【期中讲练测】苏科版八年级下册数学 03分式（考点专练）.zip

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分式有无意义、值为0的条件
根据分式的值的情况判断参数值或取值范围
分式的基本性质
已知分式恒等变形求未知数
分式的化简求值
分式的比较大小
求分式的最值问题
与分式运算有关的新定义问题
与分式运算有关的规律探究问题
与分式运算有关的阅读理解问题
解分式方程
与解分式方程有关的新定义问题
与解分式方程有关的阅读理解问题
与解分式方程有关的错误步骤探究问题
分式方程与不等式组综合
一．分式有无意义、值为0的条件（共4小题）
1．（23-24八年级上·湖北黄石·期末）下列结论：
①不论a为何值时aa2+1都有意义；
②a=-1时，分式(a+1)(a2-1)的值为0；
③若x2+1x-1的值为负，则x的取值范围是x<1；
④若x+1x+2÷x+1x有意义，则x的取值范围是x≠-1,x≠-2且x≠0．其中正确的是（ ）
A．①②④B．①③④C．①②③D．②③④
【答案】B
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，值为0的条件，对各式进行逐一分析即可．
【详解】解：①∵a2+1>0，
∴不论a为何值时，aa2+1都有意义，故①正确；
②∵当a=-1时，a2-1=1-1=0，
此时分式无意义，
∴②错误；
③∵x2+1x-1的值为负，x2+1>0，
∴x-1<0，
∴x<1，故③正确；
④∵x+1x+2÷x+1x有意义，
∴x+2≠0,x+1≠0且x≠0，
∴x的取值范围是x≠-1,x≠-2且x≠0，故④正确．
故选：B
2．（2024八年级·全国·竞赛）函数y=2-xx+1+x-1中自变量x的取值范围是（ ）．
A．x≤2B．x≤2且x≠-1C．x≤2且x≠-1或x≠0D．x≤2且x≠0且x≠-1
【答案】D
【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，负整数指数幂．根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，负整数指数幂，即可求解．
【详解】解：由题意得：2-x≥0且x+1≠0且x≠0，
解得：x≤2且x≠-1且x≠0．
故选：D
3．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）已知当x=-4时，分式x-b2x+a无意义；当x=2时，此分式的值为0，则2ab2⋅1a-b-ab÷b4的值是（ ）
A．34B．83C．45D．43
【答案】B
【分析】本题考查了分式无意义的条件，分式值为0的条件，根据分式无意义的条件、分式的值为0的条件分别求出a=8，b=2，代入代数式即可求解，掌握分式无意义的条件，分式值为0的条件是解题的关键．
【详解】解：∵x=-4时，分式x-b2x+a无意义
∴2×-4+a=0，解得：a=8，
∵x=2时，此分式的值为0，
∴2-b=0，解得：b=2，
∴2ab2⋅1a-b-ab÷b4=2×822⋅18-2-82÷24 =64⋅16-8=83，
故选：B．
4．（23-24八年级上·甘肃定西·期末）已知某个分式，当x=-1时，分式无意义，当x=2时，分式的值为0，则该分式可能是（ ）
A．x-2x+1B．x+2x+1C．x+2x-1D．x-2x-1
【答案】A
【分析】本题考查了分式无意义，分式求值，解题的关键掌握分式代值的计算方法．先根据当x=-1时，分式无意义，排除选项C、D，然后把x=2代入A、B选项计算即可判断．
【详解】解：当x=-1时，x+1=0，则分式x-2x+1，x+2x+1无意义；x-1=-2≠0，则分式x+2x-1，x-2x-1有意义，故排除选项C、D，
当x=2时，x-2x+1=0，x+2x+1=43，故选项A符合题意，选项B不符合题意，
故选：A．
二．根据分式的值的情况判断参数值或取值范围（共4小题）
5．（2021九年级·安徽·专题练习）下列关于分式x+2x的说法，错误的是( )
A．当x>-2时，分式的值一定为负数
B．当x=0时，分式没有意义
C．当x<-2时，分式的值一定为正数
D．当x=-2时，分式的值为0
【答案】A
【分析】根据“分式的分子分母同号时，分式的值为正数，当分式的分子分母异号时，分式的值为负数”判断A，C选项；根据“分式的分母为0时，分式没有意义”判断B选项；根据“当分式的分母不为0，且分子为0时，分式的值为0”判断D选项．
【详解】解：A项：当x=1时，分式的值为正数，故此选项错误，符合题意；
B项：当x=0时，分式没有意义，正确，故此选项不合题意；
C项：当x<-2时，分式的值一定为正数，正确，故此选项不合题意；
D项：当x=-2时，分式的值为0，正确，故此选项不合题意．
故选A．
【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，分式无意义的条件，以及分式的值为正数或负数的条件．正确掌握相关性质是解题的关键．
6．（2022八年级上·全国·专题练习）分式x-3x3-2x2+x的值为负数的条件是（ ）
A．x<3B．x>0且x≠1
C．x<1且x≠0D．0【答案】D
【分析】根据乘法公式，化简分式，分式的值要为负数，则分子、分母为异号，即可求出答案．
【详解】解：x-3x3-2x2+x
=x-3x(x2-2x+1)
=x-3x(x-1)2，
因为分式的值为负数，
∴x-3>0x<0x≠1 或者x-3<0x>0x≠1
∴0故选：D ．
【点睛】本题考查分式的化简，分式的取值与分子、分母的关系，且分母不能为零，理解和掌握分式取值与分子、分母的关系是解题的关键．
7．（21-22七年级上·江苏无锡·期末）若3a-1表示一个整数，则整数a可取的值共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】根据3的约数有±1，±3，分别建立等式计算即可．
【详解】解：由题意可知：a﹣1＝±1或±3，
∴a＝0或2或﹣2或4，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的值，整数的性质，整数的约数，熟练掌握一个数的约数是解题的关键．
8．（20-21八年级上·山东济南·期中）已知a为整数，且a+3a-5-a-5a+2÷a2-10a+25a2-4为正整数，求所有符合条件的a的值的和（ ）
A．8B．12C．16D．10
【答案】C
【分析】首先对于分式进行化简，然后根据a为整数、分式值为正整数可求出a的值，最后将a的所有值相加即可．
【详解】解：a+3a-5﹣a-5a+2÷a2-10a+25a2-4
＝a+3a-5﹣a-5a+2×(a+2)(a-2)(a-5)2
＝a+3a-5﹣a-2a-5
＝a+3-a+2a-5
＝5a-5，
∵a为整数，且分式的值为正整数，
∴a﹣5＝1，5，
∴a＝6，10，
∴所有符合条件的a的值的和：6+10＝16．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，对分式的分子和分母能够正确分解因式是解题的关键．
三．分式的基本性质（共4小题）
9．（21-22八年级上·山东滨州·期末）把分式13x-1612x+14的分子与分母各项系数化为整数，得到的正确结果是（ ）
A．3x-62x+4B．4x-26x+3C．2x-12x+1D．2x-23x+4
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质求解即可．
【详解】解：给分式的分子和分母同乘以12，得：
13x-1612x+14=(13x-16)×12(12x+14)×12=4x-26x+3，
故选：B．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解答的关键是熟知分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
10．（20-21八年级下·重庆沙坪坝·期末）下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A．-x-yx=-x-yxB．a+ba-b=a-ba+b
C．0.2a+b0.2b=2a+b2bD．x-12yy=2x-y2y
【答案】D
【分析】利用分式的基本性质，分子分母都乘以或除以同一个不为零的数分式的值不变，分式与其倒数不相等．
【详解】解：A. -x-yx=-x+yx≠-x-yx从左到右的变形不正确；
B. a+ba-b=1a-ba+b≠a-ba+b从左到右的变形不正确；
C. 0.2a+b0.2b=2a+10b2b≠2a+b2b从左到右的变形不正确；
D. x-12yy=2x-12y2y=2x-y2y从左到右的变形正确．
故选择：D．
【点睛】本题考查分式的基本性质，和倒数的概念，掌握分式的基本性质和倒数概念的区别是解题关键．
11．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）将分式xy2x+y中的x，y的值都变为原来的2倍，则该分式的值（ ）
A．变为原来的2倍B．变为原来的4倍C．不变D．变为原来的一半
【答案】A
【分析】把原分式中的x、y分别替换成 2x，2y ，然后利用分式的基本性质化简即可得到答案．
【详解】解：∵分式xyx+y中x、y的值都变为原来的2倍，
∴分式xyx+y变为：2x⋅2y2x+2y=2xyx+y
则该分式的值变为原来的2倍．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解决本题的关键是掌握分式的基本性质．
12．（18-19八年级下·江苏泰州·期中）已知3x-2(x+1)(x-1)=Ax-1+Bx+1，求A、B的值.
【答案】A=12， B=52
【分析】先对等式右边通分，再利用分式相等的条件列出关于A、B的方程组，解之即可求出A、B的值.
【详解】解：∵Ax-1+Bx+1=A(x+1)+B(x-1)x+1x-1=(A+B)x+A-Bx+1x-1 ,
又∵Ax-1+Bx+1=3x-2x+1x-1，
∴(A+B)x+A-Bx+1x-1=3x-2x+1x-1，
∴A+B=3A-B=-2 ，
解得A=12B=52.
∴A=12， B=52.
【点睛】本题考查了分式的基本性质.利用分式的基本性质进行通分，再利用系数对应法列出方程组是解题的关键.
