专题02锐角的三角比（7个考点）【知识梳理+解题方法+专题过关】-2022-2023学年九年级数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版）

专题02锐角的三角比（7个考点）

【知识梳理+解题方法】

一．锐角三角函数的定义

在Rt△ABC中，∠C＝90°．

（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．

即sinA＝∠A的对边除以斜边＝．

（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．

即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝．

（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．

即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝．

（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．

二．特殊角的三角函数值

（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．

sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝；

sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；

sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝；

（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．

（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．

三．解直角三角形

（1）解直角三角形的定义

 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．

（2）解直角三角形要用到的关系

①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；

②三边之间的关系：a2+b2＝c2；

③边角之间的关系：

sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．

（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）

四．解直角三角形的应用

（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．

如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．

（2）解直角三角形的一般过程是：

①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．

②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．

五．解直角三角形的应用-坡度坡角问题

（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．

（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．

（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．

应用领域：①测量领域；②航空领域  ③航海领域：④工程领域等．

六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题

（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．

（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．

七．解直角三角形的应用-方向角问题

（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．

（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．

【专题过关】

一．锐角三角函数的定义（共5小题）

1．（2021秋•徐汇区期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，则∠B的正切值等于（　　）

A． B． C． D．

2．（2021秋•金山区校级期中）已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＜∠A，设sinB＝n，那么n的取值范围是（　　）

A．0＜n＜1 B． C． D．

3．（2021秋•浦东新区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝m，那么边AC的长为（　　）

A．msinB B．mcosB C．mtanB D．mcotB

4．（2021秋•徐汇区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD垂直于AB，tan∠DCB＝，AC＝12，则BC＝　   　．

5．（2021秋•徐汇区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC：BC＝1：2，则∠A的正弦值为（　　）

A． B． C．2 D．

二．特殊角的三角函数值（共5小题）

6．（2021秋•金山区校级期中）以下与tan30°大小相等的是（　　）

A．cos60° B．cot60° C．cot30° D．tan60°

7．（2021秋•闵行区期中）计算：﹣cos30°．

8．（2021秋•徐汇区校级期中）计算：6sin30°﹣cos30°﹣2tan45°+．

9．（2020秋•崇明区期末）计算：tan60°+﹣sin245°．

10．（2020秋•杨浦区期末）计算：．

三．解直角三角形（共8小题）

11．（2021秋•徐汇区校级期中）在锐角△ABC中，如果各边长都扩大2倍，那么∠B的余弦值（　　）

A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．大小不变 D．不能确定

12．（2021秋•松江区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（2，3），那么直线OA与x轴夹角的正切值是 　   　．

13．（2022•奉贤区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A，若AC＝4，cosA＝，则BD的长度为 　   　．

14．（2021秋•徐汇区期中）△ABC中，AB＝4，AC＝5，△ABC的面积为5，那么∠A的度数是（　　）

A．30° B．60° C．120° D．60°或120°

15．（2022•青浦区模拟）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点 A、B、O都在这些小正方形的顶点上，那么cos∠AOB的值为 　   　．

16．（2021秋•闵行区期末）在Rt△ABC中，各边的长度都扩大4倍．那么锐角B的正切值（　　）

A．扩大4倍 B．扩大2倍 C．保持不变 D．缩小4倍

17．（2022•浦东新区二模）如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，点D在边BC上，且BD＝AC，sin∠ADC＝．那么边BC的长为 　   　．

18．（2021秋•长宁区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠BAC＝，CD是斜边AB上的中线，点E是直线AC左侧一点，联结AE、CE、ED，若EC⊥CD，∠EAC＝∠B，则的值为 　   　．

四．解直角三角形的应用（共4小题）

19．（2022•徐汇区二模）激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．根据THX观影标准，当观影水平视场角“θ”的度数处于33°到40°之间时（如图1），双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位．

（1）小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3.5米，小佳家要选择电视屏幕宽（图2中的BC的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到0.1m，参考数据：sin33°≈0.54，tan33°≈0.65，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84，sin16.5°≈0.28，tan16.5°≈0.30，sin20°≈0.34，tan20°≈0.36）

（2）由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视今年每台销售价比去年降低4000元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少20%，今年这款激光电视每台的售价是多少元？

20．（2022•长宁区模拟）冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机．某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼．该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼前面20米处要盖一栋高25米的新楼．已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29°（参考数据：sin29°≈0.48；cos29°≈0.87；tan29°≈0.55）

（1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？

（2）若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距多少米？（结果保留整数）

21．（2022•崇明区二模）为解决群众“健身去哪儿”问题，某区2021年新建、改建90个市民益智健身苑点，图1是某益智健身苑点中的“侧摆器”．锻炼方法：面对器械，双手紧握扶手，双脚站立于踏板上，腰部发力带动下肢做左右摆式运动．

