专题02 解一元二次方程（知识串讲+7大考点）-九年级数学上册重难考点一遍过（北师大版）

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知识一遍过
（一）一元二次方程解法
（1）解法一：直接开平方法
概念：形如(x+m)2=n(n≥0)的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得的根是，最后通过解两个一元一次方程得到原方程的解。
【注意】
①若n≥0，方程有两个实数根。
（若n＞0，方程有两个不相等的实数根；若b=0，方程有两个相等的实数根）
②若n<0，方程无解。
（2）解法二：配方法
概念： 配方法:将ax2+bx+c=0(a≠0)化成的形式,当b2-4ac≥0时,用直接开平方法求解
一般步骤:
①移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；
②二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；
③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为的形式；
④求解：判断右边等式符号，开平方并求解
（3）解法三：公式法（常用解法）
概念：公式法:ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为
一般步骤：
①把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算);
②求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解;
③如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：
④最后求出x1，x2
（4）解法三：因式分解法（仔细观察方程，灵活应用）
概念：将方程右边化为0,左边化为两个一次因式的积,令每个因式等于0,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程就得到原方程的解。例：若a·b＝0，则a＝0或b＝0
一般步骤：
①将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0；
②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；
③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④求解
归纳：右化零，左分解，两因式，各求解
考点一遍过
考点1：解一元二次方程——直接开平方
典例1：（2023春·安徽池州·八年级统考期末）关于x的一元二次方程a-1x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1B．-1C．1或-1D．12
【变式1】（2023春·山东泰安·八年级统考期中）若(a+b+1)(a+b-1)=15，则a+b的值是（ ）
A．±2B．±4C．2D．4
【变式2】（2023秋·全国·九年级专题练习）方程2x2-8=0的根是（ ）
A． x=2B． x=-2C． x1=2，x2=-2D． x1=4，x2=-4
【变式3】（2023秋·天津津南·九年级统考期末）一元二次方程x2=2的解为（ ）
A．x1=2,x2=-2B．x1=1,x2=2
C．x1=x2=3D．x1=x2=-3
考点2：解一元二次方程——配方法
典例2：（山东省淄博市某县（五四制）2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）用配方法解方程：2x2-4x-6=0．
【变式1】（2023秋·全国·九年级专题练习）解方程：3x2-6x-1=0（配方法）．
【变式2】（2023秋·全国·九年级专题练习）解方程：（配方法）2x2+5x-1=0．
【变式3】（2022秋·上海静安·八年级校考期中）用配方法解方程：2x2-4x-1=0
考点3：配方法的应用
典例3：（2023春·湖南长沙·八年级校联考期末）代数式x2-4x+5的最小值为（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【变式1】（2022秋·全国·九年级专题练习）已知三角形三边长为a、b、c，且满足a2-4b=7， b2-4c=-6， c2-6a=-18，则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．无法确定
【变式2】（2023·全国·九年级假期作业）已知N=6m-25，M=m2-2m(m为任意实数)，则M、N的大小关系为（ ）
A．MNC．M=ND．不能确定
【变式3】（2023春·安徽安庆·八年级安庆市第四中学校考期末）对于多项式x2+2x+4，由于x2+2x+4=x+12+3≥3，所以x2+2x+4有最小值3．已知关于x的多项式-x2+6x-m的最大值为10，则m的值为（ ）
A．1B．-1C．-10D．-19
考点4：解一元二次方程——公式法
典例4：（2023春·安徽六安·八年级校考期中）请用两种不同的方法解一元二次方程：x2-4x-1=0．
【变式1】（2019秋·广东中山·九年级校考开学考试）用公式法解一元二次方程：2x2+x-2=0．
【变式2】（2023春·山东淄博·八年级统考期中）解方程：
(1)x2+4x-4=0（用配方法解）
(2)2x2+5x+2=0（用公式法解）
【变式3】（2023秋·全国·九年级专题练习） x2-7x-18=0（公式法）．
考点5：解一元二次方程——因式分解法
典例5：（2023秋·全国·九年级专题练习）按要求解下列方程：
(1)（配方法）2x2-8x+6=0；
(2)（因式分解法）x-12+2-2x=0．
【变式1】（2023春·浙江湖州·八年级统考阶段练习）解下列方程：
(1)x-12=2x-2；
(2)x2-6x+8=0．
【变式2】（2023春·安徽滁州·八年级校考期中）解方程：2x-42=x+12．
【变式3】（2023秋·全国·九年级专题练习）根据要求解方程：
(1)2x2+3x-2=0（用配方法）；
(2)x-23x-5=0（用公式法）；
(3)3-2x2=42x-3（用因式分解法）；
(4)2x2-5x-3=0（用因式分解法）．
考点6：解一元二次方程——换元法
典例6：（2023·全国·九年级假期作业）已知a2+b2a2+b2+2-15=0，求a2+b2的值．
【变式1】（2021春·四川成都·八年级校考期中）解答题．
(1)已知a、b为实数，且满足a2+b2a2+b2+3=4，求a2+b2的值．
(2)已知△ABC的三边分别是a，b，c，且满足a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=0，判断△ABC的形状并说明理由．
【变式2】（2023春·安徽亳州·八年级校考阶段练习）阅读材料，解答问题.
