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方法必备05 压轴大题几何中的最值问题（5种题型40题专练）-2024年中考数学考点必备
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题型一：圆中的最值问题（9题）
题型二：胡不归模型（11题）
题型三：阿氏圆模型（5题）
题型四：瓜豆原理（4题）
题型五：将军饮马模型（11题）
题型一：圆中的最值问题（9题）
1．（2023•竞秀区二模）已知，在半圆中，直径，点，在半圆上运动，弦．
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，若，求图中阴影部分（弦、直径、弧围成的图形）的面积；
（3）如图3，取的中点，点从点开始运动到点与点重合时结束，在整个运动过程中：点到的距离的最小值是 ．
2．（2023•大兴区二模）在平面直角坐标系中，已知点，．点为平面内一点（不与点，点重合），若是以线段为斜边的直角三角形，则称点为线段的直点．
（1）若，
①在点，，这三个点中，点 是线段的直点；
②点为线段的直点，点，求的取值范围；
（2）点在直线上，若点的横坐标 满足，点为线段的直点，且，直接写出的取值范围．
3．（2022•舟山二模）如图，已知，，是的平分线．动点从点出发，以的速度沿水平向左做匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以的速度沿竖直向上做匀速运动．连接，交于点．经过，，三点作圆，交于点，连接、．设运动时间为，其中．
（1）用含的代数式表示线段的长，并求的最小值．
（2）求四边形的面积．
（3）是否存在实数，使得线段的长度最大？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
4．（2022•常州模拟）如图，半圆的直径，以长为2的弦为直径，向点方向作半圆，其中点在上且不与点重合，但点可与点重合．
（1）计算：劣弧的长；
（2）思考：点与的最大距离为 ，此时点，间的距离为 ；点与的最小距离为 ．
（3）探究：当半圆与相切时，求的长．
（注：结果保留，，
5．（2022•灞桥区校级三模）问题提出：
（1）如图①，已知点到直线的距离是5，以为圆心、2为半径作圆，则上一点到直线的最小距离为 ．
问题探究：
（2）如图②，已知正方形的边长为2，是边上的动点，交于点，垂足为，连结，则求的最小值．
问题解决：
（3）如图③，有一个矩形花坛，，，根据设计造型要求，在上任取一动点，连，过点作，交于点，在上截取，连接、；现需在的区内种植一种黄色花卉，在矩形内的其它区域种植一种红色花卉，已知种植这种黄色花卉每平方米需200元，种植这种红色花卉每平方米需180元，完成这两种花卉的种植至少需花费多少元？（结果保留整数，参考数据：
6．（2023•南海区一模）如图1，在矩形中，，，点在射线上运动，将沿翻折，使得点与点重合，连接交于点．
（1）【初步探究】当点落在边上时，求的长；
（2）【深入探究】在点的运动过程中，是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由；
（3）【拓展延伸】如图3，点为的中点，连接，点在射线上运动过程中，求长的最大值．
7．（2023•北京一模）在平面直角坐标系中，的半径为1，为上一点，点．
对于点给出如下定义：将点绕点顺时针旋转，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．
（1）如图，已知点，点，点为点的“对应点”．
①在图中画出点；
②求证：；
（2）点在轴正半轴上，且，点为点的“对应点”，连接，当点在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的积（用含的式子表示）．
8．（2022•房山区模拟）对于平面直角坐标系中的图形和图形，给出如下定义：在图形上存在两点，（点，可以重合），在图形上存在两点，（点，可以重合）使得，则称图形和图形满足限距关系．
（1）如图1，点，，，，点在线段上运动（点可以与点，重合），连接，．
①线段的最小值为 ，最大值为 ；线段的取值范围是 ；
②在点，点中，点 与线段满足限距关系；
（2）在（1）的条件下，如图2，的半径为1，线段与轴、轴正半轴分别交于点，，且，若线段与满足限距关系，求点横坐标的取值范围；
（3）的半径为，点，是上的两个点，分别以，为圆心，2为半径作圆得到和，若对于任意点，，和都满足限距关系，直接写出的取值范围．
9．（2022•雁塔区校级二模）问题提出：
（1）如图1，点、在上且，过点作，交于点，交于点，连接、，若，则线段的长度为 ．