四．已知分式恒等变形求未知数（共4小题）
13．（20-21八年级下·江苏南京·期中）已x2+2x(x+1)(x+2)=Ax+Bx+1+Cx+2，则A+2B+3C的值是 ．
【答案】4
【分析】先把等式的右边通分作分式加法计算，再根据对应系数相等即可得出关于A、B、C的方程组，求出方程组的解，即可得出答案．
【详解】解：∵ x2+2x(x+1)(x+2)=Ax+Bx+1+Cx+2，
∴ x2+2x(x+1)(x+2)=A(x+1)(x+2)x(x+1)(x+2)+Bx(x+2)x(x+1)(x+2)+Cx(x+1)x(x+1)(x+2)，
∴ x2+2x(x+1)(x+2)=(A+B+C)x2+(3A+2B+C)x+2Ax(x+1)(x+2)，
∴ A+B+C=13A+2B+C=02A=2，
解得，A=1B=-3C=3，
∴A+2B+3C=1+2×(-3)+3×3=4．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了分式的加减，根据恒等式的意义得出关于A、B、C的方程组是解题的关键．
14．（22-23七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知6x3+10xx4+x2+1=Ax+Bx2+x+1+Cx+Dx2-x+1，其中A，B，C，D为常数，则A+B+C+D= ．
【答案】6
【分析】由于x4+x2+1=(x2+1)2-x2=x2+1+xx2+1-x，利用这个等式首先把已知等式右边通分化简，然后利用分母相同，分式的值相等即可得到分子相等，由此即可得到关于A、B、C、D的方程组，解方程组即可求解．
【详解】解：∵6x3+10xx4+x2+1=Ax+Bx2+x+1+Cx+Dx2-x+1，且x4+x2+1=(x2+1)2-x2=x2+1+xx2+1-x，
∴6x3+10xx4+x2+1=Ax+Bx2+1-x+Cx+Dx2+1+xx4+x2+1
∴6x3+10x=Ax+Bx2+1-x+Cx+Dx2+1+x
∴当x=0时，B+D=0①
当x=1时，A+B+3C+D=16②
当x=-1时，3B-A+D-C=-16③
∵6x3+10x=Ax3+Bx2+Ax+B1-x+Cx3+Dx2+Cx+D1+x,
即6x3+10x=A+Cx3+Bx2+Ax+B1-x+Dx2+Cx+D1+x
∴A+C=6④
联立①②③④解之得
A=C=3、B=-2、D=2，
∴A+B+C+D=6．
故答案为：6．
【点睛】此题主要考查了部分分式的计算，题目比较复杂，解题时首先正确理解题意，然后根据题意列出关于A、B、C、D的方程组即可解决问题．
15．（22-23八年级上·湖南邵阳·期中）已知Ax+2-Bx-3=x+12x2-x-6，求A、B的值．
【答案】A=-2，B=-3
【分析】首先化简方程，然后根据等式关系，列出二元一次方程组，解得即可.
【详解】解：原方程可化为Ax-3x+2x-3-Bx+2x+2x-3=x+12x+2x-3，
A-Bx-3A+2Bx+2x-3=x+12x+2x-3，
可得A-B=13A+2B=-12，
解得A=-2，B=-3．
【点睛】此题主要考查分式加减运算的恒等式，关键是列出关于A、B的二元一次方程组．
16．（22-23八年级上·云南昆明·阶段练习）阅读下列材料：
若1-3xx2-1=Ax+1+Bx-1，试求A、B的值
解：等式右边通分，得
Ax-1+Bx+1x+1x-1=A+Bx+-A+Bx2-1
根据题意，得A+B=-3-A+B=1，解之得A=-2B=-1．
仿照以上解法，解答下题．
(1)已知x+6x+12x-3=Mx+1-N2x-3（其中M、N为常数）求M、N的值；
(2)若12n-12n+1=a2n-1-b2n+1对任意自然数n都成立，则a=_________，b=_________．
(3)计算：11×3+13×5+15×7+⋯+12019×2021=_________．
【答案】(1)M=-1N=-3
(2)12，12
(3)10102021
【分析】（1）根据阅读材料中的方法计算即可求出M与N的值；
（2）根据阅读材料中的方法计算即可求出a与b的值；
（3）由11×3=12×1-13，13×5=12×13-15，⋯，利用裂项相消，即可求解．
【详解】（1）解：等式右边通分，得
Mx+1-N2x-3=M2x-3-Nx+1x+12x-3=2M-Nx+-3M-Nx+12x-3，
根据题意，得2M-N=1-3M-N=6，解之得M=-1N=-3；
（2）解：等式右边通分，得
a2n-1-b2n+1=a2n+1-b2n-12n-12n+1=2a-2bn+a+b2n-12n+1，
根据题意，得2a-2b=0a+b=1，解之得a=b=12；
故答案为：12，12；
（3）解：11×3+13×5+15×7+⋯+12019×2021
=12×1-13+12×13-15+12×15-17+⋯+12×12019-12021
=12×1-13+13-15+15-17+⋯+12019-12021
=12×1-12021
=12×20202021
=10102021
故答案为：10102021．
【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
五．分式的化简求值（共3小题）
17．（2022·内蒙古·中考真题）先化简，再求值：3x-1-x-1÷x2-4x+4x-1，其中x=3．
【答案】2+x2-x，-5
【分析】分式的混合运算，根据加减乘除的运算法则化简分式，代入求值即可求出答案．
【详解】解：原式=3x-1-(x+1)(x-1)x-1⋅x-1(x-2)2
=3-(x+1)(x-1)x-1⋅x-1(x-2)2
=4-x2x-1⋅x-1(x-2)2
=(2+x)(2-x)x-1⋅x-1(2-x)2
=2+x2-x
当x=3时，原式=-5，
故答案是：-5 ．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则即可，包括完全平方公式，能约分的要约分等，理解和掌握乘法公式，分式的乘法，除法法则是解题的关键．
18．（2023·辽宁丹东·中考真题）先化简，再求值：x2-1x2-2x+1-1x-1÷3x-1，其中x=12-1+-30．
【答案】x3，1
【分析】
先将分子分母因式分解，除法改写为乘法，括号里面通分计算，再根据分式混合运算的运算法则和运算顺序进行化简，根据负整数幂和0次幂的运算法则，求出x的值，最后将x的值代入计算即可．
【详解】解：x2-1x2-2x+1-1x-1÷3x-1
=x+1x-1x-12-x-1x-12×x-13
=xx-1x-12×x-13
=x3，
∵x=12-1+-30=2+1=3，
∴原式=x3=33=1．
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则，以及负整数幂和0次幂的运算法则是解题的关键．
19．（2021·山东威海·中考真题）先化简(a2-1a-3-a-1)÷a+1a2-6a+9，然后从-1，0，1，3中选一个合适的数作为a的值代入求值．
【答案】2a-6，当a=0时，原式=-6；当a=1时，原式=-4．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件确定a的值，继而代入计算可得答案．
【详解】(a2-1a-3-a-1)÷a+1a2-6a+9
=a2-1a-3-a+1a-3a-3÷a+1a-32
=a2-1a-3-a2-2a-3a-3⋅a-32a+1
=a2-1-a2+2a+3a-3⋅a-32a+1
=2a+1a-3⋅a-32a+1
=2a-6，
∵a≠3且a≠-1，
∴a=0，a=1，
当a=0时，原式=2×0-6=-6；
当a=1时，原式=2×1-6=-4．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
六．分式的比较大小（共2小题）
20．（23-24八年级上·河北唐山·期中）比较A=2xx+1与B=x+12的大小（x是正数）．下列判断正确的是（ ）
A．A≥BB．A>BC．A≤BD．A【答案】C
【分析】本题考查比较分式大小，将A-B进行化简得到A-B=-x-122x+1，利用x是正数，可得出A-B≤0，即可判断A和B的大小，进而可得答案，解题的关键在于正确的通分化简．
【详解】解：由题意可知：
A-B=2xx+1-x+12
=4x2x+1-x+122x+1
=4x-x+122x+1
=4x-x2-2x-12x+1
=-x-122x+1
∵x是正数，
∴2x+1>0，-x-12≤0，
∴-x-122x+1≤0
∴A-B≤0，即A≤B，
故选：C．
21．（23-24八年级上·广西来宾·期末）【阅读理解】在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式M、N的大小，只要作出差M-N：若M-N>0，则M>N；若M-N=0，则M=N；若M-N<0，则M【解决问题】
(1)若a<0，则aa-1________0（填>、=或<）；
(2)已知A=2x2-1，B=x2-2x+1x-1，当x<-1时，比较A与1B的大小，并说明理由．
【答案】(1)>
(2)A>1B，见解析
【分析】本题考查不等式的性质及分式的运算，熟练掌握不等式的性质并能够灵活运用是本题的关键．
（1）并根据a<0作出判断即可；
（2）计算A-1B，并根据x<-1作出判断即可；
【详解】（1）∵a<0，
∴a-1<-1，
∴ aa-1>0．
故答案为：>．
（2）A>1B．理由如下：
A-1B
=2x2-1-x-1x2-2x+1
=2x-1x+1-x-1x-12
=2(x+1)(x-1)-1x-1
=2(x+1)(x-1)-x+1(x+1)(x-1)
=1-x(x+1)(x-1)
=-1x+1．
∵x<-1，
∴x+1<0，
∴-1x+1>0，
∴A>1B．
七．求分式的最值问题（共3小题）
22．（23-24八年级上·北京海淀·期中）对于任意正实数a、b，
∵a-b2≥0，∴a-2ab+b≥0
∴a+b≥2ab，只有当a=b时，等号成立．
由此我们得到结论：任意正实数a、b，有a+b≥2ab．
依此结论我们有
（1）m+1m(m>0)的最小值= ；
（2）x2+x-5x-2x>2的最小值= ．
【答案】 2 -3
【分析】（1）根据a+b≥2ab，对代数式m+1m(m>0)进行化简，即可求解；
（2）根据a+b≥2ab，将代数式化为
【详解】（1）∵m+1m ≥2m·1m =2，
∴m+1m的最小值为2，
故答案为：2．
（2）∵x>2，
∴x2+x-5x-2
=xx-2+3x-6+1x-2
=x+3+1x-2
=x-2+1x-2-5 ≥2x-2·1x-2-5
=2-5=-3
故答案为：-3．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，二次根式的性质化简，熟练掌握a+b≥2ab是解题的关键．
23．（23-24八年级上·河北沧州·期末）阅读下面材料，并解答问题.
