方法必备08 几何综合题“不一样的旋转，不一样的特征”-2024年中考数学考点必备

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题型二：旋转之相似特性
题型三：旋转之隐圆本性
题型一：旋转之全等特性
旋转是全等变换之一，其本质特点即为旋转前后的两个图形全等，利用全等性质解决有关线段与角的计算问题，
1．（2023•无锡）如图，四边形中，，，，，为射线上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到．设，的面积为．
（1）当时，求的长；
（2）当时，求关于的函数表达式；
（3）求的最小值．
【分析】（1）过点作交于，连接，可得四边形是菱形，则是等边三角形，由得，则是的中点，可得，证明，可得，即可求解；
（2）连接，作，可表示出，从而得出，可证得，从而得出，可得出，从而，进一步得出结果；
（3）将绕点顺时针旋转至，连接，可证得△，从而得出，可得出，，从而得出，从而，故当点在处时，最小，从而，从而得出的最小值为：．
【解答】解：（1）如图1，
作，交于，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
是等边三角形，，
，，
，，
，
，
；
（2）（方法一）如图2，
连接，以为圆心，长为半径画弧交的延长线于，作，交的延长线于，
，
，
，
，
，
，
，
由（1）知：，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
；
（方法二）如图3，
连接，作，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
（3）（方法一），如图4，
由（2）知：，
点在与过点且与成的直线上运动，
作于，作于，作交于，作于，当点在处时，最小，
，，
，
，
由（2）知：，
，
，
，
，
的最小值为：，
（方法二）如图5，
将绕点顺时针旋转至，连接，
，
，
，，
△，
，
，
，
，
，
，
当点在处时，最小，
，
的最小值为：．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
2．（2023•鄱阳县二模）【课本再现】（1）如图1，点在等边的边上，连接，将绕点旋转，使得旋转后点的对应点为点，得到，连接，判断的形状，并说明理由；
【类比迁移】（2）如图2，是等边三角形，点在外，，，求面积的最小值；
【拓展应用】（3）如图3，是等腰直角三角形，若于点，，，直接写出的长．
【分析】是等边三角形，，，得出，，，可证是等边三角形；
（2）如图1，延长到点，使，是等边三角形，，，，根据等量代换，，，
当时，最小，此时面积最小，进而求解；
（3）的长为或，
如图2，延长至点，使，是等腰直角三角形，根据等量代换，，，是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解，如图3，在上取一点，使，同理可得．
【解答】解：（1）是等边三角形，
理由：是等边三角形，
，
依题意可知，，
，，
，
是等边三角形；
（2）如图1，延长到点，使，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
当时，最小，此时面积最小，
，
此时面积为：
面积的最小值为：；
（3）的长为或，
如图2，延长至点，使，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
．
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
如图3，在上取一点，使，
同理可得，
综上所述，的长为或．
【点评】本题考查等边三角形，等腰直角三角形，旋转和最值等综合问题，解题的关键是对问题的分类讨论．
3．（2023•高新区校级四模）如图，在中，，，为线段上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，作射线．
（1）求证：，并求的度数；
（2）若为中点，连接，连接并延长，交射线于点．当，时，
①求的长；
②直接写出的长．
【分析】（1）利用证明，得，即可解决问题；
（2）①利用勾股定理求出的长，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得答案；
②利用等角对等边说明点为的中点，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得答案．
【解答】（1）证明：，
，
又，，
．
又，，
，
，
，
．
（2）①在中，，，
，
又为中点，
则．
②在中，为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质是解题的关键．
4．（2023•甘孜州）如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．
