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所属成套资源：2024年北京市各区高三年级一模数学试卷及参考答案
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2024年北京市门头沟区高三年级一模数学试卷及参考答案
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这是一份2024年北京市门头沟区高三年级一模数学试卷及参考答案，文件包含2024年北京市门头沟区高三一模数学试卷docx、2024年北京市门头沟区高三一模数学试卷pdf、2024年北京市门头沟区高三一模数学答案pdf等3份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
本试卷共9页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项。
1. 已知集合，集合，则
A.B.C.D.
2. 在复平面内，复数满足，则的虚部为
A.B.C.D.
3. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是
A.B.C.D.
4. 已知双曲线经过点，离心率为，则的标准方程为
A.B.
C.D.
5. 已知等差数列的前项和为，若，，则
A.B.C.D.
6. 设，，则“”是“”的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
7. 在中，，，，则的面积为
A.B.C.D.
8. 在中，，，且，则
A.B.C.D.
9. 在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，则当变化时，的最大值与最小值之差为
A.B.C.D.
10. 如图，正方体中，点为线段上的动点，则下列结论正确的个数是
①三棱锥的体积为定值；
②直线与平面所成的角的大小不变；
③直线与所成的角的大小不变；
④.
A.B.C.D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11. 的展开式中常数项为_________.（用数字作答）
12. 已知抛物线的焦点为，点在上，若，则到直线的距离为_________.
13. 若函数的最大值为，则_________，
_________.
14. 已知数列是各项均为正数的等比数列，为其前项和，，，
则_________；记，若存在使得最大，则的值为
_________.
15. 设，函数，给出下列四个结论：
①当时，的最小值为；
②存在，使得只有一个零点；
③存在，使得有三个不同零点；
④，在上是单调递增函数.
其中所有正确结论的序号是_________.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16.（本小题13分）
如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）当时，求直线与平面所成角的正弦值.
17.（本小题14分）
设函数，已知，，在区间
上单调，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围.
条件①：为函数的图象的一个对称中心；
条件②：直线为函数的图象的一条对称轴；
条件③：函数的图象可由的图象平移得到.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
18.（本小题13分）
2024年1月11日，记者从门头沟区两会上获悉，目前国道109新线高速公路（简称新高速）全线35座桥梁主体结构已全部完成，项目整体进度已达到，预计今年上半年开始通车，通车后从西六环到门头沟区清水镇车程将缩短到40分钟. 新高速全线设置主线收费站两处（分别位于安家庄和西台子）和匝道收费站四处（分别位于雁翅、火村、清水和斋堂）. 新高速的建成为市民出行带来了很大便利，为此有关部门特意从门头沟区某居民小区中随机抽取了200位打算利用新高速出行的居民，对其出行的原因和下高速的出口进行了问卷调查（问卷中每位居民只填写一种出行原因和对应的一个下高速的出口），具体情况如下：
（假设该小区所有打算利用新高速出行的居民的出行相对独立，且均选择上表中的一个高速出口下高速）.
（Ⅰ）从被调查的居民中随机选1人，求该居民利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的概率；
（Ⅱ）用上表样本的频率估计概率，从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取2人，从出行旅游的人中随机抽取1人，这三人中从斋堂出口下高速的人数记为，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）用上表样本的频率估计概率，从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取1人，用“”表示此人从斋堂出口下高速，“”表示此人不从斋堂出口下高速；从该小区所有打算利用新高速出行旅游的人中随机抽取1人，用“”表示此人从斋堂出口下高速，“”表示此人不从斋堂出口下高速，写出方差的大小关系.
（结论不要求证明）
19.（本小题15分）
已知椭圆的离心率为，椭圆的上顶点为，右顶点为，点为坐标原点，的面积为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点且不过点的直线与椭圆交于两点，直线与直线
交于点，试判断直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明
理由.
20.（本小题15分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求的极值；
（Ⅲ）当时，判断零点个数，并说明理由.
21.（本小题15分）
已知数列，数列，其中，且，
. 记的前项和分别为，规定.
记，
.
