴对称的点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此解答.
3．在平面直角坐标系XOY中，点P(-2，3)关于x轴的对称点坐标是( )
A．(-2，-3)B．(2，-3)C．(2，3)D．(-3，-2)
【答案】A
【解析】【解答】 点P(-2，3)关于x轴的对称点坐标为（-2，-3）．
故答案为：A．
【分析】关于x轴的对称点坐标特征：横坐标不变、纵坐标互为相反数，据此解答即可．
4．已知点A(m−1，3)与点B(2，n+1)关于x轴对称，则m+n的值为（ ）
A．7B．-7C．1D．-1
【答案】D
【解析】【解答】解：∵点A（m−1，3）与点B（2，n＋1）关于x轴对称，
∴m−1＝2，则m＝3
n＋1＝－3，则n＝−4
∴m＋n＝3＋（−4）＝−1.
故答案为：D.
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数可得m-1＝2，n+1＝-3，求出m、n的值，然后根据有理数的加法法则进行计算.
5．下列关于轴对称性质的说法中，错误的是（ ）
A．对应线段互相平行B．对应线段相等
C．对应角相等D．对应点连线与对称轴垂直
【答案】A
【解析】【解答】根据轴对称的性质：（1）成轴对称的两个图形全等；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线，可知选项B、C、D不符合题意，选项A符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据轴对称的性质逐项判断即可。
6．如图所示，在△ABC中，AC = AD = BD，∠DAC = 80°，则∠B的度数是（ ）
A．40°B．35°C．25°D．20°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵AC = AD = BD，∠DAC = 80°，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠ADC=12（180°-∠DAC）=12（180°-80°）=50°，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B=50°，
∴∠B=25°.
故答案为：C.
【分析】利用等边对等角可证得∠B=∠BAD，∠C=∠ADC，利用三角形的内角和定理求出∠ADC的度数；再利用三角形的外角的性质可证得∠ADC=2∠B，由此可求出∠B的度数。
7．如图，在 △ABC 中， ∠B=55∘ ， ∠C=30∘ ，分别以点A和点C为圆心，大于 12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则 ∠BAD 的度数为 ()
A．65∘B．60∘C．55∘D．45∘
【答案】A
【解析】【解答】由题意可得：MN是AC的垂直平分线，
则 AD=DC ， ∴∠C=∠DAC ，
∵∠C=30∘ ，
∴∠DAC=30∘ ，
∵∠B=55∘ ，
∴∠BAC=95∘ ，
∴∠BAD=∠BAC−∠CAD=65∘ ，
故答案为：A．
【分析】根据作法可知所作MN是AC的垂直平分线，从而可知∠ DAC=∠ C = 30º，即根据三角形内角和定理即可求得∠BAD.
8．点P（﹣1，2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）
C．（﹣1，﹣2）D．（1，2）
【答案】C
【解析】【解答】解：根据轴对称的性质，得点P（﹣1，2）关于x轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣2），
故选：C．
【分析】点P（m，n）关于x轴对称点的坐标P′（m，﹣n），然后将题目已知点的坐标代入即可求得解．
9．如图，将等腰三角板向右翻滚，依次得到b、c、d，下列说法中，不正确的是（ ）
A．a到b时旋转B．a到c是平移C．a到d是平移D．b到c是旋转
【答案】B
【解析】【解答】解：A．a到b是以直角顶点为旋转中心的旋转，本项正确；
B．a到c不是沿直线移动一定距离得到新图形，所以不是平移，本项错误；
C．a到d是沿直线移动一定距离得到新图形是平移，本项正确；
D．b到c是以点A为旋转中心的旋转，本项正确．
故选：B．
【分析】根据旋转、平移的判断方法，逐一判断．
10．等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形底边上的高为（ ）
A．22 或 15B．42C．15D．15 或 42
【答案】C
【解析】【解答】当2cm为底边时，如图所示AB=AC，BC=2cm，∵周长为10cm，∴腰长为4cm
作底边上的高AD，在Rt△ACD中， AD=AC2−CD2=42−12=15
当2cm为腰时，由周长10cm，可得底边为6cm，但是2+2＜6，不能组成三角形，此种情况不存在.
故答案为C.
【分析】分情况讨论：当2cm为底边时，求出腰长，根据勾股定理求出底边上的高当2cm为腰时，可得底边为6cm，2+2＜6，不能组成三角形.