分式2x+8x+2x≥0的最大值是多少？
解：2x+8x+2=2x+4+4x+2=2x+2x+2+4x+2=2+4x+2，
因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以4x+2的最大值是2，所以2+4x+2的最大值是4，即2x+8x+2x≥0的最大值是4.
解答下列问题：
(1)分式3x+7x-1x≥3的最大值是 ；
(2)求分式2x2+5x2+1的最大值；
(3)若分式x2-4x+2x-4的值为整数，请直接写出整数x的值.
【答案】(1)8
(2)5
(3)2、3、5、6
【分析】（1）本题考查对题干的理解、分式加减运算的逆运算（即 b+ca=ba+ca）和分式的化简求值，根据3x+7x-1=3+10x-1，由x≥3，得到10x-1的最大值为5，即可解题．
（2）本题解法与（1）类似．
（3）本题解法与（1）类似．根据x2-4x+2x-4=x+2x-4，且值为整数，得到2x-4的值为整数，即x-4的值为2的因数，从而可得到整数x的值．
【详解】（1）解：由题可知，3x+7x-1=3x-3+10x-1=3x-1+10x-1=3x-1x-1+10x-1=3+10x-1，
∵x≥3,
∴x-1的最小值为2，
∴10x-1的最大值为5，
∴3+10x-1的最大值为8，
即3x+7x-1x≥3的最大值为8．
（2）解：由题可知，2x2+5x2+1=2x2+2+3x2+1=2x2+1+3x2+1=2x2+1x2+1+3x2+1=2+3x2+1,
∴当x=0时x2+1≠0且x2+1为最小值，
∴3x2+1的最大值为3，
∴2+3x2+1的最大值为5，
即2x2+5x2+1的最大值为5．
（3）解：由题可知，x2-4x+2x-4=xx-4+2x-4=xx-4x-4+2x-4=x+2x-4，
∵x2-4x+2x-4的值为整数，
∴2x-4的值为整数，
∵x-4不能等于0，
∴x-4的值为-2、-1、1、2，
∴x的值为2，3，5，6．
24．（22-23八年级下·福建福州·开学考试）阅读下列材料：我们知道分数中有真分数、假分数、带分数，类似的，在分式中，也规定真分式、假分式、带分式．在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，如果分子的次数高于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如：分式4x+2是真分式，分式x2x+1是假分式．一个假分式可以化为带分式，即化为一个整式与一个真分式的和，例如：x+1x-1=x-1+2x-1=1+2x-1，（注意带分式中整式与真分式之间的符号不能省略）
请根据以上方法，解决下列问题；
(1)请根据以上信息，判断a2a+3为____________分式（填“真”或“假”）；
(2)已知：P=2a+1a-1+2a-1，试把P化为含有a的带分式；
(3)已知：M=a-1a+1，N=2a-1，请计算M+N；设y=1M+N，问：当a为何值时，y有最小值？求该最小值．
【答案】(1)假
(2)P=2+5a-1
(3)a2+3a2-1；当a=0，y有最小值，最小值为-13
【分析】（1）根据真分式和假分式的定义分析判断即可；
（2）根据带分式的定义将P化为一个整式与一个真分式的和即可；
（3）首先根据分式加减运算法则计算出M+N；进而将y整理为真分式得到y=1-4a2+3，然后利用非负数的性质得到y的最小值．
【详解】（1）解：∵分子a2的次数高于分母(a+3)的次数，故a2a+3为假分式．
故答案为：假；
（2）P=2a+1a-1+2a-1=2(a-1)+3a-1+2a-1=2+5a-1；
（3）∵M=a-1a+1，N=2a-1，
∴M+N=a-1a+1+2a-1=(a-1)2(a+1)(a-1)+2(a+1)(a+1)(a-1)=a2-2a+1+2a+2a2-1=a2+3a2-1；
∵y=1M+N=a2-1a2+3=1-4a2+3，
又∵a2≥0，
∴a2+3≥3，
∴4a2+3的最大值为43，
∴当a=0时，y有最小值，最小值为y=1-43=-13．
【点睛】本题主要考查了真分式、假分式和带分式的定义，整式运算，非负数的性质等知识，理解题意，熟练掌握分式运算法则是解题关键．
八．与分式运算有关的新定义问题（共5小题）
25．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：4x2-8xx-2=4xx-2x-2=4x，则称分式4x2-8xx-2是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题．
(1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）；
①(x-1)(2x-3)(x+2)(x-1)(x+2)；②2x+5x+3；③x2-y2x+y．
(2)若分式x2-4x+mx+3（m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为x-7，求m的值：
(3)若分式-2x3+2xA的“巧整式”为1-x．
①求整式A．
②2x3+4x2+2xA是“巧分式”吗？
【答案】(1)①③
(2)m=-21
(3)①A=2x2+2x；②2x3+4x2+2xA是“巧分式”
【分析】本题考查了分式的化简、因式分解及分式的混合运算．解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定义．
（1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论；
（2）根据“巧分式”的定义，得到关于x+3x-7=x2-4x+m的方程，求解即可；
（3）①根据给出的“巧分式”的定义求解即可；②将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵(x-1)(2x-3)(x+2)(x-1)(x+2)=2x-3，2x-3是整式，
∴①是“巧分式”；
∵ 2x+5x+3=2x+6-1x+3=2x+3+1x+3=2+1x+3，2+1x+3不是整式，
∴②不是“巧分式”；
∵ x2-y2x+y=x-yx+yx+y=x-y，x-y是整式，
∴③是“巧分式”；
故答案为：①③；
（2）解：∵分式x2-4x+mx+3（m为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为x-7，
∴x+3x-7=x2-4x+m，
∴x2-4x-21=x2-4x+m，
∴m=-21；
（3）解：①∵分式-2x3+2xA的“巧整式”为1-x．
∴A=-2x3+2x1-x，
∴A=2x1-x21-x=2x1-x1+x1-x=2x1+x，即A=2x2+2x；
②∵ 2x3+4x2+2x2x2+2x=2xx2+2x+12xx+1=x+12x+1=x+1，
又x+1是整式，
∴ 2x3+4x2+2xA是“巧分式”．
26．（23-24八年级上·山东德州·期末）定义：若分式P与分式Q的差等于它们的积，即P-Q=PQ，则称分式P与分式Q互为“关联分式”．如3xx+2与3x4x+2，因为3xx+2-3x4x+2=9x22x+22x+1=3xx+2×3x4x+2，所以3xx+2与3x4x+2互为“关联分式”，其中一个分式是另外一个分式的“关联分式”．
(1)请通过计算判断分式2a2+1是不是分式2a2+3的“关联分式”．
(2)求分式aa-2bab≠0的“关联分式”．
【答案】(1)见解析
(2)a2a-2b或a-2b
【分析】本题考查用新定义解决数学问题，熟练掌握分式混合运算法则是求解本题的基础；
（1）根据“关联分式”的定义判断即可；
（2）①设分式aa-2b为P，则其关联式为Q，则有aa-2b-Q=aa-2bQ，计算Q即可；
②设aa-2b为Q，则其关联式为P，则有P-aa-2b=aa-2bP，计算P即可；
【详解】（1）解：证明：若2a2+1和2a2+3为关联分式，
则必须满足2a2+1-2a2+3=2a2+1×2a2+3，
故：2a2+1-2a2+3，
=2a2+3-2a2+1a2+1a2+3=2a2+6-2a2-2a2+1a2+3=4a2+1a2+3，
∴2a2+1×2a2+3=4a2+1a2+3，
故分式2a2+1是分式2a2+3的“关联分式”；
（2）已知题意：P-Q=PQ，
①设aa-2b为P，则其关联式为Q，
aa-2b-Q=aa-2bQ，
aa-2bQ+Q=aa-2b，
Qaa-2b+1=aa-2b，
Q=a2a-2b，
故其关联式为a2a-2b．
②设aa-2b为Q，则其关联式为P，
P-aa-2b=aa-2bP，
P-aa-2bP=aa-2b，
P1-aa-2b=aa-2b，
P=a-2b，
故其关联式为a-2b．
综上，分式aa-2bab≠0的“关联分式”为a2a-2b或a-2b．
27．（23-24八年级上·河南商丘·期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．
例如，分式3x+1与3x1+x互为“3阶分式”．
(1)分式12x3+2x与___________互为“6阶分式”．
(2)若正数x,y互为倒数，求证：分式5xx+y2与5yx2+y互为“5阶分式”．
【答案】(1)183+2x
(2)见解析
【分析】本题主要考查了分式的加法，正确理解题意并掌握分式通分、约分运算方法是解决本题的关键．
（1）根据题中的新定义列出关系式，然后根据分式的加法进行通分计算即可；
（2）根据题意首先利用倒数关系，将x、y进行消元，然后两分式相加计算得到结果，利用新定义即可判断；
【详解】（1）∵12x3+2x+183+2x=12x+183+2x=63+2x3+2x=6，
∴分式12x3+2x与183+2x互为“6阶分式”．
故答案为：183+2x
（2）证明：∵正数x，y互为倒数，
∴xy=1，即y=1x ，
∴5xx+y2+5yx2+y=5xx+1x2+5xx2+1x=5x3x3+1+5x3+1=5(x3+1)x3+1=5
则分式5xx+y2与5yx2+y互为“5阶分式”；
28．（22-23八年级下·福建福州·开学考试）定义：如果两个分式A与B的差为1，则称A是B的“最友好分式”，如分式A=xx-1,B=1x-1,A-B=xx-1-1x-1=x-1x-1=1，则A是B的“最友好分式”．
(1)已知分式C=x2-4x2-4x+4,D=4x-2，请判断C是否为D的“最友好分式”，并说明理由；