（1）求证：；
（2）若时，求的长；
（3）点在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）由即可证明；
（2）证明，得到，在 中，；
（3）证明，即可求解．
【解答】（1）证明：由题意，可知，，．
．
即．
在和中，
；
（2）解：在中，，
，，
．
，
，，
．
，
在 中，；
（3）解：存在，理由：
由（2）可知，，
当最小时，有 的值最小，此时．
为等腰直角三角形，
，
．
即 的最小值为18．
【点评】本题主要考查了图形的几何变换，涉及到等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，有一定的综合性，难度适中．
5．（2023•攀枝花）如图1，在中，，沿方向向左平移得到，、对应点分别是、．点是线段上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转至线段，使得，连接．
（1）当点与点重合时，求的长；
（2）如图2，连接、．在点的运动过程中：
①和是否总是相等？若是，请你证明；若不是，请说明理由；
②当的长为多少时，能构成等腰三角形？
【分析】（1）根据平移的性质可得四边形、四边形是平行四边形，再由已知推导出是的平分线，由等腰三角形的性质可得，过点作交于点，求出，再由，所以；
（2）①证明，则；
②过点作交于，由等积法可得，求出，分三种情况讨论：当时，；当点与点重合时，，此时，当时，，在中，，可得；当时，，过点作交于，所以，能求出，，则；当时，，当点在上时，，此时点与点重合，此时．
【解答】（1）当点与点重合时，，
由平移可知，，，
四边形、四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
是的平分线，
，
，
如图1，过点作交于点，
，
，
，
，
；
（2）①，理由如下：
如图2，，，，
，
；
②如图2，过点作交于，
由①可知，
，
当时，
，
，
，
，
当点与点重合时，，此时，
当时，，在中，，
；
当时，，
，
，
过点作交于，
，
，，
，
，
，
，
；
当时，
，
，
，
，
当点在上时，，此时点与点重合，
；
综上所述：的长为14或11或8或0．
【点评】本题考查几何变换的综合应用，熟练掌握三角形平移的性质，旋转的性质，三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
6．（2023•重庆）如图，在等边中，于点，为线段上一动点（不与，重合），连接，，将绕点顺时针旋转得到线段，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接交于点，连接，，与所在直线交于点，求证：；
（3）如图3，连接交于点，连接，，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，．若，直接写出的最小值．
【分析】（1）根据旋转的性质得出，，进而证明，即可得证；
（2）过点作，交点的延长线于点，连接，，证明四边形是平行四边形，即可得证；
（3）如图所示，延长，交于点，由（2）可知是等边三角形，根据折叠的性质可得，，进而得出是等边三角形，由（2）可得，得出四边形是平行四边形，则，进而得出，则，当取得最小值时，即时，取得最小值，即可求解．
【解答】（1）证明：为等边三角形，
，，
将绕点顺时针旋转得到线段，
，，
是等边三角形，
，
，
，
；
（2）证明：如图所示，过点作，交点的延长线于点，连接，，
是等边三角形，
，
，
，
垂直平分，
，
又，
，，
，
在的垂直平分线上，
，
在的垂直平分线上，
垂直平分，
，，
，
又，，
是等边三角形，
，
，
，
又，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；
解法二：连接，证明，可得结论．
（3）解：依题意，如图所示，延长，交于点，
由（2）可知是等边三角形，
，
将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，
，，
，
是等边三角形，
，
由（2）可得，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
由（2）可知是的中点，则，
，
，
折叠，
，
，
又，
，
当取得最小值时，即时，取得最小值，此时如图所示，
，
，
．
解法二：由两次翻折，推得，则，
由，推出的最小值，只需要求出的最小值，
当时，的值最小，最小值为1，
的最小值为．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
7．（2023•永川区一模）在中，，，点为边上一动点，连接，将绕着点逆时针方向旋转得到，连接．
（1）如图1，，点恰好为中点，与交于点，若，求的长度；
（2）如图2，与交于点，连接，在延长线上有一点，，求证：；
