专题02 反比例函数的应用（知识串讲+8大考点）-九年级数学上册重难考点一遍过（北师大版）

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知识一遍过
（一）反比例函数与一次函数综合
（1）确定交点坐标：
方法一：已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.
方法二：联立两个函数解析式，利用方程思想求解.
（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解
（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.
（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.
（二）反比例函数实际应用
（1）题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
（2）设出函数表达式；
（3）依题意求解函数表达式；
（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
考点一遍过
考点1：一次函数与反比例函数——交点问题
典例1：（2023春·江苏徐州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，函数y=-6x（x<0）与y=-2x+3的图像交于点Pa,b，则代数式1a+2b的值为（ ）

A．-12B．12C．-2D．2
【答案】A
【分析】可求b=-6a，b=-2a+3，1a+2b =2a+bab，即可求解．
【详解】解：∵函数y=-6x（x<0）与y=-2x+3的图像交于点Pa,b，
∴ b=-6a，b=-2a+3，
∴ab=-6，2a+b=3，
1a+2b =2a+bab =3-6=-12，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，整体代换法，分式加减运算，掌握求法是解题的关键．
【变式1】（2023秋·河南信阳·九年级校联考期末）如图，函数y=kx+bk≠0与y=mxm≠0的图象交于点A-2,3,B1,-6两点，则不等式kx=mx+b>0的解集为（ ）
A．x>-2B．-21C．x>1D．x<-2或0【答案】D
【分析】结合图像，求出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：∵函数y=kx+bk≠0与y=mxm≠0的图象相交于点A(-2,3),B(1,-6)两点，
∴不等式kx+b>mx的解集为：x<-2或0故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用．
【变式2】（2023春·山西临汾·八年级统考期末）如图，直线1与双曲线交于A，C两点，将直线1绕点O顺时针旋转α角（0°<α<45°），与双曲线交于B，D两点．则四边形ABCD的形状一定是（ ）

A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
【答案】A
【分析】由于直线l与双曲线都是关于原点的中心对称图形，根据对称性可得OA=OC，OB=OD，由此即可判定四边形ABCD一定是平行四边形．
【详解】解：∵直线l与双曲线是关于原点的中心对称图形，
而AC，BD是四边形ABCD的对角线，
根据对称性可得：OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD的对角线互相平分，
故四边形ABCD的形状一定是平行四边形．
故选：A．
【点睛】此题综合考查了反比例函数，正比例函数等多个知识点，此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．
【变式3】（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）若一次函数y=3x的图像与反比例函数y=kx的图像的一个交点的横坐标为2，则另一个交点的坐标为（ ）
A．-1,-3B．-2,-6C．-2,6D．2,6
【答案】B
【分析】由两函数图象的一个交点横坐标为2，将x=2代入正比例求得y=6，则正比例函数与反比例函数交点(2,6)，利用反比例函数的中心对称性即可求得另一个交点的坐标．
【详解】解： ∵一个交点的横坐标为2，
∴将x=2代入y=3x得：y=6，
∴交点为(2,6)，
∵反比例函数y=kx(k≠0)与正比例函数y=3x的图象的一个交点为(2,6)，
∴另一个交点为(-2,-6)．
故选：B．
【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，以及反比例函数的图象与性质，求得第一个交点坐标是解题的关键．
考点2：一次函数与反比例函数——几何问题
典例2：（2023春·河南周口·八年级统考期中）如图，一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=mxm≠0的图像交于点A-3,1，B1,n．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)结合图像直接写出不等式mx-kx-b>0时，x的取值范围；
(3)在y轴上存在一点M，使得△CDM是以DM为腰的等腰三角形，直接写出点M的坐标．
【答案】(1)y=-3x，y=-x-2
(2)-31
(3)M0,0或M0,2
【分析】（1）先将A-3,1代入y=mx求出反比例函数解析式，再求出点B坐标，将点A和点B的坐标代入y=kx+b，即可求解一次函数解析式；
（2）将mx-kx-b>0变形为mx>kx+b，根据图形和交点坐标，找出反比例函数图形高于一次函数图象时，自变量的取值范围即可；
（3）根据题意进行分类即可，①当MD=MC时，②当DM=DC时．
【详解】（1）解：∵点A-3,1在反比例函数y=mx上，
∴代入得：m=-3，
∴反比例函数的解析式为y=-3x，
∵点B1,n在反比例函数y=-3x上，
代入得：n=-3，
即B1,-3，
将A-3,1，B1,-3代入y=kx+b中，
1=-3k+b-3=k+b，解得：k=-1b=-2；
∴一次函数的解析式为y=-x-2；
（2）解：∵mx-kx-b>0，
∴mx>kx+b，
由图可知：当-31时，mx>kx+b；
（3）解：把x=0代入y=-x-2得：y=-2，
把y=0代入y=-x-2得：0=-x-2，解得：x=-2，
∴C0,-2,D-2,0，
∴OC=OD=2，
①当MD=MC时，
∵点M在y轴上，
∴M0,0，

②当DM=DC时，
∵DM=DC，DO⊥CM，
∴OM=OC=2，
∴M0,2，

综上：M0,0，M0,2．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，根据函数图象求不等式解集，等腰三角形的性质，解题的关键是刷脸掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，正确识别函数图象，掌握等腰三角形“三线合一”．
【变式1】（2023春·江苏徐州·八年级统考期末）如图，已知一次函数y1=ax+b与反比例函数y2=kx相交于点A2,3和点B3,m．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)观察图像，直接写出关于x的不等式ax+b-kx>0的解集；
(3)求△OAB的面积．
【答案】(1)y1=-x+5，y2=6x
(2)x<0或2(3)52
【分析】（1）根据点A和点B是一次函数和反比例函数的交点，可以分别求得反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据函数图象可以得到题目中不等式的解集本题得以解决；
（3）根据(1)中一次函数的解析式，可以求得点C的坐标，然后根据点A和点B的坐标即可求得S△ABO=S△ACO-S△BCO．
【详解】（1）解：将A2,3代入y2=kx得，k=6，
∴反比例函数解析式为y2=6x；
将B3,m代入y2=6x得，m=2，
∴B3,2，
将A2,3，B3,2代入y1=ax+b得，
3=2a+b2=3a+b解得：a=-1b=5，
∴一次函数解析式为y1=-x+5；
（2）由图可知，关于x的不等式ax+b-kx>0的解集为：x<0或2（3）如图，设一次函数y1=-x+5与x轴交与点C，

则C5,0，
∴OC=5，
∴S△ABO=S△ACO-S△BCO
=12×5×3-12×5×2
=52，
∴△OAB的面积为52．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式2】（2023春·四川资阳·八年级统考期末）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=mx的图象交于A1,6、B3,n两点，与x轴交于C点．

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点M在x轴上，且△AMC的面积为6，求点M的坐标．
【答案】(1)y=-2x+8，y=6x；
(2)点M的坐标为6,0或2,0．
【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标的特征，求出点B的坐标，代入y=kx+b即可；
（2）首先求出点C的坐标为4,0，再根据△AMC的面积为6，求出CM=2，即可解决问题．
【详解】（1）把A1,6代入y=mx得：m=6，
∴反比例函数的解析式为y=6x，
把B3,n代入y=6x得：n=2，
∴B的坐标为3,2，
∴k+b=63k+b=2，解得k=-2b=8，
∴一次函数的解析式为y=-2x+8，
（2）把y=0代入y=-2x+8中，得x=4，
∴点C的坐标为4,0
∵点A的纵坐标等于6，
∴S△AMC=12CM×6=6，
∴CM=2，
∴点M的坐标为6,0或2,0．
【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式．
【变式3】（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，已知反比例函数y1=kx与一次函数y2=x+2图象在第一象限内相交于A3,n与x轴相交于点B．
(1)求n和k的值．
(2)根据图象，当y1≥y2时，求x的取值范围．
(3)如图，以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标．
【答案】(1)n=5，k=15
(2)x≤-5或0(3)D3+52,5
【分析】（1）先将A3,n代入y2=x+2即可求出n的值，得出A3,5，再用待定系数法求解k的值即可；
（2）联立一次函数和反比例函数表达式，求出两交点的横坐标，结合图象，即可写出x的取值范围；
（3）先求出点B的坐标，得出AB的长度，根据菱形的性质可得AD=AB，即可写出点D的坐标．
【详解】（1）解：将点A3,n代入y2=x+2得：n=3+2=5；
∴A3,5，
将点A3,5代入y1=kx得：5=k3，
解得：k=15，
∴n=5，k=15．
（2）解：联立函数表达式y=15xy=x+2，
解得x1=-5,x2=3．
由图象可知，当y1≥y2时，x≤-5或0（3）解：对于y=x+2，令y=0，则x=-2．
∴B-2,0，
∵A3,5，
∴AB=52．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=52，AD∥BC，
∴D的坐标为3+52,5．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，菱形的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法，以及菱形四边相等．
考点3：一次函数与反比例函数——实际问题
典例3：（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x分钟）变化的函数图像如图所示，当0≤x<10和10≤x<20时，图像是线段；当20≤x≤45时，图像是反比例函数图像的一部分．