问题探究：
（2）如图2，在中，，，求边长度的最大值；
问题解决：
（3）如图3，某城市拟在河流、所夹半岛区域建一个湿地公园，公园的周长由亲水廊桥、、和绿化带四部分构成．其中、两定点间的距离为2000米．根据规划要求，、两点间的距离为600米，、两点到直线的距离相等，的中点到的距离比点到的距离多米；若修建时需保证与的和为120度，请判断这个湿地公园的周长是否存在最大值？若存在，请求出最大值．若不存在，请说明理由．（结果保留
题型二：胡不归模型（11题）
1．（2023•湘潭县三模）如图，抛物线与轴相交于点，，与轴交于点，连接．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点为轴上一个动点，连接，求的最小值；
（3）连接，在轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2023•徐州二模）抛物线与直线相交于、两点，与轴相交于点，点在轴的负半轴上．
（1）求抛物线的函数表达式及顶点的坐标；
（2）如图1，直线上方的抛物线上有一动点，过点作于点，求垂线段的最大值；
（3）如图2，当点运动到抛物线对称轴右侧时，连接，交抛物线的对称轴于点，当最小时，直接写出此时的长度．
3．（2022•仁寿县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），交轴于点，点为抛物线的顶点，对称轴与轴交于点．
（1）连接，点是线段上一动点（点不与端点，重合），过点作，交抛物线于点（点在对称轴的右侧），过点作轴，垂足为，交于点，点是线段上一动点，当取得最大值时，求的最小值；
（2）在（1）中，当取得最大值，取得最小值时，把点向上平移个单位得到点，连接，把绕点顺时针旋转一定的角度，得到△，其中边交坐标轴于点．在旋转过程中，是否存在一点，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2021•津南区一模）已知抛物线交轴于，两点，且点的坐标为，其对称轴交轴于点．
（Ⅰ）求该抛物线的顶点的坐标；
（Ⅱ）设是线段上的一个动点（点不与点，重合）．
①过点作轴的垂线交抛物线（对称轴右侧）于点，连接，，求面积的最大值；
②连接，求的最小值．
5．（2021•南山区校级三模）如图，已知抛物线与轴相交于点，与轴分别交于点和点，且．
（1）求抛物线解析式．
（2）抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由；
（3）抛物线的对称轴交轴于点，在轴上是否存在一个点，使值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
6．（2021•惠山区校级一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），交轴于点，点的坐标为，点为抛物线的顶点，对称轴与轴交于点．
（1）填空： ，点的坐标是 ；
（2）连接，点是线段上一动点（点不与端点，重合），过点作，交抛物线于点（点在对称轴的右侧），过点作轴，垂足为，交于点，点是线段上一动点，当的周长取得最大值时，求的最小值；
（3）在（2）中，当的周长取得最大值时，取得最小值时，如图2，把点向下平移个单位得到点，连接，把绕点顺时针旋转一定的角度，得到△，其中边交坐标轴于点．在旋转过程中，是否存在一点，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2021•红桥区模拟）已知抛物线，为常数，与轴的正半轴交于点，其顶点的坐标为．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）点是抛物线上位于直线上方的一个动点，求面积的最大值；
（Ⅲ）点是抛物线对称轴上的一个动点，连接，求的最小值．
8．（2021•香洲区校级三模）如图，抛物线交轴于，两点（点在点左侧），交轴于点，直线经过点、，点是线段上的一动点（不与点，重合）．
（1）求，两点的坐标；
（2）当点，关于抛物线的对称轴对称时，求的最小值及此时点的坐标；
（3）连接，当与相似时，求出点的坐标．
9．（2021•青山区模拟）已知抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，且．设抛物线的顶点为，对称轴交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点为抛物线上的一点，且，连接，交对称轴于点．点为线段上一动点，连接，当时，求的最小值．
（3）如图2，过点作，交轴于点，将线段向上平移个单位长度，使得线段与抛物线有两个交点，求的取值范围．