（3）如图3，与交于点，且平分，点为线段上一点，点为线段上一点，连接，，点为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在，运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求的长，由旋转的性质可得，，即可求解；
（2）由“”可证，可得，，由“”可得，可得，可得结论；
（3）先证明当点，点，点三点共线，且时，有最小 值，再证明点，点，点三点共线，由等腰直角三角形和折叠的性质可求解．
【解答】（1）解：，，
，
，，
，
点为中点，
，
，
将绕着点逆时针方向旋转得到，
，，
；
（2）证明：如图2，过点作交于点，
，，
，，
，
，，
，，
，
将绕着点逆时针方向旋转得到，
，，
，
，
，，
，
又，，
，
，
，
；
（3）解：如图3，在上截取，连接，
平分，
，
又，
，
，
，
当点，点，点三点共线，且时，有最小值，
如图4，
，，
，
折叠，
，，
，
，
，
，
，
，
又，
点，点，点三点共线，
折叠，
，
，
，，
，
，
，
，
．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
8．（2023•邹城市校级二模）和是等腰直角三角形，，，．
【观察猜想】当和按如图1所示的位置摆放，连接、，延长交于点，猜想线段和有怎样的数量关系和位置关系．
【探究证明】如图2，将绕着点顺时针旋转一定角度，线段和线段的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
【拓展应用】如图3，在中，，，，将绕着点逆时针旋转至，连接，求的长．
【分析】【观察猜想】根据推出，根据全等三角形的性质得出，根据求出，求出，根据三角形内角和定理求出即可；
【探究证明】根据推出，根据全等三角形的性质得出，根据求出，求出，根据三角形内角和定理求出即可；
【拓展应用】在的左侧以为直角顶点作等腰直角，连接，则，，，可得，由勾股定理可得，，由旋转得，，由【探究证明】知，即可得的长．
【解答】解：【观察猜想】，，
证明：在和中，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
；
【探究证明】线段和线段的数量关系和位置关系仍然成立，
证明：，
，
即，
在和中，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
；
【拓展应用】如图，在的左侧以为直角顶点作等腰直角，连接，
，，，
，
，
，
，
将绕着点逆时针旋转至，
，，
由【探究证明】知，
．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明是本题的关键．
9．（2023•随州）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点，，，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
（1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当的三个内角均小于时，
如图1，将绕点顺时针旋转得到△，连接，
由，，可知为 等边 三角形，故，又，故，
由 可知，当，，，在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”，
且有 ；
已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 点．
（2）如图4，在中，三个内角均小于，且，，，已知点为的“费马点”，求的值；
（3）如图5，设村庄，，的连线构成一个三角形，且已知，，．现欲建一中转站沿直线向，，三个村庄铺设电缆，已知由中转站到村庄，，的铺设成本分别为元，元，元，选取合适的的位置，可以使总的铺设成本最低为 元．（结果用含的式子表示）
【分析】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析后即可得出结论，然后填空即可；
（2）根据（1）的方法将绕点顺时针旋转得到△，即可得出可知当、、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为，再根据可证明，根据勾股定理即可求出；
（3）根据总铺设成本，将绕点顺时针旋转得到△，得到等腰直角△，推出，即可得出当、、、在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为的长，然后根据已知条件和旋转的性质求出即可．
【解答】解：（1），，
为等边三角形，
，，
又，
，
根据两点之间线段最短可知，当、、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为，
此时的点为该三角形的“费马点”，
，，
，，