11．如图，DE是△ABC中边AC的垂直平分线，若BC=18cm，AB=10cm，则△ABD的周长为（ ）
A．16 cmB．28 cmC．26 cmD．18 cm
【答案】B
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，
∵BC=18cm，AB=10cm，
∴△ABD的周长=18+10=28cm．
故选B．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD，然后求出△ABD的周长=AB+BC，代入数据进行计算即可得解．
12．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，如果 AC=5 cm， BC=4 cm，那么△ DBC 的周长是（ ）
A．6 cmB．7 cmC．8 cmD．9 cm
【答案】D
【解析】【解答】解：∵AC是AB的垂直平分线
∴AD=BD
∴CD+BD=CD+AD=AC=5
∴△DBC的周长为：CD+BD+BC=AC+BC=5+4=9（cm）.
故答案为：D.
【分析】先利用线段的垂直平分线的性质得AD=BD，则CD+BD=CD+AD=AC=5，进而可求出△DBC的周长。
13．如图，在 ΔABC 中， AB=6，BC=7，AC=4，直线m是 ΔABC 中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点.则 ΔAPC 周长的最小值为( ).
A．10B．11C．11.5D．13
【答案】A
【解析】【解答】解：∵直线m垂直平分AB，
∴B、C关于直线m对称，
设直线m交AB于D，
∴当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长，
∴△APC周长的最小值是：6+4=10．
故答案为：A．
【分析】根据题意知，点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，AP+CP值的最小，求出AB长度即可得到结论．
14．如图， △ABC 中， ∠BAC=130° ， AB ， AC 的垂直平分线分别交 BC 于点E，F，与 AB ， AC 分别交于点D，G，则 ∠EAF 的度数为（ ）
A．80°B．70°C．65°D．60°
【答案】A
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，
∴EB=EA，FA=FC，
∴∠BAE=∠B，∠FAC=∠C，
∵△ABC中，∠BAC=130°，
∴∠B+∠C=50°，
∴∠BAE+∠FAC=50°，
∴∠EAF=∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）=80°.
故答案为：A.
【分析】利用垂直平分线的性质可知EA=EB，FA=FC，利用等边对等角得∠BAE=∠B，∠FAC=∠C；再利用三角形的内角和定理可求出∠B+∠C的度数；然后可用∠EAF=∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）计算可求解.
15．如图，ABC是一钢架的一部分，为使钢架更加坚固，在其内部添加了一些钢管DE、EF、FG…添加的这些钢管的长度都与BD的长度相等．如果∠ABC＝10°，那么添加这样的钢管的根数最多是（ ）
A．7根B．8根C．9根D．10根
【答案】B
【解析】【解答】解：∵添加的钢管长度都与BD相等，∠ABC＝10°，
∴∠DBE＝∠DEB＝10°，
∴∠EDF＝∠DBE+∠DEB＝20°，
∵DE＝EF，
∴∠EDF＝∠EFD＝20°，
∴∠FEG＝∠ABC+∠EFD＝30°，
…
由此思路可知：第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，第四个是40°，第五个是50°，第六个是60°，第七个是70°，第八个是80°，第九个是90°（与三角形内角和为180°相矛盾）就不存在了，所以一共有8个，
∴添加这样的钢管的根数最多是8根.
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠DBE＝∠DEB＝10°，由外角的性质可得∠EDF＝∠DBE+∠DEB＝20°，同理可得∠EDF＝∠EFD＝20°，∠FEG＝∠ABC+∠EFD＝30°，由此推出：第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，……第九个是90°（与三角形内角和为180°相矛盾），据此解答.
二、填空题
16．已知点 M(a,3) ，点 N(2,b) 关于 y 轴对称，则 (a+b)2019 的值是 .
【答案】1
【解析】【解答】解：由题意得：a=-2，b=3，则 (a+b)2019=(−2+3)2019=12019=1
故答案为：1.
【分析】关于y轴对称点坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相等，据此求出a，b的值，然后代入计算即可.
17．在等腰三角形中有一个角是50°，它的顶角是 或 .
【答案】50°；80°
【解析】【解答】①50°是底角，则顶角为：180°-50°×2=80°；②50°为顶角；所以顶角的度数为50°或80°.