(2)已知分式E=Px2-4,F=xx+2，且E是F的“最友好分式”．
①求P（用含x的式子表示）；
②若P+mx-2x2nx+3为定值，求m与n之间的数量关系．
【答案】(1)C是D的“最友好分式”，理由见解析
(2)①P=2x2-2x-4，②m=2-43n
【分析】本题主要考查新定义下分式的混合运算和解一元一次方程，
（1）根据“最友好分式”的定义，计算C-D的值即可；
（2）①根据题意得E-F=P-xx-2x2-4，结合E是F的“最友好分式”可求得P；②当P=2x2-2x-4时，化简得P+mx-2x2nx+3=m-2x-4nx+3，设m-2x-4nx+3=k，可得m-2-knx-4-3k=0，结合定值得m-2-kn=0且-4-3k=0，即可求得m和n之间的关系．
【详解】（1）解：C是D的“最友好分式”，理由：
∵C-D=x2-4x2-4x+4-4x-2=x+2x-2x-22-4x-2=x-2x-2=1
∴C是D的“最友好分式”；
（2）①∵分式E=Px2-4,F=xx+2，且E是F的“最友好分式”，
∴E-F=Px2-4-xx+2=P-xx-2x2-4=1，
解得P=2x2-2x-4；
②当P=2x2-2x-4时，P+mx-2x2nx+3=2x2-2x-4+mx-2x2nx+3=m-2x-4nx+3，
设m-2x-4nx+3=k，
∴m-2x-4=knx+3k，
∴m-2-knx-4-3k=0，
∵P+mx-2x2nx+3为定值，
∴m-2-kn=0且-4-3k=0，
由-4-3k=0解得k=-43，
把k=-43代入m-2-kn=0，得m-2-43n=0
∴m=2-43n．
29．（23-24八年级上·湖南怀化·期末）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即A-B=AB，则称分式B是分式A的“可存异分式”．如1x+1与1x+2，因为1x+1-1x+2=1(x+1)(x+2)，1x+1×1x+2=1(x+1)(x+2)，所以1x+2是1x+1的“可存异分式”．
(1)填空：①分式1x+2__________分式1x+3的“可存异分式”（填“是”或“不是”）；
②分式xx-4的“可存异分式”是__________；
(2)已知分式2x+33x+3是分式A的“可存异分式”．
①求分式A的表达式；
②求整数x为何值时，分式A的值是正整数，并写出分式A的值．
【答案】(1)①不是；② x2x-4；
(2)① A=2x+3x；1，5或3．
【分析】（1）①根据“可存异分式”的定义进行判断即可；
②根据“可存异分式”的定义进行解答即可求解；
（2）①根据“可存异分式”的定义进行解答即可求解；
②根据整除的定义进行求解即可；
本题考查了分式加减运算、乘法运算，解分式方程，代数式求值，掌握分式的运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：① ∵1x+3-1x+2=-1(x+3)(x+2)≠1(x+3)(x+2)，
∴分式1x+2不是1x+3分式的“可存异分式”，
故答案为：不是；
②依题意得，xx-4-B=xx-4×B，
∴2x-4x-4×B=xx-4，
解得B=x2x-4，
即分式xx-4的“可存异分式”是x2x-4，
故答案为：x2x-4；
（2）解：①依题意A-2x+33x+3=A×2x+33x+3，
∴x3x+3×A=2x+33x+3，
解得A=2x+3x；
② A=2x+3x=2+3x，
当整数x=-3，-1，1或3时，分式A的值分别是1，-1，5或3，
又∵分式A的值是正数，
∴整数x=-3，1或3，分式A的值分别是1，5或3．
九．与分式运算有关的规律探究问题（共3小题）
30．（22-23八年级上·山东淄博·阶段练习）观察下列各式16=12×13=12-13、112=13×14=13-14、120=14×15=14-15、130=15×16=15-16．
(1)由此可推测172= = ．
(2)试猜想此类式子的一般规律．用含字母m的等式表示出来（m表示正整数）；
(3)请直接用（2）中的规律计算1x-2x-3-2x-1x-2+1x-1x-2的值．
【答案】(1)18×9，18-19；
(2)1m(m+1)，1m-1m+1；
(3)0
【分析】本题考查数字的变化类以及分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律，求出所求式子的值．
（1）根据题目中的例子的计算方法可以解答本题；
（2）根据（1）中的例子可以写出含m的等式；
（3）根据（2）中的规律进行分式的混合运算即可．
【详解】（1）解： 172 = 18×19=18-19，
故答案为18×9，18-19；
（2）解：由（1）可得
1m(m+1)=1m-1m+1，
故答案为1m(m+1)，1m-1m+1；
（3）解：1x-2x-3-2x-1x-3+1x-1x-2
= 1x-2-1x-3-(1x-1-1x-3)+1x-1-1x-2
= 1x-2-1x-3-1x-1+1x-3+1x-1-1x-2
=0.
31．（23-24八年级上·湖南永州·期中）探究题：观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题：11×2=1-12，12×3=12-13，13×4=13-14，14×5=14-15，……
(1)计算：若n为正整数，猜想1nn+1=______；
(2)化简1x+2023+1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+⋯⋯+1(x+2022)(x+2023)；
(3)若ab-2+b-1=0，求1ab+1(a+1)(b+1)+1(a+2)(b+2)+1(a+3)(b+3)+⋯+1(a+21)(b+21)的值．
【答案】(1)1n-1n+1
(2)1x
(3)2223
【分析】本题考查了非负数的性质、有理数的混合运算、分式的加法，弄清题中的拆项法则是解本题的关键．
（1）根据已知等式得到一般性规律，写出即可；
（2）利用（1）中得到的规律，变形后，进行计算即可；
（3）利用非负数的性质求出a与b的值，代入原式计算即可得出答案．
【详解】（1）解：∵11×2=1-12，12×3=12-13，13×4=13-14，14×5=14-15，…，
∴若n为正整数，1nn+1=1n-1n+1，
故答案为：1n-1n+1；
（2）解：由（1）可得1nn+1=1n-1n+1，
∴1x+2023+1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+⋯⋯+1(x+2022)(x+2023)
=1x+2023+1x-1x+1+1x+1-1x+2+⋯⋯+1x+2022-1x+2023
=1x；
（3）解：∵ab-2+b-1=0，ab-2≥0，b-1≥0，
∴ab-2=0，b-1=0，
∴a=2，b=1，
∴1ab+1(a+1)(b+1)+1(a+2)(b+2)+1(a+3)(b+3)+⋯+1(a+21)(b+21)
=11×2+12×3+13×4+14×5+⋯+122×23
=1-12+12-13+13-14+14-15+⋯+122-123
=1-123
=2223．
32．（23-24八年级上·广东汕头·期末）把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”，请解答下列问题：
(1)若2n+1n(n+1)=An+Bn+1，分别求A、B的值；
(2)根据（1）中的规律，求31×2-52×3+73×4-94×5+⋯⋯+9949×50-10150×51的值．
【答案】(1)A=1,B=1
(2)5051
【分析】本题考查找规律，涉及异分母分式加减运算、解方程组等知识，读懂题意，准确找到规律是解决问题的关键．
（1）通分，将An+Bn+1化为同分母得分式运算，根据等式关系列方程求解即可得到答案；
（2）由（1）中规律，由2n+1nn+1=1n+1n+1将式子各部分表示成“部分分式”，消去中间项即可得到答案．
【详解】（1）解：∵2n+1n(n+1)=An+Bn+1
=A(n+1)n(n+1)+Bnn(n+1)
=A+Bn+An(n+1)
∴A+B=2A=1，
解得A=1B=1；
（2）解：由（1）中2n+1nn+1=1n+1n+1可得
31×2-52×3+73×4-94×5+⋯⋯+9949×50-10150×51
=11+12-12+13+…+149+150-150+151
=1+12-12+…+150-150-151
=1-151
=5051．
十．与分式运算有关的阅读理解问题（共5小题）
33．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）阅读材料：
《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
例如：已知xy=1，求11+x+11+y的值．
解：原式=xyxy+x+11+y=y1+y+11+y=y+1y+1=1
问题解决：
(1)已知xy=1．
①代数式11+x2+11+y2的值为 ．
②求证11+x2021+11+y2021=1．
(2)已知，xy+z+yz+x+zx+y=1，且x+y+z≠0，求x2y+z+y2z+x+z2x+y的值．
【答案】(1)①1；②见解析
(2)0
【分析】
本题考查分式的化简求值，分式的混合运算．
（1）①把xy=1代入11+x2+11+y2，分母提取公因式，约分，再根据分式加法法则计算即可得答案；②由xy=1可得x2021y2021=1，同①的方法计算即可得结论；
（2）将已知等式变形，分别得到含有x2y+z,y2z+x,z2x+y的等式，再整体代入化简求值即可．
【详解】（1）解：①∵xy=1，
∴11+x2+11+y2
=xyxy+x2+xyxy+y2
=xyx(y+x)+xyy(x+y)
=x+yx+y
=1；
故答案为：1
②证明：∵xy=1，
∴x2021y2021=1，
∴11+x2021+11+y2021
=x2021y2021x2021y2021+x2021+11+y2021
=x2021y2021x2021(y2021+1)+11+y2021
=y20211+y2021+11+y2021
=y2021+11+y2021
=1；
（2）解：∵ xy+z+yz+x+zx+y=1，且x+y+z≠0，
∴ xy+z=1-yz+x-zx+y，
∴ x2y+z=x-xyz+x-xzx+y，