将绕点顺时针旋转得到△，
△，
，
，
，
，
，，
，，
三个顶点中顶点到另外两个顶点的距离和最小，
又已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点，
该三角形的“费马点”为点．
故答案为：等边；两点之间线段最短；；；
（2）如图4，将绕点顺时针旋转得到△，连接，
由（1）可知当、、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为，
，
，
又，
，
根据旋转的性质可知：，
，
即的最小值为5；
（3）总铺设成本，
当最小时，总铺设成本最低，
将绕点顺时针旋转得到△，连接，，
由旋转性质可知：，，，，
，
，
当、、、在同一条直线上时，取最小值，
即取最小值为，
过点作于，
，，
，
，
，
，
，
即的最小值为，
总铺设成本为：总铺设成本（元．
故答案为：．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短以及等边三角形的性质，深入理解题意是解决问题的关键．
10．（2023•贵州）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形中，，，过点作射线，垂足为，点在上．
（1）【动手操作】
如图②，若点在线段上，画出射线，并将射线绕点逆时针旋转与交于点，根据题意在图中画出图形，图中的度数为 135 度；
（2）【问题探究】
根据（1）所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
如图③，若点在射线上移动，将射线绕点逆时针旋转与交于点，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据题意画出图形，由，，得，而，即得；
（2）过作交于，证明是等腰直角三角形，得，，即可证，故；
（3）当在线段上时，过作交于，结合（2）可得；当在线段的延长线上时，过作交于，证明是等腰直角三角形，可得，，，，即可证，，根据，即得．
【解答】解：（1）画出图形如下：
，，
，
，
，
；
故答案为：135；
（2），理由如下：
过作交于，如图：
，
是等腰直角三角形，
，，
，即，，
，
，
，
；
（3）当在线段上时，过作交于，如图：
由（2）可知，，，
，
，
，
；
当在线段的延长线上时，过作交于，如图：
，，
，
是等腰直角三角形，，
，，，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述，当在线段上时，；当在线段的延长线上时，．
【点评】本题考查几何变换综合应用，涉及等腰直角三角形，旋转变换，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
11．（2023•辽宁）是等边三角形，点是射线上的一点（不与点，重合），连接，在的左侧作等边三角形，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，交于点．
（1）如图1，当点为中点时，请直接写出线段与的数量关系；
（2）如图2，当点在线段的延长线上时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当，时，请直接写出的长．
【分析】（1）可证得，进一步得出结果；
（2）连接，可证明，从而，，进而得出，从而得出，从而，结合得出四边形是平行四边形，从而得出；
（3）分为两种情形：当点在的延长线上时，作于，可得出，，从而，进而得出，进一步得出结果；当点在上时，作于，可得出，，进一步得出结果．
【解答】解：（1）是等边三角形，点是的中点，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
；
（2）如图1，
仍然成立，理由如下：
连接，
和是等边三角形，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；
（3）如图2，
当点在的延长线上时，
作于，
，
，
，
，
，
由（2）知：，
，
，
，
，
如图3，
当点在上时，
作于，
由上知：，，
，
，
，
综上所述：或．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”等模型．
12．（2023•辽宁）在中，，，点为的中点，点在直线上（不与点，重合），连接，线段绕点逆时针旋转，得到线段，过点作直线，过点作，垂足为点，直线交直线于点．
（1）如图1，当点与点重合时，请直接写出线段与线段的数量关系；
（2）如图2，当点在线段上时，求证：；
（3）连接，的面积记为，的面积记为，当时，请直接写出的值．
【分析】（1）连接，由，，得，根据线段绕点逆时针旋转，得到线段，有，，可得，从而，，知是等腰直角三角形，，故；
（2）由，，为的中点，得，，证明，得，根据，即得；