10．（2021•番禺区一模）如图，中，，，过点作交于点．
（1）求证：；
（2）设．
①以为半径的交边于另一点，点为边上一点，且．连接，求．
②点是线段上一动点（不与、合），连接，在点运动过程中，求的最小值．
11．（2023•南山区三模）如图，在中，，，经过点，且圆的直径在线段上．
（1）试说明是的切线；
（2）若中边上的高为，试用含的代数式表示的直径；
（3）设点是线段上任意一点（不含端点），连接，当的最小值为6时，求的直径的长．
题型三：阿氏圆模型（5题）
1．（2023•万州区模拟）如图，在等腰直角三角形中，，过点作交过点的直线于点，，直线交于．
（1）如图1，若，求的长；
（2）如图2，过点作交于点，交的延长线于，取线段的中点，连接，求证：．
（3）在（2）的条件下，过点作交于点，若点是线段上任一点，连接，将沿折叠，折叠后的三角形记为△，当取得最小时，直接写出的值．
2．（2022•成都模拟）在中，，．若点为上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，交于点．
（1）如图1，若，，求的长；
（2）如图2，点为的中点，连接交于点．若，猜想线段与线段的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，若，为的中点，将绕点旋转得△，连接、，当最小时，求．
3．（2022•市中区校级模拟）如图，在 与中，，，，点在上．
（1）如图1，若点在的延长线上，连接，探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，若点与点重合，且，，将绕点旋转，连接，点为的中点，连接，在旋转的过程中，求的最小值；
（3）如图3，若点为的中点，连接、交于点，交于点，且，请直接写出的值．
4．（2021•沙坪坝区校级模拟）如图1，在四边形中，交于点，为等边三角形．
（1）若点为的中点，，，求的面积；
（2）如图2，若，点为的中点，求证：；
（3）如图3，若，，点为四边形内一点，且，连接，取的中点，连接．当，，时，求的最小值．
5．（2022•从化区一模）已知，是的直径，，．
（1）求弦的长；
（2）若点是下方上的动点（不与点，重合），以为边，作正方形，如图1所示，若是的中点，是的中点，求证：线段的长为定值；
（3）如图2，点是动点，且，连接，，一动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿线段匀速运动到点，再以每秒1个单位的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动，求点的运动时间的最小值．
题型四：瓜豆原理（4题）
1．（2023•海淀区校级三模）在平面直角坐标系中，给定图形和点，若图形上存在两个点，满足且，则称点是图形的关联点．
已知点，，．
（1）在点，，，，，中， 是线段的关联点；
（2）是以点为圆心，为半径的圆．
①当时，若线段上任一点均为的关联点，求的取值范围；
②记线段与线段组成折线，若存在，使折线的关联点都是的关联点，直接写出的最小值．
2．（2022•沈阳）【特例感知】
（1）如图1，和是等腰直角三角形，，点在上，点在的延长线上，连接，，线段与的数量关系是 ；
【类比迁移】
（2）如图2，将图1中的绕着点顺时针旋转，那么第（1）问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由．
【方法运用】
（3）如图3，若，点是线段外一动点，，连接．
①若将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最大值是 ；
②若以为斜边作，，三点按顺时针排列），，连接，当时，直接写出的值．
3．（2023•崖州区一模）若，以点为圆心，2为半径作圆，点为该圆上的动点，连接．
（1）如图1，取点，使为等腰直角三角形，，将点绕点顺时针旋转得到．
①点的轨迹是 （填“线段”或者“圆” ；
②的最小值是 ；
（2）如图2，以为边作等边（点、、按照顺时针方向排列），在点运动过程中，求的最大值．
（3）如图3，将点绕点逆时针旋转，得到点，连接，则的最小值为 ．
4．（2021秋•武昌区期末）如图1，在中，平分，平分，与交于点．
（1）若，则 ；
（2）如图2，，作交于点，求证：；
（3）如图3，，，若点为的中点，点在直线上，
连接，将线段绕点逆时针旋转得，，连接，当最短时，直接写出的度数．
题型五：将军饮马模型（11题）
1．（2023•巧家县校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且，．
（1）求线段的长；