【分析】因为题目中没有指明该角是顶角还是底角，所以要分两种情况进行分析.①50°是底角，②50°为顶角，根据等腰三角形的两底角相等及三角形的内角和即可得出答案。
18．若点P（－2，5）关于y轴对称点是p´，则点p´坐标是 .
【答案】（2，5）
【解析】【解答】解：点P（−2，5）关于y轴对称点是P′，则点P′坐标是（2，5），
故答案为：（2，5）.
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案.
19．已知点A与B关于x轴对称，若点A坐标为(﹣3，1)，则点B的坐标为 .
【答案】(﹣3，﹣1)
【解析】【解答】解：点A与点B关于x轴对称，点A的坐标为(﹣3，1)，则点B的坐标是(﹣3，﹣1).
故答案为：(﹣3，﹣1).
【分析】根据点关于x轴对称点的坐标的特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此解答即可.
20．如图，∠A=100°，∠E=25°，△ABC与△DEF关于直线l对称，则△ABC中的∠C= °．
【答案】55
【解析】【解答】解：∵∠A=100°，∠E=25°，△ABC与△DEF关于直线l对称，
∴∠A=∠D=100°，∠B=∠E=25°，
∴∠C=180°﹣（∠A+∠B）=55°，
故答案为：55
【分析】利用对称轴图形的性质判断即可．
21．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为16cm，则△ABC的周长为 ．
【答案】24cm
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=CD，AE=EC，
∵△ABD的周长为16cm，
∴AB+BD+AD=16cm，
∴AB+BC+AC=AB+BD+DC+2AE=AB+BD+AD+2AE=16+8=24(cm)，
即△ABC的周长为24cm，
故答案为24cm．
【分析】根据垂直平分线的性质可得DA=CD，AE=EC，再利用三角形的周长公式及等量代换求解即可。
22．如图，在 △ABC 中，点 D 是 BC 上一动点， BD ， CD 的垂直平分线分别交 AB ， AC 于点 E ， F ，在点 D 的运动过程中， ∠EDF 与 ∠A 的大小关系是 ∠EDF ∠A （填“＞”“＝”或“＜”）．
【答案】＝
【解析】【解答】解：∵BD、CD的垂直平分线分别交AB、AC于点E、F，
∴EB=ED，FD=FC，
∴∠EDB=∠B，∠FDC=∠C，
∴∠EDB+∠FDC=∠B+∠C，
∵∠EDF=180°-（∠EDB+∠FDC），∠A=180°-（∠B+∠C），
∴∠EDF=∠A．
故答案为：=．
【分析】先根据垂直平分线的性质得到EB=ED，FD=FC，则根据等腰三角形的性质得到∠EDB=∠B，∠FDC=∠C，然后利用平角的定义得到∠EDF=180°-（∠EDB+∠FDC），∠A=180°-（∠B+∠C），即可得到结论。
23．在平面直角坐标系中，点A（1， −3 ）关于 x 轴的对称点的坐标为 ．
【答案】（1，3）
【解析】【解答】∵点（1，-3）关于x轴对称，
∴对称的点的坐标是（1，3）
故答案为：（1，3）
【分析】关于x轴的对称点的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数.据此填空即可.
24．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是 ．
【答案】50°
【解析】【解答】解：∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∵∠DBC=15°，
∴∠ABC=∠A+15°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=∠A+15°，
∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，
解得∠A=50°．
故答案为：50°．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得∠A=∠ABD，然后表示出∠ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得∠C=∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．
25．如图， P 是边长为 4 的等边三角形 ABC 内一点， PD,PE,PF 分别垂直于 BC,AC,AB ,垂足为 D,E,F .若 PD=BD=1 ,则 PE+PF= .
【答案】23 -1
【解析】【解答】解：如图
连接AP，BP，CP,作BC边上的高AG
∵等边三角形 ABC ，AB=AC=BC=4，PD=1
∴ AG= 23
∴S△ABP+S△ACP=S△ABC−S△BCP = 12 AG·BC- 12 PD·BC= 12 × 23 ×4- 12 ×1×4= 43−2
∵S△ABP+S△ACP=12PE⋅AC+12PF⋅AB
∴43−2 = 12 （PE+PF）×4
解得：PE+PF= 23 -1
故答案为： 23 -1
【分析】连接AP，BP，CP，作BC边上的高AG依据题意得 S△ABP+S△ACP=S△ABC−S△BCP , S△ABP+S△ACP=12PE⋅AC+12PF⋅AB ，根据上边两个式子关系即可求出PE+PF的值.