（3）由，设，则，分两种情况：当在线段上时，延长交于，由，得，而四边形是矩形，有，，根据勾股定理可得，故，，即得；当在射线上时，延长交于，同理可得．
【解答】（1）解：，理由如下：
连接，如图：
，，
，
线段绕点逆时针旋转，得到线段，
，，
，
，
，，
直线，
，
是等腰直角三角形，
，
；
（2）证明：如图，
，，为的中点，
，，
，
，
直线，直线，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：由，设，则，
当在线段上时，延长交于，如图：
由（2）知，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
当在射线上时，延长交于，如图：
同理可得，
，
，
，
，，为的中点，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述，的值为或．
【点评】本题考查等腰直角三角形中的旋转问题，涉及三角形全等的判定于性质，矩形的判定与性质，三角形面积等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
题型二：旋转之相似特性
将一个几何图形绕着它的一个顶点作旋转相似变换时，一定会出现新的相似．利用新的相似图形的性质解决有关线段与角的计算问题，这是行之有效的常用方法．
13．（2023•锦州）【问题情境】如图，在中，，，点在边上．将线段绕点顺时针旋转得到线段（旋转角小于，连接，，以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接．
【尝试探究】
（1）如图1，当时，易知；
如图2，当时，则与的数量关系为 ；
（2）如图3，写出与的数量关系（用含的三角函数表示），并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图4，当且点，，三点共线时．若，，请直接写出的长．
【分析】（1）可证明，从而，进而得出结果；
（2）过点作于点，可推出，进而证得，从而；
（3）作于点，过点作，交延长线于点，设，则，由得，从而，，进而表示出，．，在中，由勾股定理列出方程，从而，进一步得出结果．
【解答】解：（1）当时，和是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）如图1，
，理由如下：
过点作于点，
，
，，
同理可得：，
，
，
，
，
，
；
（3）方法一
如图2，
作于点，过点作，交延长线于点，
，
，
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，．
在中，由勾股定理得，
，
，
，
，
由（2）得：，
方法二
如图3，
作交延长线于点，过点作于点，
过点作于点，
，
，
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，
，
，
，，
，
，
，
是以为底边的等腰三角形，，
，
，
，，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
14．（2023•鼓楼区校级模拟）如图1，在中，，，，点，为边，的中点，连接，将△绕点逆时针旋转．
（1）如图1，当时， 2 ，，所在直线相交所成的较小夹角的度数为 ；
（2）将△绕点逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）在△绕点逆时针旋转过程中，
①请直接写出的最大值；
②当，，三点共线时，请直接写出线段的长．
【分析】（1）先求出，，再求出，进而求出，即可得出结论；
（2）先判断出，得出，，进而求出，即可得出结论；
（3）①当点落在的延长线上时，的面积最大，利用三角形面积公式求解即可；
②分两种情况：先画出图形，利用勾股定理求出，即可得出结论．
【解答】解：（1）在中，，
，
，
，
是的中点，是的中点，
，，
，
，
，所在直线相交所成的较小夹角为，
故答案为2，；
（2）（1）中结论仍然成立，证明：延长，相交于点，如图2，
由旋转知，，
，，
，，
，，
，
，
，，
，
；
（3）①由题意，，，，
当点落在的延长线上时，的面积最大，最大值；
②在图1中，在△中，，当点在的延长线上时，如图3，
，，三点共线，
，
在△中，，
；
当点在线段上时，如图4，
同①的方法得，，
，
即线段的长为或．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
题型三：旋转之隐圆本性
旋转的核心是旋转中心，图形上任意一点绕旋转中心旋转就会形成弧——隐圆， 由此，将隐形圆展现出来，就能解决与之相关的路径长问题和围成的面积等计算问题，也可以解决与之相关的最值问题．
15．（2023•广元）如图1，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且．
（1）若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是 ；