(1)求图中点A的坐标；
(2)王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
【答案】(1)20
(2)能，理由见解析
【分析】（1）设反比例函数的解析式为y=kx，由C(20,45)求出k，可得D坐标，从而求出A的指标值；
（2）求出AB解析式，得到y≥36时，x≥325，由反比例函数y=900x可得y≥36时，x≤25，根据25-325=935>17，即可得到答案．
【详解】（1）解：设当20≤x≤45时，反比例函数的解析式为y=kx，将C(20,45)代入得：
45=k20，解得k=900，
∴反比例函数的解析式为y=900x，
当x=45时，y=90045=20，
∴D(45,20)，
∴A(0,20)，即A对应的指标值为20；
（2）解：设当0≤x<10时，AB的解析式为y=mx+n，将A(0,20)、B(10,45)代入得：
20=n45=10m+n，解得m=52n=20，
∴AB的解析式为y=52x+20，
当y≥36时，52x+20≥36，解得x≥325，
由（1）得反比例函数的解析式为y=900x，
当y≥36时，900x≥36，解得x≤25，
∴ 325≤x≤25时，注意力指标都不低于36，
而25-325=935>17，
∴张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36．
【点睛】本题考查函数图象的应用，涉及一次函数、反比例函数及不等式等知识，解题的关键是求出0≤x<10和20≤x≤45时的解析式．
【变式1】（2023春·福建泉州·八年级校考期中）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒.消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：校医进行药物熏蒸时y与x的函数关系式为y=2x，药物熏蒸完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A3,n．

(1)求n的值；
(2)当x≥3时，求y与x的函数关系式；
(3)当教室空气中的药物浓度不低于2mg/m3时，对杀灭病毒有效.问：本次消毒中有效杀灭病毒的时间持续多长时间？
【答案】(1)6
(2)y=18x
(3)8min
【分析】（1）依据题意，将A代入y=2x可以得解；
（2）由（1）得A坐标，再设反比例函数解析式，从而将A代入反比例函数解析式可以得解；
（3）依据题意，令y=2，结合函数的性质可得有效时间．
【详解】（1）解：由题意，A(3,n)，即为m=3，n=2×3=6．
（2）解：由（1）可得A(3,6)．
设熏蒸完后函数的关系式为：y=kx，
∴k=3×6=18．
∴熏蒸完后函数的关系式为：y=18x．
（3）解：∵药物浓度不低于2mg/m3，
∴当2x≥2时，x≥1，
当y=18x≥2时，x≤9，
∴有效时长为9-1=8(min)，
答：有效杀灭病毒的时间持续8min．
【点睛】本题考查了反比例函数及正比例函数的应用，解题的关键是能够从实际问题中抽象出反比例函数和正比例函数模型，难度不大．
【变式2】（2023·江苏连云港·统考二模）如图，已知点A在正比例函数y=-2x图像上，过点A作AB⊥x轴于点B，四边形ABCD是正方形，点D在反比例函数y=kx图像上．

(1)若点A的横坐标为-2，求k的值；
(2)若设正方形的边长为m，试用含m的代数式表示k值．
【答案】(1)k=-24
(2)k=-32m2
【分析】（1）根据正比例函数的上得到点A的坐标为-2，4，再根据正方形的性质及反比例函数的解析式即可解答；
（2）根据正比例函数的解析式及正方形的性质得到A的坐标为-m2,m，再根据反比例函数的解析式得到 k=-32m2．
【详解】（1）解：∵点A在正比例函数图象上，
∴当x=-2时，y=4，点A的坐标为-2，4，
∴AD=AB=BC=DC=4，OB=2，D的坐标为-6，4，
∴点D在反比例函数图像上，
∴k-6=4，
∴k=-24．
（2）解：∵正方形ABCD的边长为m，
∴AD=AB=BC=DC=m，
∴D和A的纵坐标为m，
∴A的坐标为-m2,m，OC=32m，
∴点D的坐标为-32m,m，
∴代入反比例函数得，k=-32m2．
【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的上点的特征，正方形的性质，利用正方形的性质求各个点的坐标是解题的关键．
【变式3】（2023春·全国·八年级阶段练习）实验数据显示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段OA与部分双曲线AB组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
(1)求部分双曲线AB的函数表达式；
(2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上22:00在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上6:30能否驾车去上班？请说明理由．
【答案】(1)y=180xx≥32；
(2)第二天早上6:30不能驾车去上班．
【分析】（1）首先求得线段OA所在直线的解析式，然后求得点A的坐标，代入反比例函数的解析式即可求解；
（2）把y=20代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断．
【详解】（1）解：设直线OA的解析式为y=kx，
∵直线OA过14，20，
∴20=14k，
解得k=80
∴直线OA的解析式为y=80x，
当x=32时，y=120，即A32，120，
设双曲线的解析式为y=kx，将点A32，120代入求得：k=180，
∴y=180xx≥32；
（2）解：由y=180x得，当y=20时，x=9，
从晚上22:00到第二天早上6:30时间间距为8.5小时，
∵8.5<9，
∴第二天早上6:30不能驾车去上班．
【点睛】本题为一次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点，熟练相关性质是解题的关键．
考点4：反比例函数实际应用——物理问题
典例4：（2023春·江苏连云港·八年级统考期末）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kgm3）也随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示．

(1)求密度ρ与体积V的函数关系式；
(2)当ρ=3时，求V的值；
(3)当密闭容器的体积不能超过9m3，直接写出密度ρ的取值范围．
【答案】(1)ρ=9.9V(V>0)
(2)3.3
(3)ρ≥1.1
【分析】（1）设密度ρ（单位：kgm3）与体积V（单位：m3）的反比例函数解析式为ρ=kV(k≠0)，把点(5,1.98)代入解析式根据待定系数法即可求得；
（2）把ρ=3代入解析式即可求出V的值；
（3）结合V的取值范围，即可求出二氧化碳密度ρ的变化范围．
【详解】（1）解：设密度ρ关于体积V的函数解析式为ρ=kV(k≠0)．
∵当V=5m3时，ρ=1.98kg/m3，
∴1.98=k5，
∴k=9.9，
∴密度ρ关于体积V的函数解析式为ρ=9.9V(V>0)；
（2）把ρ=3代入ρ=9.9V，
得3=9.9V，
∴V=3.3m3；
（3）∵ρ=9.9V(V>0)，
∴V=9.9ρ(ρ>0)，
∵V≤9，
∴ 9.9ρ≤9，
∴ρ≥1.1，
即密度ρ的取值范围为ρ≥1.1．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，解题的关键是根据待定系数法求出反比例函数解析式．
【变式1】（2023春·河南周口·八年级统考期中）如图2，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：取一根长为100米的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧距离中点O为30cm处挂一个重10N的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧秤与中点O的距离L(单位：cm)，观察弹簧秤的示数F(单位：N)的变化情况．得出如下几组实验数据：

(1)观察如表实验数据，写出表中a的值______________．
(2)以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立如图1平面直角坐标系，在坐标系中描出以上表中的数对为坐标的各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点；
(3)根据所画的图象，求出F与L的函数关系式．
【答案】(1)12
(2)见解析
(3)F=300LL>0
【分析】（1）根据杠杆平衡原理即可求解；
（2）先标出各点，再画线即可；
（3）先设出函数解析式，再将点代入计算．
【详解】（1）解：根据杠杆平衡原理可得：25a=10×30，
解得：a=12，
（2）图象如图所示：