（2）若点为轴上的一个动点，则当最小时，点的坐标为 ．
2．（2023•陕西模拟）如图，的顶点坐标为，，．
（1）画出关于轴对称的△（点，，分别是，，的对应点）；
（2）在轴上找一点，使的值最小．
3．（2023•南关区校级模拟）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①的线段上画一点，使得；
（2）在图②中，画的高；
（3）在图②中，若点、分别为线段、上的动点，连接、，当取最小值时，画出点、的位置．
4．（2023•广阳区二模）探索与发现．
小张同学在用作图软件探索图形性质的数学活动中，进行如下操作：如图，在边长为6的正方形的边上取定点，使，在边上设置动点，连接，以为边在的上方作正方形，连接，．
（1）小张同学通过观察发现图中，请给出证明；
（2）探索过程中发现，在点的运动过程中，的面积是个定值，请证明并求出这个定值；
（3）进一步探索后发现，随着点的运动，的周长会随着点位置的变化而变化，但存在一个最小值，请你求出周长的最小值．
5．（2022•内黄县二模）如图，在中，，，以为直径作，交于点，过点作的切线交于点．
（1）求证：．
（2）若，为上一点，当为最小值时，求的长．
6．（2023•卧龙区二模）综合与实践
问题提出
（1）如图①，请你在直线上找一点，使点到两个定点和的距离之和最小，即的和最小（保留作图痕迹，不写作法）；
思维转换
（2）如图②，已知点是直线外一定点，且到直线的距离为4，是直线上的动线段，，连接，，求的最小值．小敏在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将线段看作静线段，则点在平行于直线的直线上运动”，请你参考小敏的思路求的最小值；
拓展应用
（3）如图③，在矩形中，，连接，点、分别是边、上的动点，且，分别过点、作，，垂足分别为、，连接、，请直接写出周长的最小值．
7．（2023•渝中区校级一模）如图，△ABC是等边三角形，D为AB上一点，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转120°至CE，连接BE，分别交AC、CD于点F、G．
（1）若AD＝3，BD＝1，求△BCE的面积；
（2）请猜想线段AF，BD，CF之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）当△BCE周长最小时，请直接写出的值．
8．（2022•碑林区校级一模）（1）如图①，点、点在直线同侧，请你在直线上找一点，使得的值最小；（不需要说明理由）
（2）如图②，，点为内一定点，，点，分别在，上，的周长是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由；
（3）如图③，已知四边形中，，，，，点为边上的一点且，点，分别在边，上运动，点在线段上运动，连接，，，的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长最小值和此时的长，若不存在，请说明理由．
9．（2022•安国市一模）问题提出
初中数学的学习中，我们学习了“两点之间线段最短”“垂线段最短”等知识常可利用它们来解决“最值问题”．
简单运用
（1）如图1，在中，，，，在上取一点，则的长的最小值是 ．
综合运用
（2）如图1，在中，，，，在、、上分别取点、、，使得的周长最小．画出图形确定、、的位置，并直接写出的周长的最小值．
拓展延伸
（3）图2是由线段、线段、组成的图形，其中，，，为，分别在、线段和线段．上取点、、，使得的周长最小，画出图形确定、、的位置，并直接写出的周长的最小值．
10．（2022•西山区一模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知点，抛物线的最低点的坐标为．
（1）求出该抛物线的函数解析式；
（2）如图1，线段绕点逆时针旋转得到线段，与抛物线相交于点，求点的坐标．
（3）如图2，点，是线段上的动点，且，求周长的最小值．
11．（2022•渝中区校级自主招生）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点在左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，过点作的垂线，交对称轴于．
（1）如图1，点为第一象限内的抛物线上一动点，当面积最大时，在对称轴上找一点，在轴上找一点，使得最小，求此时点的坐标及的最小值；
（2）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点在射线上移动，点平移后的对应点为，点的对应点，设原抛物线的对称轴与轴交于点，将沿翻折，使点落在点处，在平面上找一点，使得以、、、为顶点的四边形为菱形．直接写出的坐标．