（2）如图2，在（1）的条件下，若，，，求的长；
（3）如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值．
【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质得出，，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解；
（2）求出，延长交于点，在 中，由直角三角形的性质求得，，进而求得的长，根据 的结论，得出，在中，勾股定理求得，进而根据，即可求出案．
（3）如图所示，以为边在上方作，且，，连接，，，，同（1）可得，求出的长，进而得出在以为圆心，为半径的圆上运动，当点，， 三点共线时，的值最大，进而求得，，根据得出，过点作于点，由直角三角形的性质分别求得，，然后求出，最后根据正切的定义即可得出答案．
【解答】解：（1）在中，，在中，，，
，，，
，，
，
，
，
故答案为：；
（2）在，，，，
，，
延长交于点，如图所示，
，，
，
由（1）可得，
，
，
在中，，
，
，
，
即；
（3）如图所示，以为边在上方作，且，，连接，，，，
同（1）可得，
，
，
，
在中，，，
在以为圆心，为半径的圆上运动，
当点，，三点共线时，的值最大，此时如图所示，则，
在中，，
，，
，
，
，
，
过点作于点，
，，
，
，
，
中，．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，锐角三角函数的定义，熟练掌握解直角三角形及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
16．（2023•岳阳）如图1，在中，，点，分别为边，的中点，连接．
初步尝试：（1）与的数量关系是 ，与的位置关系是 ．
特例研讨：（2）如图2，若，，先将绕点顺时针旋转为锐角），得到，当点，，在同一直线上时，与相交于点，连接．
①求的度数；
②求的长．
深入探究：（3）若，将绕点顺时针旋转，得到，连接，．当旋转角满足，点，，在同一直线上时，利用所提供的备用图探究与的数量关系，并说明理由．
【分析】（1），点，分别为边，的中点，则是的中位线，即可得出结论；
（2）特例研讨：①连接，，，证明是等边三角形，是等边三角形，得出；
②连接，证明，则，设，则，在中，，，则，在中，，勾股定理求得，则；
（3）当点，，在同一直线上时，且点在上时，设，则，得出，则．，， 在同一个圆上，进而根据圆周角定理得出，表示与，即可求解；当在上时，可得，，，在同一个圆上，设，则，设，则，则，表示 与，即可求解．
【解答】解：（1），点，分别为边，的中点，
是的中位线，
，；
故答案为：，；
（2）特例研讨：①如图所示，连接，，，
是的中位线，
，
，
将绕点顺时针旋转为锐角），得到，
，；，
点，，在同一直线上，
，
在中，是斜边的中点，
，
，
是等边三角形，
，即旋转角，
，，
是等边三角形，
又，，
，
，
，
；
（2）如图所示，连接，
，，
，，
，，
，
，
设，则，
在中，，则，
在中，，
，
解得： 或 （舍去），
；
（3）如图所示，当点，，在同一直线上时，且点在上时，
，
，设，则，
是的中位线，
，
，
将绕点顺时针旋转，得到，
，，
，
，
点，，在同一直线上，
，
，
，，，在同一个圆上，
，
，
，
，
如图所示，当在上时，
，，
，，，在同一个圆上，设，则，
将绕点顺时针旋转，得到，设，则，则，
，
，，
，
，
，
，
综上所述，或．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，中位 线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌 以上知识是解题的关键．
17．（2023•安徽）在中，是斜边的中点，将线段绕点旋转至位置，点在直线外，连接，．
（1）如图1，求的大小；
（2）已知点和边上的点满足，．
如图2，连接，求证：；
如图3，连接，若，，求的值．
【分析】（1）证，得，，再由三角形内角和定理得即可；
（2）证四边形是平行四边形，得，再证四边形是平行四边形，进而得平行四边形是菱形，则，然后证、、、四点共圆，由圆周角定理得，即可得出结论；
过点作于点，由勾股定理得，再由菱形的性质得，进而由锐角三角函数定义得，则，，然后由锐角三角函数定义即可得出结论．
【解答】（1）解：是的中点，
，
由旋转的性质得：，
，，
，
，
即的大小为；
（2）证明：，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形，
，
又，
、、、四点共圆，
，
，
；
解：如图3，过点作于点，
则，
在中，由勾股定理得：，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
即的值为．
