2024年北京市房山区高三年级一模数学试卷及参考答案

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本试卷共9页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项。
1. 已知全集，集合，则
A.B.
C.D.
2. 抛物线的准线方程是
A.B.C.D.
3. 已知是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值是
A.B.C.D.
4. 已知角的终边经过点，把角的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则
A.B.C.D.
5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地.”则该人第三天走的路程为
A.里B.里C.里D.里
6. 直线截圆所得劣弧所对的圆心角为，则的值为
A.B.C.D.
7. “”是“”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
8. 已知，则下列命题为假命题的是
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，，则
9. 在平面直角坐标系中，已知，两点. 若曲线上存在一点，使，则称曲线为“合作曲线”，给出下列曲线：
①；②；③.
其中“合作曲线”是
A.①②B.②③C.①D.②
10. 若函数，则函数零点的个数为
A.B.C.或D.或
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11. 双曲线的离心率是_________.
12. 如图，已知矩形中，，，分别是
的中点，则_________.
13. 设，则_________；当时，_________.
14. 若对任意，函数满足，且当时，都有，则函数的一个解析式是_________.
15. 如图，在棱长为的正方体中，点是对角线上的动点（点与
点不重合）. 给出下列结论：
①存在点，使得平面平面；
②对任意点，都有；
③面积的最小值为；
④若是平面与平面的夹角，是平面
与平面的夹角，则对任意点，都有.
其中所有正确结论的序号是_________.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16.（本小题13分）
如图，在五面体中，四边形是矩形，平面平面，是正三角形，，，.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
17.（本小题13分）
在中，，，且.
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积.
条件①：，为锐角；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得分；如果选择多个符合要求的条件
分别解答，按第一个解答计分.
18.（本小题14分）
《中华人民共和国体育法》规定，国家实行运动员技术等级制度. 下表是我国现行
《田径运动员技术等级标准》（单位：m）（部分摘抄）：
在某市组织的考级比赛中，甲、乙、丙三名同学参加了跳远考级比赛，其中甲、乙为男生，丙为女生. 为预测考级能达到国家二级及二级以上运动员的人数，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：，，，，，，，，，；
乙：，，，，，；
丙：，，，.
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.
（Ⅰ）估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率；
（Ⅱ）设是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数，估计的数学期望；
（Ⅲ）在跳远考级比赛中，每位参加者按规则试跳次，取次试跳中的最好成绩作为其最终成绩. 本次考级比赛中，甲已完成次试跳，丙已完成次试跳，成绩（单位：m）如下表：
若丙第6次试跳的成绩为，用分别表示甲、丙试跳6次成绩的方差，当时，写出的值.（结论不要求证明）
19.（本小题15分）
已知椭圆的离心率为，左焦点为，过的直线交
椭圆于两点，点为弦的中点，是坐标原点，且不与重合.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若是延长线上一点，且的长度为，求四边形面积的取值范围.
20.（本小题15分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）设，求函数的极大值；
（Ⅲ）若，求函数的零点个数.
21.（本小题15分）
已知无穷数列是首项为，各项均为正整数的递增数列，集合
. 若对于集合中的元素，数列中存在不相同的项
，使得，则称数列具有性质，记集合.
（Ⅰ）若数列的通项公式为，写出集合与集合；
（Ⅱ）若集合与集合都是非空集合，且集合中的最小元素为，集合中的最小元素为，当时，证明：；
（Ⅲ）若满足，，证明：.
项目
国际级运动健将
运动健将
一级运动员
二级运动员
三级运动员
男子跳远
8.00
7.80
7.30
6.50
5.60
女子跳远
6.65
6.35
5.85
5.20
4.50
第1跳
第2跳
第3跳
第4跳
第5跳
第6跳
甲
丙