题型一：圆中的最值问题（9题）
题型二：胡不归模型（11题）
题型三：阿氏圆模型（5题）
题型四：瓜豆原理（4题）
题型五：将军饮马模型（11题）
题型一：圆中的最值问题（9题）
1．（2023•竞秀区二模）已知，在半圆中，直径，点，在半圆上运动，弦．
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，若，求图中阴影部分（弦、直径、弧围成的图形）的面积；
（3）如图3，取的中点，点从点开始运动到点与点重合时结束，在整个运动过程中：点到的距离的最小值是 ．
2．（2023•大兴区二模）在平面直角坐标系中，已知点，．点为平面内一点（不与点，点重合），若是以线段为斜边的直角三角形，则称点为线段的直点．
（1）若，
①在点，，这三个点中，点 是线段的直点；
②点为线段的直点，点，求的取值范围；
（2）点在直线上，若点的横坐标 满足，点为线段的直点，且，直接写出的取值范围．
3．（2022•舟山二模）如图，已知，，是的平分线．动点从点出发，以的速度沿水平向左做匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以的速度沿竖直向上做匀速运动．连接，交于点．经过，，三点作圆，交于点，连接、．设运动时间为，其中．
（1）用含的代数式表示线段的长，并求的最小值．
（2）求四边形的面积．
（3）是否存在实数，使得线段的长度最大？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
4．（2022•常州模拟）如图，半圆的直径，以长为2的弦为直径，向点方向作半圆，其中点在上且不与点重合，但点可与点重合．
（1）计算：劣弧的长；
（2）思考：点与的最大距离为 ，此时点，间的距离为 ；点与的最小距离为 ．
（3）探究：当半圆与相切时，求的长．
（注：结果保留，，
5．（2022•灞桥区校级三模）问题提出：
（1）如图①，已知点到直线的距离是5，以为圆心、2为半径作圆，则上一点到直线的最小距离为 ．
问题探究：
（2）如图②，已知正方形的边长为2，是边上的动点，交于点，垂足为，连结，则求的最小值．
问题解决：
（3）如图③，有一个矩形花坛，，，根据设计造型要求，在上任取一动点，连，过点作，交于点，在上截取，连接、；现需在的区内种植一种黄色花卉，在矩形内的其它区域种植一种红色花卉，已知种植这种黄色花卉每平方米需200元，种植这种红色花卉每平方米需180元，完成这两种花卉的种植至少需花费多少元？（结果保留整数，参考数据：
6．（2023•南海区一模）如图1，在矩形中，，，点在射线上运动，将沿翻折，使得点与点重合，连接交于点．
（1）【初步探究】当点落在边上时，求的长；
（2）【深入探究】在点的运动过程中，是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由；
（3）【拓展延伸】如图3，点为的中点，连接，点在射线上运动过程中，求长的最大值．
7．（2023•北京一模）在平面直角坐标系中，的半径为1，为上一点，点．
对于点给出如下定义：将点绕点顺时针旋转，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．
（1）如图，已知点，点，点为点的“对应点”．
①在图中画出点；
②求证：；
（2）点在轴正半轴上，且，点为点的“对应点”，连接，当点在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的积（用含的式子表示）．
8．（2022•房山区模拟）对于平面直角坐标系中的图形和图形，给出如下定义：在图形上存在两点，（点，可以重合），在图形上存在两点，（点，可以重合）使得，则称图形和图形满足限距关系．
（1）如图1，点，，，，点在线段上运动（点可以与点，重合），连接，．
①线段的最小值为 ，最大值为 ；线段的取值范围是 ；
②在点，点中，点 与线段满足限距关系；
（2）在（1）的条件下，如图2，的半径为1，线段与轴、轴正半轴分别交于点，，且，若线段与满足限距关系，求点横坐标的取值范围；
（3）的半径为，点，是上的两个点，分别以，为圆心，2为半径作圆得到和，若对于任意点，，和都满足限距关系，直接写出的取值范围．
9．（2022•雁塔区校级二模）问题提出：
（1）如图1，点、在上且，过点作，交于点，交于点，连接、，若，则线段的长度为 ．
问题探究：
（2）如图2，在中，，，求边长度的最大值；
问题解决：