【点评】本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，四点共圆，圆周角定理以及锐角三角函数定义等知识，本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质、等腰三角形的性质以及锐角三角函数是解题的关键，属于中考常考题型．
18．（2023•巴中）综合与实践．
（1）提出问题．如图1，在和中，，且，，连接，连接交的延长线于点．
①的度数是 ．
② ．
（2）类比探究．如图2，在和中，，且，，连接、并延长交于点．
①的度数是 ；
② ．
（3）问题解决．如图3，在等边中，于点，点在线段上（不与重合），以为边在的左侧构造等边，将绕着点在平面内顺时针旋转任意角度．如图4，为的中点，为的中点．
①说明为等腰三角形．
②求的度数．
【分析】（1）（2）从图形可辩知，这个是手拉手全等或相似模型，按模型的相关结论解题．
（3）稍有变化，受前两问的启发，连接、完成手拉手的构造，再结合三角形中位线知识解题．
【解答】解：（1）①，
，
．
又，，
．
，
，
，
，
即：，
．
故的度数是．
②由①得，
．
故．
（2）①，，
，
又，
，
，．
，
．
，
，
．
故 的度数是．
②由①得：．
，
，且，
，
．
．
（3）①解：连接、，延长交于点，交于点．
在等边中，又于点，
为的中点，
又为的中点，为的中点，
、分别是、的中位线，
，．
，
．
．
在和中，
，
．
．
．
为等腰三角形．
②，
，
由（1）（2）规律可知：，
，
又，，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定及性质．方法灵活多变，需要较强的构造能力．
19．（2023•湖北）【问题呈现】
和都是直角三角形，，，，连接，，探究，的位置关系．
【问题探究】
（1）如图1，当时，直接写出，的位置关系： ．
（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展应用】
（3）当，，时，将绕点旋转，使，，三点恰好在同一直线上，求的长．
【分析】（1）由“”可证，可得，由余角的性质可证；
（2）通过证明，可得，由余角的性质可证；
（3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可得，由勾股定理可求解．
【解答】解：（1）如图1，延长交于点，交于，
当时，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）（1）中的结论成立，理由如下：
如图2，延长交于点，交于，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
（3）如图3，当点在线段上时，连接，
，
，
，
，
，
，
或（舍去），
，
当点在线段上时，连接，
，
，
，
，
，
，
或（舍去），
，
综上所述：或．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
20．（2023•盘锦）如图，四边形是正方形，点在上，点在的延长线上，，连接，，点在的延长线上，，点在线段上，且，将线段绕点逆时针旋转得到线段，使得，交于点．
（1）线段与线段的关系是 垂直且相等 ．
（2）若，，求的长．
（3）求证：．
【分析】（1）证明，从而，，进而；
（2）可证得，从而，进而，从而得出；
（3）延长至，使，作，交于，设，可推出，从而得出，可证得，从而得出．
【解答】（1）解：四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：垂直且相等；
（2）解：，，
，
，
线段绕点逆时针旋转得到线段，
，
，
，
；
（3）证明：如图，
延长至，使，作，交于，
，
，
，
，，
设，
，，
，
，
，
，
，，，
，
．
【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
21．（2024•鞍山模拟）问题提出
已知是等边三角形，将等边三角形，，三点按逆时针排列）绕顶点旋转，且平移线段使点与顶点重合，得到线段，连接，，．
观察发现
（1）如图1，当点在线段上，猜想的形状 等边三角形 ；
探究迁移
（2）如图2，当点不在线段上，（1）中猜想的结论是否依然成立，请说明理由；
拓展应用
（3）若，，在绕着点旋转的过程中，当时，求线段的长．
【分析】（1）由，是等边三角形，可得，，故是等边三角形；
（2）延长交于，由，是等边三角形，得，，，而平移线段使点与顶点重合，得到线段，有，，故，，从而，即得，知，，即可得是等边三角形；
（3）设直线交于，分两种情况：①当在下方时，求出，由勾股定理可得，设，，可得，解得（负值已舍去），，故；当在上方时，同理可得．
【解答】解：（1）点在线段上时，
，是等边三角形，
，，
是等边三角形；
故答案为：等边三角形；
（2）当点不在线段上，（1）中的结论依然成立，理由如下：