（3）根据图象可设解析式为：F=kLL>0)，
把(10,30)代入解析式可得：k=300，
∴F与L的函数关系式为：F=300LL>0)．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据表格得出函数为反比例函数是解题的关键．
【变式2】（2023·福建福州·福建省福州杨桥中学校考模拟预测）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：千帕）随气体体积V（单位：立方米）的变化而变化，p随V的变化情况如表所示．
（1）写出一个符合表格数据的p关于V的函数解析式 （2）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，依照（1）中的函数解析式，基于安全考虑，气球的体积至少为多少立方米？
【答案】（1）P=96V；（2）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积至少为23立方米．
【分析】1 设p与V的函数的解析式为p=kv，利用待定系数法求函数解析式即可；
2由p=144时，v=23，所以可知当气球内的气压＞144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于23立方米．
【详解】（1）由表格中数据可得PV=96，
则p=96v;
故答案为p=96v.
（2）由P=144时，v=23，
∴p≤144时，v≥23
当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积至少为23立方米．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式．会用不等式解决实际问题．
【变式3】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系．现有某学生利用个最大电阻为200Ω的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示．
(1)求电流I（安培）与电阻R（欧姆）之间的表达式；
(2)当电阻在2Ω~200Ω之间时，电流的取值范围是多少？请说明理由．
【答案】(1)I=144R
(2)0.72A至72A．理由见解析
【分析】（1）设出函数解析式为 I=kR, 将点 A(8,18) 代入求得 k 值, 则函数解析式即可求出；
（2）令 2≤R≤200 求得 I 的取值范围即可, 电流随电阻的增减性可由反比例函数的性质求得.
【详解】（1）设函数解析式为I=kRk≠0，
将点A8,18代入，得k=144，
∴电流I（安培）与电阻R（欧姆）之间的表达式为I=144R；
（2）0.72A至72A．
令R=2Ω，则I=72A，
令R=200Ω，则I=0.72A，
由函数图象可知，电流的取值范围是0.72A至72A．
【点睛】此题考查了反比例函数在物理问题中的运用，体现了各学科之间的紧密联系，比较简单．
考点5：反比例函数实际应用——图像问题
典例5：（2023春·江苏连云港·八年级统考期末）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y℃与时间xh之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：

(1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少℃；
(2)求全天的温度y℃与时间xh之间的函数表达式；
(3)若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时，才能避免水果生长受到影响？
【答案】(1)恒温为20℃
(2)y=2x+100≤x≤5205(3)恒温系统最多可以关闭10小时
【分析】（1）根据图象设一次函数的解析式为y=kx+bk≠0，根据图象可求得解析式，再利用一次函数的特征即可求出恒定温度；
（2）根据图象可知，图象由一次函数、常数函数、反比例函数组成，利用待定系数法，分别求解即可得到答案；
（3）将y=10代入解析式求出x的值，再用20减去这个值即可得到答案．
【详解】（1）解：设线段AB表达式为y=kx+bk≠0，
∵线段AB过点0，10，2，14，
∴b=102k+b=14，
解得b=10k=2，
∴线段AB的表达式为：y=2x+100≤x≤5，
当x=5时，y=2×5+10=20，
∴恒定温度为：20℃；
（2）解：由（1）可知：
线段AB的表达式为：y=2x+100≤x≤5，B坐标为5，20，
∴根据图象可知线段BC的表达式为：y=205设双曲线CD解析式为：y=mxm≠0，
∵C10，20，
∴可得：m10=20，
解得：m=200，
∴双曲线CD的解析式为：y=200x10∴y关于x的函数表达式为：y=2x+100≤x≤5205（3）解：把y=10代入y=200x中，
得10=200x，
解得：x=20，
∴20-10=10（小时），
∴恒温系统最多可以关闭10小时．
【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数，采用待定系数法求函数解析式和数形结合的思想解题，是解此题的关键．
【变式1】（2023春·江苏泰州·八年级统考期末）如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃时，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与通电时间xmin成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示．

(1)水温从20℃加热到100℃，需要______分钟；
(2)在水温下降过程中，请求出反比例函数表达式；
(3)求在一个加热周期内水温不低于40℃的时间范围？
【答案】(1)4
(2)y2=400x
(3)1≤x≤10
【分析】（1）根据开机加热时水温每分钟上升20°C即可求出水温从20°C加热到100°C所需时间；
（2）根据反比例函数过点(4,100)可求出解析式；
（3）分别计算出水温达到100°C前40°C和达到100°C后再降到40°C所需时间即可．
【详解】（1）∵开机加热时水温每分钟上升20°C，
∴水温从20°C加热到100°C，所需时间为100-2020=4(min)，
故答案为：4；
（2）由题可得，(4,100)在反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为y=kx，
代入点(4,100)可得，k=400，
∴y=400x，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是y=400x；
（3）∵开机加热时每分钟上升20℃
∴x=1，水温=40
∵y=400x，
∴当y=40时，x=40040=10，
∴水温不低于40℃的时间范围为1≤x≤10
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，数形结合，是解决本题的关键．
【变式2】（2022秋·河北·九年级校联考阶段练习）某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．该企业在整改过程中，所排污水中硫化物的浓度ymg/L与整改时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与整改时间x成反比例关系．

(1)在整改过程中，求硫化物的浓度y与整改时间x的函数解析式；
(2)试判断该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天内（含15天）整改到不超过最高允许的1.0mg/L的程度？并说明理由．
【答案】(1)当0≤x≤3，y=-2x+10；当x>3时，y=12x
(2)能，理由见解析
【分析】（1）分0≤x≤3及x>3根据相关点的坐标利用待定系数法代入一次函数及反比例函数解析式求解即可得出答案；
（2）将x=15代入反比例函数解析式y=12x，求出y得值再比较即可说明．
【详解】（1）当0≤x≤3时，设硫化物的浓度y与整改时间x的函数解析式y=kx+b
将点A0,10和点B3,4代入y=kx+b，
解得k=-2b=10，
∴y=-2x+10
当x>3时，设硫化物的浓度y与整改时间x的函数解析式y=mx，
将点C6,2代入y=mx，
解得m=12，
∴y=12x
综上，当0≤x≤3，硫化物的浓度y与整改时间x的函数解析式为y=-2x+10；
当x>3时，硫化物的浓度y与整改时间x的函数解析式为y=12x；
（2）能；
理由：当x=15时，y=1215=0.8<1，
∴该企业所排污水中硫化物的浓度能在15天内（含15天）整改到不超过最高允许的1.0mg/L的程度．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的应用，根据图中信息得出相关点的坐标是解题的关键．
【变式3】（2023春·河南新乡·八年级统考期中）根据传染病防控制度的要求，学校必须对教室定期用药熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物燃烧完毕后，y（毫克）与时间x（分钟）成反比例，如图所示．请根据图中所提供的信息，解答下列问题：

(1)求当药物燃烧时，y关于x的函数关系式；求药物燃烧后，y关于x的函数关系式．
(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进入教室，则从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？
【答案】(1)y=2x0≤x≤4；y=32xx≥4
(2)20
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）将y=1.6代入y=32x中求得x值，结合图象可得答案．
【详解】（1）解：设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y=kxk≠0，
将4,8代入，得k=84=2，
∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为y=2x0≤x≤4；
设药物燃烧后y与x的函数关系式为y=k'x，
将4,8代入，得k'=4×8=32，
∴药物燃烧后y与x的函数关系式为y=32xx≥4；
（2）解：将y=1.6代入y=32x中，得x=20，
∴从消毒开始，至少20分钟后学生才能回到教室．
【点睛】此题主要考查了反比例函数和正比例函数的应用，数形结合得出函数解析式是解题关键．
考点6：反比例函数实际应用——表格问题
典例6：（2023·广东汕尾·统考一模）生理学家发现每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“嗐转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y（米）是其两腿迈出的步长之差x（厘米）x>0的反比例函数，y与x之间有如表关系，
请根据表中的信息解决下列问题：
(1)求出y与x之间的函数解析式；
(2)若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为35米，则其两腿迈出的步长之差是多少厘米？
【答案】(1)y与x之间的函数解析式为y=14x
(2)某人走出的大圆圈的半径为35米，其两腿迈出的步长之差是0.4厘米
【分析】（1）将2,7代入函数解析式为y=kx，运用待定系数法解答即可；
（2）令y=35，求得x的值即可解答．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数解析式为y=kx，
将2,7代入得7=k2，
∴k=14，
∴y与x之间的函数解析式为y=14x；
（2）当y=35时，即14x=35，
解得x=0.4
∴某人走出的大圆圈的半径为35米，其两腿迈出的步长之差是0.4厘米
【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式、反比例函数与实际的综合应用等知识点，理解反比例函数的定义及图象的特点是解题的关键．
【变式1】（2023秋·湖南怀化·九年级统考期末）某校九年级组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如下表所示：
(1)观察表中数据，x，y满足什么函数关系？请求出函数解析式；
(2)若商场计划品牌运动鞋每天的销售利润为3000元，则其售价应定为多少元一双？
【答案】(1)反比例函数关系，y=6000x
(2)240元
【分析】（1）由表中数据得出xy=6000，即可得出结果；
（2）由题意得出方程，解方程即可，注意检验．
【详解】（1）解：由表中数据得：xy=6000，
∴y=6000x，
∴y是x的反比例函数，
故所求函数关系式为y=6000x；
（2）解：由题意得：(x-120)y=3000，
把y=6000x代入得：(x-120)⋅6000x=3000，
解得：x=240；
经检验，x=240是原方程的根；
答：若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为240元．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用、列分式方程解应用题；根据题意得出函数关系式和列出方程是解决问题的关键．
【变式2】（2023春·河南鹤壁·八年级统考期末）周末，小明与同学一行人去户外露营，在淇河湿地公园上遇到一片十几米宽的湿地，为了节省时间，并安全通过，他们根据所学物理知识——当压力不变时，压强与受力面积成反比例函数关系，在湿地上用一些大小不同的木板铺设了一条临时通道，已知木板所受压力不变时，木板对湿地的压强pPa与木板面积Sm2的对应值如下表．
(1)求反比例函数的表达式及自变量S的取值范围；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象；