同理可得：y2z+x=y-xyy+z-yzx+y，z2x+y=z-xzy+z-yzz+x，
∴ x2y+z+y2z+x+z2x+y
=x-xyz+x-xzx+y+y-xyy+z-yzx+y+z-xzy+z-yzz+x
=x+y+z-xyz+x+xzx+y+xyy+z+yzx+y+xzy+z+yzz+x
=x+y+z-xz+yzx+y+xy+xzy+z+xy+yzz+x
=x+y+z-x+yzx+y+y+zxy+z+x+zyz+x
=x+y+z-x+y+z
=0．
34．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）阅读材料：
已知x3=y4=z6≠0，求x+y-zx-y+z的值．
解：设x3=y4=z6=kk≠0，则x=3k，y=4k，z=6k．（第一步）
所以x+y-zx-y+z=3k+4k-6k3k-4k+6k=k5k=15．（第二步）
(1)回答下列问题：
①第一步运用了_______的基本性质；
②第二步的解题过程运用了_____的方法，由k5k得15利用了______性质．
(2)模仿材料解题：已知x:y:z=2:3:4，求x+y+zx-2y+3z的值．
【答案】(1)等式，代入消元，分式；
(2)98；
【详解】（1）解：由题意可得，
第一步运用了等式的基本性质，第二步的解题过程运用了代入消元的方法，由k5k得15利用了分式的性质，
故答案为：等式，代入消元，分式；
（2）解：设x:y:z=2:3:4=k，则：x=2k，y=3k，z=4k，
∴x+y+zx-2y+3z=2k+3k+4k2k-2×3k+3×4k=98．
35．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）阅读与理解
阅读下列材料，完成后面的任务．
在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：若xx2+1=14，求代数式x+1x的值．
解：∵xx2+1=14，∴x2+1x=4，∴x2x+1x=4，∴x+1x=4．
任务：已知xx2-3x+1=15．
(1)求x+1x的值．
(2)求 x2x4+2x2+1的值．
【答案】(1)8
(2)164
【分析】
本题考查了分式的混合运算；
（1）把式子变成其倒数形式，然后约分即可；
（2）对x2x4+2x2+1取倒数为x2+2+1x2，由（1）求出x+1x2=x2+1x2+2=64，然后计算即可．
【详解】（1）解：∵xx2-3x+1=15，
∴x2-3x+1x=5，
∴x-3+1x=5，
∴x+1x=8；
（2）对x2x4+2x2+1取倒数为x4+2x2+1x2=x2+2+1x2，
由（1）得x+1x=8，
∴x+1x2=x2+1x2+2=64，
∴x4+2x2+1x2=64，
∴x2x4+2x2+1=164．
36．（23-24八年级下·全国·课后作业）[核心素养] 阅读材料：
将分式x2+2x-5x+3拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式．
解：由分母为x+3，可设x2+2x-5=x+3x+a+b（b为整数），
则x2+2x-5=x+3x+a+b=x2+ax+3x+3a+b=x2+a+3x+3a+b．
∵对于任意x，上述等式均成立，
∴a+3=23a+b=-5解得a=-1b=-2
∴x2+2x-5x+3=x+3x-1-2x+3
=x+3x-1x+3-2x+3
=x-1-2x+3．
这样，分式x2+2x+6x+3就被拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式．
解决问题：将分式x2+3x+6x-1，-2x4-x2+5-x2+1分别拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式．
【答案】x+4+10x-1，2x2+3+2-x2+1
【分析】
本题考查了多项式乘多项式、同分母分式加减法，掌握同分母分式加减法是解题的关键．
根据所给的材料，将分式x2+3x+6x-1拆成x-1x+4+10x-1，再运算化简即可作答．将分式-2x4-x2+5-x2+1拆成-x2+12x2+3+2-x2+1，再运算化简即可作答．
【详解】解：由x2+3x+6x-1的分母为x-1，
可设x2+3x+6=x-1x+m+n（n为整数），
则x2+3x+6=x-1x+m+n=x2+m-1x+n-m．
∵对于任意x，上述等式均成立，
∴m-1=3n-m=6
解得m=4n=10
∴x2+3x+6x-1=x-1x+4+10x-1=x+4+10x-1
由-2x4-x2+5-x2+1的分母为-x2+1，
可设-2x4-x2+5=-x2+12x2+c+d（d为整数），
则-2x4-x2+5=-x2+12x2+c+d=-2x4+2x2-cx2+c+d=-2x4+2-cx2+c+d．
∵对于任意x，上述等式均成立，
∴2-c=-1c+d=5
解得c=3d=2
∴-2x4-x2+5-x2+1=-x2+12x2+3+2-x2+1=2x2+3+2-x2+1．
37．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：83=6+23=2+23=223我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如x-1x+1，x2x-1这样的分式就是假分式；再如：3x+1，2xx2+1这样的分式就是真分式类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）
如：x-1x+1 =x+1-2x+1=1- 2x+1；
解决下列问题：
(1)分式2x是_____分式（填“真”或“假”）；
(2)将假分式x2+4x-1化为带分式；
(3)如果x为整数，分式6x-52x-1的值为整数，求所有符合条件的x的值．
【答案】(1)真
(2)x+1+5x-1
(3)x=1或0
【分析】本题考查了分式的混合运算；
（1）根据材料中“真分式”和“假分式”的定义进行判断即可；
（2）根据题中所给方法，利用分式的性质计算即可；
（3）先将分式6x-52x-1化为带分式，再根据题意得出2x-1=±1，然后分别计算即可．
【详解】（1）解：∵分式2x中分子的次数小于分母的次数，
∴分式2x是真分式，
故答案为：真；
（2）x2+4x-1
=xx-1+x+4x-1
=x+x+4x-1
=x+1+5x-1；
（3）6x-52x-1=32x-1-22x-1=3-22x-1，
∵x为整数，分式6x-52x-1的值为整数，
∴2x-1=±1，
∴x=1或0．
十一．解分式方程（共3小题）
38．（19-20八年级上·广东广州·期末）已知，关于x的分式方程a2x+3-b-xx-5=1．
(1)当a=2，b=1时，求分式方程的解；
(2)当a=1时，求b为何值时分式方程a2x+3-b-xx-5=1无解；
(3)若a=3b，且a、b为正整数，当分式方程a2x+3-b-xx-5=1的解为整数时，求b的值．
【答案】(1)x=-15
(2)112或5
(3)3、29、55、185
【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；
（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可；
（3）将a=3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值．
【详解】（1）解：把a=2，b=1代入原分式方程中，
得：22x+3-1-xx-5=1，
方程两边同时乘以(2x+3)(x-5)，
得：2(x-5)-(1-x)(2x+3)=(2x+3)(x-5)，
解得：x=-15，
检验：把x=-15代入(2x+3)(x-5)≠0，
∴原分式方程的解为：x=-15．
（2）解：把a=1代入原分式方程中，
得：12x+3-b-xx-5=1，
方程两边同时乘以(2x+3)(x-5)，
得：(x-5)-(b-x)(2x+3)=(2x+3)(x-5)，
去括号，得：x-5+2x2+3x-2bx-3b=2x2-7x-15，
移项、合并同类项，得：(11-2b)x=3b-10，
①当11-2b=0时，即b=112，原分式方程无解；
②当11-2b≠0时，得x=3b-1011-2b，
Ⅰ.x=-32时，原分式方程无解，
即3b-1011-2b=-32时，
此时b不存在；
Ⅱ.x=5时，原分式方程无解，
即3b-1011-2b=5时，
此时b=5；
综上所述，b=112或b=5时，分式方程a2x+3-b-xx-5=1无解．
（3）解：把a=3b代入分式方程a2x+3-b-xx-5=1中，
得：3b2x+3+x-bx-5=1，
方程两边同时乘以(2x+3)(x-5)，
得：3b(x-5)+(x-b)(2x+3)=(2x+3)(x-5)，
整理得：(10+b)x=18b-15，
解得：x=18b-1510+b=18(b+10)-19510+b=18-19510+b，
∵b为正整数，x为整数，
∴10+ b必为195的因数，10+b≥11，
∵195=3×5×13，
∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195，
∵1、3、5都小于11，
∴10十b可以取13、15、39、65、195这五个数，
对应地，方程的解x=3、5、13、15、17，
又x=5为分式方程的增根，故应舍去，
对应地，b只可以取3、29、55、185，
∴满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．
【点睛】本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握．
39．（21-22八年级上·山东济南·期中）已知关于x的分式方程x-ax-2-5x=1
(1)若分式方程的根是x=5，求a的值
(2)若分式方程有增根，求a的值
(3)若分式方程有无解，求a的值
【答案】(1)a=-1
(2)a=2
(3)a=-3或a=2
【分析】（1）把方程的解代入方程，解之即可得到答案；
（2）原方程整理得a+3x=10，由分式有增根，则xx-2=0，得到x=0或x=2，分两种情况分别求解即可；
（3）由（2）可知，a+3x=10，分a+3=0和a+3≠0两种情况分别求解即可.