延长交于，如图：
，是等边三角形，
，，，
平移线段使点与顶点重合，得到线段，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，即，
，
，
是等边三角形；
（3）设直线交于，分两种情况：
①当在下方时，如图：
由（2）可知是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
平移线段使点与顶点重合，得到线段，
，
而，
，
；
设，，
，，
，
，
①②得：，
③，
把③代入①得：，
解得（负值已舍去），
，
，
，
；
当在上方时，如图：
同理可得，
，
设，，
，，
，
解得（负值已舍去），
；
综上所述，的值为或．
【点评】本题考查几何变换综合应用，涉及三角形全等的判定与性质，等边三角形性质及应用，勾股定理及应用等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
22．（2024•宜昌模拟）在中，．将绕点顺时针旋转得到，旋转角小于，点的对应点为点，点的对应点为点，交于点，延长交于点．
（1）如图1，求证：；
（2）当时，
①如图2，若，，求线段的长；
②如图3，连接，，延长交于点，判断是否为线段的中点，并说明理由．
【分析】（1）由旋转的性质得到，，，根据证明，即可证明；
（2）①连接，由勾股定理求得，利用全等三角形的性质和平行线的性质求得，推出，据此求解即可；
②连接，延长和交于点，证明，得到，，利用，得到，，进而证得，推导出，即是线段的中点．
【解答】（1）证明：连接，如图1，
由旋转的性质知，，，
，
，
；
（2）解：①连接，如图2，
，，，
，
由旋转的性质知，，，
由（1）知，
，，
，
，
，
，
，
；
②是线段的中点．理由如下：
连接，延长和交于点，如图3，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，即是线段的中点．
【点评】本题属于几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，正确作出辅助线解决问题是解答本题的关键．
23．（2023•红花岗区校级一模）【问题发现】
（1）如图1所示，和均为正三角形，、、三点共线．猜想线段、之间的数量关系为 ； ；
【类比探究】
（2）如图2所示，和均为等腰直角三角形，，，，、、三点共线，线段、交于点．此时，线段、之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出的度数；
【拓展延伸】
（3）如图3所示，在中，，，，为的中位线，将绕点顺时针方向旋转，当所在直线经过点时，请直接写出的长．
【分析】（1）证，得，，进而判断出的度数为即可；
（2）证，得，，则，再求出，即可得出结论；
（3）分两种情况，根据相似三角形的判定与性质结合勾股定理分别求出的长即可．
【解答】解：（1）和均为等边三角形，
，，，，
，
即，
在和中，
，
，
，，
点，，在同一直线上，
，
，
，
综上所述，的度数为，线段与之间的数量关系是，
故答案为：，60；
（2）结论：，，理由如下：
和均为等腰直角三角形，
，，
，，
和中，，，，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
；
（3）分两种情况：
①如图4，
，，，
，
，
为的中位线（如图3中），
，，，，
，，
由旋转的性质得：，
，
，，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：或（舍去）
；
②如图5，同①得：，
则，，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：或（舍去），
；
综上所述，的长为或．
【点评】本题考查几何变换综合题，考查了旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
24．（2023•黄山一模）如图，过等边的顶点作的垂线，点为上一点（不与点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
（1）求证：；
（2）连接并延长交直线于点．若，
①试猜想和的数量关系，并证明；
②若，求的长．
【分析】（1）等边三角形的性质可得，，由旋转得，，则，则，；
（2）①连接，旋转得，，则是等边三角形，，，是垂直平分线，即可得到；
②由（1）得，，．，求得，在，，，，，则，，，．
【解答】（1）证明：在等边中，，，
由旋转可得，，，
，
，
即，
，
；
（2）猜想：①．
证明：连接，如图：
由旋转可得，，，
是等边三角形，
，
．
是垂直平分线，
点在上，
；
②由（1）得，
，．
，
，
，
，
，
在中，，
，
，，
．
，
．
，
．
【点评】此题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．