(3)当木板面积为0.2m2时，压强是________Pa；
(4)结合图形，如果要求压强不超过4000Pa，木板的面积至少要多大？
【答案】(1)p=600S(S>0)．
(2)见解析；
(3)3000；
(4)0.15m2．
【分析】（1）设P与S之间的反比例函数关系式为P=kS，然后利用待定系数法求解即可；
（2）先描点，再连线画出对应的函数图象即可；
（3）把S=0.2m2代入（1）所求关系式中进行求解即可；
（4）把P=4000Pa代入代入（1）所求关系式中进行求解即可．
【详解】（1）解：由表可知：P与S之间为反比例函数，
设P与S之间的反比例函数关系式为P=kS，
将1,600代入得k1=600，解得k=600，
∴P与S之间的反比例函数关系式为P=600SS>0；
（2）解：画出函数图象如图所示：

（3）解：当S=0.2m2时，P=6000.2=3000Pa，
故答案为：3000；
（4）解：当P=4000Pa时，S=6004000=0.15m2，
由函数图象可知，P随S增大而减小，
∴当压强不超过4000Pa时，木板面积至少0.15m2．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．
【变式3】（2023·浙江台州·统考一模）如图1，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强PPa与受力面积Sm2的关系如下表所示（与长方体A相同重量的长方体均满足此关系）．
(1)求桌面所受压强PPa与受力面积Sm2之间的函数表达式；
(2)现将另一长、宽、高分别为0.2m，0.3m，0.2m与长方体A相同重量的长方体B按如图2所示的方式放置于该水平玻璃桌面上．若桌面所受压强PPa与受力面积Sm2之间的关系满足（1）中的函数表达式，且该玻璃桌面能承受的最大压强为5000Pa，请你判断这种摆放方式是否安全？并说明理由．
【答案】(1)P=200S
(2)安全，见解析
【分析】（1）用待定系数法可得函数关系式即可；
（2）算出S，即可求出P，比较可得答案．
【详解】（1）解∶ 由表格可知，压强P与受力面积S的乘积不变，
故压强P是受力面积S的反比例函数，
设P=kS，
将400,0.5代入得：k=400×0.5=200，
∴P=200S．
（2）解∶ 这种摆放方式安全，理由如下：
由图可知s=0.2×0.3=0.06，
∴将长方体放置于该水平玻璃桌面上，P=2000.06=100003Pa，
∵100003<5000，
∴这种摆放方式安全．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．
考点7：反比例函数实际应用——销售问题
典例7：（2023春·江苏连云港·八年级校联考阶段练习）某企业生产一种必需商品，经过长期市场调查后发现：商品的月总产量稳定在600件．商品的月销量Q(件）由基本销售量与浮动销售量两个部分组成，其中基本销售量保持不变，浮动销售量与售价工（元/件）（x≤10）成反比例，且可以得到如下信息：
(1)求Q与x的函数关系式．
(2)若生产出的商品正好销完，求售价x．
(3)求售价x为多少时，月销售额最大，最大值是多少？
【答案】(1)Q=100+2400x
(2)4.8元/件
(3)当x=10时，月销售额最大，最大值为3400元
【分析】（1）设Q=m+kx m为基本销售量，将5，580、8，400代入求解可得；
（2）求出Q=600时x的值即可得；
（3）根据月销售额=Q·x=100x+2400且x≤10可得．
【详解】（1）设Q=m+kxm为基本销售量，依题意，得
m+k5=580m+k8=400
解得m=100k=2400
∴Q=100+2400xx≤10
（2）当Q=600时
100+2400x=600
解得x=4.8
（3）依题意，得月销售额=Q·x=100x+2400
∵100>0
∴Q随x的增大而增大
则当x=10 时，月销售额最大，最大值为3400元
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出函数解析式．
【变式1】（2023秋·陕西榆林·九年级绥德中学校考期末）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量y（万件）与上市的天数x（天）之间的函数关系式为y=4x．当广告停止后，销售量y（万件）与上市的天数x（天）之间成反比（如图），现已知上市30天时，当日销售量为120万件．
(1)当x≥30时，求该商品上市以后销售量y（万件）与上市的天数x（天）之间的函数关系式；
(2)广告合同约定，当销售量不低于100万件，并且持续天数不少于12天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？请说明理由．
【答案】(1)y=3600xx≥30
(2)设计师可以拿到特殊贡献奖，理由见解析
【分析】（1）将已知点的坐标分别代入到正比例函数和反比例函数中利用待定系数法确定其解析式即可；
（2）分别求得销量不低于100万件的天数，相加后大于等于12天即可拿到特殊贡献奖，否则不能．
【详解】（1）解：当x≥30时，设y=kx，把30,120代入得k=3600，
∴y=3600xx≥30
（2）当0即25≤x≤30，有6天；
当x>30时，由3600x ≥100，解得：x≤36，
即30共有6+6=12天，
因此设计师可以拿到特殊贡献奖．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出反比例函数的模型．
【变式2】（2022秋·广西南宁·九年级统考阶段练习）受新冠肺炎疫情的影响，某化工厂从2022年1月开始产量下降．借此机会，为了贯彻“发展循环经济，提高工厂效益”的绿色发展理念；管理人员对生产线进行为期5个月的升级改造，改造期间的月利润与时间成反比例函数；从6月初开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加10万元．设2022年1月为第1个月，第x（x为正整数）个月的利润为y万元，其图象如图所示，试解决下列问题：
(1)分别直接写出该化工厂对生产线进行升级改造前后，y与x的函数表达式，并写出自变量范围；
(2)到第几个月时，该化工厂月利润才能再次达到100万元？
(3)当月利润少于50万元时，为该化工厂的资金紧张期，问该化工厂资金紧张期共有几个月？
【答案】(1)y=100x,(1≤x≤5)10x-30,(x>5)
(2)13
(3)5
【分析】（1）根据题意利用待定系数法即可得到函数解析式；
（2）把y=100代入y=10x-30即可得到结论；
（3）对于y=100x，当y=50时，得x=2，得到x>2时，y＜50，对于y=10x-30，当y=50时，得到x=8，于是得到结论．
【详解】（1）当1≤x≤5时，由月利润与时间成反比例函数，设函数解析式为：y=kx(k≠0)，
由图可知：(1,100)在函数图像上，
∴k=100，
∴y=100x，
当x=5时，y=20
当x≥5时，设函数为y=kx+b，
由从6月初开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加10万元，
∴k=10，
由图可知，过点(5,20)，
∴20=5×10+b，
∴b=-30，
∴y=10x-30，
综上：y=100x,(1≤x≤5)10x-30,(x>5)，
（2）在函数y=10x-30中，令y=100，得10x-30=100，
解得：x=13，
答：到第13个月时，该化工厂月利润再次达到100万元．
（3）在函数y=100x中，
当y=50时，x=2，
∵100＞0，y随x的增大而减小，
∴当y＜50时，x>2，
在函数y=10x-30中，
当y＜50时，得10x-30＜50
解得：x＜8
∴2＜x＜8且x为整数；
∴x可取3，4，5，6，7；共5个月．
答：该化工厂资金紧张期共有5个月
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，一次函数的应用，正确的理解题意是解题的关键．
【变式3】（2022秋·陕西延安·九年级统考期末）某汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，余额要在30个月内结清，不计算利息，交了首付款后平均每月付款y万元，x个月结清（1≤x≤30）．y与x的函数关系如图所示，
根据图像回答下列问题：
(1)求出y与x的函数解析式；
(2)若王先生交了首付款后，打算用20个月结清，平均每月应付多少万元？
【答案】(1)y=9x
(2)平均每月应付0.45万元
【分析】（1）由图像可知y与x成反比例，设y与x的函数解析式为y=kx(k≠0)，利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）将x=20代入函数解析式并求解即可获得答案．
【详解】（1）解：由图像可知y与x成反比例，设y与x的函数解析式为y=kx(k≠0)，
将(5,1.8)代入解析式，得1.8=k5，解得k=9，
∴y与x的函数解析式为y=9x；
（2）当x=20时，y=920=0.45（万元），
答：平均每月应付0.45万元．
【点睛】本题主要考查了利用反比例函数解决实际问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．
考点8：反比例函数实际应用——工程问题
典例8：（2023春·河南周口·八年级统考期中）码头工人每天往一艘轮船上装载货物，平均每天装载速度y（吨/天）与装完货物所需时间x（天）之间是反比例函数关系，其图像如图：