解方程：4x-12-104x-1+24=0.
解：把4x-1视为一个整体，设4x-1=y，则原方程可化为y2-10y+24=0．
解得：y1=6，y2=4，
∴4x-1=6或4x-1=4，
∴x1=74，x2=54．
以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解决下列问题：
(1)解方程3x-52+43x-5+3=0；
(2)已知x2+y2-2x2+y2-3=12，求x2+y2的值.
【变式3】（2022秋·广东佛山·九年级校考阶段练习）阅读下列材料：方程：x4-6x2+5=0是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2-6y+5=0，
解这个方程得：y1=1，y2=5．
当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=5时，x2=5，∴x=±5
所以原方程有四个根：x1=1，x2=-1，x3=5，x4=-5．
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
(1)利用换元法解方程x2-x2-4x2-x-12=0得到方程的解为______．
(2)若x2+y2+1x2+y2+3=8，求x2+y2的值．
(3)利用换元法解方程：x2-42x+2xx2-4=2．
考点7：解一元二次方程——合适的方法
典例7：（2023春·江西宜春·八年级江西省丰城中学校考期中）解下列一元二次方程
(1)3x2-6x+2=0
(2)(x+1)(x+3)=15,
【变式1】（2023春·浙江绍兴·八年级校考阶段练习）选择适当的方法解下列方程：
(1)x2=3x
(2)x2-6x=-8
(3)2x-22=14
(4)x2=22x-2
(5)x-12=4x+12
【变式2】（2019·八年级统考课时练习）用适当的方法解下列方程：
（1）2x-12-4=0；（2）x2-4x+1=0；
（3）x2-8x+17=0；（4）xx-2+x-2=0.
【变式3】（2023春·黑龙江绥化·八年级统考期末）解下列方程：
(1)142x-52=1；
(2)x2-6x=4；
(3)3x2x+1=22x+1；
(4)2x2-7x+3=0．
同步一遍过
一、单选题
1．（2023秋·山东青岛·九年级即墨市第二十八中学校考阶段练习）一元二次方程x2=2x的根是（ ）
A．x=2B．x=0C．x1=0，x2=2D．x1=2，x2=-2
2．（2023春·浙江·八年级期末）若一元二次方程x2-ax=3的一个根是x=3，则方程的另一个根是（ ）
A．5B．2C．-3D．-1
3．（2022春·四川成都·八年级统考期末）代数式x2-1x2-2x-3的值等于0，则x的值为（ ）
A．1B．3C．-1D．-1或1
4．（2023秋·天津红桥·九年级统考期中）用配方法解方程x2+6x+4=0时，配方所得的方程为（ ）
A．x+32=5B．x-32=4C．x+32=13D．x+62=5
5．（2023秋·福建泉州·九年级统考期末）方程经过配方后,其结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·内蒙古赤峰·统考一模）将一元二次方程x2-6x+5=0化成(x+h)2=k的形式，则k等于（ ）
A．-5B．4C．9D．14
7．（2023春·全国·八年级专题练习）已知一个n边形共有27条对角线，则n的值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
8．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）用配方法解一元次方程x2-4x-10=0，此方程可变形为（ ）
A．x-22=6B．x+22=6
C．x-22=14D．x+22=14
9．（2023·安徽亳州·八年级统考期末）一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的根是（ ）
A．x=2B．x1=0，x2=﹣2C．x1=2，x2=﹣1D．x=﹣1
10．（2023秋·四川成都·九年级统考期中）已知直角三角形x，y两边的长满足x2-4+y2-5y+6=0，则第三边长为（ ）
A．22或13B．5或22C．13或22D．13、22或5
二、填空题
11．（2023秋·广西北海·九年级统考期末）一元二次方程(x-3)(x+5)=0的两个实数根是 ．
12．（2023春·八年级课时练习）关于x的一元二次方程x-22=a-1有实数根，则a的取值范围是 ．
根，且其中一个根为另一个根的3倍，则2nm的值为 ．
14．（2023春·八年级课时练习）方程t-1=t-1的解是 ．
15．（2022·江苏连云港·统考一模）已知关于x的方程x2﹣6x＋m2﹣3m﹣5＝0的一个根为﹣1，则m＝ ．
16．（2023秋·湖北武汉·九年级阶段练习）一元二次方程2x2-8=0的根是 .