（1）如图2是侧摆器的抽象图，已知摆臂OA的长度为80厘米，在侧摆运动过程中，点A为踏板中心在侧摆运动过程中的最低点位置，点B为踏板中心在侧摆运动过程中的最高点位置，∠BOA＝25°，求踏板中心点在最高位置与最低位置时的高度差．（精确到0.1厘米）（sin25°≈0.423，cos25°≈0.906，tan25°≈0.466）

（2）小杰在侧摆器上进行锻炼，原计划消耗400大卡的能量，由于小杰加快了运动频率，每小时能量消耗比原计划增加了100大卡，结果比原计划提早12分钟完成任务，求小杰原计划完成锻炼需多少小时？

22．（2022•宝山区二模）某超市大门口的台阶通道侧面如图所示，共有4级台阶，每级台阶高度都是0.25米．根据部分顾客的需要，超市计划做一个扶手AD，AB、DC是两根与地平线MN都垂直的支撑杆（支撑杆底端分别为点B、C）．

（1）求点B与点C离地面的高度差BH的长度；

（2）如果支撑杆AB、DC的长度相等，且∠DAB＝66°．求扶手AD的长度．

（参考数据：sin66°≈0.9，cos66°≈0.4，tan66°≈2.25，cot66°≈0.44）

五．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共5小题）

23．（2022•金山区二模）沿一斜坡向上走13米，高度上升5米，这个斜坡的坡度i＝1：　   　．

24．（2022•宝山区模拟）已知一个斜坡的坡度i＝1：，那么该斜坡的坡角的度数是 　   　度．

25．（2022•宝山区模拟）为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，设备说明书中的部分内容如下所示．

（1）如果该设备的安装高度为2m时，请求出图中线段AC的长度；（结果精确到0.1m）

（2）如果学校要求测温区域的宽度为3m时，请求出该设备的安装高度．（结果精确到0.1m）

（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.32，tan72°≈3.00，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）

26．（2022•徐汇区校级模拟）某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由原来的40°减至35°．已知原楼梯AB长为5m，调整后的楼梯所占地面CD有多长？（结果精确到0.1m．参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，sin35°≈0.57，tan35°≈0.70）

27．（2022•松江区校级模拟）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i＝1：，且AB＝26米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡．

（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长．

（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）

（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）．

六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共3小题）

28．（2022•金山区校级模拟）如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔塔尖点P的仰角为60°，沿山坡向上走200米到达B处，在B处测得点P的仰角为15°．已知山坡AB的坡度i＝1：，且H、A、B、P在同一平面内，那么电视塔的高度PH为　   　米．（结果保留根号形式）

29．（2022•松江区校级模拟）如图，在路边安装路灯，灯柱BC高10m，与灯杆AB的夹角ABC为60°．路灯采用锥形灯罩，照射范围DE长为9.8m，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为∠ADE＝80.5°，∠AED＝45°．求灯杆AB的长度．（结果保留整数）参考数据：cos80.5°≈0.2，tan80.5°≈6.0．

30．（2022•青浦区模拟）如图，斜坡BC的坡度为1：6，坡顶B到水平地面（AD）的距离AB为3米，在B处、C处分别测得ED顶部点E的仰角为26.6°和56.3°，点 A、C、D在一直线上，求DE（DE⊥AD）的高度（精确到1米）．

（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.5，sin56.3°≈0.83，cos56.3°≈0.55，tan56.3°≈1.5）

七．解直角三角形的应用-方向角问题（共3小题）

31．（2022•普陀区模拟）如图，在某海滨城市O附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的南偏东20°方向200千米的海面P处，并以20千米/时的速度向P处的北偏西65°PQ的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/时速度不断扩张．

（1）当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 　   　千米：当台风中心移动t小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 　   　千米；

（2）当台风中心移动到与城市O距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由．（参考数据≈1.41，≈1.73）

32．（2021秋•杨浦区期末）如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A在它的北偏东60°方向上，航行12海里到达点C处，测得小岛A在它的北偏东30°方向上，那么小岛A到航线BC的距离等于 　   　海里．

33．（2021秋•嘉定区期末）如图，在航线l的两侧分别有两个灯塔A和B，灯塔A到航线l的距离为AC＝3千米，灯塔B到航线l的距离为BD＝4千米，灯塔B位于灯塔A南偏东60°方向．现有一艘轮船从位于灯塔B北偏西53°方向的N（在航线l上）处，正沿该航线自东向西航行，10分钟后该轮船行至灯塔A正南方向的点C（在航线l上）处．

（1）求两个灯塔A和B之间的距离；

（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1千米/小时）．（参考数据：，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）