(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)装载完毕后，由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸货完毕，那么平均每天至少卸货多少吨？
【答案】(1)y=400x
(2)平均每天至少要卸80吨货物
【分析】（1）根据待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）把x=5代入函数解析式求出函数解析式即可．
【详解】（1）解：设y与x的函数解析式为y=kx，
依题意得：50=k8，k=400，
∴y与x的函数解析式为y=400x；
（2）解：把x=5代入y=400x得：y=80，
答：平均每天至少要卸80吨货物．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是求出反比例函数解析式．
【变式1】（2023春·江苏·八年级专题练习）某市计划建设一项水利工程，运输公司接到任务后，计划每天运输土方2000m3，共计50天运完，但由于受到各种因素的影响，实际平均每天运输土方vm3，共计t天运输完成．
(1)请直接写出v关于t的函数关系式；
(2)为了给后续工程节省出时间，这批土方需要在40天内运输完成，求实际平均每天至少需要比原计划增加多少土方运输量？
【答案】(1)v＝100000t
(2)实际平均每天至少需要比原计划增加500m3土方运输量
【分析】对于（1），先求出土方的总量，再根据实际平均每天运输的土方量=总量÷总天数得出答案；
对于（2），将t=40代入关系式求出v，再用求出的结果减去原计划每天运输的土方可得答案．
【详解】（1）根据题意，得
v=2000×50t=100000t；
（2）当t=40时，v=10000040=2500，
2500-2000=500（m3）．
答：实际平均每天至少需要比原计划增加500m3土方运输量．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，列出反比例函数关系式是解题的关键．
【变式2】（2022秋·山西太原·九年级统考期末）市政府计划建设一项惠民工程，工程需要运送的土石方总量为105m3，经招投标后，先锋运输公司承担了运送土石方的任务．
(1)直接写出运输公司平均每天运送速度v（单位：m3/天）与完成任务所需时间t（单位：天）之间的函数关系式；
(2)如果每辆车每天平均运送102m3的土石方，要求不超过50天完成任务，求运输公司平均每天至少安排多少辆车．
【答案】(1)v=105t，t>0
(2)运输公司平均每天至少安排20辆车
【分析】（1）由题意知vt=105，然后写成反比例函数解析式的形式；
（2）设运输公司平均每天至少安排x辆车，则有105102x≤50，计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意知vt=105
∴v=105t，t>0
∴函数关系式为：v=105t，t>0．
（2）解：设运输公司平均每天至少安排x辆车
则105102x≤50
解得x≥20
∴运输公司平均每天至少安排20辆车．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，一元一次不等式的应用．解题的关键在于根据题意列正确的等式或不等式．易错点是解析式未给出自变量的取值范围．
【变式3】（2022春·八年级课时练习）设每名工人一天能做某种型号的工艺品x个．若某工艺品厂每天要生产这种工艺品60个，则需工人y名．
(1)求y关于x的函数表达式．
(2)若一名工人每天能做的工艺品个数最少6个，最多8个，估计该工艺品厂每天需要做这种工艺品的工人多少人？
【答案】(1)y=60xx>0
(2)估计该工艺品厂每天需要做这种工艺品的工人10人
【分析】（1）根据每天生产的工艺品数量=每名工人每天生产的工艺品数量×工人人数进行求解即可；
（2）根据6≤x≤8结合反比例函数的性质可求出y的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得y=60xx>0；
（2）解：由题意得6≤x≤8，
∴当x=6时，y=606=10；当x=8时，y=608=7.5，
∵y=60xx>0，
∴函数值随自变量的增大而减小，
∴7.5≤y≤10，
∴估计该工艺品厂每天需要做这种工艺品的工人10人．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意得到y=60xx>0是解题的关键．
同步一遍过
一、单选题
1．（2023秋·山西吕梁·九年级统考期末）反比例函数y=kx的图象经过点-2,1，则下列说法错误的是（ ）
A．k=-2B．函数图象分布在第二、四象限
C．当x>0时，y随x的增大而增大D．当x<0时，y随x的增大而减小
【答案】D
【分析】根据题意求得反比例函数的解析式，根据k的值，判断函数的图象所在象限以及增减性即可求解．
【详解】解：∵反比例函数y=kx的图象经过点-2,1，
∴k=-2，故A选项正确，不符题意；
∵k=-2<0，
∴反比例数的图象分布在第二、四象限，故B选项正确，不符题意；
在每一个象限内，函数值y随x的增大而增大，故C选项正确，D选项不正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，求得k的值是解题的关键．
2．（2022秋·河北·九年级校联考阶段练习）一定电压下通过导体的电流I（A）和电阻R（Ω）之间成反比例函数，小明通过组合电路做实验时，发现电流I（A）随着电阻R（Ω）的变化而变化，其数据如下表所示．若在该电路中，电流表的最大量程是3A，为确保不超过电流表的最大量程，则该电路中电阻不小于（ ）
A．2ΩB．1.8ΩC．1.6ΩD．1.5Ω
【答案】C
【分析】根据表中数值求出反比例函数解析式，把I≤3代入解析式即可求出结果．
【详解】解：解：∵一定电压下通过导体的电流I（A）和电阻R(Ω)之间成反比例函数，
∴设I=UR，
把R=2时，I=2.4代入得2.4=U2，
∴U=4.8，
∴电流I（A）和电阻R(Ω)之间的反比例函数解析式为I=4.8R，
当4.8R≤3时，
即R≥1.6，
∴该电路中电阻不小于1.6Ω．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解决问题的关键．
3．（2022·河南漯河·校考一模）如图，点C在反比例函数y＝kx（x>0）的图象上，过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB=BC，△AOB的面积为2，则k的值为（ ）
A．6B．8C．9D．10
【答案】B
【分析】根据题意可以设出点A的坐标，从而得到点C和点B的坐标，再根据△AOB的面积为2，即可求得k的值．
【详解】解：设点A的坐标为（a，0），
∵过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB=BC，△AOB的面积为2，
∴点C（-a，−ka），
∴点B的坐标为（0，-k2a），
∴-a⋅(-k2a)2＝2，
解得，k=8，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
4．（2022秋·重庆·九年级校联考期中）如图，正方形ABCD的顶点A的坐标为-1,0，点D在反比例函数y=mx的图象上，B点在反比例函数y=3x的图像上，AB的中点E在y轴上，则m的值为（ ）
A．-2B．-3C．-6D．-8
【答案】D
【分析】作DM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，如图，先根据题意求得AN=2，然后证明△ADM≌△BAN得到DM=AN=2，AM=BN=3，则D（-4，2），根据待定系数法即可求得m的值．
【详解】解：作DM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，如图，
∵点A的坐标为（-1，0），
∴OA=1，
∵AE=BE，BN∥y轴，
∴OA=ON=1，
∴AN=2，B的横坐标为1，
把x=1代入y=3x，得y=3，
∴B（1，3），
∴BN=3，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∴∠MAD+∠BAN=90°，
而∠MAD+∠ADM=90°，
∴∠BAN=∠ADM，
在△ADM和△BAN中
∠AND＝∠ANB＝90°∠ADM＝∠BANAD＝AB
∴△ADM≌△BAN（AAS），
∴DM=AN=2，AM=BN=3，
∴OM=OA+AM=1+3=4 ，
∴D（-4，2） ，
∵点D在反比例函数y=mx，的图象上，
∴m=-4×2=-8 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，三角形全等的判定和性质等知识，求得D的坐标是解题的关键．
5．（2022春·江苏苏州·八年级统考期中）我们学校教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间（min）的关系如图，为了在上午第一节下课时（8:30）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的（ ）
A．7:00B．7:05C．7:10D．7:15
【答案】A
【详解】试题解析：∵开机加热时每分钟上升10℃，
∴从30℃到100℃需要7分钟，
设一次函数关系式为：y=k1x+b，
将（0，30），（7，100）代入y=k1 x+b得k1="10，b=30"
∴y="10x+30（0≤x≤7），令y=50，解得x=2；"
设反比例函数关系式为：y=kx
将（7，100）代入y=kx得k=700，∴y=700x，
将y=30代入y=700x，解得x=703
∴y=700x（7≤x≤703），令y="50，解得x=14．"
所以，饮水机的一个循环周期为703分钟．每一个循环周期内，在时间段0≤x≤2内，及703≤x≤14水温不超过50℃．
逐一分析如下：
选项A：7：20至8：45之间有85-703 703×3=15分钟．，85位于14≤x≤703时间段内，故可行；
选项B：7：30至8：45之间有75分钟．75-703×3=5，不在0≤x≤2及14≤x≤703时间段内，故不可行；
选项C：7：45至8：45之间有60分钟．60-703×2=403≈13.3，不在0≤x≤2及14≤x≤703时间段内，故不可行；
选项D：7：50至8：45之间有55分钟．55-703×2=253≈8.3，不在0≤x≤2及14≤x≤703时间段内，故不可行．
综上所述，四个选项中，唯有7：20符合题意．
故选A．
考点：反比例函数的应用．
6．（2022·江苏盐城·统考模拟预测）如图，矩形OABC的一个顶点与坐标原点重合，OC、OA分别在x轴和y轴上，正方形CDEF的一条边在x轴上，另一条边CD在BC上，反比例函数y=-8x的图像经过B,E两点，已知OA=2，则正方形的边长是（ ）
A．43-2B．4-23C．23-2D．3
【答案】C