三、作图题
26．如图，已知△ABC，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成面积相等的两部分．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图，直线AD即为所求：
​
【解析】【分析】作BC边上的中线，即可把△ABC分成面积相等的两部分．
27．如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是1，点A（﹣4，1）B（﹣3，3）C（﹣1，2）
（1）作△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（2）在x轴上找出点P，使PA+PC最小，并直接写出P点的坐标．
【答案】（1）解：如图所示，△A′B′C′即为所求；
（2）解：作点A关于x轴的对称点A″，再连接A″C交x轴于点P，其坐标为（﹣3，0）
【解析】【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接可得；（2）作点A关于x轴的对称点A″，再连接A″C交x轴于点P．
28．如图，在边长为1个单位长度的小正方组成的网格中，按要求画出△A1B1C1与△A2B2C2.
（ 1 ）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（ 2 ）将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A2B2C2；
（ 3 ）观察△A1B1C1和△A2B2C2，他们是否关于某直线对称？若是，请用粗线条画出对称轴.
【答案】解：（1）如图所示：△A1B1C1、△A2B2C2、直线l即为所求；
【解析】【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据网格结构找出点A、B、C向右平移6个单位的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；（3）根据轴对称图形的性质和顶点坐标，可得其对称轴是l：x＝3.
四、解答题
29．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于点E，若AB+BC=6，求△BEC的周长。
【答案】解：∵ED是AB上的垂直平分线
∴AE=BE
∵AC+BC=6，∴△BCE的周长为EC+EB+BC=BC+(EC+EB)=BC+（EC+AE)=BC+AC=6
【解析】【分析】根据垂直平分线的性质可知： AE=BE ，结合 AB=AC，即可求出△BEC的周长.
30．已知：如图，在△ABC中，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E=∠B，DE=DC，求证：AB=AC．
【答案】证明：∵AD平分∠EDC，∴∠ADE=∠ADC，在△AED和△ACD中，∵DE=DC∠ADE=∠ADCAD=AD∴△AED≌△ACD（SAS），∴∠C=∠E，又∵∠E=∠B．∴∠C=∠B，∴AB=AC．
【解析】【分析】利用SAS证明△AED≌△ACD，由全等三角形的对应角相等可得∠C=∠E，进而可得∠C=∠B，再由等角对等边可得证.
31．如图，点D在线段BC上，∠B＝∠ADB，∠BAD＝∠CAE，∠C＝∠E.求证：AC＝AE.
【答案】证明：∵∠B＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
∠C=∠E∠BAC=∠DAEAB=AD ，
∴△ABC≌△ADE（AAS），
∴AC＝AE.
【解析】【分析】利用等角对等边可证得AB=AD，由∠BAD＝∠CAE，可推出∠BAC＝∠DAE，利用AAS证明△ABC≌△ADE，然后利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
32．已知： ΔABC 中， ∠ABC=∠ACB ，点 D、E 分别为边 AB、AC 的中点，求证： BE=CD ．
【答案】证明： ∵∠ABC=∠ACB
∴AB=AC
又∵D,E是中点
∴AD=12AB,AE=12AC
∴AD=AE
∵AD=AE,∠A=∠A,AB=AC
∴ΔABE≅ΔACD
∴BE=CD
【解析】【分析】由等角对等边得出AB=AC，利用线段中点可求出AD=AE，根据SAS可证△ABE≌△ACD，可得BE=CD.
33．如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF.
求证：OE=OF .
【答案】证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
∴在Rt△ABF和Rt△DCE中， AB=CDBF=CE ，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），
∴∠AFE=∠DEF，
∴OE=OF.
【解析】【分析】根据线段的和差关系可得BF=CE，证明Rt△ABF≌Rt△DCE，得到∠AFE=∠DEF，进而根据等角对等边可得结论.