【详解】（1）解：把x=5代入x-ax-2-5x=1得，
5-a5-2-55=1，
解得a=-1；
（2）x-ax-2-5x=1，
两边都乘以xx-2得，
xx-a-5x-2=xx-2，
整理得，a+3x=10，
由分式有增根，则xx-2=0，
∴x=0或x=2，
把x=0代入a+3x=10，a的值不存在，
把x=2代入2a+3=10，解得a=2，
综上可知，a=2；
（3）由（2）可知，a+3x=10，
当a+3=0时，方程无解，即a=-3，
当a+3≠0时，要使方程无解，则分式方程有增根，由（2）知a=2，
综上可知，a=-3或a=2．
【点睛】此题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
40．（20-21八年级下·四川攀枝花·期中）（1）解方程：x-2x+2-16x2-4=1
（2）计算：x2x-1-x-1
【答案】（1）原分式方程无解
（2）1x-1
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）首先将式子通分，化成同分母，分子合并同类项即可．
【详解】解：（1）x-2x+2-16x2-4=1
x-22-16=x2-4
x=-2
经检验：x=-2是增根
所以原方程无解．
（2）原式=x2x-1-(x+1)
=x2x-1-(x+1)(x-1)x-1
=x2x-1-x2-1x-1
=1x-1．
【点睛】本题考查了解分式方程和分式的化简，解题的关键是熟练掌握分式方程的解法和分式的化简运算法则．
十二．裂项法解分式方程（共3小题）
41．（19-20七年级上·上海浦东新·阶段练习）我们知道，在计算11×2+12×3+13×4+14×5+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+19×10的值时，大家会利用裂项的思想方法，即11×2+12×3+13×4+14×5+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+19×10 =11-12+12-13+13-14+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+19-110=11-110=910
请你利用裂项的思路化简下式：
（1）1xx+1+1x+1x+2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+1x+2004x+2005
（2）1x2-4x+3+1x2-1+1x2+4x+3+1x2+8x+15
（3）分式方程1xx+2+1x+2x+4-12x=1的解是_________（请直接写出答案）
【答案】（1）2005x2+2005x（2）4x2+2x-15（3）x=-92
【分析】（1）根据已知的式子，得出1nn+1=1n-1n+1，然后根据此规律进行解答即可；
（2）根据规律1nn+1=1n-1n+1，再把要求的式子进行整理即可得出答案；
（3）先把分母进行因式分解，再根据找出的规律对方程化简，然后求解即可．
【详解】（1）1xx+1+1x+1x+2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+1x+2004x+2005
=1x-1x+1+1x+1-1x+2++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+1x+2004-1x+2005
=1x-1x+2005
=2005xx+2005
=2005x2+2005x
（2）1x2-4x+3+1x2-1+1x2+4x+3+1x2+8x+15
=1x-3x-1+1x-1x+1+1x+1x+3+1x+3x+5
=121x-3-1x-1+1x-1-1x+1+1x+1-1x+3+1x+3-1x+5
=12×1x-3-1x+5
=12×8x-3x+5
=4x2+2x-15
（3）∵1xx+2+1x+2x+4-12x=1
∴121x-1x+2+1x+2-1x+4 -12x=1
∴1x-1x+2+1x+2-1x+4-1x=2
故-1x+4=2
解得x=-92
经检验，x=-92是原方程的解.
【点睛】此题主要考查分式运算的应用，解题的关键是根据题意找到规律进行化简，再利用分式方程的解法求解.
42．（23-24八年级上·北京昌平·期中）对于“分子为1，分母可以写作两个正因数乘积的分数”，可以进行“裂项”转化，
例如：16=12×3=12-13；16=11×6=15×11-16；
118=13×6=13×13-16;118=12×9=17×12-19;⋯⋯
参考上面的方法，解决下列问题：
(1)120=14×5=14-15；120=12×10=____×12-110；
(2)若将115裂项变形，则115=___________；
(3)应用上述变形，化简：1xx+2+1x+2x+4+1x+4x+6+……+1x+2023x+2024．
【答案】(1)18
(2)12×13-15
(3)1002x(x+2024)
【分析】
（1）由12-110=820即可确定所填数；
（2）根据115=13×5即可完成“裂项”转化；
（3）把每一个分式进行“裂项”，再相加即可．
【详解】（1）解：120=12×10=18×12-110，
故答案为：18；
（2）解：115=13×5=12×13-15，
故答案为：12×13-15；
（3）解：1xx+2+1x+2x+4+1x+4x+6+……+1x+2023x+2024
=121x-1x+2+121x+2-1x+4+121x+4-1x+6+⋯+121x+2003-1x+2024
=12×1x-12×1x+2024
=1002x(x+2024)．
【点睛】本题考查了分式的运算及有理数的运算，理解题中“裂项”变形是解题的关键．
43．（20-21七年级上·江西新余·期中）观察下列等式：11×2=1-12，12×3=12-13，13×4=13-14，
把以上三个等式两边分别相加得：11×2+12×3+13×4=1-12+12-13+13-14 =1-14=34．
这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．
(1)猜想并写出：1n(n+1)＝______．
(2)规律应用：计算：11×2+12×3+13×4+⋯+12019×2020；
(3)拓展提高：计算：12×4+14×6+16×8+⋯+12018×2020．
【答案】(1)1n-1n+1
(2)20192020
(3)10094040
【分析】（1）逆用分式的减法法则计算即可．
（2）根据（1）的特点,裂项后求和，注意其中的规律，清楚被销项和保留项，计算即可．
（3）把分母的各数中各提取2，转化成（2）式问题计算即可．
【详解】（1）∵1n(n+1)=1n-1n+1，
故答案为：1n-1n+1．
（2）11×2+12×3+13×4+⋯+12019×2020
=1-12+12-13+13-14+⋯+12019-12020
=1-12020
=20192020．
（3）12×4+14×6+16×8+⋯+12018×2020
=14×(11×2+12×3+13×4+⋯+11009×1010)
=14×(1-12+12-13+13-14+⋯+11009-11010)
=14×(1-11010)
=14×10091010
=10094040．
【点睛】本题考查了分式的加减混合运算，正确找到规律，灵活运用规律是解题的关键．
十三．分式方程的实际应用（共4小题）
44．（2023·山东济南·中考真题）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
(1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元?
(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元?
【答案】(1)A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元
(2)购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元
【分析】
（1）设A型编程机器人模型单价是x元，B型编程机器人模型单价是x-200元，根据：用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可求解；
（2）设购买A型编程机器人模型m台，购买A型和B型编程机器人模型共花费w元，根据题意可求出m的范围和W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值
【详解】（1）
解：设A型编程机器人模型单价是x元，B型编程机器人模型单价是x-200元．
根据题意，得2000x=1200x-200
解这个方程，得x=500
经检验，x=500是原方程的根．
x-200=300
答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元．
（2）
设购买A型编程机器人模型m台，购买B型编程机器人模型40-m台，购买A型和B型编程机器人模型共花费w元，
由题意得：40-m≤3m，解得m≥10．
∴w=500×0.8⋅m+300×0.8⋅40-m
即w=160m+9600，
∵160>0，
∴w随m的增大而增大．
∴当m=10时，w取得最小值11200，此时40-m=30；
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相等与不等关系、得出分式方程与不等式是解题的关键．
45．（2022·河南·中考真题）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的54倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．
(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．
(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．
【答案】(1)20元
(2)2250元
【分析】（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，根据题意列出方程，解出方程即可；
（2）设：购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗100-m捆，花费为y元，根据A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，解出m的取值范围，列出花费y 与A种菜苗m捆之间的关系式，根据关系式求出最少花费多少钱即可．
【详解】（1）解：设：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，
300x-30054x=3
300×54-300=154x
154x=75
解得x=20
检验：将x=20代入54x=54×20=25，值不为零，
∴x=20是原方程的解，
∴菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元．
（2）解：设：购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗100-m捆，费用为y元，
由题意可知：m≤100-m，
解得m≤50，
又∵y=20m+30×100-m×0.9，
∴y=-9m+2700m≤50，
∵y随m的增大而减小
∴当m=50时，花费最少，
此时y=-9×50+2700=2250
∴本次购买最少花费2250元．
【点睛】本题考查分式方程与一次函数表达式求最小值，根据题意列出分式方程并检验是解答本题的关键．