（3）如图3，某城市拟在河流、所夹半岛区域建一个湿地公园，公园的周长由亲水廊桥、、和绿化带四部分构成．其中、两定点间的距离为2000米．根据规划要求，、两点间的距离为600米，、两点到直线的距离相等，的中点到的距离比点到的距离多米；若修建时需保证与的和为120度，请判断这个湿地公园的周长是否存在最大值？若存在，请求出最大值．若不存在，请说明理由．（结果保留
题型二：胡不归模型（11题）
1．（2023•湘潭县三模）如图，抛物线与轴相交于点，，与轴交于点，连接．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点为轴上一个动点，连接，求的最小值；
（3）连接，在轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2023•徐州二模）抛物线与直线相交于、两点，与轴相交于点，点在轴的负半轴上．
（1）求抛物线的函数表达式及顶点的坐标；
（2）如图1，直线上方的抛物线上有一动点，过点作于点，求垂线段的最大值；
（3）如图2，当点运动到抛物线对称轴右侧时，连接，交抛物线的对称轴于点，当最小时，直接写出此时的长度．
3．（2022•仁寿县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），交轴于点，点为抛物线的顶点，对称轴与轴交于点．
（1）连接，点是线段上一动点（点不与端点，重合），过点作，交抛物线于点（点在对称轴的右侧），过点作轴，垂足为，交于点，点是线段上一动点，当取得最大值时，求的最小值；
（2）在（1）中，当取得最大值，取得最小值时，把点向上平移个单位得到点，连接，把绕点顺时针旋转一定的角度，得到△，其中边交坐标轴于点．在旋转过程中，是否存在一点，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2021•津南区一模）已知抛物线交轴于，两点，且点的坐标为，其对称轴交轴于点．
（Ⅰ）求该抛物线的顶点的坐标；
（Ⅱ）设是线段上的一个动点（点不与点，重合）．
①过点作轴的垂线交抛物线（对称轴右侧）于点，连接，，求面积的最大值；
②连接，求的最小值．
5．（2021•南山区校级三模）如图，已知抛物线与轴相交于点，与轴分别交于点和点，且．
（1）求抛物线解析式．
（2）抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由；
（3）抛物线的对称轴交轴于点，在轴上是否存在一个点，使值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
6．（2021•惠山区校级一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），交轴于点，点的坐标为，点为抛物线的顶点，对称轴与轴交于点．
（1）填空： ，点的坐标是 ；
（2）连接，点是线段上一动点（点不与端点，重合），过点作，交抛物线于点（点在对称轴的右侧），过点作轴，垂足为，交于点，点是线段上一动点，当的周长取得最大值时，求的最小值；
（3）在（2）中，当的周长取得最大值时，取得最小值时，如图2，把点向下平移个单位得到点，连接，把绕点顺时针旋转一定的角度，得到△，其中边交坐标轴于点．在旋转过程中，是否存在一点，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2021•红桥区模拟）已知抛物线，为常数，与轴的正半轴交于点，其顶点的坐标为．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）点是抛物线上位于直线上方的一个动点，求面积的最大值；
（Ⅲ）点是抛物线对称轴上的一个动点，连接，求的最小值．
8．（2021•香洲区校级三模）如图，抛物线交轴于，两点（点在点左侧），交轴于点，直线经过点、，点是线段上的一动点（不与点，重合）．
（1）求，两点的坐标；
（2）当点，关于抛物线的对称轴对称时，求的最小值及此时点的坐标；
（3）连接，当与相似时，求出点的坐标．
9．（2021•青山区模拟）已知抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，且．设抛物线的顶点为，对称轴交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点为抛物线上的一点，且，连接，交对称轴于点．点为线段上一动点，连接，当时，求的最小值．
（3）如图2，过点作，交轴于点，将线段向上平移个单位长度，使得线段与抛物线有两个交点，求的取值范围．
10．（2021•番禺区一模）如图，中，，，过点作交于点．
（1）求证：；
（2）设．
①以为半径的交边于另一点，点为边上一点，且．连接，求．
②点是线段上一动点（不与、合），连接，在点运动过程中，求的最小值．