34．△ABC是等边三角形，点D在边BC上，DE∥AC，△BDE是等边三角形吗？试说明理由．
【答案】解：△BDE是等边三角形．理由是
∵△ABC是等边三角形
∴∠A=∠B=∠C=60°
∵DE∥AC，
∴∠BED=∠A=60°，∠BDE=∠C=60°
∴∠B=∠BED=∠BDE
∴△BDE是等边三角形
【解析】【分析】根据△ABC是等边三角形得出∠A=∠B=∠C=60°，利用DE∥AC，求证∠B=∠BED=∠BDE即可得出结论．
35．如图，已知△ABC，按如下步骤作图：
①以A为圆心，AB长为半径画弧；
②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；
③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD．求证：AC所在的直线是BD的垂直平分线.
【答案】证明：∵AD=AB，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CD=CB，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴AC所在的直线是BD的垂直平分线．
【解析】【分析】根据画法可知点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，即可证得结论。
36．如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB＝DE，∠B＝∠E，BF＝CE.
求证：CG＝FG.
【答案】证明：∵BF＝CE，
∴BF+CF＝CE+CF，
∴BC＝EF.
在△ABC和△DEF中
AB=DE∠B=∠EBC=EF ，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠ACB＝∠DFE，
∴CG＝FG.
【解析】【分析】由“SAS"可证△ABC≌△DEF，可得∠ACB=∠DFE，可得结论.
37．如图，已知等边 ΔABC,D,E 分别在 BC、AC 上，且 BD=CE ，连接 BE、AD 交 F 点．求证： ∠AFE=60°
【答案】证明：∵△ABC 是等边三角形
∴∠ABC=∠C=60° ， AB=BC
在△ABD和△BCE中
AB=BC∠ABC=∠CBD=CE
∴△ABD≌△BCE
∴∠BAD=∠CBE
∴∠AFE=∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60° ．
【解析】【分析】根据等边三角形的性质得 ∠ABC=∠C=60° ， AB=BC ，即可证明 △ABD≌△BCE ，从而得到 ∠BAD=∠CBE ，再根据三角形外角的性质即可得证 ∠AFE=60° ．
五、综合题
38．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在BC边上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE．
（1）在图中画出△AEF，使△AEF与△AEB关于直线AE对称，点F与点B是对称点；
（2）请直接写出△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积．
【答案】（1）解：△AEF如图所示；
（2）解：重叠部分的面积= 12 ×4×4﹣ 12 ×2×2
=8﹣2
=6．
【解析】【分析】（1）根据AE为网格正方形的对角线，作出点B关于AE的对称点F,然后连接AF、EF即可；
（2）根据图形，重叠部分是两个直角三角形的面积差，列式计算即可。
39．如图，在△ABC和△DCB中，∠BAC=∠CDB=90°，AB=DC，AC与BD交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB．
（2）当∠DBC=30°，BC=6时，求BO的长．
【答案】（1）证明：在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，
BC=CBAB=DC ，
∴△ABC≌△DCB（HL）
（2）解：∵∠BDC=90°，∠DBC=30°，BC=6，
∴CD=3，BD=3 3 ，
∵∠DOC=∠DBC+∠ACB=60°，
∴OD= 33 CD= 3 ，
∴OB=BD﹣OD=2 3
【解析】【分析】（1）利用HL即可直接判断出 △ABC≌△DCB ；
（2）Rt△BDC中，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出CD,BD的长，根据全等三角形对应角相等得出 ∠DBC=30° =∠ACB,根据三角形外角定理得出 ∠DOC=∠DBC+∠ACB=60°，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出OD的长，进而根据线段的和差，由 OB=BD﹣OD 算出答案。
40．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F.
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝FE.
【答案】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠C＝36°，
∴∠ABC＝36°，
∵BD＝CD，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝ 12 ∠ABC，
∵EF∥BC，
∴∠FEB＝∠CBE，
∴∠FBE＝∠FEB，
∴FB＝FE.
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得出 ∠C＝∠ABC36°， 根据等腰三角形的三线合一得出 AD⊥BC， 故 ∠ADB＝90°， 从而根据直角三角形的两锐角互余算出∠BAD的度数；
（2）根据角平分线的定义得出 ∠ABE＝∠CBE，根据二直线平行内错角相等得出 ∠FEB＝∠CBE， 故 ∠FBE＝∠FEB， 根据等角对等边得出 FB＝FE.