【分析】依据反比例函数y=-8x的图象经过B点，BC＝AO＝2，可得B（-4，2），设正方形的边长为a，则E（-4-a，a），代入反比例函数y=-8x，可得正方形的边长是23-2．
【详解】∵反比例函数y=-8x的图象经过B点，BC＝AO＝2，
∴当y＝2时，x＝-4，即B（-4，2），
设正方形的边长为a，则OD＝-4-a，DE＝a，
∴E（-4-a，a），
代入反比例函数y=-8x，可得
-a（4＋a）＝-8，
解得a＝23−2或a＝−23−2（舍去），
∴正方形的边长是23−2，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
7．（2022·新疆·统考模拟预测）已知关于x的方程x+12+x-b2=2有两个相等的实数根，且反比例函数y=1+bx的图象在每个象限内y随x的增大而增大，那么反比例函数的关系式为（ ）
A．y=2xB．y=-2xC．y=-3xD．y=3x
【答案】B
【分析】先根据Δ=b2-4ac=0求出b的值，然后根据反比例函数的性质确定b的值，然后代入反比例函数的解析式中即可得出答案．
【详解】x+12+x-b2=2可变形为2x2+(2-2b)x+(b2-1)=0 ，
∵关于x的方程x+12+x-b2=2有两个相等的实数根，
∴Δ=(2-2b)2-4×2×(b2-1)=0，
解得b=-3或b=1 ．
∵反比例函数y=1+bx的图象在每个象限内y随x的增大而增大，
∴1+b<0 ，
∴b<-1 ，
∴b=-3 ．
当b=-3时，y=1-3x=-2x．
故选：B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，反比例函数的性质和待定系数法，掌握一元二次方程根的判别式和反比例函数的性质是解题的关键．
8．（2022春·江苏·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，已知点A（3，﹣1），点B（1，2），连接AB，将线段AB绕点A顺时针旋转45°后并延长至点C，使得AC＝2AB，若反比例函数y＝kx经过AC的中点，则k的值为（ ）
A．72B．214C．74D．212
【答案】B
【分析】过点B作AB的垂线交AC的延长线于点H，由旋转45°和AC=2AB可以推断△ABC是等腰直角三角形，过点B作y轴的平行线，过点C、A分别作x轴的平行线交于点F和点E，由K型全等求出点C的坐标，从而得到点D的坐标，从而求出反比例函数的比例系数k．
【详解】解：如图，记AC的中点为点D，过点B作AB的垂线交AC的延长线于点H，
∵∠ABH=90°，∠BAC=45°，
∴△ABH是等腰直角三角形，且AB=BH，
∴AH=2AB，
∵AC=2AB，
∴点C和点H重合，AB=BC，
过点B作y轴的平行线，过点C、A分别作x轴的平行线交于点F和点E，
∴∠FBC+∠ABE=90°，∠FBC+∠FCB=90°，
∴∠FCB=∠ABE，
又∵AB=BC，∠F=∠E=90°，
∴△FCB≌△EBA（AAS），
∴FC=BE，BF=AE，
∵A（3，-1），B（1，2），
∴AE=2，BE=3，
∴CF=3，BF=2，
∴C（4，4），
∴AC的中点D为（72，32），
∴反比例函数y=kx经过AC的中点D，
∴k=72×32=214．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和三角形全等模型“K”型全等，以及反比例函数比例系数k的几何意义，本题的关键是要学会由旋转45°和AC=2AB证明三角形ABC是等腰直角三角形，然后利用K型全等得到点C的坐标．
9．（2022·甘肃张掖·校联考二模）如图，是反比例函数y=k1x和y=k2x（k1A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【分析】设A（a，b），B（c，d），根据面积公式可得12cd-12ab=2.
【详解】设A（a，b），B（c，d），代入得：k1=ab，k2=cd．∵S△AOB=2，∴12cd-12ab=2，∴k2-k1=4．故故选C
【点睛】考核知识点：反比例函数和面积.
10．（2023春·八年级课时练习）如图，点A是双曲线y=3x在第一象限上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．下列结论：①连接OC，则AB⊥OC；②点C在函数y=-9xx>0上运动．则（ ）
A．①对②错B．①错②对C．①②都对D．①②都错
【答案】C
【分析】设点A的坐标为（a，3a），连接OC，则OC⊥AB，表示出OC，过点C作CD⊥x轴于点D，设出点C坐标，在Rt△OCD中，利用勾股定理可得出x2的值，进而得出结论．
【详解】解：如图，
设A（a，3a），点C始终在双曲线y=-kxx>0上运动，
∵点A与点B关于原点对称，
∴OA=OB，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB⊥OC，OC=3AO，
∵AO=a2+(3a)2，
∴CO=3a2+272，
过点C作CD⊥x轴于点D，
则可得∠AOD=∠OCD（都是∠COD的余角），
设点C的坐标为（x，y），则tan∠AOD=tan∠OCD，
即3aa=x-y，解得y=-a23x．
在Rt△COD中，CD2+OD2=OC2，即y2+x2=3a2+27a2，
将y=-a23x代入，可得：x2=27a2，
故x=33a,y=-a23x=-3a，
则xy=-9，即k=-9，
所以，点C在函数y=-9xx>0上运动．
所以，①②都对，
故选：C．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
二、填空题
11．（2022·八年级单元测试）已知y与x成反比例，当x=14时，y=1，则当x=1时，y= .
【答案】14
【分析】先利用待定系数法求出函数解析式，再把x=1代入关系式计算即可.
【详解】解：设y=kx，把x=14，y=1代入得：k=xy=14×1=14，所以y与x的函数关系式是：y=14x，当x=1时，y=14.
故答案为：14.
【点睛】本题考查了利用待定系数法求反比例函数的解析式和已知自变量的值求函数值，属于应知应会题型，熟练掌握待定系数法求解的方法是关键.
12．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨工业大学附属中学校校考二模）反比例函数y＝k+3x的图象经过点（1，﹣2），则k的值是 ．
【答案】-5
【分析】将点(1，﹣2)代入y＝k+3x，即可求出k的值．
【详解】解：将点(1，﹣2)代入y＝k+3x得，k+3＝1×(﹣2)，
解得k＝﹣5．
故答案为﹣5．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征. 所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数.
13．（2022·浙江杭州·九年级）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x+6与x轴、y轴分别交于AB两点，以A，B为边在第一象限作正方形ABCD，顶点D恰好落在双曲线y=kx上，若将正方形沿x轴向左平移b个单位长度后，点C恰好落在该双曲线上，则b的值为 ．
【答案】4
【分析】根据直线的解析式求出A点和B点的坐标，由此可以计算出AB的长，过C点向y轴作垂线，垂足为E，根据三角形全等的判定定理和性质，可以得出点C的坐标，过点D向x轴作垂线，垂足为F，同理可以得出D点的坐标，从而得出双曲线的解析式，将C点纵坐标 代入双曲线的解析式，得出C点平移后的横坐标，根据C点横坐标的变化规律即可得b的值.
【详解】解：如图，分别过点C和点D作y轴，x轴的垂线，垂足分别为E，F.
∵直线y=-3x+6与x轴、y轴分别交于AB两点
当x=0时，y=6，当y=0时，x=2
∴A（2,0），B（0,6）
∴OB=6，OA=2
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABO+∠CBE=∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠ABO=∠BCE
又∵AB=BC，∠AOB=∠BEC
BE=OA=2，
∴C点坐标为（6,8）
∴△AOB≌△BEC
∴BO=CE=6
同理△AOB≌△DFA
AF=OB=6，DF=2
∴D点坐标为（8,2）
将D点坐标代入双曲线解析式
得：k=16
故双曲线解析式为y=16x
将C点纵坐标代入解析式得
8=16x
故x=2
∴C点平移后对应点坐标为（2，8）
故C点向左平移了6-2=4个单位长度
故答案为4
【点睛】本题考查了三角形全等的判定，待定系数法求函数解析式以及坐标的平移，解决本题的关键是理解题意，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法.
14．（2022秋·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边AB∥x轴，点A在双曲线y=5x（x＜0）上，点B在双曲线y=kx（x＞0）上，边AC中点D在x轴上，△ABC的面积为8，则k= ．
【答案】－3
【详解】解：连接AO，BO，
∵边AC中点D在x轴上，
∴三角形ABD的面积=12三角形ABC的面积=4，
∵AB∥x轴，
∴三角形ABD的面积=三角形ABO的面积=4，
∴5+|k|=4×2，则|k|=3，
∵k＜0
∴k=－3．
故答案是：-3．
15．（2022秋·九年级单元测试）你吃过兰州拉面吗？实际上做拉面的过程渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度ycm是面条粗细（横截面积）xcm2的反比例函数，假设其图象如图所示，则y与x之间的函数表达式为 ．
【答案】y=128xx>0
【分析】设反比例函数图象设解析式为y=kx，根据反比例函数图象经过点0.04，3200，利用待定系数法求解即可.
【详解】解：设反比例函数图象设解析式为y=kx，
由图得，反比例函数上一点坐标为0.04，3200，
∴k=0.04×3200=128，
又题中实际意义需x>0．
故答案为：y=128xx>0．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求函数解析式，根据图象找出函数图象经过的点的坐标是解题的关键．
16．（2023春·广东汕头·九年级汕头市龙湖实验中学校考开学考试）如图,已知A1,A2,A3,…An,An+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=An,An+1=1，分别过点A1A2A3,…An,An+1作x轴的垂线交反比例函数y＝1xx>0的图象于点B1,B2,B3,…Bn,Bn+1,过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1,过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2……记ΔB1P1B2的面积为S1,ΔB2P2B3的面积为S2……ΔBnPnBn+1的面积为Sn，则S1+S2+S3+…Sn等于 ．

