2024年北京市顺义区高三年级一模数学试卷及参考答案

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第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 在复平面内，复数对应的点位于
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2. 已知集合，，则下列结论正确的是
A.B.
C.D.
3. 已知在上单调递减，且，则下列结论中一定成立的是
A.B.
C.D.
4. 已知向量，，若与共线，则实数
A.B.C.D.
5. 已知双曲线的离心率，则的取值范围是
A.B.C.D.
6. 设为等差数列的前项和. 若，公差，，则
A.B.C.D.
7. 已知，，则“”是“”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
8. 设，，，则
A.B.C.D.
9. 地铁某换乘站设有编号为的五个安全出口. 若同时开放其中的两个安全出口，疏散名乘客所需的时间如下；
用表示安全出口的疏散效率（疏散时间越短，疏散效率越高），给出下列四个说法：①；②；③；④. 其中，正确说法的个数有
A.个B.个C.个D.个
10. 《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”. 现有一“阳马”，平面，，为底面及其内部的一个动点且满足，则的取值范围是
A.B.
C.D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11. 在的展开式中，的系数为_________.（用数字作答）
12. 已知是奇函数，当时，，则_________.
13. 在中，，，则_________；_________.
14. 已知，若存在，使，则正整数的一个取值是
_________.
15. 已知数列满足，给出下列四个结论：
①若，则数列中有无穷多项等于；
②若，则对任意，有；
③若，则存在，当时，有；
④若，则对任意，有.
其中，所有正确结论的序号是_________.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16.（本小题13分）
已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）设函数，求在区间上的最大值.
17.（本小题13分）
某学生在上学路上要经过三个路口，在各个路口遇到红灯的概率及停留的时间如下：
假设在各路口是否遇到红灯相互独立.
（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间大于分钟的概率；
（Ⅲ）假设交管部门根据实际路况，月日之后将上述三个路口遇到红灯停留的时间都变为分钟. 估计月日之后这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的变化情况，是
“增加，不变还是减少”.（结论不要求证明）
18.（本小题14分）
如图，在三棱柱中，分别为的中点，.
（Ⅰ）求证；平面；
（Ⅱ）若，平面平面，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求与平面所成角的正弦值.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，
按第一个解答计分.
19.（本小题15分）
已知椭圆过点，且.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设斜率为的直线与交于两点（异于点），直线分别与轴交于点，求的值.
20.（本小题15分）
已知函数，其中.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若在上存在极值，求实数的取值范围；
（Ⅲ）写出的零点个数.（直接写出结论即可）
21.（本小题15分）
给定正整数，设集合. 若对任意，两数中至少有一个属于，则称集合具有性质.
（Ⅰ）分别判断集合与是否具有性质；
（Ⅱ）若集合具有性质，求的值；
（Ⅲ）若具有性质的集合中包含个元素，且，求集合.
安全出口编号
疏散乘客时间
120
220
160
140
200
路口
路口一
路口二
路口三
遇到红灯的概率
遇到红灯停留的时间
3分钟
2分钟
1分钟