三、解答题
17．（2023秋·八年级单元测试）解方程
（1）x2=5x
（2）x+12=4x-12
18．（2022·全国·九年级假期作业）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：2x2+4x-8=0
二次系数化为1，得x2+2x-4=0…第一步
移项，得x2+2x=4…第二步
配方，得x2+2x+4=4+4，即x+22=8…第三步
由此，可得x+2=±22…第四步
所以，x1=-2+22，x2=-2-22…第五步
(1)小明同学解题过程中，从第______步开始出现错误．
(2)请给出正确的解题过程
19．（2022秋·辽宁沈阳·九年级校考期中）用适当方法解方程：
(1)2x2-7x+3=0；
(2)4x2-8x-1=0；
(3)-12x2-3x+6=0；
(4) x+5=x2-25．
20．（2023春·浙江·八年级专题练习）小敏与小霞两位同学解方程3x-3=x-32的过程如下框：
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
21．（2023秋·山东济南·九年级校联考阶段练习）用适当的方法解方程
(1)x2﹣2x﹣5＝0；（用配方法）
(2)x2﹣25x﹣4＝0；（用公式法）
(3)（x+1）2＝3（x+1）；（用因式分解法）
(4)2x2+3x＝1．（选择适当的方法）
22．（2023秋·江苏泰州·九年级校考阶段练习）由多项式乘法得:(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式:x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
如，分解因式:x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3)
(1)分解因式:x2-5x+6
(2)分解因式:2x2+12x+16
(3)如果a⋅b=0，那么a=0或b=0,根据这个原理可以求出某些一元二次方程的根，如:
x2+5x+6=0
解:(x+2)(x+3)=0
∴x+2=0或x+3=0
解得x1=-2,x2=-3
请根据这种方法解方程2x2+6x-8=0
23．（2023春·八年级课时练习）已知M＝x2﹣3，N＝4（x﹣32）．
（1）当x＝﹣1时，求M﹣N的值；
（2）当1＜x＜2时，试比较M，N的大小．
24．（2023春·八年级课时练习）小虎同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式时，对于b2-4ac≥0的情况，他是这样做的：
由于a≠0，方程ax2+bx+c=0变形为：
x2+bax=-ca， 第一步
x2+bax+b2a2=-ca+b2a2， 第二步
x+b2a2=b2-4ac4a2， 第三步
x+b2a=b2-4ac4a， 第四步
x=-b+b2-4ac4a． 第五步
（1）小虎的解法从第_______步开始出现错误；事实上，当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是：_____________________．
（2）用配方法解方程：x2+6x+4=0．
25．（2022春·八年级单元测试）给出一个定义：如果两个二次项系数为1的一元二次方程有一个相等的实数根，且另外两个根互为相反数，那么这两个一元二次方程称为“友好方程”.
例如：方程x2-2x-3=0的两个根为x1=-1，x2=3；方程x2+4x+3=0的两个根为x1=-1，x2=-3，则方程x2-2x-3=0与x2+4x+3=0就是“友好方程”.
（1）请你写出方程的x2-2x-8=0的“友好方程”；
（2）若关于x的一元二次方程x2+(b-1)x+b=0与x2+cx+c-1=0是“友好方程”，求c的值；
（3）请写出一个方程与其“友好方程”之间存在的关系（写出一种即可）．
小敏：
两边同除以x-3，得
3=x-3，
则x=6．
小霞：
移项，得3x-3-x-32=0，
提取公因式，得x-33-x-3=0．
则x-3=0或3-x-3=0，
解得x1=3，x2=0．