46．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工30天完成总工程的13，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，完成全部工程．
(1)求乙队单独施工多少天完成全部工程？
(2)若甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，求甲、乙两队工作一天的劳务费分别为多少元？
(3)在（2）的条件下，若两个工程队不同时施工，在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快______天能完成总工程．
【答案】(1)30
(2)甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元
(3)70
【分析】（1）设乙队单独施工x天完成全部工程，根据甲队单独施工30天完成总工程的13求出甲队单独施工完成全部工程的天数，根据两队完成工程量的和等于总工程量列方程，求得乙队单独施工30天完成全部工程，注意分式方程要检验；
（2）设甲、乙两队工作一天的劳务费分别为m元、n元, 根据甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，列方程组求解， 得到甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元；
（3）设甲队单独施工a天，乙队单独施工b天，根据两个工程队不同时施工，总劳务费不超过28万元，两队完成工程量等于总工程量，列出0.3a+b≤28与a90+b30=1，求出a的取值范围，根据最快完成总工程的要求，求出a+b的最小值即可．
【详解】（1）设乙队单独施工x天完成全部工程，
∵甲队单独施工完成全部工程的天数是30÷13=90（天），
∴13+1590+15x=1，
解得，x=30，
经检验，x=30是所列方程的根，且符合题意，
故乙队单独施工30天完成全部工程；
（2）设甲、乙两队工作一天的劳务费分别为m元、n元,
∴4m+3n=420005m+6n=75000，
解得，m=3000n=10000，
故甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元；
（3）设甲队单独施工a天，乙队单独施工b天，
则0.3a+b≤28
∵a90+b30=1，
∴b=30-13a，
∴0.3a+30-13a≤28，
∴a≥60，
∵a+b=a+30-13a=23a+30，且a≥60，
∴23a+30≥60×23+30=70
∴在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快70天能完成总工程．
故答案为：70．
【点睛】本题主要考查了工程问题，解决问题的关键是熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，总劳务费与每天劳务费和劳务时间的关系，解分式方程与二元一次方程组等等，熟知相关知识是解题的关键．
47．（2021·浙江温州·中考真题）某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．
（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？
（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．
①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？
②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？
【答案】（1）甲、乙两种食材每千克进价分别为40元、20元；（2）①每日购进甲食材400千克，乙食材100千克；②当A为400包时，总利润最大．最大总利润为2800元
【分析】（1）设乙食材每千克进价为a元，根据用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克列分式方程即可求解；
（2）①设每日购进甲食材x千克，乙食材y千克．根据每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，利用进货总金额为180000元，含铁量一定列出二元一次方程组即可求解；
②设A为m包，根据题意，可以得到每日所获总利润与m的函数关系式，再根据A的数量不低于B的数量，可以得到m的取值范围，从而可以求得总利润的最大值．
【详解】解：（1）设乙食材每千克进价为a元，则甲食材每千克进价为2a元，
由题意得802a-20a=1，解得a=20．
经检验，a=20是所列方程的根，且符合题意．
∴ 2a=40（元）．
答：甲、乙两种食材每千克进价分别为40元、20元．
（2）①设每日购进甲食材x千克，乙食材y千克．
由题意得40x+20y=1800050x+10y=42x+y，解得x=400y=100
答：每日购进甲食材400千克，乙食材100千克．
②设A为m包，则B为500-m0.25=2000-4m包．
记总利润为W元，则
W=45m+122000-4m-18000-2000=-3m+4000．
∵ A的数量不低于B的数量，
∴ m≥2000-4m，m≥400．
∵ k=-3<0，∴ W随m的增大而减小。
∴当m=400时，W的最大值为2800元．
答：当A为400包时，总利润最大．最大总利润为2800元．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用、分式方程、二元一次方程的应用，解答本题时要明确题意、弄清表格数据的意义及各种量之间关系，利用方程的求未知量和一次函数的性质解答，注意分式方程要检验．
十四．与解分式方程有关的新定义问题（共4小题）
48．（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）对于两个非零有理数x，y，定义一种新运算：x⊗y=2xx+1-yx+1，例如：4⊗3=2×44+1-34+1=8-35=1．
(1)求6⊗5的值；
(2)若a⊗1=1，求a的值．
【答案】(1)1
(2)a的值为2
【分析】本题考查有理数的混合运算，解分式方程等知识，理解定义的运算是解题的关键．
（1）运用定义运算代入计算即可；
（2）运用定义运算代入得到一个分式方程，求解这个分式方程即可，注意检验．
【详解】（1）解：6⊗5=2×66+1-56+1=12-57=1；
（2）a⊗1=2aa+1-1a+1=1，
去分母得：2a-1=a+1，
解得：a=2，
经检验：a=2是方程的解，
⸫a的值为2．
49．（23-24八年级上·广西桂林·期中）对a，b定义一种新运算M，规定Ma,b=2aba-b，这里等式右边是通常的四则运算，例如：M2,3=2×2×32-3=-12，如果M2x,1=M1,-1，求实数x的值．
【答案】16
【分析】本题考查了新定义，解分式方程，掌握分式方程的解法是解答本题的关键．根据新定义把M2x,1=M1,-1转化为分式方程求解，然后检验即可．
【详解】解：∵Ma,b=2aba-b，
∴M2x,1=M1,-1可化为2×2x×12x-1=2×1×-11--1，
∴4x2x-1=-1，
解得x=16，
检验：当x=16时，2x-1≠0，
∴x=16是方程4x2x-1=-1的解，
∴实数x的值是16．
50．（23-24八年级上·河北沧州·期中）（1）对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下：a*b=1b-1a，例如：3*4=14-13=-112．若x*y=2，求2023xyx-y的值；
（2）符号“abcd”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：abcd=ad-bc，若2111-x1x-1=1，请你根据上述规定求出x的值．
【答案】（1）20232 ；（2）x=4
【分析】本题考查了新定义、分式的化简 、解分式方程，理解定义的新运算是解此题的关键．
（1）根据新定义运算可得1y-1x=2，从而可得x-y=2xy，然后代入式子中进行计算即可得到答案；
（2）根据题中的新定义化简得：2x-1-11-x=1，解分式方程即可．
【详解】解：（1）∵x*y=2，
∴1y-1x=2，
∴x-y=2xy，
∴2023xyx-y=2023xy2xy=20232；
（2）根据题中的新定义化简得：2x-1-11-x=1，
去分母得：2+1=x-1，
解得：x=4，
检验：把x=4代入得：x-1=3≠0，
∴x=4．
51．（22-23八年级下·山西晋城·阶段练习）综合与实践：对x，y定义一种新运算T，规定Tx,y=ax2+by2x+y（其中a，b是非零常数，且x+y≠0），这里等式右边是通常的四则运算．如：T3,1=a×32+b×123+1=9a+b3+1，Tm,-2=am2+4bm-2．
(1)填空：T4,-1=_________．（用含a，b的代数式表示）
(2)若T-2,0=-2，且T5,-1=132．
①求a，b的值；
②若Tm+1,2m-2=T2m+2,m-3，求m的值．
【答案】(1)16a+b3
(2)①a=1b=1；②m=-1
【分析】（1）利用新运算的规定解答即可；
（2）①利用新运算的规定得到关于a,b的方程，解方程即可求得结论；
②利用新定义的规定列出关于m的等式，再将a,b的值代入求解即可．
【详解】（1）解：T(4,-1)=a×42+b×(-1)24-1=16a+b3．
故答案为：16a+b3；
（2）①∵T(-2,0)=-2，
∴a×(-2)2+b×02-2+0=-2，整理，可得a=1①，
∵T(5,-1)=132，
∴a×52+b×(-1)25-1=132，
∴25a+b=26②，
由①、②组成二元一次方程组a=125a+b=26，
解得a=1b=1；
②∵Tm+1,2m-2=T2m+2,m-3，
∴a×m+12+b×2m-22m+1+2m-2=a×2m+22+b×m-322m+2+m-3 ，
∵a=1b=1，
∴m+12+2m-22m+1+2m-2=2m+22+m-322m+2+m-3，
∴m2+2m+1+4m2-8m+4=4m2+8m+4+m2-6m+9，
∴5-6m=2m+13，
∴m=-1，
经检验，m=-1是原方程的根，
∴m=-1．
【点睛】本题主要考查了新定义下的运算、解分式方程、二元一次方程组等知识，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．
十五．与解分式方程有关的阅读理解问题（共3小题）
52．（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）阅读材料：
在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：x2–3x+2=0．
解：设x=t，则原方程可化为：t2–3t+2=0．
解得：t1=1，t2=2．
当t=1时，x=1，∴x=±1；
当t=2时，x=2，∴x=±2．
∴原方程的解是：x1=1，x2=-1，x3=2，x4=-2．
上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：
(1)解方程：x2-2x=0；
(2)解方程：x4–10x2+9=0．
(3)解方程：x+1x2-2x2x+1=1．
【答案】(1)x1=x2=0，x3=2，x4=-2；
(2)x1=1，x2=-1，x3=3，x4=-3；
(3)x=1和x=-12．
【分析】本题考查了整体换元法，整体换元法是我们常用的一种解题方法，在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
（1）设x=t，则原方程可化为t2-2t=0，解方程求得t的值，再求x的值即可；
（2）设x2=a，则原方程可化为a2–10a+9=0，解方程求得a的值，再求x的值即可；
