第5章 特殊平行四边形专项训练：角度计算2(含答案)

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角度计算专项训练（2）夯实基础，稳扎稳打1．山上的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行（AM∥CN），且每两个支撑架之间的索道均是直的，若∠MAB＝60°，∠NCB＝40°，求∠ABC的度数2. 如图，在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE垂直平分BC，求∠A的度数．3. 如图，等边△ABC的边长为4，AD是边BC上的中线，F是边AD上的动点，E是边AC上一点，若AE=2，则EF+CF取得最小值时，求∠ECF的度数4．如图，将一条长方形纸条进行两次折叠，折痕分别为AB，CD．若CD∥BE，∠1＝25°，求∠2的度数．​5．如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E．若∠DAE：∠BAE＝3：1，求∠EAC的度数连续递推，豁然开朗6．如图，长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若∠1+∠2＝115°，求∠EMF的度数．7．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，G为线段AE上一点且满足EG＝BC，AG＝CE，连CG并延长交AB于点F，求∠BFC的度数．8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝110°，求∠CDE的度数思维拓展，更上一层9．已知点E是正方形ABCD的边CD上的动点，连接AE，过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F.（1）如图1，求证：FB＝ED；（2）点G为正方形ABCD的对角线BD上一点，连接AG，GC，GF，且GC＝GF.①如图2，求∠GFA的度数；②如图3，过点G作MH // AE，分别交AF，AB，DC于点M，N，H.若AB＝3，BF＝1，求MH的长. 角度计算专项训练（2）1.解：如图所示，过点B作BD∥AM，∵AM∥CN，∴AM∥CN∥BD，∴∠ABD＝∠MAB＝60°，∠CBD＝∠NCB＝40°，∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝100°2解：∵在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，∴∠DBE=∠ABC=（180°﹣31°﹣∠A）=（149°﹣∠A），∵DE垂直平分BC，∴BD=DC，∴∠DBE=∠C，∴∠DBE=∠ABC=（149°﹣∠A）=∠C=31°，∴∠A=87°．3.解：过E作EM∥BC，交AD于N，∵AC=4，AE=2，∴EC=2=AE，∴AM=BM=2，∴AM=AE，∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，∴AD⊥BC，∵EM∥BC，∴AD⊥EM，∵AM=AE，∴E和M关于AD对称，连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF+CF的值最小，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AC=BC，∵AM=BM，∴∠ECF=∠ACB=30°，4.解：延长GA到F．由题意知，∠1是由∠BAF折叠而成，∴∠BAF＝∠1＝25°．∴∠CAF＝50°．∴∠GAC＝130°．∵EB∥AF，CD∥EB，∴GF∥CD．∴∠ACD＝∠GAC＝130°．∵AC∥BD，∴∠ACD+∠2＝180°．∴∠2＝180°﹣∠ACD＝50°．故答案为：50°．5.解：∵四边形ABCD 矩形，∴∠BAD＝90°，OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，∴OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO，∵∠DAE：∠BAE＝3：1，∴∠BAE＝×90°＝22.5°∵AE⊥BO，∴∠ABO+∠BAE＝90°，∴∠BAO＝∠ABO＝90﹣22.5°＝67.5°，∴∠EAO＝∠BAO﹣∠BAE＝67.5°﹣22.5°＝45°．6.解：∵四边形ABCD是矩形，∴DA∥CB，∴∠1＝∠DEG，由题意得∠DEG＝∠MEG，∴∠MED＝2∠1，同理：∠MFA＝2∠2，∴∠MED+∠MFA＝2（∠1+∠2）＝2×115°＝230°，∵∠MED＝∠EMF+∠EFM，∠MFA＝∠EMF+∠FEM，∴∠MED+∠MFA＝∠EMF+∠EFM+FEM+∠EMF＝180°+∠EMF，∴∠EMF＝230°﹣180°＝50°．7.解：如图，连接DG，在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，∴∠DAG＝∠GEC＝90°，∵EG＝BC，∴EG＝AD，在△ADG和△EGC中，，∴△ADG≌△EGC（SAS），∴DG＝CG，∠ADG＝∠EGC，∵∠ADG+∠AGD＝90°，∴∠EGC+∠AGD＝90°，∴∠DGC＝90°，∴△DGC是等腰直角三角形，∴∠DCG＝45°，∵AB∥CD，∴∠BFC＝∠DCG＝45°．故答案为：45°．A．55° B．40° C．35° D．20°8解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OC=OD，∴∠ODC=∠OCD，∵∠AOD=110°，∴∠DOE=70°，∠ODC=∠OCD=12（180°-70°）=55°，∵DE⊥AC，∴∠ODE=90°-∠DOE=20°，∴∠CDE=∠ODC-∠ODE=55°-20°=35°；9．解：（1）在长方形OABC中，OA＝BC＝2，OC＝AB＝4，∵点B在第一象限，∴B（4，2）；（2）∠POC＝∠APO+∠PAB，理由是：设OP与AB交于D，∵AB∥OC，∴∠PDB＝∠POC，∵∠PDB＝∠APO+∠PAB，∴∠POC＝∠APO+∠PAB；（3）当F在OP上方时，∵∠PAB＝20°，∴，∵∠POC＝∠APO+∠PAB，∴50°＝∠APO+20°，即∠APO＝30°，∴∠BAF＝∠FAP+∠PAB＝30°＝∠APO，∵∠POC＝2∠FOP，∠POC＝50°，∴∠FOP＝25°，∴∠FOC＝∠FOP+∠POC＝75°，同（2）可得：∠FOC＝∠F+∠FAB，即75°＝∠F+30°，∴∠F＝45°，∴；当F在OP下方时，∠PAB＝20°，∠APO＝30°，∠POC＝50°，∵，∴∠FAB＝10°，∵，∴∠FOC＝∠POC﹣∠POF＝25°∴∠F＝∠FOC﹣∠BAF＝15°∴．综上：的值为或2．10．.（1）证明：如图1， ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=AD ， ∠BAD=90°=∠D=∠ABC ，∵AE⊥AF ，∴∠EAF=∠DAB=90° ，∴∠DAE=∠BAF ，又 ∵∠D=∠ABF ， AB=AD ，∴ΔABF≅ΔADE(ASA) ，∴FB=ED ，解：①如图2，设 ∠GCF=x ，则 ∠DCG=90°-x ， ∵GC=GF ，∴∠GCF=∠GFC=x ，∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴AD=CD ， ∠ADG=∠CDG=45° ，又 ∵DG=DG ，∴ΔADG≅ΔCDG(SAS) ，∴AG=CG=GF ， ∠DCG=∠DAG=90°-x ，∴∠AGD=180°-45°-(90°-x)=45°+x ，∵∠BGF=∠DBC-∠GFB=45°-x ，∴∠AGF=180°-(45°-x)-(45°+x)=90° ，∴ΔAGF 是等腰直角三角形，∴∠GFA=45° ；②如图3，连接 FH ， AH ，∵AB=3 ， BF=1 ，∴AF=AB2+BF2=9+1=10 ， FC=4 ，∵MH//AE ，∴∠EAF=∠FMG=90° ，又 ∵ΔAGF 是等腰直角三角形，∴MG 是 AF 的垂直平分线，∴AM=FM=102 ， AH=FH ，∵AH2=AD2+DH2 ， FH2=FC2+CH2 ，∴AD2+DH2=FC2+CH2 ，∴9+(3-CH)2=16+CH2 ，∴CH=13 ，∴MH=FH2-MF2=16+19-52=7106 .