41．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB．
（1）若AB＝AC＝10cm，BC＝6cm，求△BCE的周长；
（2）若∠A＝40°，求∠EBC的度数．
【答案】（1）解：∵DE垂直平分AB
∴EA＝EB，
∴△BCE的周长＝BC+BE+CE＝BC+EA+CE＝BC+AC＝16（cm）
（2）解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∵EA＝EB，
∴∠EBA＝∠A＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝30°．
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质可推出BE+EC=AC，则不难计算出△BEC的周长；
（2）在△ABC中，根据三角形内角和定理可得∠ABC的度数，再根据等边对等角可得∠EBA＝∠A，即可求出∠EBC的度数.
42．如图：
（1）P是等腰三角形ABC底边BC上的一个动点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R．请观察AR与AQ，它们有何关系？并证明你的猜想．
（2）如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，（1）中所得的结论还成立吗？请你在图（2）中完成图形，并给予证明．
【答案】（1）解：AR=AQ，理由如下：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵RP⊥BC，
∴∠B+∠BQP=∠C+∠PRC=90°，
∴∠BQP=∠PRC．
∵∠BQP=∠AQR，
∴∠PRC=∠AQR，
∴AR=AQ；
（2）解：猜想仍然成立．证明如下：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
∵∠ABC=∠PBQ，
∴∠PBQ=∠C，
∵RP⊥BC，
∴∠PBQ+∠BQP=∠C+∠PRC=90°，
∴∠BQP=∠PRC，
∴AR=AQ
【解析】【分析】（1）由已知条件，根据等腰三角形两底角相等及三角形两直角互余的性质不难推出∠PRC与∠AQR的关系；（2）由已知条件，根据等腰三角形两底角相等及三角形两直角互余的性质不难推出∠BQP与∠PRC的关系．
43．在边长为1的小正方形组成的正方形网格中，建立如图所示的平面真角坐标系，已知格点三角形 ABC （三角形的三个顶点都在格点上）
（1）画出 ΔABC 关于直线 x=−1 对称的 ΔA1B1C1 ；并写出点 A1 、 B1 、 C1 的坐标．
（2）在直线 x=−1 上找一点 D ，使 BD+CD 最小，在图中描出满足条件的 D 点（保留作图痕迹），并写出点 D 的坐标（提示：直线 x=−1 是过点 (−1,0) 且垂直于 x 轴的直线）
【答案】（1）解：所作图形如图所示：
A1（3，2），B1（0，1），C1（1，4）
（2）解：作出点B关于x=-1对称的点B1，
连接CB1，与x=-1的交点即为点D，
此时BD+CD最小，点D坐标为（-1，2）
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质画出图形即可；
（2）连接 CB1，与x=-1的交点即为点D， 连接BD即可。
44．如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D.
（1）求证：AB=CD；
（2）若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度数.
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠C.
在△ABE和△DCF中，∠A＝∠D ∠C＝∠B AE＝DF，
∴△ABE≌△DCF（AAS）.
∴AB=CD.
（2）解：∵△ABE≌△CDF，
∴AB=CD，
∵AB=CF，
∴CD=CF.
∴△CDF是等腰三角形，
∵∠C=∠B=30°,
∴∠D= 12 ×(180°−30°)＝75°.
【解析】【分析】（1）根据两直线平行内错角相等可得∠B=∠C，利用AAS可判断△ABE≌△DCF ，由全等三角形的对应边相等即可证出结论.（2）利用（1）中的全等三角形的性质及等量代换可得△CDF是等腰三角形， ∠C=∠B=30°, 根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理即可求出答案.
45．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至点E，使CE＝CD．取BE中点F，连接DF.
（1）求证：BD=DE；
（2）延长ED交边AB于点G，试说明：DG=DF
【答案】（1）证明：由题意可知2∠DBC=∠DCB，又∵DC=CE，∴∠E=∠CDE，又∵∠DCB=∠E+∠CDE，
∴∠DCB=2∠E，
∴∠E=∠DBC，
∴BD=DE
（2）解：如图：∵BD=DE，∠GBD=∠E=30°，∴∠GDB=∠EDF=60°，∴△EDF≌△BGD，
∴DG=DF.
【解析】【分析】（1）根据题意和等边三角形的性质得到2∠DBC=∠DCB，再由等边对等角和三角形的外角性质得到∠DCB=2∠E，得到∠E=∠DBC，由等角对等边得到BD=DE；（2）根据题意和全等三角形的判定方法ASA，得到△EDF≌△BGD，得到DG=DF.