【答案】n2（n+1）
【分析】由OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1可知B1点的坐标为（1，y1），B2点的坐标为（2，y2），B3点的坐标为（3，y3）…Bn点的坐标为（n，yn），Bn+1点的坐标为（n+1，yn+1），把x=1，x=2，x=3代入反比例函数的解析式即可求出y1、y2、y3的值，再由三角形的面积公式可得出S1、S2、S3…Sn的值，故可得出结论．
【详解】解：∵OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，
∴设B1(1,y1),B2(2,y2),B3(3,y3),…Bn(n,yn)，Bn+1（n+1，yn+1），
∵B1,B2,B3…Bn，Bn+1在反比例函数y＝1xx>0的图象上，
∴y1=1,y2=12,y3=13，…，yn=1n，yn+1=1n+1，
∴S1=12×1×(y1−y2)=12×1×(1−12)=12(1−12)；
S2=12×1×(y2−y3)=12×(12−13)；
S3=12×1×(y3−y4)= 12×(13−14)；
…
Sn=12 (1n−1n+1)，
∴S1+S2+S3+…+Sn=12(1−12+12−13+13−14+…+1n−1n+1)=12(1-1n+1)=n2（n+1）.
故答案为n2（n+1）.
【点睛】本题是一道找规律问题.用反比例函数上的点的坐标求出三角形的高是解题的关键.
三、解答题
17．（2023春·河南漯河·九年级校考阶段练习）如图，反比例函数y＝kxx>0的图象经过点A3，1，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，连接OA．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段OA的垂直平分线；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(3)线段OC、OA与（2）中所作的垂直平分线分别交于B、D两点，连接AB．求△ABC的周长．
【答案】(1)y=3xx>0
(2)见解析
(3)4
【分析】（1）将点A(3,1)代入y=kx求出k值即可求解；
（2）按尺规作图的要求作图即可；
（3）根据点A(3,1)求得AC=1，根据线段的垂直平分线的性质得，OB=AB，最后求△ABC的周长即可．
【详解】（1）解：将A3，1代入反比例函数y=kxx>0，
解得：k=3×1=3，
∴反比例函数的表达式为y=3xx>0
（2）解：如图，
（3）解：如图，
∵A(3,1)，AC⊥x轴
∴AC=1，OC=3，
由垂直平分线性质可知：AB=OB，
故△ABC周长=AB+BC+AC=OB+BC+AC=OC+AC=3+1=4．
【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，用尺作图，线段的垂直平分线的性质等知识，利用线段垂直平分线的性质是解题的关键．
18．（2023春·海南海口·八年级校联考期中）如图，已知反比例函数y=k1x与一次函数y=k2x+b的图象交于点A1,8，B-4,m．
（1）求k1，k2，b的值;
（2）求△AOB的面积．
【答案】（1）k1=8，k2=2，b=6；（2）S△AOB=15．
【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式中，即可求出k1，然后将点B的坐标代入反比例函数解析式中即可求出m的值，最后将点A和点B的坐标代入一次函数解析式中即可求出k2，b；
（2）先求出一次函数与y轴的交点坐标，过点A作AD⊥y轴于D，过点B作BE⊥y轴于E，易知AD=1，BE=4，然后根据S△AOB=S△COB+S△COA即可求出结论．
【详解】解：（1）∵反比例函数y=k1x与一次函数y=k2x+b的图象交于点A1,8，B-4,m
∴k1=8，B-4,-2，
得8=k2+b-2=-4k2+b，
得k2=2b=6
综上所述，k1=8，k2=2，b=6；
（2）由（1）知一次函数y=2x+6的图象y轴的交点坐标为0,6，设点C（0,6），过点A作AD⊥y轴于D，过点B作BE⊥y轴于E，易知AD=1，BE=4
∴S△AOB=S△COB+S△COA=12×6×4+12×6×1=15；
【点睛】此题考查的是反比例函数和一次函数的综合大题，掌握利用待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式和三角形的面积公式是解决此题的关键．
19．（2022秋·浙江杭州·九年级统考期末）如图，在平面中，一次函数（≠0）的图象与反比例函数（≠0）的图象相交于A、B两点.
（1）根据图象分别求出反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出：当x为何值时，一次函数值大于反比例函数值；
（3）在反比例函数图象上取点C，求三角形ABC的面积．
【答案】（1），；（2）或；（3）
【详解】试题分析：（1）根据直角坐标系可得出A、B两点的坐标，再将A、B两点的坐标代入与，即可得出解析式；
（2）求出一次函数图象在反比例函数图象的上方时的x的取值范围即可；
（3）把△ABC放在一个边长为3的正方形内，用正方形的面积减去周围几个小直角三角形的面积即可得到结果.
（1）由图可得A（2，0.5），B（-1，-1），由题意得
，解得
∴反比例函数解析式为，一次函数解析式为；
（2）由图象可得当或时，一次函数值大于反比例函数值；
（3）
考点：本题考查了用待定系数法求函数关系式，一次函数与反比例函数的交点，三角形的面积
点评：解答本题的关键是注意在求不规则三角形的面积时，往往把这个三角形放在一个长方形或正方形中，再减去周围几个小直角三角形的面积即可.
20．（2022春·九年级单元测试）如图，已知A(4, a)，B(-2, -4)是一次函数y1=kx+b的图象和反比例函数y2=mx的图象的交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解折式．
(2)观察图象，直接写出使y1>y2成立的自变量x的取值范围．
(3)求△AOB的面积．
【答案】(1)y2=8x ,y1=x-2；(2) 当x>4或-2y2；(3)6.
【分析】（1）先将B点坐标代入反比例函数中，求得反比例函数解析式，然后求得A点坐标，再利用待定系数法求得一次函数解析式；
（2）题图中一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围即为结果；
（3）如图，设直线y1=x-2与x轴交于点C，根据反比例函数系数的几何意义求解即可.
【详解】解：(1)①将B(-2, -4)代入y2=mx，
可得 m-2=-4，
解得m=8，
∴y2=8x，
②当x=4时，y=84=2，
∴A(4, 2)，
将A(4, 2)、B(-2, -4)代入y1=kx+b
可得：4k+b=2-2k+b=-4，
解得k=1b=-2，
∴y1=x-2；
(2)当x>4或-2y2；
(3)如图，设直线y1=x-2与x轴交于点C，
令y1=0可得：x-2=0，
∴x=2，
∴C(2, 0)，
S△AOB=S△AOC+S△BOC=12×2×2+12×2×4=2+4=6．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，以及反比例函数系数的几何意义，熟练掌握其知识点是解此题的关键.
21．（2023春·八年级课时练习）如图，点A(m,4)在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，点B在y轴上，OB=2，将线段AB向右下方平移，得到线段CD，此时点C落在反比例函数的图象上，点D落在x轴正半轴上，且OD=1．
(1)点B的坐标为__________，点D的坐标为__________，点C的坐标为__________（用含m的式子表示）；
(2)求k的值和直线AC的表达式．
【答案】(1)（0，2），（1，0），（m＋1，2）
(2)4；y＝-2x＋6
【分析】（1）根据OB＝2可得点B的坐标，根据OD＝1可得点D的坐标为（1，0），由平移规律可得点C的坐标；
（2）根据点C和D的坐标列方程可得m的值，从而得k的值，再利用待定系数法可得直线AC的解析式．
【详解】（1）∵点B在y轴上，OB=2，
∴B（0，2），
∵点D落在x轴正半轴上，且OD=1
∴D（1，0），
∴线段AB向下平移2个单位，再向右平移1个单位，得到线段CD，
∵点A（m，4），
∴C（m＋1，2），