11．（2023•南山区三模）如图，在中，，，经过点，且圆的直径在线段上．
（1）试说明是的切线；
（2）若中边上的高为，试用含的代数式表示的直径；
（3）设点是线段上任意一点（不含端点），连接，当的最小值为6时，求的直径的长．
题型三：阿氏圆模型（5题）
1．（2023•万州区模拟）如图，在等腰直角三角形中，，过点作交过点的直线于点，，直线交于．
（1）如图1，若，求的长；
（2）如图2，过点作交于点，交的延长线于，取线段的中点，连接，求证：．
（3）在（2）的条件下，过点作交于点，若点是线段上任一点，连接，将沿折叠，折叠后的三角形记为△，当取得最小时，直接写出的值．
2．（2022•成都模拟）在中，，．若点为上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，交于点．
（1）如图1，若，，求的长；
（2）如图2，点为的中点，连接交于点．若，猜想线段与线段的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，若，为的中点，将绕点旋转得△，连接、，当最小时，求．
3．（2022•市中区校级模拟）如图，在 与中，，，，点在上．
（1）如图1，若点在的延长线上，连接，探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，若点与点重合，且，，将绕点旋转，连接，点为的中点，连接，在旋转的过程中，求的最小值；
（3）如图3，若点为的中点，连接、交于点，交于点，且，请直接写出的值．
4．（2021•沙坪坝区校级模拟）如图1，在四边形中，交于点，为等边三角形．
（1）若点为的中点，，，求的面积；
（2）如图2，若，点为的中点，求证：；
（3）如图3，若，，点为四边形内一点，且，连接，取的中点，连接．当，，时，求的最小值．
5．（2022•从化区一模）已知，是的直径，，．
（1）求弦的长；
（2）若点是下方上的动点（不与点，重合），以为边，作正方形，如图1所示，若是的中点，是的中点，求证：线段的长为定值；
（3）如图2，点是动点，且，连接，，一动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿线段匀速运动到点，再以每秒1个单位的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动，求点的运动时间的最小值．
题型四：瓜豆原理（4题）
1．（2023•海淀区校级三模）在平面直角坐标系中，给定图形和点，若图形上存在两个点，满足且，则称点是图形的关联点．
已知点，，．
（1）在点，，，，，中， 是线段的关联点；
（2）是以点为圆心，为半径的圆．
①当时，若线段上任一点均为的关联点，求的取值范围；
②记线段与线段组成折线，若存在，使折线的关联点都是的关联点，直接写出的最小值．
2．（2022•沈阳）【特例感知】
（1）如图1，和是等腰直角三角形，，点在上，点在的延长线上，连接，，线段与的数量关系是 ；
【类比迁移】
（2）如图2，将图1中的绕着点顺时针旋转，那么第（1）问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由．
【方法运用】
（3）如图3，若，点是线段外一动点，，连接．
①若将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最大值是 ；
②若以为斜边作，，三点按顺时针排列），，连接，当时，直接写出的值．
3．（2023•崖州区一模）若，以点为圆心，2为半径作圆，点为该圆上的动点，连接．
（1）如图1，取点，使为等腰直角三角形，，将点绕点顺时针旋转得到．
①点的轨迹是 （填“线段”或者“圆” ；
②的最小值是 ；
（2）如图2，以为边作等边（点、、按照顺时针方向排列），在点运动过程中，求的最大值．
（3）如图3，将点绕点逆时针旋转，得到点，连接，则的最小值为 ．
4．（2021秋•武昌区期末）如图1，在中，平分，平分，与交于点．
（1）若，则 ；
（2）如图2，，作交于点，求证：；
（3）如图3，，，若点为的中点，点在直线上，
连接，将线段绕点逆时针旋转得，，连接，当最短时，直接写出的度数．
题型五：将军饮马模型（11题）
1．（2023•巧家县校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且，．
（1）求线段的长；
（2）若点为轴上的一个动点，则当最小时，点的坐标为 ．
2．（2023•陕西模拟）如图，的顶点坐标为，，．
（1）画出关于轴对称的△（点，，分别是，，的对应点）；
（2）在轴上找一点，使的值最小．