（3）设x+1x2=m，则原方程可化为m–2m=1，整理得m2–m–2=0，解方程求得m的值，再求x的值，检验后即可求得分式方程的解．
【详解】（1）解：设x=t，则原方程可化为：t2-2t=0．
解得：t1=0，t2=2．
当t=0时，x=0，
∴x=0；
当t=2时，x=2，
∴x=±2．
∴原方程的解是：x1=x2=0，x3=2，x4=-2；
（2）解：设x2=a，则原方程可化为a2–10a+9=0，
即a-1a-9=0，
解得：a=1或a=9，
当a=1时，x2=1，
∴x=±1；
当a=9时，x2=9，
∴x=±3；
∴原方程的解是：x1=1，x2=-1，x3=3，x4=-3；
（3）解：设x+1x2=m，则原方程可化为m–2m=1，
整理得m2–m–2=0，
∴m+1m-2=0，
解得：m=-1或m=2，
当m=-1时，x+1x2=-1，即x2+x+1=0，
由Δ=1-4×1×1=-3<0知此时方程无解；
当m=2时，x+1x2=2，即2x2-x-1=0，
解得：x=1或x=-12，
经检验x=1和x=-12都是原分式方程的解．
53．（23-24八年级上·福建龙岩·期末）阅读以下材料：
例：已知多项式2x2-5x+3有一个因式是x-1，求另一个因式．
解：设另一个因式为ax+b，则：
(ax+b)(x-1)=ax2+(b-a)x-b
依题意：ax2+(b-a)x-b=2x2-5x+3
比较等式两边对应项的系数，可得：a=2，-b=3，即b=-3
∴另一个因式为2x-3．
根据上述材料，尝试解决问题：
若等式4x-3(x-1)(x-2)=mx-1+nx-2成立，求常数m，n的值．
【答案】m=-1，n=5．
【分析】本题考查了解分式分式方程，分式的加减，熟练掌握等式的性质和分式的加减法法则是解答本题的关键．
（1）根据异分母分式的加减法法则把右边化简，再比较分子得出m，n的方程组求解；
（2）先去分母，然后比较等号左右两边得出m，n的方程组求解．
【详解】解法一：mx-1+nx-2=m(x-2)+n(x-1)(x-1)(x-2)
=mx-2m+nx-n(x-1)(x-2)
=(m+n)x-(2m+n)(x-1)(x-2)
依题意：(m+n)x-(2m+n)(x-1)(x-2)=4x-3(x-1)(x-2)，
比较等式两边分子对应项的系数，得：m+n=42m+n=3，
解得：m=-1，n=5．
解法二：去分母得：4x-3=m(x-2)+n(x-1)，
4x-3=mx-2m+nx-n，
4x-3=(m+n)x-(2m+n)，
比较等式两边对应项的系数，得：m+n=42m+n=3，
解得：m=-1，n=5
54．（23-24八年级上·湖南湘西·期末）阅读材料1：已知关于x的方程x+1x=c+1c的解是x=c或x=1c，不妨约定这种方程为“对称方程”．例如“对称方程”x+1x=3+13的解是x=3或x=13．
阅读材料2：将分式x2+2x-5x+3拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式．
解：由分母为x+3，可设，x2+2x-5=(x+3)(x+a)+b，
∴x2+2x-5=(x+3)(x+a)+b=x2+ax+3x+3a+b=x2+(a+3)x+(3a+b)
∵对于任意x、上述等式均成立，∴a+3=23a+b=-5解得：a=-1b=-2
∴x2+2x-5x+3=(x+3)(x-1)-2x+3=(x+3)(x-1)x+3-2x+3=x-1-2x+3
这样，分式就被拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式．
根据上述材料，回答下列问题：
(1)“对称方程”y-2+1y-2=5+15的解是______．
(2)将分式x2-6x-2拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为______．
(3)解关于x的“对称方程”：x+19x+6=a2-2a+13a（a为常数且a≠0）
【答案】(1)y=7或y=215
(2)x+2-2x-2
(3)x=a-23或x=1-2a3a都是原方程的解．
【分析】此题主要考查分式运算的应用，解分式方程．
（1）根据“阅读材料1”的方法求解即可；
（2）根据“阅读材料2”的方法求解即可；
（3）利用换元法，设设3x+2=y，把原方程整理成y+1y=a+1a的形式，再利用“对称方程”的解法求解即可．
【详解】（1）解：根据题意y-2=5或y-2=15，
解得y=7或y=215，
经检验，y=7或y=215都是原方程的解；
故答案为：y=7或y=215；
（2）解：x2-6x-2=x2-4-2x-2
=x+2x-2-2x-2
=x+2-2x-2
故答案为：x+2-2x-2；
（3）解：设3x+2=y，则x=13y-2，
则原方程化为13y-2+13y=a2-2a+13a，即y-2+1y=a2-2a+1a，
整理得y+1y=a2-2a+1a+2，即y+1y=a2+1a，
∴y+1y=a+1a，
∴y=a或y=1a，
∴3x+2=a或3x+2=1a，
解得x=a-23或x=1-2a3a，
经检验，x=a-23或x=1-2a3a都是原方程的解．
十六．与解分式方程有关的错误步骤探究问题（共3小题）
55．（23-24八年级下·河北承德·开学考试）数学课上老师出这样一道数学题：
解分式方程∶2x+2-3x-2=1x2-4．下面是晓婷的解题过程：
解：方程两边同乘以(x+2)(x-2)，得
2(x-2)-3=1． ①
2x-2-3=1． ②
解得x=3．
检验：x=3时，(x+2)(x-2)≠0， ③
所以，原分式方程的解为x=3． ④
如果假设基于上一步骤正确的前提下，你认为晓婷在哪些步骤中出现了错误 （只填序号）．
请写出正确的解题过程：
【答案】①，②；x=-11，过程见解析
【分析】本题考查的是分式方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键，根据去分母约分，去括号的法则可判断解法错误的步骤，再正确的解方程即可．
【详解】解：第①步，第②步，出现错误；
2x+2-3x-2=1x2-4，
方程两边同乘以(x+2)(x-2)，得
2x-2-3x+2=1，
∴2x-4-3x-6=1，
整理得：-x=11，
解得：x=-11，
检验：x=-11时，(x+2)(x-2)≠0，
所以，原分式方程的解为x=-11．
56．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）小丽解分式方程1-x-32x+2=3xx+1时，出现了错误，她的解题过程如下．
解：去分母，得2x+2-x-3=3x，第一步
解得x=52，第二步
∴原分式方程的解是x=52．第三步
(1)小丽的解题过程从第______步开始出错；
(2)小丽的解题过程缺少的步骤是______；
(3)请写出正确的解题过程．
【答案】(1)一
(2)检验
(3)见解析
【分析】（1）根据等式的两边同乘2(x+1)，即可判断；
（2）根据分式方程一定要验根，即可确定答案；
（3）根据解分式方程正确的步骤求解即可．
【详解】（1）解：小丽解答过程从第一步开始出错，正确结果是2x+2-x-3=6x，
故答案为：一；
（2）解：小丽解答过程缺少的步骤是检验，
故答案为：检验；
（3）解：1-x-32x+2=3xx+1，
去分母得：2x+2-x-3=6x，
解得：x=1，
经检验，x=1是原方程的解，
∴原分式方程的解是x=1．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
57．（22-23八年级上·河北沧州·阶段练习）佳明解方程1x-x-2x=1的过程如下：
解：方程两边同乘x，得1-x-2=1．①
去括号，得1-x+2=1．②
合并同类项，得-x+1=1．③
移项，得-x=0．④
解得x=0．⑤
∴原方程的解为x=0．⑥
(1)以上过程中出现了______处错误，错误步骤的序号为______；
(2)请写出正确的解题过程．
【答案】(1)3，①③⑥
(2)见解析
【分析】（1）根据解方程的方法和步骤即可判断；
（2）方程先去分母化为整式方程，求出整式方程的根后再检验即得答案．
【详解】（1）以上过程中出现了3处错误，错误步骤的序号为①③⑥；
具体如下：
方程两边同乘x，得1-x-2=1．①，方程的右边没有乘以x，
合并同类项，得-x+1=1．③，合并同类项时出错；
原方程的解为x=0．⑥，没有进行检验；
故答案为：3，①③⑥；
（2）解：方程两边都乘x，得1-x-2=x，
去括号，得1-x+2=x，
移项、合并同类项，得-2x=-3，
解得x=32．
经检验x=32是原分式方程的解 ，
∴原方程的解为x=32．
【点睛】本题考查了分式方程的求解，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键，注意：不要忘记验根．
十七．分式方程与不等式组综合（共3小题）
58．（23-24八年级上·江西宜春·期中）使得关于x的不等式组6x-a≥-10-1+12x<-18x+32有且只有4个整数解，且关于x的分式方程ax-14-x+27x-4=-8的解为正数的所有整数a的值之和为多少？
【答案】11
【分析】本题考查了解分式方程和解一元一次不等式组，熟练掌握分式方程和不等式组的解法是解题的关键． 解不等式组和分式方程得出关于x的范围及x的值，根据不等式组有且只有4个整数解和分式方程的解为正数得出a的范围，继而可得整数a的值，然后计算和即可．
【详解】解：由不等式组6x-a≥-10-1+12x<-18x+32，
得x≥a-106x<4，
∵x有且只有4个整数解，
∴-1解得4解分式方程ax-14-x+27x-4=-8，
得x=48-a，
∵解为正数
∴8-a>0且48-a≠4，即a<8且a≠7，
∴a=5，6即所有整数a的值之和为5+6=11．
59．（21-22八年级上·安徽芜湖·期末）若数a使关于x的不等式组x-12<1+x35x-2>x+a有且只有四个整数解，且使关于y的方程y+ay-1+2a1-y=2的解为非负数，求符合条件的所有整数a之和．
【答案】1
【分析】解不等式组，得到不等式组的解集，根据整数解的个数判断a的取值范围，解分式方程，用含有a的式子表示y，根据解的非负性求出a的取值范围，确定符合条件的整数a，相加即可．
【详解】解：x-12<1+x3①5x-2≥x+a②，
解①得，x<5；
解②得，x≥a+24，
∵不等式组有且只有四个整数解，
∴不等式组的解集为a+24≤x<5，整数解为：1，2，3，4；
∴0解得，-2解分式方程得，y=2-a；
∵方程的解为非负数，且2-a≠1
∴2-a≥0；即a≤2；
综上：-2∵a是整数，
∴a=-1,0,2；
∴-1+0+2=1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，分式方程，根据题目条件确定a的取值范围，是解题的关键．
60．（22-23八年级上·全国·单元测试）已知关于x的方程x+3x-3+ax3-x=1有正整数解，且关于y的不等式组2y-55<2a-y-1≤0至少有两个奇数解，求满足条件的整数a的值．
【答案】1，3，6
【分析】由不等式组2y-55<2a-y-1≤0有两个奇数解，可求得a≤6，由x+3x-3+ax3-x=1得出x=6a，再根据分式方程有正整数解即可得出答案．
【详解】解：根据题意解不等式组
2y-55<2a-y-1≤0
得a-1≤y<152．
∵关于y的不等式组至少有两个奇数解，
∴a-1≤5，解得a≤6．
由x+3x-3+ax3-x=1，
解得x=6a．
∵x-3≠0，
∴x≠3．
∴a≠2．
∵方程有正整数解，且a为整数，
∴a＝1，3，6．
【点睛】本题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
营养品信息表
营养成分
每千克含铁42毫克
配料表
原料
每千克含铁
甲食材
50毫克
乙食材
10毫克
规格
每包食材含量
每包单价
A包装
1千克
45元
B包装
0.25千克
12元