故答案为：（0，2），（1，0），（m＋1，2）；
（2）∵点A和点C在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，
∴k＝4m＝2（m＋1），
∴m＝1，
∴A（1，4），C（2，2），
∴k＝1×4＝4，
设直线AC的表达式为：y=sx+t，
∴s+t=42s+t=2 解得s=-2t=6，
∴直线AC的表达式为：y＝-2x＋6．
【点睛】此题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用以及平移的性质，根据OB和OD的长得出平移的规律是解题关键．
22．（2022秋·九年级课时练习）如图,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴和y轴上,点B的坐标为(2,3),反比例函数y=kx (k>0)的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE.
(1)求反比例函数的表达式及点E的坐标；
(2)点F是OC边上一点,若△FBC∽△DEB，求点F的坐标．
【答案】（1）y=3x，（2，32）（2）（0，53）
【分析】（1）根据D为BC的中点首先得出D点坐标，再根据反比例函数的图象经过点D，得出函数关系式，进而得出E点坐标
（2）直接利用相似三角形的性质分析得出答案．
【详解】（1）∵BC∥x轴，点B的坐标为（2，3），
∴BC=2，
∵点D为BC的中点，
∴CD=1，
∴点D的坐标为（1，3），
将点D的坐标代入y=kx中得：k=1×3=3；
∴反比例函数的表达式y=３ｘ，
∵BA∥y轴，
∴点E的横坐标与点B的横坐标相等为2，
∵点E在双曲线上，
∴y=３２，
∴点E的坐标为（2，３２）；
（2）∵点E的坐标为（2，３２），B的坐标为（2，3），点D的坐标为（1，3），
∴BD=1，BE=３２，BC=2，
∵△FBC∽△DEB，
∴DBCF＝BEBC，
∴FC=４３，
∴OF=3－４３＝５３
∴点F的坐标为（0，５３）．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质、反比例函数的图象和性质、以及矩形的性质等知识，正确应用相似三角形的性质是解题关键．
23．（2022·北京海淀·首都师范大学附属中学校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，直线l1与y轴交于点A0,m，与反比例函数y=4x(x>0）的图象交于点B．过点B作BH⊥x轴于H．
1若A0,-3,Bn,1，求直线l1的解析式；
2平移1中的直线l1，若AO>13BH,直接写出m的取值范围．
【答案】（1）y=x-3；（2）m>33或m<-33
【分析】（1）把B(n,1)代入y=4x(x>0)求出n=4，得出B的坐标是(4,1)，然后根据待定系数法即可求得．
（2）若AO=13BH，则BH=3|m|，求出两种特殊位置m的值，可得结论．
【详解】解：（1）把B(n,1)代入y=4x(x>0)得：n=4，
即B(4,1)，
设直线l1的解析式为y=kx+b，
把A、B的坐标代入得：4k+b=1b=-3，
解得k=1b=-3，
∴一次函数的解析式是y=x-3．
（2）由题意可知直线l1为y=x+m，
由题意，A(0,m)，C(-m,0)，
∴OA=OC=|m|，
∴ΔBCH是等腰直角三角形，
若AO=13BH，则BH=3|m|，
当m<0时，B(-43m，-3m)，
则有-4m=-43m，解得m=-33或33（舍弃），
当m>0时，B(43m，3m)，
则有-4m=-43m，解得m=-33（舍弃）或33，
观察图象可知，满足条件的m的值为：m>33或m<-33．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型．
24．（2023春·浙江·八年级专题练习）《城镇污水处理厂污染物排放标准》中硫化物的排放标准为1.0mg/L．某污水处理厂在自查中发现，所排污水中硫化物浓度超标．因此立即整改，并开始实时监测．据监测，整改开始第60小时时，所排污水中硫化物的浓度为5mg/L；从第60小时开始，所排污水中硫化物的浓度ymgL是监测时间x（小时）的反比例函数，其图像如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)按规定所排污水中硫化物的浓度不超过0.8mg/L时，才能解除实时监测，此次整改实时监测的时间至少要多少小时？
【答案】(1)y=300x
(2)375小时
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx，根据题意，求解即可；
（2）利用反比例函数的性质，求解即可．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y=kx，
根据题意，得：k=xy=60×5=300，
∴y与x之间的函数关系式为y=300x；
（2）解：当y=0.8时，x=3000.8=375．
对于反比例函数y=300x，当x>0时，y随x的增大而减小，
所以当y≤0.8时，x≥375，
即此次整改实时监测的时间至少要375小时．
【点睛】此题考查了反比例函数的应用，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质．
25．（2022春·江苏苏州·八年级阶段练习）如图，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上移动，过点O、A、C作矩形OABC，OA=a,OC=b，移在动过程中，双曲线y=kx (x>0)的图象始终经过BC的中点E，交AB于点D.
(1)证明：点D是AB的中点；
(2) 连结OE记∠AOE= α.
①当α=45°时，求 a、b之间的数量关系；
②当α=30°，k=3 时，将四边形OABE沿OE翻折，得四边形OMNE,记双曲线与四边
形OMNE除点E外的另一个交点为F，求直线DF的解析式
【答案】（1）见解析 （2）① a=2b ② y=-12x+3+12
【详解】分析：（1）根据中点坐标公式得到E点坐标，再根据待定系数法得到双曲线解析式，把D点的横坐标代入可求D点的纵坐标，依此即可证明；
（2）①根据等腰直角三角形的性质即可得到a、b之间的数量关系；
②首先过点E作EH⊥OA于点H，过点F作FG⊥OA于点G，由∠EOA=30°，k=3，即可求得点E的坐标，又由点E是BC的中点，可求得点D的横坐标，继而求得点D的坐标，然后由折叠的性质，可得∠FOA=60°，即可求得点F的坐标，然后由待定系数法求得直线DF的解析式．
详解： 1∵E为BC中点,OA=a OC=b，
∴Ea2,b，
把E代入y=kx，得： k=ab2 ，
∴y=ab2x ，
∴Da,b2，即AD=b2 .
∴D为AB中点.
2①∵OABC为矩形，∠α=45°，
∴∠COE=∠CEO=45°，
∴CO=CE=b，
∴b=12a，即a=2b.
② (3)如图，过点E作EH⊥OA于点H，过点F作FG⊥OA于点G，
∵∠AOE=30°,k=3，
∴EHOH=33，
∴OH=3EH，
∵S△EOH=12OH⋅EH=12k=32，
∴EH=1,OH=3，
∵E是BC的中点，
∴OA=2OH=23，
∴点D的横坐标为23，
则y=323=12，
∴点D(23,12)，
由折叠的性质可得：∠FOA=2∠AOE=60°，
∴FG:OG=3，
∵S△FOG=12OG⋅FG=12k═32，
∴OG=1,FG=3，
∴点F(1,3)，
设直线EF的解析式为：y=ax+b，
则23a+b=12a+b=3，
解得：a=-12b=3+12，
∴直线EF的解析式为：y=−12x+3+12.
点睛：反比例函数综合题.
L/cm
10
15
25
30
F/N
30
20
a
10
P
1.5
2
2.5
3
4
…
V
64
48
38.4
32
24
…
x（厘米）
1
2
3
5
y（米）
14
7
143
2.8
第1天
第2天
第3天
第4天
售价x（元/双）
150
200
250
300
销售量y/（双）
40
30
24
20
木板面积Sm2
1
1．5
2
2．5
3
4
木板对湿地的压强pPa
600
400
300
240
200
150
桌面所受压强P（Pa）
100
200
400
500
800
受力面积Sm2
2
1
0.5
0.4
0.25
售价x（元/件）
5
8
商品的销售量Q（件）
580
400
R（Ω）
…
2
3
4
…
I（A）
…
2.4
1.6
1.2
…