3．（2023•南关区校级模拟）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①的线段上画一点，使得；
（2）在图②中，画的高；
（3）在图②中，若点、分别为线段、上的动点，连接、，当取最小值时，画出点、的位置．
4．（2023•广阳区二模）探索与发现．
小张同学在用作图软件探索图形性质的数学活动中，进行如下操作：如图，在边长为6的正方形的边上取定点，使，在边上设置动点，连接，以为边在的上方作正方形，连接，．
（1）小张同学通过观察发现图中，请给出证明；
（2）探索过程中发现，在点的运动过程中，的面积是个定值，请证明并求出这个定值；
（3）进一步探索后发现，随着点的运动，的周长会随着点位置的变化而变化，但存在一个最小值，请你求出周长的最小值．
5．（2022•内黄县二模）如图，在中，，，以为直径作，交于点，过点作的切线交于点．
（1）求证：．
（2）若，为上一点，当为最小值时，求的长．
6．（2023•卧龙区二模）综合与实践
问题提出
（1）如图①，请你在直线上找一点，使点到两个定点和的距离之和最小，即的和最小（保留作图痕迹，不写作法）；
思维转换
（2）如图②，已知点是直线外一定点，且到直线的距离为4，是直线上的动线段，，连接，，求的最小值．小敏在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将线段看作静线段，则点在平行于直线的直线上运动”，请你参考小敏的思路求的最小值；
拓展应用
（3）如图③，在矩形中，，连接，点、分别是边、上的动点，且，分别过点、作，，垂足分别为、，连接、，请直接写出周长的最小值．
7．（2023•渝中区校级一模）如图，△ABC是等边三角形，D为AB上一点，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转120°至CE，连接BE，分别交AC、CD于点F、G．
（1）若AD＝3，BD＝1，求△BCE的面积；
（2）请猜想线段AF，BD，CF之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）当△BCE周长最小时，请直接写出的值．
8．（2022•碑林区校级一模）（1）如图①，点、点在直线同侧，请你在直线上找一点，使得的值最小；（不需要说明理由）
（2）如图②，，点为内一定点，，点，分别在，上，的周长是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由；
（3）如图③，已知四边形中，，，，，点为边上的一点且，点，分别在边，上运动，点在线段上运动，连接，，，的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长最小值和此时的长，若不存在，请说明理由．
9．（2022•安国市一模）问题提出
初中数学的学习中，我们学习了“两点之间线段最短”“垂线段最短”等知识常可利用它们来解决“最值问题”．
简单运用
（1）如图1，在中，，，，在上取一点，则的长的最小值是 ．
综合运用
（2）如图1，在中，，，，在、、上分别取点、、，使得的周长最小．画出图形确定、、的位置，并直接写出的周长的最小值．
拓展延伸
（3）图2是由线段、线段、组成的图形，其中，，，为，分别在、线段和线段．上取点、、，使得的周长最小，画出图形确定、、的位置，并直接写出的周长的最小值．
10．（2022•西山区一模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知点，抛物线的最低点的坐标为．
（1）求出该抛物线的函数解析式；
（2）如图1，线段绕点逆时针旋转得到线段，与抛物线相交于点，求点的坐标．
（3）如图2，点，是线段上的动点，且，求周长的最小值．
11．（2022•渝中区校级自主招生）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点在左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，过点作的垂线，交对称轴于．
（1）如图1，点为第一象限内的抛物线上一动点，当面积最大时，在对称轴上找一点，在轴上找一点，使得最小，求此时点的坐标及的最小值；
（2）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点在射线上移动，点平移后的对应点为，点的对应点，设原抛物线的对称轴与轴交于点，将沿翻折，使点落在点处，在平面上找一点，使得以、、、为顶点的四边形为菱形．直接写出的坐标．
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