（Ⅰ）若，，写出；
（Ⅱ）若，写出所有满足条件的数列，并说明理由；
（Ⅲ）若，，，且. 证明：，
使得.项目
斋堂出口
清水出口
安家庄出口
雁翅出口
火村出口
西台子出口
上班
40
8
2
5
3
2
旅游
30
20
10
10
12
8
探亲
16
10
10
5
5
4
本试卷共9页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项。
1. 已知集合，集合，则
A.B.C.D.
2. 在复平面内，复数满足，则的虚部为
A.B.C.D.
3. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是
A.B.C.D.
4. 已知双曲线经过点，离心率为，则的标准方程为
A.B.
C.D.
5. 已知等差数列的前项和为，若，，则
A.B.C.D.
6. 设，，则“”是“”的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
7. 在中，，，，则的面积为
A.B.C.D.
8. 在中，，，且，则
A.B.C.D.
9. 在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，则当变化时，的最大值与最小值之差为
A.B.C.D.
10. 如图，正方体中，点为线段上的动点，则下列结论正确的个数是
①三棱锥的体积为定值；
②直线与平面所成的角的大小不变；
③直线与所成的角的大小不变；
④.
A.B.C.D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11. 的展开式中常数项为_________.（用数字作答）
12. 已知抛物线的焦点为，点在上，若，则到直线的距离为_________.
13. 若函数的最大值为，则_________，
_________.
14. 已知数列是各项均为正数的等比数列，为其前项和，，，
则_________；记，若存在使得最大，则的值为
_________.
15. 设，函数，给出下列四个结论：
①当时，的最小值为；
②存在，使得只有一个零点；
③存在，使得有三个不同零点；
④，在上是单调递增函数.
其中所有正确结论的序号是_________.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16.（本小题13分）
如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）当时，求直线与平面所成角的正弦值.
17.（本小题14分）
设函数，已知，，在区间
上单调，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围.
条件①：为函数的图象的一个对称中心；
条件②：直线为函数的图象的一条对称轴；
条件③：函数的图象可由的图象平移得到.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
18.（本小题13分）
2024年1月11日，记者从门头沟区两会上获悉，目前国道109新线高速公路（简称新高速）全线35座桥梁主体结构已全部完成，项目整体进度已达到，预计今年上半年开始通车，通车后从西六环到门头沟区清水镇车程将缩短到40分钟. 新高速全线设置主线收费站两处（分别位于安家庄和西台子）和匝道收费站四处（分别位于雁翅、火村、清水和斋堂）. 新高速的建成为市民出行带来了很大便利，为此有关部门特意从门头沟区某居民小区中随机抽取了200位打算利用新高速出行的居民，对其出行的原因和下高速的出口进行了问卷调查（问卷中每位居民只填写一种出行原因和对应的一个下高速的出口），具体情况如下：
（假设该小区所有打算利用新高速出行的居民的出行相对独立，且均选择上表中的一个高速出口下高速）.
（Ⅰ）从被调查的居民中随机选1人，求该居民利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的概率；
（Ⅱ）用上表样本的频率估计概率，从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取2人，从出行旅游的人中随机抽取1人，这三人中从斋堂出口下高速的人数记为，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）用上表样本的频率估计概率，从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取1人，用“”表示此人从斋堂出口下高速，“”表示此人不从斋堂出口下高速；从该小区所有打算利用新高速出行旅游的人中随机抽取1人，用“”表示此人从斋堂出口下高速，“”表示此人不从斋堂出口下高速，写出方差的大小关系.
（结论不要求证明）
19.（本小题15分）
已知椭圆的离心率为，椭圆的上顶点为，右顶点为，点为坐标原点，的面积为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点且不过点的直线与椭圆交于两点，直线与直线
交于点，试判断直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明
理由.
20.（本小题15分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求的极值；
（Ⅲ）当时，判断零点个数，并说明理由.
21.（本小题15分）
已知数列，数列，其中，且，
. 记的前项和分别为，规定.
记，
.
（Ⅰ）若，，写出；
（Ⅱ）若，写出所有满足条件的数列，并说明理由；
（Ⅲ）若，，，且. 证明：，
使得.项目
斋堂出口
清水出口
安家庄出口
雁翅出口
火村出口
西台子出口
上班
40
8
2
5
3
2
旅游
30
20
10
10
12
8
探亲
16
10
10
5
5
4
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